1. 证明定理 1.3.2 的结论 (1), (2), (3) 和 (5).
    先引入一些结论:
      对任意 `x, y in RR^+`, 我们有
    1. `(x^(1/n))^n = x`;
    2. `x^n = y^n iff x = y`;
    3. `x^n lt y^n iff x lt y`.
    现在我们来完成证明:

    (1) `a gt b` `iff (a^(1/n))^n gt (b^(1/n))^n` `iff a^(1/n) gt b^(1/n)`.

    (2) `ab = (a^(1/n))^n (b^(1/n))^n = (a^(1/n) b^(1/n))^n`. 由引理的 (2), 结论成立.

    (3) `((a^(1/n))^(1/m))^(mn) = (((a^(1/n))^(1/m))^m)^n = (a^(1/n))^n = a`. 由引理的 (2), `(a^(1/n))^(1/m) = a^(1/(mn))`. 同理 `(a^(1/m))^(1/n) = a^(1/(mn))`.

    (5) `((a^(1/n))^m)^n = ((a^(1/n))^n)^m = a^m`. 由引理的 (2), 结论成立.

  2. 证明定理 1.3.4.
    1. `a gt 1, b gt 1` 时, 利用习题 1.2 7(3) 的结果有 `(ab)^c` `= underset(r in QQ nn (0,c]) "sup" (ab)^r` `= underset(r in QQ nn (0,c]) "sup" a^r b^r` `= underset(r in QQ nn (0,c]) "sup" a^r` `* underset(r in QQ nn (0,c]) "sup" b^r` `= a^c b^c`. ???
    2. `a gt 1` 时, 由 (5), `a^b gt 1^b = 1`. 故 `(a^b)^c` `= underset(r in QQ nn (0, c]) "sup" ( underset(s in QQ nn (0, b]) "sup" a^s)^r` `?= underset(r in QQ nn (0, c]) "sup" ( underset(s in QQ nn (0, b]) "sup" a^(sr))` `?= underset(r in QQ nn (0, bc]) "sup" a^r` `= a^(bc)`. `a lt 1` 的证明类似.
    3. `a gt 1` 时, `a^b a^c` `= underset(r in QQ nn (0, b]) "sup" a^r` `* underset(s in QQ nn (0, c]) "sup" a^s` `= "sup" {a^r a^s: r, s in QQ, r in (0, b], s in (0, c]}` `= a^(b+c)`. `a lt 1` 的证明类似.
    4. `a gt 1` 时, `a^b` `= underset(r in QQ nn (0, b]) "sup" a^r` `ge underset(r in QQ nn (0, c]) "sup" a^r` `= a^c`; `0 lt a lt 1` 时, `a^b` `= underset(r in QQ nn (0, b]) "inf" a^r` `le underset(r in QQ nn (0, c]) "inf" a^r` `= a^c`. 为证不等号严格成立, 选取有理数 `x, y` 使 `c lt x lt y lt b`, 则 `a gt 1` 时, `a^c le a^x lt a^y le a^b`; `0 lt a lt 1` 时, `a^c ge a^x gt a^y ge a^b`.
    5. `a gt 1` 时, `a^c` `= underset(r in QQ nn (0, c]) "sup" a^r` `ge underset(r in QQ nn (0, c]) "sup" b^r` `ge b^c`; `0 lt a lt 1` 时, `a^c` `= underset(r in QQ nn (0, c]) "inf" a^r` `ge underset(r in QQ nn (0, c]) "inf" b^r` `= b^c`. 类似 (4) 可证不等号严格成立.
  3. 设 `a ge 0`. 证明: 对任意给定的实数 b, 方程 `x^3 + ax = b` 都有唯一的实数根.

    唯一性: 设 `x^3 + ax = y^3 + ay = b`, 则 `(x-y)(x^2+xy+y^2+a) = 0`, 即 `(x-y)((x+y/2)^2 + 3/4 y^2 + a) = 0`. 第二个因子等于 0 当且仅当 `a = x = y = 0`, 所以必有 `x = y`.

