1. 证明以下不等式:
    1. 设 `a lt b lt c`, 则 `|b| lt max{|a|, |c|}`;
    2. 设 `a/b lt c/d`, 且 `b gt 0`, `d gt 0`, 则 `a/b lt (a+c)/(b+d) lt c/d`;
    3. 设 `p gt 0`, 则 `|a + b|^p le 2^p max{|a|^p, |b|^p};`
    4. 对任意实数 a, b 都成立 `|a + b|/(1 + |a + b|) le |a|/(1 + |a|) + |b|/(1 + |b|)`.
    1. 若 `0 le b lt c`, 则 `|b| lt |c|`; 若 `a lt b lt 0`, 则 `|b| lt |a|`. 综上有 `|b| lt max{|a|, |c|}`.
    2. 由 `a/b lt c/d` 和 `b gt 0`, `d gt 0` 知 `ad lt bc`, 从而有 `a(b+d) lt b(a+c)` 和 `d(a+c) lt c(b+d)`, 即 `a/b lt (a+c)/(b+d) lt c/d`.
    3. 因为 `|a+b| le |a| + |b| le 2 max{|a|, |b|}`, 而 `p gt 0`, 所以 `|a+b|^p le 2^p max{|a|^p, |b|^p}`.
    4. `|a+b| / (1 + |a + b|)`
      `= 1 - 1 / (1 + |a + b|)`
      `le 1 - 1 / (1 + |a| + |b| + |ab| )`
      `= (|a| + |b| + |ab|) / ((1 + |a|)(1 + |b|))`
      `le (|a| + |b| + 2|ab|) / ((1 + |a|)(1 + |b|))`
      `= |a| / (1 + |a|) + |b| / (1 + |b|)`.
  2. 解不等式:
    1. `|x-5| lt 10`;
    2. `|2x+3| ge 4`;
    3. `|x-1| gt |x+2|`;
    4. `|2x+1| le |x-2|`;
    5. `|x-1| + |x+2| le 3`;
    6. `|3x-2| ge |x-2| + 1`;
    7. `| |x-2| - |x+2| | lt 2`;
    8. `|(x+2)(x-1)| ge 1`.
      对绝对值符号内的数的大小范围进行讨论/两边平方/画图都是不错的办法.
    1. `(-5, 15)`;
    2. `(-oo, -7/2] uu [1/2, +oo)`;
    3. `(-oo, -1/2)`;
    4. `[-3, 1/3]`;
    5. `[-2, 1]`;
    6. `(-oo, -1/2] uu [5/4, +oo)`;
    7. `(-1, 1)`;
    8. `(-oo, (-1 - sqrt 13) / 2 ]` `uu [(-1 - sqrt 5) / 2, (-1 + sqrt 5) / 2]` `uu [(-1 + sqrt 13) / 2, +oo)`.
  3. 证明:
    1. 当 `||x| -2| le 1` 时, `max{|x+1|, |x-1|} le 4`;
    2. 当 `|x-1| le 1` 时, `|x^2-1| le 3|x-1|`;
    3. 当 `0 lt x lt 1` 时, `max{1/x^p, 1/(1-x)^p} ge 2^p`, 这里 `p gt 0`.
    1. 因为 `|x|-2 le ||x|-2| le 1`, 所以 `|x| + 1 le 4`. 又因为 `|x+1| le |x| + 1`, `|x-1| le |x| + 1`, 所以 `max{|x+1|, |x-1|} le |x| + 1 le 4`.
    2. 因为 `|x|-1 le |x-1| le 1`, 所以 `|x|+1 le 3`. 从而 `|x+1| le |x|+1 le 3`. 两边同乘 `|x-1|`, 得 `|x+1||x-1| le 3|x-1|`, 即 `|x^2-1| le 3|x-1|`.
