1. 证明下述广义罗尔定理: 设函数 `f` 在有穷或无穷的区间 (a, b) 上处处可微且成立 `lim_(x to a^+) f(x) = lim_(x to b^-) f(x)`. 这个等式的意思是或者等式两端的极限都存在且相等, 或者等式两端都是正无穷大或都是负无穷大. 则存在 `xi in (a, b)` 使得 `f'(xi) = 0`.
  2. 对于 `n` 阶实系数多项式 `P(x) = a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + cdots` `+ a_(n-1) x + a_n` (`a_0 != 0`). 证明:
    1. `P(x)` 最多只有 `n` 个不同的实根;
    2. 如果 `P(x)` 的 `n` 个根 (重根按重数计算) 都是实数, 则其各阶导数 `P'(x), P''(x), cdots, P^((n-1))(x)` 的根也都是实数.
  3. 证明:
    1. 方程 `ax^3 + bx^2 + cx = a/4 + b/3 + c/2` 在区间 (0, 1) 上至少有一个根;
    2. 设 `a^2-3b lt 0`. 则方程 `x^3 + ax^2 + bx + c = 0` 只有一个实根.
  4. 对于方程 `1 + x + x^2/2 + x^3/3 + cdots + x^n/n = 0`, 证明:
    1. 当 `n` 是奇数时只有一个实根;
    2. 当 `n` 是偶数时没有实根.
  5. 证明斯图姆定理: 设 `f(x)` 和 `g(x)` 都是区间 `I` 上的可微函数, 且 `f(x)g'(x) != f'(x)g(x)`, `AA x in I`. 则在 `f(x)` 的任意两个零点之间都夹有 `g(x)` 的至少一个零点.
  6. 设 `f(x)` 是可微函数, `a` 是常数. 证明:
    1. 在 `f(x)` 的两个零点之间必有 `f'(x) + af(x)` 的一个零点;
    2. 在 `f(x)` 的两个正零点之间必有 `xf'(x) + af(x)` 的一个零点.
  7. 设函数 `f` 在区间 `I` 上可微且导函数有界. 证明: 存在常数 `C gt 0` 使成立 `|f(x) - f(y)| le C|x-y|`, `AA x, y in I`. 这时我们称 `f` 在 `I` 上 Lipschitz 连续, C 为 Lipschits 常数.
  8. 设函数 `f(x), g(x)` 和 `h(x)` 都在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 上可微. 证明:
    1. 存在 `xi in (a, b)` 使成立 `f'(xi)f(a+b-xi) = f(xi)f'(a+b-xi)`;
    2. 如果 `g'(x) != 0`, `AA x in (a, b)`, 则存在 `xi in (a, b)` 使成立 `(f'(xi))/(g'(xi)) = (f(xi) - f(a))/(g(b) - g(xi))`;
    3. 存在 `xi in (a, b)` 使成立 `| f(a), f(b), f'(xi); g(a), g(b), g'(xi); h(a), h(b), h'(xi); | = 0`.
  9. 证明下列不等式:
    1. `(a-b)/(1+a^2) lt arctan a - arctan b lt (a-b)/(1+b^2)` (a > b > 0);
    2. `(a-b)/a lt ln {:a/b:} lt (a-b)/b`, a, b > 0 且 a ≠ b;
    3. `pb^(p-1)(a-b) le a^p - b^p le p a^(p-1)(a-b)`, a, b > 0 且 p > 1.
  10. 设 `p gt 0`. 证明: 对任意自然数 `n` 成立不等式 `n^(p+1)/(p+1) lt 1^p + 2^p + cdots + n^p lt (n+1)^(p+1)/(p+1)`.
  11. 设 `m, n` 都是自然数且 `m gt n`. 证明: 对任意 `x gt 0` 成立不等式 `m/n min{1, x^(m-n)} le (1+x+cdots+x^(m-1))/(1+x+cdots+x^(n-1)) le m/n max{1, x^(m-n)}`, 且等号成立当且仅当 `x = 1`.
  12. 证明:
    1. 如果 `f(x)` 在 `(a, +oo)` 上可导且 `f'(x)` 有界, 则 `f(x)` 在 `(a, +oo)` 上一致连续;
    2. 如果 `f(x)` 在 `(a, +oo)` 上可导且 `lim_(x to +oo) |f'(x)| = +oo`, 则 `f(x)` 在 `(a, +oo)` 上不一致连续.
  13. 设 `f(x)` 在 (0, a] 上连续, 在 `(0, delta)` (`delta gt 0`) 上可导, 且存在 `0 lt mu lt 1` 和 `C gt 0` 使对任意 `x in (0, delta)` 有 `|f'(x)| le Cx^(-mu)`. 证明: `f(x)` 在 (0, a] 上一致连续.

    易知函数 `x^(1-mu)` 在 `[0, delta]` 上一致连续.

    对 `f` 和 `g(x) = x^(1-mu)/(1-mu)` 在区间 `[x, y] sube (0, delta)` 上应用 Cauchy 中值定理, 则 `EE xi in (x, y)`, 使 `|f(x) - f(y)| = |f'(xi)|/|g'(xi)| |g(x) - g(y)| le (C xi^-mu)/xi^-mu |x^(1-mu) - y^(1-mu)|/(1-mu)`. 故 `f` 在 `(0, delta)` 上一致连续.

    `f` 当然在闭区间 `[delta/2, a]` 上一致连续. 由习题 3.4 的 11(1) 即得结论.

  14. 考虑函数 `f(x) = { x^2 sin {:1/x:}, if x != 0; 0, if x = 0; :}` 对任意 `x gt 0`, 在区间 [0, x] 上应用拉格朗日中值定理, 可知存在 `0 lt xi_x lt x` 使得 `x sin {:1/x:} = 2 xi_x sin {:1/xi_x:} - cos {:1/xi_x:}`. 由条件 `0 lt xi_x tl x` 知当 `x to 0` 时 `xi_x to 0`, 所以 `0 = lim_(x to 0) x sin {:1/x:}`
    `= lim_(x to 0) (2xi_x sin{:1/xi_x:} - cos {:1/xi_x:})` (作变量代换 `xi = xi_x`)
    `= lim_(xi to 0) (2xi sin{:1/xi:} - cos {:1/xi:})`.     由于 `lim_(xi to 0) 2xi sin{:1/xi:} = 0`, 所以推得 `lim_(xi to 0) cos {:1/xi:} = 0`. 但极限 `cos{:1/xi:}` 不存在. 问矛盾何在?
  15. 证明达布定理: 设函数 `f` 在区间 `I` 上可微. 记 `A = underset(x in I) "inf" f'(x)`, `B = underset(x in I) op(sup) f'(x)` (当 `f'` 无下界时规定 `A = -oo`, 同样当 `f'` 无上界时规定 `B = +oo`). 则对任意 `A lt c lt B`, 必存在相应的 `xi in I` 使 `f'(xi) = c`.
  16. 设函数 `f` 在 `[a, b]` 上连续, 在 `(a, b)` 上有二阶导数. 证明: 存在 `xi in (a, b)` 使成立 `f(a) + f(b) - 2f((a+b)/2) = (b-a)^2/4 f''(xi)`.