几个重要的定理

根据单调有界原理证明下列数列的极限存在, 并求这些极限(a 表示正常数 ):
1. `x_1 = 0`, `x_(n+1) = 1/4 (3x_n + 2)`, `n = 1, 2, cdots`;
2. `x_1 = 1`, `x_(n+1) = (1+2x_n)/(1+x_n)`, `n = 1, 2, cdots`;
3. `0 lt x_1 lt 1/a`, `x_(n+1) = x_n (2-ax_n)`, `n = 1, 2, cdots` (这个迭代格式可用来计算`1/a`);
4. `x_1 gt 0`, `x_(n+1) = (x_n (x_n^2 + 3a))/(3x_n^2 + a)`, `n = 1, 2, cdots`;
5. `x_1 gt 0`, `x_(n+1) = 1/3 (2x_n + a/x_n^2)`, `n = 1, 2 cdots` (这个迭代格式可用来计算 `root 3 a`);
6. `x_1 = sqrt 2`, `x_2 = sqrt(2 sqrt 2)`, `x_3 = sqrt(2 sqrt (2 sqrt 2))`, `cdots`, `x_n = underbrace(sqrt(2 sqrt(2 cdots sqrt 2)))_(n 个根号)`, `cdots`;
7. `x_1 = 1`, `x_2 = sqrt(1 + sqrt 1)`, `x_3 = sqrt(1 + sqrt(1 + sqrt 1))`, `cdots`, `x_n = underbrace(sqrt(1+sqrt(1+cdots+sqrt 1)))_(n 个根号)`, `cdots`.
1. 归纳法可证 `x_n in [0, 2]`; 又 `x_(n+1) - x_n = 1/2 - x_n/4 ge 0`, 由单调有界原理, 极限存在. 在迭代格式两边取极限, 得 `x_n to 2`.
2. `x_n in [1, (1+sqrt 5)/2]` (这是 `lambda^2 - lambda - 1` 的正根); `x_(n+1) - x_n = (1 + x_n - x_n^2)/(1+x_n) ge 0`. 极限是 `(1+sqrt 5)/2`.
3. `x_n in [0, 1/a]`; `x_(n+1) - x_n = x_n(1-ax_n) ge 0`. 极限是 `1/a`.
4. 令 `varphi(x) = (x(x^2+3a))/(3x^2+a)`, 则 `varphi'(x) = (3(x^2-a)^2)/(3x^2+a)^2 ge 0`, `varphi` 是单增函数. 注意到 `varphi(sqrt a) = sqrt a`, 所以 `x_1 ge sqrt a` 时, `x_n ge sqrt a`, `x_(n+1) - x_n = (2x_n(a-x_n^2))/(3x_n^2 + a) le 0`, 数列单调递减有下界. 同理 `x_1 le sqrt a` 时, 数列单调递增有上界. 两种情形下的极限都是 `sqrt a`.
5. `x_(n+1) ge root 3 (x_n * x_n * a/x_n^2) = root 3 a`; `x_(n+1) - x_n = 1/3(a/x_n^2 - x_n) le 0`, `AA n ge 2`. 极限是 `root 3 a`.
6. 迭代格式为 `x_(n+1) = sqrt(2x_n)`. `x_n in [0, 2]`; `x_(n+1)^2 - x_n^2 = x_n(2-x_n) ge 0`. 极限是 2.
7. 迭代格式为 `x_(n+1) = sqrt(1+x_n)`. `x_n in [1, (1+sqrt 5)/2]`; `x_(n+1)^2 - x_n^2 = 1+x_n-x_n^2 ge 0`. 极限是 `(1+sqrt 5)/2`.
设 S 是非空有上界的实数集合, a 是 S 的上确界, 但 `a !in S`. 证明: 存在 S 中的单调递增数列 `{x_n}` 使 `lim_(n to oo) x_n = a`.

