1. 根据导数的定义, 直接求下列函数的导数:
    1. `x^3 + 2x`;
    2. `x/(x-1)`;
    3. `root 3 (x^2)`;
    4. `tan x`;
    5. `cot x`.
    1. ` (x^3 + 2x)'` `= lim_(Delta x to 0) ((x+Delta x)^3 + 2(x + Delta x) - x^3 - 2x) / (Delta x)` `= lim_(Delta x to 0) (3x^2 + 3x Delta x + (Delta x)^2 + 2)` `= 3x^2 + 2`.
    2. ` (x/(x-1))'` `= lim_(Delta x to 0) ((x+Delta x)/(x + Delta x - 1) - x/(x-1)) / (Delta x)` `= lim_(Delta x to 0) -1/((x-1)(x+Delta x-1))` `= -1/(x-1)^2`.
    3. ` (root 3 (x^2))'` `= lim_(Delta x to 0) (root 3 ((x+Delta x)^2) - root 3 (x^2)) / (Delta x)` `= lim_(Delta x to 0) ((x+Delta x)^2 - x^2) / (Delta x ( root 3 ((x+Delta x)^4) + root 3 ((x + Delta x)^2 x^2) + root 3 (x^4) ))` `= lim_(Delta x to 0) (2x + Delta x) / ( root 3 ((x+Delta x)^4) + root 3 ((x + Delta x)^2 x^2) + root 3 (x^4) )` `= 2/(3 root 3 x)`.
    4. ` (tan x)'` `= lim_(Delta x to 0) (tan(x+Delta x) - tan x) / (Delta x)` `= lim_(Delta x to 0) (tan Delta x (1 + tan(x+Delta x) tan x)) / (Delta x)` `= 1 + tan^2 x`.
    5. ` (cot x)'` `= lim_(Delta x to 0) (cot(x+Delta x) - cot x) / (Delta x)` `= lim_(Delta x to 0) (cot x cot(x+Delta x) + 1) / (cot (-Delta x) Delta x)` `= -1 - cot^2 x`.
  2. 根据导数的定义证明:
    1. `(root n x)' = 1/(n root n (x^(n-1)))` (n 为自然数);
    2. `(arctan x)' = 1/(1+x^2)`;
    3. `(arcsin x)' = 1/sqrt(1-x^2)` (`|x| lt 1`);
    4. `(a^x)' = a^x ln a` (`a gt 0, a != 1`).
  3. 根据导数的定义, 求下列函数在指定点的导数:
    1. `f(x) = x(x-1)^2(x+1)^3`, 求 `f'(0), f'(1), f'(-1)`;
    2. `f(x) = e^x sin(x-1)`, 求 `f'(1)`;
    3. `f(x) = x^2 + arccos root 3 (1-x^2) ln x`, 求 `f'(1)`.
  4. 证明下列函数 `f(x)` 在点 `x = 0` 可导, 并求 `f'(0)`:
    1. `f(x) = { x^2 sin 1/x, if x != 0; 0, if x = 0; :}`
    2. `f(x) = { 2^(-1/x), if x gt 0; 0, if x le 0; :}`
    3. `f(x) ={ x^2, "当" x "是有理数"; 0, "当" x "是无理数"; :}`
  5. 设 a 为正常数. 讨论下列函数在 x = 0 处的连续性与可导性:
    1. `f(x) = { |x|^(a-1)x, if x != 0; 0, if x = 0; :}`
    2. `f(x) = { |x|^a sin {:1/x:}, if x != 0; 0, if x = 0; :}`
    3. `f(x) = { x^a, if x gt 0; 0, x le 0; :}`
  6. 根据导数的四则运算, 求下列函数的导函数:
    1. `y = 2x^3+3x^2+6x`;
    2. `y = (x^3-x+1)/(x^3+x^2-1)`;
    3. `y = sqrt x + root 3 x + root 6 x`
    4. `y = 1/sqrt x + 1/root 3 x + 1/root 6 x`;
    5. `y = x^2 sin x + x cos x`;
    6. `y = (x^3 + x^2 - x) ln x`;
    7. `y = root 3 x arcsin x + arccos x/sqrt x`;
    8. `y = (x^2 "arccot " x)/((x^2+1)arctan x)`;
    9. `y = x^3 log_2 x + x^2 log_3 x`;
    10. `y = ln x/ x + x/ln x`;
    11. `y = (1+ax^b)(1+bx^a)`;
    12. `y = (sin x - x cos x)/(cos x + x sin x)`.
  7. 求下列曲线 `y = f(x)` 在其上任意一点 `(x_0, f(x_0))` 的切线和法线方程:
    1. 三次曲线 `y = x^3 - 3x + 1`;
    2. 双曲线 `y = 1/x`;
    3. 指数曲线 `y = e^x`;
    4. 正弦曲线 `y = sin x`.
  8. 证明: 如果 `f(x)` 是偶函数, 且在点 `x = 0` 可导, 则 `f'(0) = 0`.
  9. 证明: 如果 `f(x)` 在点 `x_0` 可导, 则对任意实数 a, b 都成立 `lim_(Delta x to 0) (f(x_0 + a Delta x) - f(x_0 + b Delta x)) / (Delta x) = (a-b) f'(x_0)`.
  10. 证明:
    1. 定义在区间 (a, b) 上的连续函数 `f` 在点 `x_0 in (a, b)` 可导的充要条件是函数 `g(x) = (f(x) - f(x_0))/(x-x_0)` 在 `x_0` 点补充定义后是 (a, b) 上的连续函数;
    2. 可导的偶函数的导数是奇函数, 可导的奇函数的导数是偶函数;
    3. 可导的 T 周期函数的导数是 T 周期函数.
  11. 设函数 `g` 在 `x = a` 点附近有定义并在该点连续且 `g(a) != 0`. 证明:
    1. 函数 `f(x) = (x-a) g(x)` 在点 `x = a` 可导;
    2. 函数 `f(x) = |x-a| g(x)` 在点 `x = a` 不可导, 但有左导数 `f'_-``(a)` 和右导数 `f'_+(a)`.
  12. 证明:
  13. 函数 `f(x) = { x^2 |cos {:pi/x:}|, if x != 0; 0, if x = 0; :}` 在 `x = 0` 点的任意领域中都有不可导的点, 但它在该点可导;
  14. 函数 `f(x) = { x sin {:pi/x:}, if x != 0; 0, if x = 0; :}` 在点 `x = 0` 连续, 但它在该点既无左导数, 又无右函数.
  15. 求下列函数的导函数:
    1. `f(x) = { x^3, if x lt 0; x^2, if 0 le x le 2; 1/2 x^3 - 2x + 4, if x gt 2; :}`
    2. `f(x) = { 1-x^2, if x lt 0; cos x, if 0 le x le pi; (x-pi)^2-1, if x gt pi; :}`
    3. `f(x) = |(x-1)(x-2)^2(x-3)^3|`.
  16. 设定义在区间 [0, 1) 上的函数 `f` 在点 `x = 0` 右连续, `f(0) = 0`, 且对常数 `a gt 1` 成立 `lim_(x to 0^+) (f(ax) - f(x))/x = c`. 证明: `f` 在点 `x = 0` 右可导, 且 `f'_+(0) = c/(a-1)`.
  17. 用平行移动直线 `y = px + q` (既让 p 固定而让 q 变化), 分析该直线何时成为切线的方法, 求:
    1. 方程 `x^3 = px + q` 有一个根、两个根和三个根的条件;
    2. 方程 `1/x^3 = px + q` 有一个根、两个根和没有根的条件.