1. 设 `f(x) = x^3 - 3x + 2`. 分别取 `Delta x = 0.1` 和 `Delta x = 0.01`, 求 `Delta f(1)` 和 `"d"f(1)`, 并进行比较.
2. 求下列函数的微分:
   1. `y = ln tan {:x/2:}`;
   2. `y = arctan(x + sqrt(1+x^2))`;
   3. `y = ln(e^x + sqrt(1+e^(2x)))`;
   4. `y = x/2 sqrt(x^2+a^2) + a^2/2 ln(x + sqrt(x^2+a^2))`;
   5. `y = 1/2 "cot"^2 x + ln sin x`;
   6. `y = arccos x/sqrt 2 + x^2/2 arcsin {:x/sqrt 2:}`;
   7. `y = x[sin(ln x) - cos(ln x)]`;
   8. `y = -(cos x)/(2 sin^2 x) + ln sqrt((1+cos x)/sin x)`;
   9. `y = e^(2 arctan sqrt(1+x^2))`;
   10. `y = sqrt(x + sqrt(x + sqrt x))`.
3. 设 u, v 都可微函数, 求下列函数对 x 的微分:
   1. `y = sqrt(u^2 + v^2)`;
   2. `y = arctan{:u/v:}`;
   3. `y = ln sqrt(u^2 + v^2)`;
   4. `y = (uv)/sqrt(u^2 + v^2)`.
4. 设函数 `f` 在点 `x_0` 附近有定义并在该点可微. 又设函数 `g` 在 `y_0 = f(x_0)` 附近有定义并在该点可微. 用微分的定义证明: 复合函数 `g @ f` 在点 `x_0` 可微, 且 `(g@f)'(x_0) = g'(y_0)f'(x_0)`.
5. 设函数 `f` 在点 `x_0` 附近有定义, 并在该点可微. 又设 `{x_n}` 和 `{y_n}` 是 `f` 的定义域中的两个数列, 满足: (1) `x_n lt x_0 lt y_n`, `n = 1, 2, cdots`; (2) `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) y_n = x_0`. 证明: `lim_(n to oo) (f(x_n) - f(y_n))/(x_n - y_n) = f'(x_0)`. 问把条件 (1) 换为 `x_n != y_n`, `n = 1, 2, cdots`, 结论是否仍成立? 请举例说明.
6. 设 `f(x)` 在 `x_0` 点可微, 且 `f(x_0) != 0`, `f'(x_0) != 0`. 再设 `af(x_0 + Delta x) + bf(x_0 + 2Delta x) - f(x_0) = o(Delta x)` `quad` 当 `Delta x to 0`. 求 a 和 b.
7. 设 `f(x_0) = 0`. 再设 `varphi(t)` 在 `t = 0` 的一个邻域里有连续的导数且 `varphi(0) = x_0`, `varphi'(0) != 0`. 证明: 极限 `lim_(t to 0) (f(varphi(t)))/t` 存在的充要条件是 `f(x)` 在点 `x_0` 可微.
8. 设函数 `f` 和 `g` 都在点 `x_0` 附近有定义并在该点可微, 且 `f(x_0) = g(x_0) != 0`. 求极限 `lim_(n to oo) (f(x_0 + 1/n)/g(x_0 + 1/n))^n`.
9. 证明: `lim_(x to x_0) (f(x) - a)/(x-x_0) = b` 的充要条件是 `lim_(x to x_0 ) (e^(f(x)) - e^a)/(x-x_0) = e^a b`.
10. 设函数 `f` 在 [0, 1] 上有定义, `f(0) = 0`, 并在 `x = 0` 有右导数. 证明: `lim_(n to oo) [f(1/n^2) + f(2/n^2) + cdots + f(n/n^2)] = 1/2 f'_+(0)`. 根据以上命题求下列极限:
    1. `lim_(n to oo) [sin {:1/n^2:} + sin {:2/n^2:} + cdots + sin {:n/n^2:}]`;
    2. `lim_(n to oo) (1+1/n^2)(1+2/n^2) cdots (1+n/n^2)`;
    3. `lim_(n to oo) cos {:1/n^2:} cos {:2/n^2:} cdots cos {:n/n^2:}`.
11. 用微分法求近似值:
    1. `sin 29^@`;
    2. `cos 151^@`;
    3. `arctan 1.05`;
    4. `"lg"11`.
12. 证明近似公式: `root n (a^n+x) ~~ a + x/(na^(n-1))`, 其中 `a gt 0`, 而 `|x| ≪ a` (`|x|` 远小于 `a`). 并应用此公式近似地计算:
    1. `root 3 9`;
    2. `root 4 80`;
    3. `root 10 1000`.