1. 举例说明:
   1. 开区间上的连续函数不一定有界;
   2. 不连续的函数, 即使定义在闭区间上, 也不一定有界;
   3. 开区间上的连续函数, 即使有界, 也不一定达到最大值和最小值;
   4. 不连续的函数, 即使定义在闭区间上且有界, 也不一定达到最大值和最小值;
   5. 不连续的函数, 即使定义在闭区间上且变号, 也不一定有零点.
2. 设 `I` 是开区间, `f` 是 `I` 上的连续函数. 令 `m = underset(x in I) "inf" f(x)`, `M = underset(x in I) "sup" f(x)`. 规定当 `f` 无下界时 `m = -oo`, 当 `f` 无上界时 `M = +oo`. 证明: 对任意 `m lt c lt M`, 必存在 `xi in I` 使 `f(xi) = c`.
3. 证明奇数次的实系数代数方程必有实数根.
4. 设 `f` 是区间 [a, b] 上的连续函数, 且值域含于 [a, b]. 证明: `f` 有不动点, 即存在 `bar x in [a, b]` 使 `f(bar x) = bar x`.
5. 设 `f` 是区间 [0, 1] 上的非负连续函数, 且 `f(0) = f(1) = 0`. 证明: 对任意 `0 lt l lt 1`, 存在 `x_0 in [0, 1-l]` 使 `f(x_0) = f(x_0 + l)`.
6. 设 `I` 是一个区间, `f` 是 `I` 上的连续函数. 证明: 对 `I` 中的任意有限个点 `x_1, x_2, cdots, x_n`, 必存在 `xi in I` 使 `f(xi) = 1/n [f(x_1) + f(x_2) + cdots + f(x_n)]`.
7. 设函数 `f` 在 `(-oo, +oo)` 上连续, 且 `lim_(|x| to oo) f(x) = +oo`. 证明: 存在 `x_0 in RR` 使 `f(x_0) le f(x)`, `AA x in RR`.
8. 应用致密性原理证明最大最小值定理.
9. 设函数 `f` 在区间 [a, b] 上连续, 且存在 `0 lt lambda lt 1` 使对任意 `x in [a, b]`, 存在相应的 `y in [a, b]` 使 `|f(y)| le lambda |f(x)|`. 证明: `f` 在区间 [a, b] 上有零点.
10. 设函数 `f` 在开区间 (a, b) 上连续, 且有两列数 `x_n,y_n in (a, b)` `(n = 1, 2, cdots)`, 使 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) y_n = a`, 且 `lim_(n to oo) f(x_n) = A`, `lim_(n to oo) f(y_n) = B`. 证明: 对 A 和 B 之间的任意数 c, 存在数列 `z_n in (a, b)` `(n = 1, 2, cdots)`, 使 `lim_(n to oo) z_n = a` 且 `lim_(n to oo) f(z_n) = c`.
11. 证明:
    1. 如果 `f` 在区间 `I` 和 `J` 上都一致连续, 且 `I nn J != O/`, 则 `f` 也在 `I uu J` 上一致连续;
    2. 设 `f` 在 `I` 上一致连续, `g` 在 `J` 上一致连续, 且 `f(I) sube J`, 则 `g @ f` 在 `I` 上一致连续.
12. 证明: 在 `(-oo, +oo)` 上连续的周期函数必在 `(-oo, +oo)` 上一致连续.
13. 设函数 `f` 在区间 `[a, +oo)` 上连续, 且存在常数 A 使成立 `lim_(x to +oo) f(x) = A`. 证明: `f` 也在区间 `[a, +oo)` 上一致连续.
14. 应用区间套定理证明有限覆盖定理.
15. 应用有限覆盖定理证明零点定理.
16. 称函数 `f` 在区间 `I` 上局部 `mu` 阶赫尔德连续, 这里 `0 lt mu le 1` 是常数, 如果对每个 `x_0 in I` 都存在相应的 `delta gt 0` 和 `C gt 0`, 使对任意 `x,y in I nn B_delta(x_0)` 都有 `|f(x) - f(y)| le C|x - y|^mu`. 证明: 如果 `f` 在区间 [a, b] 上局部 `mu` 阶赫尔德连续, 则它也在此区间上一致 `mu` 阶赫尔德连续, 即存在常数 `C gt 0` 使上式对任意 `x,y in I` 都成立 (赫尔德, Otto Hölder, 1859~1937, 德国人).