1. 求下列函数在 `x = 0` 点具有拉格朗日型余项的泰勒展开, 要求余项的阶数不低于 `x^5`:
    1. `y = (1-x)/sqrt(1+x)`;
    2. `y = tan x`;
    3. `y = ln(1+e^x)`;
    4. `y = e^(sin x)`.
  2. 求下列函数在 `x = 0` 点具有佩亚诺型余项的泰勒展开, 要求余项的阶数不低于 `x^5`:
    1. `y = (1-x+x^2)/(1+x+x^2)`;
    2. `y = sqrt(1-2x+x^3) - root 3 (1-3x+x^2)`;
    3. `y = e^(2x-x^2)`;
    4. `y = ln cos x`.
    1. 求函数 `y = ln(x+h)` (x > 0) 按增量 `h` 的泰勒展开, 要求余项为 `o(h^(n+1))`;
    2. 根据函数 `1/(1+x^2)` 在点 `x = 0` 的泰勒展开, 求函数 `f(x) = arctan x` 在点 `x = 0` 具有一般佩亚诺型余项的泰勒展开;
    3. 根据函数 `1/sqrt(1-x^2)` 在点 `x = 0` 的泰勒展开, 求函数 `f(x) = arcsin x` 在点 `x = 0` 具有一般佩亚诺型余项的泰勒展开.
  4. 利用泰勒公式求以下极限:
    1. `lim_(x to 0) 1/x (1/tan x - 1/sin x)`;
    2. `lim_(x to 0) 1/x (1/x - 1/sin x)`;
    3. `lim_(x to 0) (cos 2x - e^(-2x^2))/x^4`;
    4. `lim_(x to 0) (e^x sin x - x(1+x))/(sin^3 x)`;
    5. `lim_(x to 0) (1/x - 1/(e^x-1))`;
    6. `lim_(x to 1) (1/(ln x) - 1/(x-1))`.
  5. 利用泰勒公式求以下极限:
    1. `lim_(x to 0) ((1+x)^(1/x) - e)/x`;
    2. `lim_(x to 0) ("cot" x)^(sin x)`;
    3. `lim_(x to 0) ((cos x)/(cos 2x))^(1/(ln(1+x^2)))`;
    4. `lim_(x to 0) ((a^x + b^x + c^x)/3)^(1/x)`;
    5. `lim_(x to +oo) ( root 3 (x^3+2x^2+1) - root 5 (x^5+3x^4-2))`;
    6. `lim_(n to oo) (sin^2 n) ln (n tan {:1/n:})`.
  6. 求下列当 `x to 0` 时的无穷小量的阶, 即用 `x` 的幂表示的等价无穷小量:
    1. `((sin x)/x)^3 - cos x`;
    2. `tan(sin x) - sin(tan x)`;
    3. `(1+x)^(1/x) - e`;
    4. `1-(1+x)^(1/x)/e`.
  7. 利用泰勒公式求以下各数的近似值并估计误差:
    1. `root 3 29`;
    2. `root 5 1100`;
    3. `root 12 4000`;
    4. `sqrt pi`;
    5. `sin 18^@`;
    6. `cos 9^@`;
    7. `ln 3`;
    8. `ln 8`.
  8. 利用泰勒公式证明下列不等式:
    1. 对任意自然数 `n` 和任意 `x gt 0` 成立 `1 + x + x^2/(2!) + cdots + x^n/(n!) lt e^x` `lt 1 + x + x^2/(2!) + cdots + x^(n-1)/((n-1)!) + x^n/(n!) e^x`;
    2. 对任意自然数 `m` 和任意 `x gt 0` 成立 `x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - cdots + x^(4m-3)/((4m-3)!) - x^(4m-1)/((4m-1)!)` `lt sin x` `lt x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - cdots + x^(4m-3)/((4m-3)!)`;
    3. 对任意自然数 `m` 和任意 `x gt 0` 成立 `1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) - cdots + x^(4m-4)/((4m-4)!) - x^(4m-2)/((4m-2)!)` `lt cos x` `lt 1 - x^2/(2!) + x^4/(4!) - cdots + x^(4m-4)/((4m-4)!)`;
    4. 对任意自然数 `n` 和任意 `x gt 0` 成立 `x - x^2/2 + x^3/3 - cdots + x^(2n-1)/(2n-1) - x^(2n)/(2n)` `lt ln(1+x)` `lt x - x^2/2 + x^3/3 - cdots + x^(2n-1)/(2n-1)`;
    5. 对任意自然数 `n` 和任意 `0 lt x lt 1` 成立 `-x - x^2/2 - cdots - x^n/n - 1/(n+1)(x/(1-x))^(n+1)` `lt ln(1-x)` `-x - x^2/2 - cdots - x^n/n`.
    (以上不等式非常有用, 建议读者熟记.)
  9. 证明对任意 `pi/2 lt x lt pi/2` 都成立下列不等式: `-sin x tan x le ln cos x le -2 sin^2 {:x/2:}(1+sin^2{:x/2:})`, 等号成立当且仅当 `x = 0`.
  10. 设函数 `f` 在区间 [a, b] 上二次可导, 且 `f'(a) = f'(b) = 0`. 证明: `EE xi in (a, b)` 使得 `|f''(xi)| ge 4/(b-a) |f(b) - f(a)|`.
  11. 设函数 `f` 在 [a, b] 上二次可导, 且 `f(a) = f(b)`, `|f''(x)| le M`, `AA x in [a, b]`. 证明: `|f'(x)| le 1/2 M (b-a)`, `AA x in [a, b]`.
  12. 设函数 `f` 在 `[0, +oo)` 上 `n` 次可导, `f(0) = f'(0) = cdots = f^((n-1))(0) = 0`, 且存在 `C gt 0` 使成立 `|f^((n))(x)| le C(|f(x)| + |f'(x)| + cdots + |f^((n-1))(x)|)`, `AA x gt 0`. 证明: `f(x) = 0`, `AA x gt 0`.
  13. 设函数 `f` 在 `[a, b]` 上二次可导, 且 `|f(x)| le M_0`, `|f''(x)| le M_2`, `AA x in [a, b]`. 证明:
    1. `|f'(x)| le (2M_0)/(b-a) + M_2/2 (b-a)`, `AA x in [a, b]`;
    2. 如果 `b-a ge 2 sqrt(M_0/M_2)`, 则以上不等式可改进为 `|f'(x)| le 2 sqrt(M_0 M_2)`, `AA x in [a, b]`;
    3. 对任意充分小的 `epsi gt 0` 都成立 `|f'(x)| le epsi M_2 + epsi^-1 M_0`, `AA x in [a, b]`.
  14. 设函数 `f` 在整个数轴上三次可导, 且 `f` 和 `f'''` 都在整个数轴上有界. 证明:
    1. `f'` 和 `f''` 也都在整个数轴上有界;
    2. 记 `M_k = underset(x in RR) "sup" |f^((k))(x)|`, `k = 0, 1, 2, 3`, 则成立不等式 `M_1 le 2 M_0^(2/3) M_3^(1/3)`, `M_2 le 2 M_0^(1/3) M_3^(2/3)`.
  15. 任取 `0 lt x_1 lt pi`, 并递推地定义 `x_(n+1) = sin x_n`, `n = 1, 2, cdots`. 证明:
    1. `lim_(n to oo) x_n = 0`;
    2. 当 `n to oo` 时, `x_n ~ sqrt(3/n)`.