    3. 若 `x in (0, 1/2)`, 则 `1/x gt 2`; 若 `x in [1/2, 1)`, 则 `1-x in (0, 1/2]`, 有 `1/(1-x) ge 2`. 故 `max{1/x, 1/(1-x)} ge 2`. 因为 `p gt 0`, 所以 `max{1/x^p, 1/(1-x)^p} ge 2^p`.
  4. 用 n 表示任意自然数. 证明下列不等式:
    1. `(x_1 + x_2 + cdots + x_n)^2` `le n (x_1^2 + x_2^2 + cdots + x_n^2)`;
    2. `(1+x)^n ge 1 + nx` `(x gt -1)`;
    3. `(1-x)^n le 1 - nx + 1/2 n(n-1) x^2` `(0 lt x lt 1)`;
    4. `sqrt( 2 + sqrt( 2 + cdots + sqrt(2))) lt 2` (n 重根号);
    5. `1/3 n^3 lt 1^2 + 2^2 + cdots + n^2 lt 1/3 (n+1)^3`;
    6. `n! lt ((n+1)/2)^n`, n ≥ 2.
    1. 令 `f(t) = sum_(i=1)^n (x_i t + 1)^2` `= t^2 sum_(i=1)^n x_i^2 + 2t sum_(i=1)^n x_i + n`, 显然有 `f(t) ge 0, AA t in RR` 和 `sum_(i=1)^n x_i^2 ge 0`. 这等价于其判别式 `Delta = (2 sum_(i=1)^n x_i)^2 - 4n sum_(i=1)^n x_i^2 le 0`. 整理即得要证的不等式.
    2. 当 `n = 1` 时, `(1+x)^n ge 1 + nx` 成立. 现假设 `n = k` 时不等式成立, 则 `n = k + 1` 时, `(1+x)^(k+1)`
      `= (1+x)^k (1+x)`
      `ge (1+kx)(1+x)`
      `= 1 + (k+1)x + kx^2 ge 1 + (k+1)x`.       故 `(1+x)^n ge 1 + nx`, `AA n in NN, AA x in (-1, +oo)`.
    3. 当 `n = 1` 时, `(1-x)^n le 1 - nx + 1/2 n(n-1)x^2` 成立. 假设 `n = k` 时不等式成立, 则 `n = k + 1` 时, `(1-x)^(k+1)`
      `= (1-x)^k (1-x)`
      `le [1-kx + 1/2 k(k-1)x^2](1-x)`
      `= 1 - (k+1)x + 1/2 k(k+1)x^2 - 1/2 k(k-1)x^3`
      `le 1 - (k+1)x + 1/2 k(k+1)x^2`.       故 `(1-x)^n le 1 - nx + 1/2 n(n-1)x^2`, `AA n in NN, AA x in (0, 1)`.
    4. 用 `x_n` 表示有 n 重根号的这类式子. 当 n = 1 时, `x_1 = sqrt(2) lt 2` 成立. 假设 `x_k lt 2`, 则 `x_(k+1) = sqrt(2 + x_k) lt sqrt(2+2) = 2`, 于是 `x_n lt 2`, `AA n in NN`.
    5. 先证 `sum_(k=1)^n k^2 = n^3/3 + n^2/2 + n/6`. n = 1 时, 这显然成立. 假设 n 时等式成立, 则 n + 1 时 (记 m = n + 1), `sum_(k=1)^(n+1) k^2`
      `= n^3/3 + n^2/2 + n/6 + (n+1)^2`
      `= (m-1)^3/3 + (m-1)^2/2 + (m-1)/6 + m^2`
      `= m^3/3 + m^2/2 + m/6`.       所以 `sum_(k=1)^n k^2 gt 1/3 n^3` 显然成立. 要证 `sum_(k=1)^n k^2 lt 1/3 (n+1)^3`, 只需证 `n^2/2 + n/6 lt n^2 + n + 1/3`, 即证 `3n^2 + 5n + 2 gt 0`, 这也是成立的 (因为 n ≥ 1).