    存在性: 令 `S = {x in RR: x^3 + ax le b}`, 则 `b ge 0` 时, `0 in S`; `b lt 0, a = 0` 时, `min{b, -1} in S`; `b lt 0, a != 0` 时, `b/a in S`. 故 S 非空.

    为证 S 有上界, 注意到 `x lt y iff x^3 + ax lt y^3 + ay` 以及 `(|b|+1)^3 + a(|b|+1) gt b`, 故对 `AA x in S`, `x lt |b| + 1`. 现在由确界原理, S 有上确界.

    令 `s = "sup" S`, 下证 `s` 满足 `s^3 + as = b`. ???

  4. 设 `A` 是非空且有上界的实数集, 而 `a gt 1`. 证明: `"sup" {a^x: x in A} = a^("sup"A)`.

    记 `a^A = {a^x: x in A}`. 任取 `a^x in a^A`, 其中 `x in A`, 则 `x le "sup" A`, 从而 `a^x le a^("sup"A)`. 这说明 `a^("sup"A)` 是 `a^A` 的一个上界. 下证它是 `a^A` 的最小上界. 事实上, 设 `M` 为 `a^A` 的一个上界, 且 `M lt a^("sup"A)`. 取 `epsi = (a^("sup"A) - M)/(a^("sup"A) ln a) gt 0`, 则存在 `x_epsi in A`, `x_epsi gt "sup"A-epsi`. 我们有 `a^("sup"A) - a^(x_epsi)` `lt a^("sup"A) - a^("sup"A-epsi)` `= a^("sup"A)(1-a^-epsi)` `lt a^("sup"A) epsi ln a` `= a^("sup"A) - M`. 从而 `M lt a^(x_epsi) in a^A`, 矛盾.

    类似可证 `0 lt a lt 1` 时, `"inf" {a^x: x in A} = a^("sup"A)`.

  5. 设 `0 lt x lt pi/2`. 证明下列不等式:
    1. `cos x gt 1 - 1/2 x^2`;
    2. `sin x gt x - 5/32 x^2`;
    3. `tan x gt x + 5/16 x^2`.
  6. 不要使用反三角函数, 证明下列结论:
    1. 对每个 `a in [-1, 1]`, 方程 `sin x = a` 在区间 `[-pi/2, pi/2]` 上有唯一的根;
    2. 对每个 `a in [-1, 1]`, 方程 `cos x = a` 在区间 `[0, pi]` 上有唯一的根;
    3. 对每个实数 `a`, 方程 `tan x = a` 在区间 `(-pi/2, pi/2)` 上有唯一的根;
    4. 对每个实数 `a`, 方程 `cot x = a` 在区间 `(0, pi)` 上有唯一的根.
  7. 设 `|epsilon| lt 1`. 证明: 对任意给定的实数 `a`, 方程 `x + epsilon sin x = a` 都有唯一的实数根.
  8. 双曲正弦函数 `sinh x` 和双曲余弦函数 `cosh x` 分别定义如下: `sinh x = (e^x - e^(-x))/2`, `cosh x = (e^x + e^(-x))/2`, 其中, e 是自然对数的底 `e = 2.718281828459 cdots`. 证明:

