1. 证明: 对任意实数 a, b 都成立等式
    1. `max{a, b} = (a+b)/2 + |a-b|/2`;
    2. `min{a, b} = (a+b)/2 - |a-b|/2`.
      易知 `max{a,b} + min{a,b} = a + b`; `max{a,b} - min{a,b} = |a - b|`; 解之即得所证结果.
  2. 证明: 对任意实数 a, b 都成立不等式 `max{|a-b|, |1-a|, |1+b|} ge 2/3`.
    `|a-b| ge 2/3` 或 `|1-a| ge 2/3` 时不等式成立. 现设 `|a-b| lt 2/3`, `|1-a| lt 2/3`. 则由 `|a-b| + |1-a| + |1+b|` `ge |(a-b) + (1-a) + (1+b)| = 2` 知 `|1+b| ge 2 - |a-b| - |1-a| gt 2 - 2/3 - 2/3 = 2/3`.
  3. 设 `a_k, b_k in RR` 且 `b_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots, n`. 记 `S = {a_1/b_1, a_2/b_2, cdots, a_n/b_n}`. 证明: `min S` `le (a_1 + a_2 + cdots + a_n) / (b_1 + b_2 + cdots + b_n)` `le max S`.
      此题是对习题 1.1 第 1(2) 题的推广. 记 `sum_(k=1)^n a_k = A`, `sum_(k=1)^n b_k = B`.
    1. 当 `EE 1 le k le n-1` 使 `a_k / b_k le A/B` 时, `min S le A/B` 成立. 现设 `a_k gt A/B`, 即 `B a_k gt A b_k`, `k = 1, 2, cdots, n-1`. 所以 `B sum_(k=1)^(n-1) a_k gt A sum_(k=1)^(n-1) b_k`. 即 `B(A-a_n) gt A(B-b_n)`. 即 `a_n/b_n lt A/B`. 而 `a_n/b_n in S`, 故 `min S le A/B` 成立.
    2. 当 `EE 1 le k le n-1` 使 `a_k/b_k ge A/B` 时, `max S ge A/B` 成立. 现设 `a_k/b_k lt A/B`, `k = 1, 2, cdots, n-1`. 仿照 (1) 可证 `a_n/b_n gt A/B`, 从而 `max S ge A/B`.
  4. 设 (A, B) 是实数系的一个戴德金分划. 证明: 不可能出现既在下类 A 中有最大数, 又在上类 B 中有最小数的情况.
    设下类 A 中有最大数 a, 上类 B 中有最小数 b, 则 a < b, 但 `a lt (a+b)/2 lt b`, 所以 `(a+b)/2 !in A`, `(a+b)/2 !in B`, 与 `A uu B = RR` 矛盾.
  5. 设 (A, B) 是实数系的一个戴德金分划. 证明: 满足条件 `x le c le y`, `AA x in A, AA y in B` 的实数 c (即分点) 唯一.
    不妨设存在实数 `c_1 le c_2` 满足 `x le c_1 le y` 和 `x le c_2 le y`, `AA x in A`, `AA y in B`. 若 `c_1 lt c_2`, 则存在实数 `c = (c_1 + c_2)/2`, 且 `c_1 lt c lt c_2`. 易知有 `x lt c lt y`, `AA x in A`, `AA y in B`. 所以 `c !in A`, `c !in B`, 与 `A uu B = RR` 矛盾. 所以 `c_1 = c_2`.
  6. 令 `A = {x: x in QQ^+, x^2 lt 2}`. 证明: `"sup" A = sqrt 2`.
      (参考 1.3 节的定理 1.3.1) 容易验证 `1 in A`, 所以 A 非空. 由 `x^2 lt 2`, `AA x in A` 知 `sqrt 2` 是 A 的上界. 由确界原理知, A 有上确界. 设 `x = "sup" A`, 下面我们证明 `x = sqrt 2`, 这只需证明 `x lt sqrt 2` 与 `x gt sqrt 2` 都不可能.
    1. 假如 `x lt sqrt 2`, 即 `x^2 lt 2`, 令 `epsi_1= min{1, (2 - x^2) / (2(x+1))} gt 0`, 再从开区间 `(x, x+epsi_1)` 中取一有理数 `y`, 则 ` y^2 - x^2 lt (x+epsi_1)^2 - x^2 = epsi_1 (2x+epsi_1) lt 2epsi_1 (x + epsi_1) lt 2 - x^2`. 从而 `y^2 lt 2`, 因此 `y in A`, 与 `x = "sup" A` 矛盾.
