1. 研究下列函数的凸凹区间:
    1. `y = x^2`;
    2. `y = x^3`;
    3. `y = x^3 + 3x^2`;
    4. `y = e^(-x^2)`;
    5. `y = ln(1+x^2)`;
    6. `y = (1+x)/(1+x^2)`;
    7. `y = sin x`;
    8. `y = 1/10 x^5 - 1/3 x^4 - 1/3 x^3 + 2x^2 + x`.
  2. 证明下列不等式:
    1. `1/2(a^p+b^p) gt ((a+b)/2)^p` `(a, b gt 0, a ne b, p gt 1)`;
    2. `1/2(a^p+b^p) lt ((a+b)/2)^p` `(a, b gt 0, a ne b, 0 lt p lt 1)`;
    3. `(e^a+e^b)/2 gt e^((a+b)/2)` `(a ne b)`;
    4. `a^a b^b gt ((a+b)/2)^(a+b)` `(a, b gt 0, a ne b)`.
  3. 证明下列命题:
    1. 两个凸函数的和是凸函数;
    2. 两个非负的单调递增凸函数的积也是凸函数;
    3. 如果 `f` 和 `g` 都是 `(a, b)` 上的凸函数, 则函数 `max{f(x), g(x)}` 也是 `(a, b)` 上的凸函数;
    4. 如果 `f` 是 `(a, b)` 上的凸函数, 值域含于 (c, d), 而 `g` 是 `(c, d)` 上的单调递增的凸函数, 则复合函数 `g@f` 也是 `(a, b)` 上的凸函数.
  4. 设 `f` 是定义在区间 `(a, b)` 上的函数, 证明以下三个条件等价:
    1. `f` 是 `(a, b)` 上的凸函数;
    2. 对任意 `a lt x_1 lt x_2 lt x_3 lt b` 成立不等式 `| 1, x_1, f(x_1); 1, x_2, f(x_2); 1, x_3, f(x_3); | ge 0`;
    3. 对任意 `x_1, x_2, x_3 in (a, b)` 成立不等式 `((x_3-x_2) f(x_1) + (x_1-x_3) f(x_2) + (x_2-x_1) f(x_3)) / ((x_3 - x_2)(x_1 - x_3)(x_2 - x_1)) le 0`.
  5. 设函数 `f` 在 (a, b) 上可导. 证明: `f` 是 (a, b) 上的凸函数的充要条件是对任意 `x_0 in (a, b)` 都成立 `f(x) ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)`, `AA x in (a, b)`, 即曲线 `y = f(x)` 总是位于其切线的上方.
  6. 设 `f` 在 `[0, +oo)` 上连续并且是该区间上的凸函数. 又设 `f(0) = 0`. 证明: 函数 `f(x)/x` 在 `(0, +oo)` 上单调递增. 如果 `f` 在 `[0, +oo)` 上是严格凸的, 则 `f(x)/x` 在 `(0, +oo)` 上严格单调递增.
    1. 设 `f` 是 (a, b) 上的凸函数. 证明: `AA x_0 in (a, b)`, `EE m in [f'_(-)(x_0), f'_+(x_0)]`, 使成立 `f(x) ge f(x_0) + m (x - x_0)`, `AA x in (a, b)`;
    2. 设 `f` 是定义在区间 (a, b) 上的函数. 假设 `AA x_0 in (a, b)`, `EE m in RR` 使上面的不等式成立, 证明: `f` 是 (a, b) 上的凸函数.
  8. 设 `f` 是区间 (a, b) 上的凸函数. 证明:
    1. 单侧导函数 `f'_(-)(x)` 和 `f'_+(x)` 都是 (a, b) 上的单调递增函数, 且成立 `f'_(-)(x_0) le f'_+(x_0)`, `AA x_0 in (a, b)`. 进一步, 如果 `f` 是 (a, b) 上的严格凸函数, 则 `f'_(-)(x)` 和 `f'_+(x)` 都是 (a, b) 上的严格单调递增函数;
    2. 如果 `f` 在 [a, b] 上连续且 `f'_+(a)` 和 `f'_(-)(b)` 都存在, 则 `f` 在 [a, b] 上的利普希茨连续的, 即存在常数 `C gt 0` 使成立 `|f(x) - f(y)| le C|x-y|`, `AA x, y in [a, b]`.
  9. 设 `f` 是有限开区间 (a, b) 上的凸函数, 并且在该区间上有界. 证明: `lim_(x to a^+) f(x)` 和 `lim_(x to b^-) f(x)` 都存在.
  10. 设 `a_1, a_2, cdots, a_n` 是一组正数. 证明下列不等式:
    1. `((a_1+a_2+cdots+a_n)/n)^(a_1+a_2+cdots+a_n) le a_1^(a_1) a_2^(a_2) cdots a_n^(a_n)`;
    2. `((a_1^alpha+a_2^alpha+cdots+a_n^alpha)/n)^(1/alpha) le root n (a_1 a_2 cdots a_n) le ((a_1^beta+a_2^beta+cdots+a_n^beta)/n)^(1/beta)`, 其中 `alpha lt 0 lt beta`.