由上确界定义, 对任意 `epsi gt 0`, 存在 `x in S`, 使得 `a - epsi lt x lt a`. (由 `a !in S` 知上式右端不能取等). 取 `epsi_0 = 1`, 则存在 `x_0 in S` 使 `a - epsi_0 lt x_0 lt a`. 一般地, 若已有 `0 lt epsi_n le 2^-n` 和 `x_n in S` 使 `a - epsi_n lt x_n lt a`, 取 `epsi_(n+1) = min{2^-(n+1), a-x_n} gt 0`, 则存在 `x_(n+1) in S`, 使 `x_n le a - epsi_(n+1) lt x_(n+1) lt a`, 从而数列 `{x_n}` 严格单调递增有上界. 注意到 `|x_n - a| lt epsi_n le 2^-n`, 立即得到 `x_n to a`.
1. 证明: `1/(n+1) lt ln(1 + 1/n) lt 1/n`, `n = 1, 2, cdots`;
2. 证明: `lim_(n to oo) n ln(1 + 1/n) = 1`;
3. 证明数列 `x_n = 1 + 1/2 + 1/3 + cdots + 1/n - ln n` (`n = 1, 2, cdots`) 有极限. 这个极限值叫做欧拉常数, 其值为 `c = 0.577216 cdots`;
4. 求 `lim_(n to oo) ln(1/(n+1) + 1/(n+2) + cdots + 1/(2n))`.
1. 只需证 `(1+1/n)^n lt e lt (1+1/n)^(n+1)`, `AA n in NN`. 由命题 2.4.1, `{(1+1/n)^n}` 严格单增趋于 e, 故 `(1+1/n)^n lt e`. 另一方面, `AA n in NN`, `root(n+2)(1/(1+1/n)^(n+1)) lt 1/(n+2)((n+1)/(1+1/n) + 1) = 1/(1+1/(n+1))`, 故 `{(1+1/n)^(n+1)}` 严格单减; 而已知 `(1+1/n)^(n+1) to e`, 故 `(1+1/n)^(n+1) gt e`.
2. 由 (1) 应用两边夹法则立得结论.
3. `x_(n+1) - x_n = = 1/(n+1) - ln(1+1/n) lt 0`. 下证 0 是数列的一个下界. 注意 `prod_(k=1)^n (1+1/k) = ((n+1)!)/(n!) = n+1 gt n`, 我们有 `ln n lt sum_(k=1)^n ln(1+1/k) lt sum_(k=1)^n 1/k`.
4. 因为 `sum_(k=n+1)^(2n) 1/k = (sum_(k=1)^(2n) 1/k - ln(2n)) - (sum_(k=1)^n 1/k - ln n) + ln 2`, 所以原式 = `ln ln 2`.
证明: 数列 `x_n = 1/(1+1) + 1/(2+1/2) + cdots + 1/(n+1/n) - ln {:n/sqrt2:}` (`n = 1, 2, cdots`) 有位于区间 `[0, 1/2]` 的极限.

`x_(n+1) - x_n = 1/(n+1+1/(n+1)) - ln(1+1/n) lt 1/(n+1) - ln(1+1/n) lt 0`. 计算知 `x_3 lt 1/2`, 所以从第 3 项起, `1/2` 是数列的一个上界. 下证 0 是数列的一个下界. 因为 `1/(t + 1/t)` 在 `t gt 1` 时严格单减, 我们有 `1/(k+1/k) gt int_k^(k+1) dt/(t+1/t) = 1/2 ln {:((k+1)^2+1)/(k^2+1):}`, `k = 1, 2, cdots, n`. 两边从 1 到 n 求和, 得 `sum_(k=1)^n 1/(k+1/k)`
`gt 1/2 sum_(k=1)^n ln {:((k+1)^2+1)/(k^2+1):}`
`gt 1/2 sum_(k=1)^(n-1) ln {:((k+1)^2+1)/(k^2+1):}`
`= 1/2 ln {:(n^2+1)/2:}`
`gt ln{:n/sqrt 2:}`.
设 `0 lt x_1 lt y_1`, 且
`x_(n+1) = sqrt(x_n y_n)`, `y_(n+1) = 1/2 (x_n + y_n)`, `n = 1, 2, cdots`.
证明: `{x_n}` 和 `{y_n}` 都有极限并且相等.

归纳法易证 `"{"[x_n, y_n]"}"` 形成一区间套. 而 `y_(n+1) - x_(n+1) = (x_n + y_n)/2 - sqrt(x_n y_n) le (x_n + y_n)/2 - x_n = (y_n - x_n)/2`. 故 `y_n - x_n to 0`. 由区间套定理知 `{x_n}` 和 `{y_n}` 趋于同一极限.
应用区间套定理证明关于实数分划的戴德金原理.

设 (A, B) 是实数域的一个戴德金分划, 则 `A, B != O/`, `A uu B = RR`, `x lt y`, `AA x in A, AA y in B`. 因为 A, B 非空, 可以取 `a_0 in A`, `b_0 in B`, 则 `a_0 lt b_0`. 记 `d = b_0 - a_0`, `c_0 = (a_0 + b_0)/2`. 令 `[a_1, b_1] = { [c_0, b_0], if c_0 in A; [a_0, c_0], if c_0 in B; :}` 则 `[a_1, b_1] sube [a_0, b_0]`, `b_1 - a_1 = d/2`. 且 `a_1 in A`, `b_1 in B`. 反复二分, 得到区间套 `"{"[a_n, b_n]"}"`, 满足 `a_n in A`, `b_n in B`, `AA n in NN`, 其长度 `b_n - a_n = d*2^-n to 0`. 由区间套定理, 存在唯一的 `c in [a_n, b_n]`, `AA n in NN`.