    `cosh^2 x - sinh^2 x = 1`,

    `sinh 2x = 2 sinh x cosh x`,

    `cosh 2x = sinh^2 x + cosh^2 x`,

    `sinh (x +- y) = sinh x cosh y +- cosh x sinh y`,

    `cosh (x +- y) = cosh x cosh y +- sinh x sinh y`,

    `(cosh x +- sinh x)^n = cosh nx +- sinh nx`.
    1. `cosh^2 x - sinh^2 x` `= ((e^x + e^(-x))/2)^2 - ((e^x - e^(-x))/2)^2` `= 1`.
    2. `sinh 2x` `= (e^(2x) - e^(-2x))/2` `= [(e^x + e^(-x))(e^x - e^(-x))]/2` `= 2 sinh x cosh x`.
    3. `cosh 2x` `= (e^(2x) + e^(-2x))/2` `= ((e^x - e^(-x))/2)^2 + ((e^x + e^(-x))/2)^2` `= sinh^2 x + cosh^2 x`.
    4. `sinh(x+-y)` `= (e^(x+-y) - e^(-(x+-y)))/2` `= (e^x - e^(-x))/2 (e^y + e^(-y))/2` `+- (e^x + e^(-x))/2 (e^y - e^(-y))/2` `= sinh x cosh y +- cosh x sinh y`.
    5. `cosh(x+-y)` `= (e^(x+-y) + e^(-(x+-y)))/2` `= (e^x + e^(-x))/2 (e^y + e^(-y))/2` `+- (e^x - e^(-x))/2 (e^y - e^(-y))/2` `= cosh x cosh y +- sinh x sinh y`.
    6. 最后, 用归纳法证明 `(cosh x +- sinh x)^n = cosh nx +- sinh nx`. n = 1 时上式显然成立. 若上式对正整数 n 成立, 则对 n+1, `(cosh x +- sinh x)^(n+1)` `= (cosh nx +- sinh nx)(cosh x +- sinh x)` `= cosh [(n+1)x] +- sinh [(n+1)x]`. 故此式对任意正整数 n 成立.
  9. 求 `underbrace(f @ f @ cdots @ f)_(n 次)`, 已知
    1. `f(x) = x/(sqrt(1 + x^2))`;
    2. `f(x) = 1/(1-x)`;
    3. `f(x) = |1+x| - |1-x|`.
  10. 已知 `f(x) = { 1 - x^2, if |x| le 1; |x| - 1, if |x| gt 1 :}` `g(x) = { 2^x, if x le 0; x^2 + 1, if 0 lt x le 2; log_2 x, if x gt 2 :}` 求 `g@f` 和 `f@g`.
  11. 求 `f(x)`, 已知
    1. `f(x+1) = x^2 - 3x + 2`;
    2. `f(x + 1/x) = x^2 + 1/x^2`;
    3. `f(1/x) = x + sqrt(1 + x^2)`.
  12. 求下列函数的反函数:
    1. `f(x) = { -log_3(1+|x|), if x le 0; 1/2 x^3, if 0 lt x le 2; 2 sqrt(2x), if x gt 2; :}`
    2. `f(x) = { 1 + root(3)(x), if x le -1; 2(1-x), if -1 lt x lt 1; 2^(x+1), if x ge 1; :}`
  13. 在处理一些初等函数的问题时, 需要把初等函数所涉及的基本初等函数及其 运算与复合过程分析出来. 例如, 函数 `y = arctan(x + sqrt(1 + x^2))` 可分拆成 `y = arctan z`, `z = u + v`, `u = x`, `v = sqrt(w)`, `w = 1 + x^2`. 求下列初等函数的这种分拆:
    1. `y = arctan(tan^2 x)`;
    2. `y = ln (arccos 1/sqrt(x))`;
    3. `y = arcsin((sin a sin x) / (1 - cos a cos x))` (`a` 为常数);
    4. `y = (a^(-x^2) arcsin(a^(-x^2))) / sqrt(1 - e^(-2x^2)) + 1/2 ln (1 - a^(-2x^2))` (`a` 为正常数);
    5. `y = x^(x^a) + x^(a^x) + a^(x^x)` (`a` 为正常数).
  14. 作下列函数的图像:
    1. `y = op(sgn) (x+1) + op(sgn) (x-2)`;
    2. `y = arcsin op(sgn) (x^2 - 1)`;
    3. `y = op(sgn) sin x`.