    2. 假如 `x gt sqrt 2`, 即 `x^2 gt 2`, 令 `epsi_2 = (x^2 - 2)/(2x)`, 则 `0 lt epsi_2 lt x`. 若有某个 `y in A` 使 `y ge x - epsi_2`, 则 ` x^2 - y^2 le x^2 - (x-epsi_2)^2 lt 2 epsi_2 x = x^2 - 2`. 由此得 `y^2 gt 2`, `y !in A`, 矛盾. 所以 `y lt x - epsi_2`, `AA y in A`, 而这与 `x = "sup" A` 矛盾.
      3. `"sup" A = sqrt 2`.
  7. 设 A, B 是两个非空且有界的实数集.
    1. 记 `-A = {-x: x in A}`. 证明: `"sup" (-A) = -"inf" A`, `"inf"(-A) = -"sup"A`;
    2. 记 `A+B = {x+y: x in A, y in B}`. 证明: `"sup"(A+B) = "sup"A + "sup"B`, `"inf"(A+B) = "inf" A + "inf" B`;
    3. 记 `AB = {xy: x in A, y in B}`. 证明: 如果 A, B 中的数都是非负的, 则 `"sup"(AB) = "sup"A "sup"B`, `"inf"(AB) = "inf" A "inf" B`;
    4. 证明: 如果 `A sube B`, 则 `"sup"A le "sup"B`, `"inf" A ge "inf" B`.
    1. 记 `a = "sup" A`, 则
      1. `x le a`, `AA x in A`;
      2. `AA epsi gt 0`, `EE x_epsi in A`, 使 `x_epsi gt a - epsi`.
      其中 (i) 等价于 `-x ge -a`, `AA -x in -A`, (ii) 等价于 `AA epsi gt 0`, `EE -x_epsi in -A`, 使 `-x_epsi lt -a + epsi`. 因此 `a = "sup" A` 等价于 `-a = "inf" (-A)`, 所以 `"inf"(-A) = -"sup"A`. 由定义易见 `-(-A) = A`, 所以 `"sup"(-A) = -"inf"(-(-A)) = -"inf" A`.
    2. 只证第一个等式, 第二个等式的证明类似. 记 `a = "sup" A`, `b = "sup" B`, 则由 `a, b` 分别是 `A, B` 的上界知 `a + b ge x + y`, `AA x in A, AA y in B`. 这说明 `a+b` 是 `A+B` 的上界. 再由 `a, b` 分别是 `A, B` 的上确界知, 对 `AA epsi gt 0`, `EE x_epsi in A`, `EE y_epsi in B`, 使 `x_epsi gt a - epsi/2`, `y_epsi gt b - epsi/2`. 所以 `x_epsi + y_epsi gt a + b - epsi`, 即 `a + b = "sup"(A+B)`.
    3. 只证第一个等式. 记 `a = "sup" A`, `b = "sup" B`, 显然 `a, b` 非负. 又由 `a, b` 分别是 `A, B` 的上界知 `ab ge xy`, `AA x in A, AA y in B`. 这说明 `ab` 是 `AB` 的上界. 再由 `a, b` 分别是 `A, B` 的上确界知, 对 `AA epsi gt 0`, `EE x_epsi in A`, `EE y_epsi in B`, 使 `a - x_epsi lt epsi/(2(b+1))`, `b - y_epsi lt epsi/(2(a+1))`. 所以 `ab - x_epsi y_epsi`
      `= a(b - y_epsi) + y_epsi (a - x_epsi)`
      `= a (b - y_epsi) + y_epsi (a - x_epsi)`
      `lt a epsi/(2(a+1)) + b epsi/(2(b+1))`
      `lt epsi`.       即 `ab = "sup"(AB)`.
    4. 只证第一个不等式. 记 `a = "sup" A`, `b = "sup" B`, 则 `b ge y, AA y in B`. 但 `A sube B`, 所以 `b ge x, AA x in A`. 这说明 `b` 是 `A` 的上界. 而 `a = "sup" A` 是 `A` 的最小上界, 所以 `a le b`.
  8. 应用确界原理证明戴德金原理.
      设 (A,B) 是实数域的一个戴德金分划, 则由 "`A != O/`, `B != O/`" 和 "对 `AA x in A, AA y in B` 都成立 `x lt y`" 知 A 非空有上界 (B 中任一数都是 A 的上界). 应用确界原理知, sup A 存在.
    1. 当 sup A `in` A, 成立 `x le "sup" A lt y`, `AA x in A, AA y in B`.
    2. 当 sup A `!in` A, 则 sup A `in` B. 由于 `AA y in B` 是 A 的上界, 而 sup A 是 A 的所有上界的最小者, 因此成立 `x lt "sup" A le y`, `AA x in A, AA y in B`.
      3. 综合以上两式有: `EE c in RR`, `x le c le y`, `AA x in A, AA y in B`. 这就证明了戴德金原理的表述二.