    6. n 为偶数时, 由基本不等式, `n! = 1*n*2*(n-1)*cdots*(n/2)*(n/2 + 1)` `lt ((n+1)/2)^n`; n 为奇数时, 同样 `n! = 1*n*2*(n-1)*cdots* (n+1)/2` `lt ((n+1)/2)^n`.
  5. 用分拆或适当组合等方法证明下列不等式:
    1. `1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + cdots + 1/((2n-1)(2n+1)) lt 1/2`;
    2. `1 + 1/2^2 + 1/3^2 + cdots + 1/n^2 lt 2`;
    3. `2 (sqrt(n+1) - 1)` `lt 1 + 1/sqrt(2) + 1/sqrt(3) + cdots + 1/sqrt(n)` `lt 2 sqrt(n)`;
    4. `1/(2 sqrt(n))` `lt (1*3*5*cdots*(2n-1)) / (2*4*6*cdots*2n)` `lt 1/sqrt(2n)`.
    1. `sum_(k=1)^n 1/((2k-1)(2k+1))`
      `= 1/2 sum_(k=1)^n ( 1/(2k-1) - 1/(2k+1) )`
      `= 1/2 (1 - 1/(2n+1)) lt 1/2`.
    2. `sum_(k=1)^n 1/k^2`
      `lt 1 + sum_(k=2)^n 1/(k(k-1))`
      `= 1 + sum_(k=2)^n (1/(k-1) - 1/k)`
      `= 1 + 1 - 1/n lt 2`
    3. `sum_(k=1)^n 1/sqrt(k)`
      `gt sum_(k=1)^n 2/(sqrt(k+1) + sqrt(k))`
      `= 2 sum_(k=1)^n (sqrt(k+1) - sqrt(k))`
      `= 2 (sqrt(n+1) - 1)`;       `sum_(k=1)^n 1/sqrt(k)`
      `lt sum_(k=1)^n 2/(sqrt(k) + sqrt(k-1))`
      `= 2 sum_(k=1)^n (sqrt(k) - sqrt(k-1))`
      `= 2 sqrt(n)`.
    4. 由 `k^2 gt (k-1)(k+1), AA k in NN` 知, `(3^2*5^2*cdots*(2n-1)^2) / (2*4*4*6*cdots*(2n-2)*2n) gt 1`;
      `0 lt (1*3*3*5*cdots*(2n-3)(2n-1)) / (2^2*4^2*cdots*(2n-2)^2) lt 1`.       所以 `(1*3*5*cdots*(2n-1)) / (2*4*6*cdots*2n)` `= sqrt((3^2*5^2*cdots*(2n-1)^2) / (2*[2*4*4*6*cdots*(2n-2)*2n]*2n))` `gt 1/(2 sqrt(n))`;
      `(1*3*5*cdots*(2n-1)) / (2*4*6*cdots*2n)` `= sqrt( ([1*3*3*5*cdots*(2n-3)(2n-1)]*(2n-1)) / ([2^2*4^2*cdots*(2n-2)^2]*(2n)^2))` `lt (sqrt(2n-1)) / (2n)` `lt 1/sqrt(2n)`.
  6. 设 m 和 n 都是正整数且 `m lt n`. 证明: 对任意实数 `x gt -1`, `x != 0` 成立 `(1 + x)^(m/n) lt 1 + m/n x`.
    由均值不等式, `root(n)((1+x)^m)` `lt 1/n [m(1+x) + (n-m)]` `= 1 + m/n x`.
  7. 已知 `(12/11)^10 ~~ 2.3872`. 证明: 当 `n ge 11` 时, `(1 + 1/n)^n lt 3 (1 - 1/n)`.
    容易验证 n = 7 时不等式成立. 下证 `(1+1/n)^n/(1-1/n)` 单调减, 即证 `(1+1/(n+1))^(n+1)/(1-1/(n+1)) lt (1+1/n)^n/(1-1/n)`, `quad n = 2, 3, cdots`.