`RR^m` 中的点列和点集

设 `x, y, x_n, y_n in RR^m`, `n = 1, 2, cdots`, 且 `lim_(n to oo) x_n = x`, `lim_(n to oo) y_n = y`. 证明:
1. `lim_(n to oo) (x_n +- y_n) = x+-y`;
2. `lim_(n to oo) x_n * y_n = x*y`;
3. `lim_(n to oo) |x_n| = |x|`.
设点列 `x_n in RR^m` `(n = 1, 2, ...)` 满足条件 `sum_(n=1)^(oo) |x_(n+1) - x_n| lt +oo`. 证明: `lim_(n to oo) x_n` 存在.
证明距离函数 `d(x, y) = |x-y|` 的下列性质:
1. `|d(x,y) - d(x,z)| le d(y,z)`, `AA x, y, z in RR^m`;
2. `d(x,y)` 是 x, y 的连续函数, 即若 `lim_(n to oo) x_n = x`, `lim_(n^' to oo) y_(n^') = y`, 则 `lim_(n to oo; n^' to oo) d(x_n,y_(n^')) = d(x,y)`, 即 `AA epsilon gt 0, EE N in NN`, 使当 `n, n^' gt N` 时, 有 `|d(x_n,y_(n^')) - d(x,y)| lt epsilon`.
设 `bm a in RR^m`, 而 `c` 是实数. 证明:
1. 点集 `{x in RR^m: bm a * x lt c}` 和 `{x in RR^m: bm a * x gt c}` 都是开集;
2. 点集 `{x in RR^m: bm a * x = c}`, `{x in RR^m: bm a * x le c}` 和 `{x in RR^m: bm a * x ge c}` 都是闭集.
设 `f` 是 `(-oo, +oo)` 上的连续函数. 证明:
1. 点集 `{(x,y) in RR^2: -oo lt x lt +oo, y lt f(x)}` 和 `{(x,y) in RR^2: -oo lt x lt +oo, y gt f(x)}` 都是开集;
2. 点集 `{(x,y) in RR^2: -oo lt x lt +oo, y = f(x)}`, `{(x,y) in RR^2: -oo lt x lt +oo, y le f(x)}` 和 `{(x,y) in RR^2: -oo lt x lt +oo, y ge f(x)}` 都是闭集.
设 `x_0 in RR^m`, 而 `r` 是实数. 证明:
1. 开球 `B(x_0,r)` 是开集;
2. 闭球 `bar(B)(x_0,r)` 是闭集.
设 `S, S_1, S_2` 是 `RR^m` 中的任意非空点集. 证明:
1. 如果 `S_1 sube S_2`, 则 `S_1^@ sube S_2^@`, `S_1^' sube S_2^'`, `bar(S)_1 sube bar(S)_2`;
2. `(S^@)^@ = S^@`, `(S^')^' sube S^'`, `bar(bar(S)) = bar S`, 因此任意点集 `S` 的内域 `S^@` 总是开集, 而 `S` 的导集 `S^'` 和闭包 `bar S` 都是闭集;
3. `(S_1 nn S_2)^@ = S_1^@ nn S_2^@`, `(S_1 uu S_2)^@ supe S_1^@ uu S_2^@`;
4. `(S_1 uu S_2)^' = S_1^' uu S_2^'`, `(S_1 nn S_2)^' sube S_1^' nn S_2^'`;
5. `bar(S_1 uu S_2) = bar S_1 uu bar S_2`, `bar(S_1 nn S_2) sube bar S_1 nn bar S_2`.
证明: 如果 `U` 是开集而 `V` 是闭集, 则 `U\\V` 是开集, `V\\U` 是闭集.
设 `S` 是 `RR^m` 中的任意非空点集. 证明:
1. 如果 `T sube RR^m` 是闭集且 `S sube T`, 则 `bar S sube T`, 因此
  `bar S = nnn {T sube RR^m: T` 是闭集且 `T supe S}`;
2. 如果 `U sube RR^m` 是开集且 `S supe U`, 则 `S^@ supe U`, 因此
  `S^@ = uuu {U sube RR^m: U` 是开集且 `U sube S}`.
设 `S, S_1, S_2` 是 `RR^m` 中的任意非空点集. 证明:
1. `del S = bar S nn bar(S^c)`, 因此任意点集 `S` 的边界 `del S` 总是闭集, 且 `del S = del S^c`;
2. `bar S = S uu del S`, 因此 `S` 是闭集当且仅当 `del S sube S`;
3. `del(del S) sube del S`;
4. `del(bar S) sube del S`. 问关系式 `del bar S = del S` 是否恒成立? 又能否从 `S_1 sube S_2` 推出 `del S_1 sube del S_2`?
5. `del (S_1 uu S_2) sube del S_1 uu del S_2`, `del (S_1 nn S_2) sube del S_1 uu del S_2`;
6. 如果 `S_1` 和 `S_2` 都是开集, 且 `S_1 nn S_2 = O/`, 则 `del (S_1 uu S_2) = del S_1 uu del S_2`.
