1. 根据定义 (ε-δ) 语言证明下列函数在 `(-oo, +oo)` 上连续:
   1. `y = sqrt(x^2+1)`;
   2. `y = sin(2x^3-1)`;
   3. `y = ln(1+|x|)`.
2. 讨论下面的初等函数在哪些点不连续, 并指出间断点的类型, 并画出它们的草图:
   1. `y = x^2/(x^2-2x+1)`;
   2. `y = (x^2-1)/(x^3+1)`;
   3. `y = arctan{:1/x:}`;
   4. `y = |x|/x arctan {:1/x:}`;
   5. `y = sin x/x`;
   6. `y = sin {:1/x:}`
   7. `y = 1/(1-e^(x/(1-x)))`;
   8. `y = e^(x-1/x)`;
   9. `y = |cos x|/cos x`;
   10. `y = (|cos x^-1|)/cos x^-1`.
3. 研究下列函数的连续性, 指出间断点的类型, 并画出它们的草图:
   1. `y = [x]`;
   2. `y = x - [x]`;
   3. `y = [1/x]`;
   4. `y = x[1/x]`;
   5. `y = { ((x-a)(b-x), "当" a le x le b), (0, "当" x lt a or x gt b) :}`
   6. `y = { (cos {:(pi x)/2:}, "当" |x| le 1), (|x-1|, "当" |x| gt 1) :}`
   7. `y = { (tan {:(pi x)/2:}, "当" x "不是整数"), (0, "当" x "是整数") :}`
   8. `y = { (sin pi x, "当" x "是有理数"), (0, "当" x "是无理数") :}`
4. 已知 `f(x), g(x)` 和 `h(x)` 都在区间 `I` 上连续. 证明下列函数也在区间 `I` 上连续:
   1. `a(x) = |f(x)|`;
   2. `m(x) = min{f(x), g(x)}`;
   3. `M(x) = max{f(x), g(x)}`;
   4. 函数 `u(x)`, 其定义是对每个 `x in I`, `u(x)` 的值等于 `f(x), g(x), h(x)` 三个数中位于另外两个中间的那个数;
   5. `f_c(x) = { (f(x), "当" |f(x)| le c), (c, "当" f(x) gt c), (-c, "当" f(x) lt -c) :}`
5. 设 `f` 是定义在开区间 `I` 上的函数, `x_0` 是 `I` 中一点, `f` 在 `x_0` 点附近有界. 对充分小的 `delta gt 0`, 令 `omega_(f, x_0)(delta) = underset(x, y in B_delta(x_0)) "sup" |f(x) - f(y)|`, 这里 `B_delta(x_0) = (x_0-delta, x_0+delta)`. `omega_(f, x_0)(delta)` 叫做 `f` 在 `B_delta(x_0)` 上的振幅. 证明: 函数 `f` 在 `x_0` 点连续的充要条件是 `lim_(delta to 0^+) omega_(f, x_0)(delta) = 0`.
6. 设 S 是 `RR` 的非空子集. 定义点 `x in RR` 到 S 的距离为 `d(x, S) = "dist"(x, S) = "inf"{|x-y|: y in S}`.
   1. 证明: 对 `RR` 的任意非空子集 S, 函数 `x |-> d(x, S)` 都是 `RR` 上的连续函数;
   2. 对 `RR` 的下列子集 S, 作出函数 `d(x, S)` 的图像:
      1. `S = [-1, 1]`,
      2. `S = [-2, -1] uu [1, 2]`,
      3. `S = (-oo, -2] uu [2, +oo)`,
      4. `S = (-oo, -4] uu [-3, -1] uu [1, 2] uu [5, +oo)`,
      5. `S = uuu_(n=-oo)^oo [3n-1, 3n]`,
      6. `S = ZZ` (全体整数组成的集合),
      7. `S = uuu_(n=1)^oo {+- 1/n}`.
7. 设 `f` 是定义在区间 `[a, +oo)` 上的连续函数. 对每个 `x ge a`, 令 `m(x) = underset(a le t le x) "inf" f(t), quad M(x) = underset(a le t le x) "sup" f(t)`. 证明: 函数 `m(x)` 和 `M(x)` 都在区间 `[a, +oo)` 上连续. 对函数 `f(x) = x sin x (x ge 0)`, 画出这两个函数的草图.
8. 证明: 非常数的连续周期函数必有最小正周期.
9. 证明: 单调函数最多只有第一类间断点.
10. 定义在开区间 `I` 上函数 `f` 称为凸函数, 如果对任意 `x,y in I` 和任意 `0 lt theta lt 1` 都成立不等式 `f(theta x + (1-theta)y) le theta f(x) + (1-theta) f(y)`. 在几何上, 这意味着如果 A, B, C 是曲线 `y = f(x)` 上的三个点并且 B 位于 A 和 C 之间, 则 B 位于弦 AC 上或 AC 的下方. 证明: 凸函数都是连续函数.
11. 设 `f` 是区间 `I` 上的连续函数, 满足下列条件: 对任意 `x,y in I` 都成立不等式 `f((x+y)/2) le (f(x) + f(y))/2`. 证明: `f` 是区间 `I` 上的凸函数.
12. 设 `I` 是一个闭区间, 即 `I` 是四种区间 `[a, b]`, `[a, +oo)`, `(-oo, b]`, `(-oo, +oo)` 之一. 又设 `f` 是定义在 `I` 上的函数, 满足以下两个条件:
    1. `f` 的值域含于 `I`, 即 `f` 把区间 `I` 映照进 `I`;
    2. 存在常数 `0 lt lambda lt 1` 使对任意 `x,y in I` 都成立 `|f(x) - f(y)| le lambda |x-y|`.
    任取 `x_0 in I`, 按以下递推公式构作数列 `{x_n}`: `x_n = f(x_(n-1))`, `n = 1, 2, cdots`. 证明: 数列 `{x_n}` 收敛, 并且其极限 `bar x = lim_(n to oo) x_n` 是方程 `f(x) = x` 在 `I` 中的唯一根.