设 `c in A`, 则 `c lt y`, `AA y in B`. 若 `EE x in A`, `x gt c`, 则由 `c` 的唯一性知存在 `n_0 in NN`, `x gt b_(n_0) in B`, 与 (A, B) 是一个戴德金分划相矛盾; 于是 `x le c le y`, `AA x in A, AA y in B`. `c in B` 时的证明类似.
应用区间套定理证明确界原理.

只对上确界的情形进行证明. 设 S 是非空有上界 M 的集合, 取 `a_0 in S`, `b_0 = M+1`, 则 `a_0 lt b_0`, `[a_0, b_0] nn S != O/`. 记 `d = b_0 - a_0`, `c_0 = (a_0 + b_0)/2`. 令 `[a_1, b_1] = { [c_0, b_0], if [c_0, b_0] nn S != O/; [a_0, c_0], if [c_0, b_0] nn S = O/; :}` 则 `[a_1, b_1] sube [a_0, b_0]`, `b_1 - a_1 = d/2`, 且 `[a_1, b_1] nn S != O/`, `b_1` 是 S 的上界. 反复二分, 得到区间套 `"{"[a_n, b_n]"}"`, 满足 `[a_n, b_n] nn S != O/`, `b_n` 是 S 的上界, `AA n in NN`. 其长度 `b_n - a_n = d*2^-n to 0`. 由区间套定理, 存在唯一的 `c in [a_n, b_n]`, `AA n in NN`.

设存在 `x in S`, `x gt c`, 则由 `c` 的唯一性知存在 `n_0 in NN`, `x gt b_(n_0)`. 这与 `b_(n_0)` 是 S 的上界矛盾. 故 `c` 是 S 的上界. 对任意 `epsi gt 0`, 取 `n` 适当大使 `d*2^-n lt epsi`, 则存在 `x_epsi in [a_n, b_n] nn S` 使 `|x_epsi - c| le d*2^-n lt epsi`, 这蕴含 `x_epsi gt c - epsi`. 故 `c` 是 S 的上确界.
集合 S 中的全部元素如果可以和全体自然数建立一一对应关系, 即排成一个序列, 则称 S 是可数集, 否则称 S 是不可数集. 应用区间套定理证明: 区间 [0, 1] 中的全体实数不可数.

设 [0, 1] 中的全体实数只有可数个, 记为 `x_1, x_2, cdots`. 记 `[a_0, b_0] = [0, 1]`, 将区间三等分, 取两边的两个子区间 `[a_0, a_0+1/3]` 和 `[b_0-1/3, b_0]`, 它们中必有一个区间不含 `x_1`, 记这个区间为 `[a_1, b_1]`. 再将 `[a_1, b_1]` 三等分, 取两边的子区间中不含 `x_2` 的一个, 记为 `[a_2, b_2]`. 反复下去, 得到一组区间套 `"{"[a_n, b_n]"}"`, 其长度 `b_n - a_n = 3^-n to 0`, 且满足 `[a_n, b_n] nn {x_1, cdots, x_n} = O/`, `AA n in NN`.