1. 设 `x in del S`, 则对任意 `delta gt 0`, `B(x, delta)` 与 `S` 和 `S^c` 的交都非空. 若 `x in S sube bar S`, 则 `x in (S^c)^' sube bar(S^c)`; 若 `x in S^c sube bar(S^c)`, 则 `x in S^' sube bar S`. 所以 `del S sube bar S nn bar(S^c)`. 另一方面, 设 `x in bar S nn bar(S^c)`, 则由 `x in bar S` 知对任意 `delta gt 0`, `B(x, delta)` 与 `S` 的交非空; 由 `x in bar(S^c)` 知对上述 `delta gt 0`, `B(x, delta)` 与 `S^c` 的交也非空. 所以 `del S supe bar S nn bar(S^c)`. 综上知 `del S = bar S nn bar(S^c)`.
对 `S sube RR^m` 和 `T sube RR^n`, 定义
`S xx T = {(x,y) in RR^(m+n): x in RR^m, y in RR^n}`.
证明:
1. 如果 `S` 和 `T` 都是开集, 则 `S xx T` 也是开集;
2. 如果 `S` 和 `T` 都是闭集, 则 `S xx T` 也是闭集.
对 `S sube RR^m` 和 `x in RR^m`, 定义 x 到 S 的距离为 `d(x, S) = underset(y in S)(text(inf)) d(x,y)`. 证明:
1. `bar S = {x in RR^m: d(x,S) = 0}`;
2. 如果 `S` 是闭集, 则对任意 `x in S^c`, 有 `d(x,S) gt 0`;
3. 对任意 `r gt 0`, 点集 `{x in RR^m: d(x,S) lt r}` 和 `{x in RR^m: d(x,S) gt r}` 都是开集;
4. 对任意 `r gt 0`, 点集 `{x in RR^m: d(x,S) le r}` 和 `{x in RR^m: d(x,S) ge r}` 都是闭集;
证明下列命题:
1. 如果 `S` 是闭集, 则对 `AA x in S^c, EE y in S`, 使 `d(x,S) = d(x,y)`;
2. 有界点集 `S sube RR^m` 的直径定义为 `"diam"(S) = underset(x, y in S)("sup") d(x,y)`, 如果 `S` 是有界闭集, 则 `EE x,y in S`, 使 `"diam"(S) = d(x,y)`.
3. 两个点集 `S_1, S_2 sube RR^m` 的距离定义为 ` d(S_1,S_2) = underset(x in S_1; y in S_2)("inf") d(x,y)`, 如果 `S_1` 和 `S_2` 都是闭集, 且至少有一个是有界集, 则 `EE x in S_1, EE y in S_2`, 使 `d(S_1,S_2) = d(x,y)`.
1. 设 `U` 是 `RR^m` 中的开集, `V` 是 `RR^m` 中的有界闭集, 且 `V sube U`, 证明: 存在 `epsilon gt 0`, 使 `RR^m` 中所有满足条件 `d(x,V) lt epsilon` 的点都在 `U` 中;
2. 设 `U` 是 `RR^m` 中的开集, `V` 是 `RR^m` 中的有界闭集, 且 `V sube U`, 证明: 存在开集 `U_1`, 使 `V sube U_1, bar(U_1) sube U`, 且 `d(V, del U_1) gt 0`, `d(bar(U_1), del U) gt 0`;
3. 设 `V_1, V_2` 是 `RR^m` 中两个不相交的闭集, 则存在两个不相交的开集 `U_1, U_2`, 使 `V_1 sube U_1`, `V_2 sube U_2`.
1. 用有限覆盖定理证明致密性原理;
2. 用致密性原理证明柯西收敛准则.
1. 设 `{x_n}` 是 `RR^m` 中的有界点列. 若 `{x_n}` 仅含有限个互异的点, 则结论显然. 否则, 反设 `{x_n}` 无收敛子列, 则对每个正整数 n, `EE delta_n gt 0`, 使 `B(x_n, delta_n)` 仅含 `{x_n}` 中的有限项. 显然,
  `{x_n} sube uuu_(n=1)^oo B(x_n, delta_n)`.
  以上假设蕴含 `{x_n}` 无聚点, 从而是闭集. 但由有限覆盖定理知, 开集族 `B(x_n, delta_n)` 中的有限个就已覆盖了 `{x_n}`, 因而必有一个开集包含了 `{x_n}` 中的无穷多项, 与假设矛盾. 所以有界点列必有收敛子列.
设 `E` 是 `RR^m` 中的有界闭集, `{S_lambda: lambda in Lambda}` 是 `RR^m` 中的一族闭集, 它们中任意有限个与 `E` 的交都非空. 证明: `nnn_(lambda in Lambda) S_lambda` 与 `E` 的交也非空.