1. 求下列函数的单调区间:
    1. `y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5`;
    2. `y = (2x)/(1+x^2)`;
    3. `y = x + 2 sin x`;
    4. `y = x^n e^-x` (n 是自然数).
  2. 应用导数证明下列不等式:
    1. `2/pi x lt sin x lt x` `(0 lt x lt pi/2)`.
    2. `x - 1/2 x^2 lt ln(1+x) lt x` `(x gt 0)`;
    3. `2 ln x gt x - 1/x` `(0 lt x lt 1)`;
    4. `e^(2x) lt (1+x)/(1-x)` `(0 lt x lt 1)`;
    5. `ln x lt (2(x-1))/(x+1)` `(0 lt x lt 1)`;
    6. `(arctan x)/(1+x) lt ln(1+x) lt arctan x` `(0 lt x lt 1)`.
  3. 证明:
    1. 对多项式函数 `P(x) = a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + cdots + a_(n-1) x + a_n` `(a_0 gt 0)`, 存在正数 M 使在区间 `(-oo, M)` 和 `(M, +oo)` 之中它都是单调函数;
    2. 对有理函数 `Q(x) = (a_0 x^n + a_1 x^(n-1) + cdots + a_(n-1) x + a_n) / (b_0 x^m + b_1 x^(m-1) + cdots + b_(m-1) x + b_m)` `(a_0 b_0 gt 0)`, 存在正数 M 使在区间 `(-oo, M)` 和 `(M, +oo)` 之中它都是单调函数.
  4. 证明: 方程 `ln(1+x) - arctan x = c` 当 `c lt ln 2 -pi/4 ~~ -0.09225` 或 `c gt 0` 时有一根, 当 `c = ln2 - pi/4` 或 `c = 0` 时有二根, 当 `ln2 - pi/4 lt c lt 0` 时有三根.
  5. 确定下列方程解的个数:
    1. `x^3 + px + q = 0`;
    2. `x^7 - 7x = c`;
    3. `e^x = ax^2 + b`;
    4. `ln x = ax`;
    5. `sin^m x cos^n x = c`.
    在第 (5) 上题中 m, n 为正奇数, 并且只需考虑该方程在 `(-pi, pi)` 中的根.
  6. 证明定理: 设函数 `f` 和 `g` 都在闭区间 `[a, +oo)` 上连续且有连续的 `k` 阶导数, `k = 1, 2, cdots, n`, 在开区间 `(a, +oo)` 上有 `n+1` 阶导数, 且 `f^((n+1))(x) gt g^((n+1))(x)`, `AA x gt a`, 并设 `f^((k))(a) = g^((k))(a)`, `k = 0, 1, cdots, n`. 则成立不等式: `f(x) gt g(x)`, `AA x gt a`.
  7. 应用导数证明下列不等式:
    1. `sin x + cos x gt 1 + x - x^2` `(x gt 0)`;
    2. `x - 1/6 x^3 lt sin x lt x - 1/6 x^3 + 1/120 x^5` `(x gt 0)`;
    3. `1 - 1/2 x^2 lt cos x lt 1 - 1/2 x^2 + 1/24 x^4` `(x != 0)`;
    4. `e^x gt 1 + x + 1/(2!) x^2 + cdots + 1/(n!) x^n` `(x gt 0, n:}` 为任意自然数 `{:)`.
  8. 证明: 对任意互不相等的两个实数 `a` 和 `b` 成立以下不等式: `(e^a - e^b)/(a-b) lt (e^a + e^b)/2`.
  9. 求下列函数的极值:
    1. `y = x^3 + 3x^2 - 9x -4`;
    2. `y = x(x-1)^2(x-2)^3`;
    3. `y = (2x)/(1+x^2)`;
    4. `y = xe^(-x^2)`;
    5. `y = (1+x^2)/(1+x^4)`;
    6. `y = arctan x - 1/2 ln(1+x^2)`;
    7. `y = e^x sin x`;
    8. `y = { x sin{:1/x:}, if x != 0; 0, if x = 0; :}`
  10. 应用导数证明下列不等式:
    1. `2^(1-p) le x^p + (1-x)^p le 1` `(0 le x le 1, p gt 1)`;
    2. `2^(-(n-1)/n) (a+b) le root n (a^n + b^n) le a + b` `(a gt 0, b gt 0, n:}` 为自然数 `{:)`;
    3. `x^n(1-x) lt 1/(en)` `(0 lt x lt 1)`;
    4. `e^-x le (p/e)^p x^-p`, `AA x gt 0`, `(p:}` 为正常数 `{:)`.
    1. 设 `f(x)` 在 `(0, +oo)` 上可微且 `xf'(x) - f(x) gt 0`, `AA x gt 0`. 证明对任意 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0` 成立以下不等式 `f(x_1+x_2+cdots+x_n) gt f(x_1)+f(x_2)+cdots+f(x_n)`;
    2. 证明对任意 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0` 成立不等式 ` x_1^(x_1) x_2^(x_2) cdots x_n^(x_n) lt (x_1+x_2+cdots+x_n)^(x_1+x_2+cdots+x_n)`;
    3. 证明对任意 `x_1, x_2, cdots, x_n gt 0` 和 `0 lt p lt q` 成立不等式 ` (x_1^p + x_2^p + cdots + x_n^p)^(1/p) gt (x_1^q + x_2^q + cdots + x_n^q)^(1/q)`;
  12. 求解下列极值问题:
    1. 在半径为 R 的球中, 嵌入有最大体积的圆柱体;
    2. 在半径为 R 的球中, 嵌入有最大表面积的圆柱体.
  13. 求解下列极值问题:
    1. 一物体为直圆柱形, 其上端为半球形. 若此物体的体积等于 V, 问应当如何设计它的尺寸, 才有最小的表面积?
    2. 一物体为直圆柱形, 其两端都是半球形, 若此物体的体积等于 V, 问应当如何设计它的尺寸, 才有最小的表面积?
  14. 从半径为 R 的圆中, 应当切去怎样的扇形, 才能使余下的部分卷成一具有最大容积的漏斗?