由区间套定理, 存在实数 `x in [a_n, b_n]`, `AA n in NN`. 显然 `x in [0, 1]`, 因此设 `x = x_N`. 这与 `x_N !in [a_N, b_N]` 矛盾.
设数列 `{x_n}` 可以写成 `x_n = a + r_n`, `n = 1, 2, cdots`, 其中 `r_n` 满足 `|r_(n+1)| le lambda |r_n|` (`0 lt lambda lt 1`), `n = 1, 2, cdots`. 则根据习题 2.1 第 6 题知 `lim_(n to oo) x_n = a`. 应用这个原理证明下列数列收敛并求它们的极限:
1. `x_1 = 0`, `x_(n+1) = 1/3(2x_n+1)`, `n = 1,2,cdots`;
2. `x_1 = 1`, `x_(n+1) = (a(1+x_n))/(a+x_n)` (`a gt 0`), `n = 1, 2, cdots`;
3. `x_1 = 2`, `x_2 = 2+1/2`, `x_3 = 2 + 1/(2 + 1/2)`,`cdots`.
1. `x_(n+1) = 1 + 2/3(x_n - 1)`, 故 `|r_(n+1)| = 2/3|x_n-1| = 2/3|r_n|`, `x_n to 1`.
2. 由数列极限的定义容易证明, 当数列的奇数项和偶数项收敛到同一极限时, 数列本身也收敛到同一极限. 为此, 只需证明 `|r_(n+2)| le lambda |r_n|`, `lambda lt 1`. 事实上, `x_(n+2)` `= ((1+a)x_n + 2a)/(2x_n + 1+a)` `= sqrt a + (1-sqrt a)^2/((1-sqrt a)^2` `+ 2(x_n + a)) (x_n-sqrt a)`. 所以 `|r_(n+2)|` `= (1-sqrt a)^2/((1-sqrt a)^2 + 2(x_n + sqrt a)) |r_n|` `le (1-sqrt a)^2/((1-sqrt a)^2 + 2 sqrt a)|r_n|`, 其中 `lambda = (1-sqrt a)^2/((1-sqrt a)^2 + 2 sqrt a) lt 1`.
3. 思路同上题, `x_(n+2) = 2+1/x_(n+1) = 2 + x_n/(2x_n+1)` `= 1 + sqrt 2 + (3-2sqrt 2)/(2x_n+1) (x_n - 1-sqrt 2)`. 由 `x_n ge 2`, `AA n in NN`, `|r_(n+2)|` `= (3-2sqrt 2)/(2x_n+1) |r_n|` `le (3-2sqrt 2)/5 |r_n|`. 其中 `lambda = (3-2sqrt 2)/5 lt 1`.
1. 设数列 `{x_n}` 满足: 存在常数 `0 lt lambda lt 1` 使 `|x_(n+1) - x_n| le lambda |x_n - x_(n-1)|`, `n = 2, 3,cdots`. 证明该数列收敛.
  应用以上原理求以下数列的极限:
2. `x_1 = 1`, `x_(n+1) = (2+x_n)/(1+x_n)`, `n = 1, 2,cdots`;
3. `x_1 = sqrt 2`, `x_(n+1) = sqrt(2 + x_n)`, `n=1,2,cdots`;
4. `x_1 = 1`, `x_(n+1) = 1 + 1/x_n`, `n = 1, 2, cdots`;
5. `x_1 = a in [0, 1]`, `x_(n+1) = 1/2 (a - x_n^2)`, `n = 1, 2, cdots`;
6. `x_1 = a in [0, 1)`, `x_(n+1) = 1/2(a + x_n^2)`, `n = 1, 2, cdots`.
1. 由已知得 `|x_(n+1)-x_n| le lambda^(n-1) |x_2 - x_1| to 0`, 所以对任意 `epsi gt 0`, 存在 `N in NN`, 对任意 `n gt N` 有 `|x_(n+1)-x_n| lt (1-lambda) epsi`. 任取 `m gt n`, 有 `|x_m - x_n| le sum_(k=n)^(m-1) |x_(k+1)-x_k|` `le |x_(n+1)-x_n| sum_(k=0)^(m-n-1) lambda^k` `lt (1-lambda) epsi sum_(k=0)^oo lambda^k` `= epsi`. 由 Cauchy 收敛准则知 `x_n` 收敛.
2. 易证 `x_n ge 1`, `AA n in NN`. 由 `x_(n+2) - x_(n+1) = (2+x_(n+1))/(1+x_(n+1)) - (2+x_n)/(1+x_n) = (x_n - x_(n+1))/((1+x_(n+1))(1+x_n))` 知 `|x_(n+2) - x_(n+1)| le 1/4 |x_(n+1) - x_n|`. 故数列收敛, 极限为 `sqrt 2`.
3. 易证 `x_n ge sqrt 2`, `AA n in NN`. 由 `|x_(n+2) - x_(n+1)| = |sqrt(2+x_(n+1)) - sqrt(2+x_n)|` `= |x_(n+1) - x_n|/(sqrt(2+x_(n+1)) + sqrt(2+x_n)) le |x_(n+1) - x_n|/(2sqrt(2 + sqrt 2))` 知数列收敛, 极限为 2.
4. 易证 `x_n ge 1`, `AA n in NN`; 从而 `x_n x_(n+1) = x_n(1+1/x_n) ge 2`. 由 `|x_(n+2) - x_(n+1)| = |1/x_(n+1) - 1/x_n| = |x_n - x_(n+1)|/(x_(n+1) x_n) le |x_n - x_(n+1)|/ 2` 知数列收敛, 极限为 `(1+sqrt 5)/2`.
5. 易证 `x_n ge 0`, `AA n in NN`; 从而 `x_(n+1) + x_n = 1/2(a-x_n^2 + 2x_n) le (a+1)/2 le 1`. 由 `|x_(n+2) - x_(n+1)| = |x_(n+1) + x_n|/2 |x_(n+1) - x_n| le 1/2 |x_(n+1) - x_n|` 知数列收敛, 极限为 `sqrt(a+1) - 1`.
6. 易证 `0 le x_n le a`, `AA n in NN`. 由 `|x_(n+2) - x_(n+1)| = |x_(n+1) + x_n|/2 |x_(n+1) - x_n| le a |x_(n+1) - x_n|` 知数列收敛, 极限为 `1 - sqrt(1-a)`.
证明:
1. 如果有界数列 `{x_n}` 不收敛, 则必存在两个收敛的子数列, 它们有不同的极限.
2. 如果 `{x_n}` 是有界数列, 并且它的每个收敛的子数列都收敛于 `a`, 则 `lim_(n to oo) x_n = a`.
1. (参考定理 2.5.2) 因为 `{x_n}` 不收敛, 由柯西准则知存在 `epsilon_0 gt 0`, 使对任意 `N in NN`, 都存在 `m`, `n gt N` , 使 `|x_m - x_n| ge epsilon_0`. 可以取 `N_1 = 1`, `N_(k+1) = max{m_k, n_k}`, 这就保证 `{x_(m_k)}`, `{x_(n_k)}` 是两个子列. 应用列紧性原理, 从 `{x_(m_k)}` 中选出一收敛子列, 再从 `{x_(n_k)}` 的相应子数列中选出一收敛子列. 这一子列与 `{x_(m_k)}` 的相应子列保持对应项的距离不小于 `epsi_0`, 因此它们的极限不相等. 所以必有 `a != b`.
2. 若 `{x_n}` 不收敛, 由 (1) 知存在两个子数列收敛到不同的极限, 矛盾; 故 `{x_n}` 收敛. 因为 `{x_n}` 也是自己的子数列, 它的极限必为 a.
应用列紧性原理证明单调有界原理.

