1. 求由参数方程给出的以下曲线的切向量:
   1. 圆周 `bm r = R cos theta bm i + R sin theta bm j`;
   2. 椭圆 `bm r = a cos theta bm i + b sin theta bm j`;
   3. 阿基米德螺线 `bm r = a theta cos theta bm i + a theta sin theta bm j`;
   4. 对数螺线 `bm r = ae^(b theta) cos theta bm i + ae^(b theta) sin theta bm j`;
   5. 圆柱螺线 `bm r = a cos theta bm i + a sin theta bm j + b theta bm k`;
   6. 圆锥螺线 `bm r = ae^(b theta)(sin alpha cos theta bm i + sin alpha sin theta bm j + cos alpha bm k)`, 其中, `a, b, alpha` 都是正常数;
   7. 圆环螺线 `bm r = (R + r cos theta) cos a theta bm i + (R + r cos theta) sin a theta bm j + r sin theta bm k`, 其中, `a, r, R` 都是正常数, 且 `r lt R`.
2. 1. 设 `bm r_1(t), bm r_2(t), bm r_3(t)` 都是可微的向量函数. 证明: ` d/dt (bm r_1(t), bm r_2(t), bm r_3(t))` `= (bm r'_1(t), bm r_2(t), bm r_3(t))` `+ (bm r_1(t), bm r'_2(t), bm r_3(t))` `+ (bm r_1(t), bm r_2(t), bm r'_3(t))`, 这里 `(bm r_1, bm r_2, bm r_3) = (bm r_1 times bm r_2) * bm r_3` 为向量的混合积;
   2. 设 `bm r(t)` 是三阶可微的向量函数. 证明: `d/dt (bm r(t), bm r'(t), bm r''(t)) = (bm r(t), bm r'(t), bm r'''(t))`.
3. 记 `bm e(theta) = cos theta bm i + sin theta bm j`, `bm e_1(theta) = -sin theta bm i + cos theta bm j`, 其中 `theta` 表示极角.
   1. 证明 `bm e(theta)` 和 `bm e_1(theta)` 是互相正交的单位向量, 且构成右手系. 请在平面直角坐标系中画出单位圆和这两个向量;
   2. 证明: `bm e'(theta) = bm e_1(theta)`, `bm e'_1(theta) = -bm e(theta)`;
   3. 设平面曲线 `C` 的极坐标方程为 `r = r(theta)`, `r` 表示极径. 证明: `C` 的参数方程可以写成 `bm r = r(theta)bm e(theta)`, 并给出曲线 `C` 在这种参数表示下切向量的表达式.
4. 1. 设 `bm a(t), bm b(t)` 是平面上两个互相正交的单位向量, 它们都可微. 证明: 存在函数 `k(t)` 使成立 `bm a'(t) = k(t) bm b(t)`, `bm b'(t) = -k(t) bm alpha(t)`. 并给出函数 `k(t)` 用 `bm a(t), bm b(t)` 及其导数来表示的表达式;
   2. 设 `bm a(t), bm b(t), bm c(t)` 是空间中三个互相正交的单位向量, 它们都可微. 证明: 存在函数 `k_1(t), k_2(t), k_3(t)` 使成立 `{ bm a'(t) = k_1(t) bm b(t) + k_2(t) bm c(t); bm b'(t) = -k_1(t) bm a(t) + k_3(t) bm c(t); bm c'(t) = -k_2(t) bm a(t) - k_3(t) bm b(t); :}` 并给出函数 `k_1(t), k_2(t), k_3(t)` 用 `bm a(t), bm b(t), bm c(t)` 及其导数来表示的表达式.
5. 证明: 圆柱螺线 `bm r = a cos theta bm i + a sin theta bm j + b theta bm k` 的切线与 Oz 轴之间的夹角是定角.
6. 一质点沿半径为 R 的圆周运动, 极角 `theta` 关于时间 `t` 的依赖关系是 `theta = theta(t)`.
   1. 求速度向量 `bm v = bm v(t)` 沿圆周切线方向的投影 (切向速度) `v_r = v_r(t)` 和在圆周半径方向的投影 (法向速度) `v_n = v_n(t)`;
   2. 求加速度向量 `bm a = bm a(t)` 沿圆周切线方向的投影 (切向加速度) `a_r = a_r(t)` 和在圆周半径方向的投影 (法向加速度或向心加速度) `a_n = a_n(t)`;
   3. 求匀速圆周运动的速度向量 `bm v = bm v(t)` 和加速度向量 `bm a = bm a(t)`. 它们有什么特点?
7. 一质点沿曲线 `C: bm r = r(cos theta bm i + sin theta bm j)` 运动, 其中极径 `r` 和极角 `theta` 关于时间 `t` 的依赖关系是 `r = r(t)` 和 `theta = theta(t)`.
   1. 求速度向量 `bm v = bm v(t)` 沿曲线 C 的切线方向的投影 (切向速度) `v_r = v_r(t)` 和法线方向的投影 (法向速度) `v_n = v_n(t)`;
   2. 求加速度向量 `bm a = bm a(t)` 沿曲线 C 的切线方向的投影 (切向加速度) `a_r = a_r(t)` 和法线方向的投影 (法向加速度或向心加速度) `a_n = a_n(t)`;
8. 以初速度 `v_0` 和仰角 `0 lt theta_0 lt pi/2` 向空中投掷一石块, 不计空气阻力, 求石块的运动方程 `bm r = bm r(t)`. (提示: 先根据牛顿第二定律求出加速度向量 `bm a(t)`, 再由关系式 `bm v'(t) = bm a(t)` 求出速度向量 `bm v(t)`, 最后由关系式 `bm r'(t) = bm v(t)` 确定 `bm r(t)`.)