不妨设 `{x_n}` 单调递增有上界; 显然 `x_1` 是它的下界, 所以 `{x_n}` 有界. 由列紧性原理, 存在 `{x_n}` 的收敛的子数列 `{x_(n_k)}`. 设 `lim_(k to oo) x_(n_k) = a`, 下证 `lim_(n to oo) x_n = a`.

对任意 `epsi gt 0`, 存在正整数 `K`, 使对任意 `k gt K`, 有 `|x_(n_k) - a| lt epsi`. 取 `N = n_(K+1)`, 则对任意 `n gt N`, 有 `x_n ge x_N = x_(n_(K+1))`, 从而 `|x_n - a| = a - x_n le a - x_(n_(K+1)) lt epsi`. 即得结论.
证明下列数列收敛:
1. `x_n = sum_(k=1)^n (sin (ak))/2^k` (`n = 1, 2, cdots`), a 为任意常数;
2. `x_n = sum_(k=1)^n (cos a_k)/(k(k+1))` (`n = 1, 2, cdots`), 其中 `{a_k}` 是任意给定的数列;
3. `x_n = sum_(k=1)^n a_k/10^k` (`n = 1, 2, cdots`), 其中 `|a_k| lt 10` (`k = 1, 2, cdots`);
4. `x_n = sum_(k=1)^n (cos(k+1)x - cos kx)/k` (`n = 1, 2,cdots`), 其中 x 是任意给定的实数.
应用柯西收敛准则证明单调有界原理.

不妨设 `{x_n}` 单调递增且有上界 M. 反设 `{x_n}` 不收敛, 由柯西准则, 存在 `epsi_0 gt 0`, 对任意正整数 `N`, 存在 `m, n gt N`, 使 `|x_m - x_n| ge epsi_0`. 取 `N_1 = 1`, 则 `EE m_1, n_1 gt N_1`, 使 `|x_(m_1) - x_(n_1)| ge epsi_0`. 一般地, 取 `N_k = max{m_(k-1), n_(k-1)}`, 则 `EE m_k, n_k gt N_k`, 使 `|x_(m_k) - x_(n_k)| ge epsi_0`. 记 `d = M-x_1`, 于是当 `k gt d/epsi_0` 时, `d lt k epsi_0 le sum_(i=1)^k |x_(m_i) - x_(n_i)| le d`, 矛盾.