1. 根据基本积分表和积分的线性性, 求以下不定积分:
    1. `int x^2(3-x^2)^2 dx`;
    2. `int (2 root 3 x - 3 sqrt x + 1)/root 3 (x^2) dx`;
    3. `int ((1-x)/x)^3 dx`;
    4. `int (root 3 (x sqrt x) + sqrt (x root 3 x)) dx`;
    5. `int sqrt(x^3 + x^-3 + 2)/x^3 dx`;
    6. `int (2^x + 3^x)^2 dx`;
    7. `int (e^(3x) - e^(-3x))/(e^x - e^-x) dx`;
    8. `int sqrt (1 + sin 2x) dx`;
    9. `int "cot"^2 x dx`;
    10. `int "csc"^2 2x dx`;
    11. `int (1 + 3x + 5x^3 + 2x^5)/(1+x^2) dx`;
    12. `int dx/(x^4(1+x^2))`.
    1. 原式 `= int x^2(x^4-6x+9) dx` `= 1/7 x^7 - 6/5 x^5 + 3x^3 + C`.
    2. 原式 `= int (2x^(-1/3) - 3x^(-1/6) + x^(-2/3)) dx` `= 3x^(2/3) - 18/5 x^(5/6) + 3x^(1/3) + C`.
    3. 原式 `= int (x^-3 - 3x^-2 + 3x^-1 - 1) dx` `= -1/2 x^-2 + 3x^-1 + 3ln|x| - x + C`.
    4. 原式 `= int (x^(1/2) + x^(2/3)) dx` `= 2/3 x^(3/2) + 3/5 x^(5/3) + C`.
    5. `x lt 0` 时, 由均值不等式, `x^3 + x^-3 le -2`, 故分子只在 `x = -1` 时有意义, 这时原函数为任意在 `x = -1` 处导数为 `0` 的函数. `x gt 0` 时, 原式 `= int (x^(3/2) + x^(-3/2))/x^3 dx` `= int (x^(-3/2) + x^(-9/2)) dx` `= -2x^(-1/2) - 2/7 x^(-7/2) + C`.
    6. 原式 `= int (2^(2x) + 2*6^x + 3^(2x)) dx` `= 4^x/ln 4 + 2 6^x/ln 6 + 9^x/ln 9 + C`.
    7. 原式 `= int (e^(2x) + 1 + e^(-2x)) dx` `= 1/2 e^(2x) + x -1/2 e^(-2x) + C`.
    8. 原式 `= int |sin x + cos x| dx` `= sqrt 2 int |sin (x+pi/4)| dx` `= { sin x - cos x + C, if x+pi/4 in [2k pi, (2k+1)pi]; cos x - sin x + C, otherwise; :}`
    9. 原式 `= int ("csc"^2 x - 1) dx` `= -"cot" x - x + C`.
    10. (换元更简单) 原式 `= 1/4 int dx/(sin^2 x cos^2 x)` `= 1/4 int (1/(sin^2 x) + 1/(cos^2 x))dx` `= 1/4 (tan x - "cot" x) + C`.
    11. 原式 `= int (1/(1+x^2) + 3x + 2x^3) dx` `= arctan x + 3/2 x^2 + 1/2 x^4 + C`.
    12. 原式 `= int (-1/x^2 + 1/x^4 + 1/(1+x^2)) dx` `= 1/x - 1/(3x^3) + arctan x + C`.
  2. 根据积分的平移不变性, 求以下不定积分:
    1. `int (x^3 dx)/(1-x)`;
    2. `int x sqrt(2x-1) dx`;
    3. `int (x^2+1)/(x^2-1) dx`;
    4. `int (x dx)/(1-x^2)`;
    5. `int dx/(x^2+2x-3)`;
    6. `int x^3/((x+1) root 3 (x+1)) dx`;
    7. `int dx/(sqrt(x+1) + sqrt(x-1))`;
    8. `int dx/(sqrt(x^2-1)(sqrt(x+1) + sqrt(x-1)))`;
    9. `int dx/(1+sin 2x)`;
    10. `int dx/(1-sin 2x)`.
    1. 原式 `= -int (x-1+1)^3/(x-1) dx` `= -int ((x-1)^2 + 3(x-1) + 3 + 1/(x-1)) dx` `= -1/3 (x-1)^3 - 3/2(x-1)^2 -3(x-1) - ln|x-1| + C`.
    2. 原式 `= 1/2 int ((2x-1)^(3/2) + (2x-1)^(1/2)) dx` `= 1/5 (2x-1)^(5/2) + 1/3 (2x-1)^(3/2) + C`.
    3. 由例 6, 原式 `= int (2/(x^2-1) + 1) dx` `= ln |(1-x)/(1+x)| + x + C`.
    4. (换元更简单) 原式 `= int (x-1+1)/(1-x^2) dx` `= int (1/(1-x^2) - 1/(1+x)) dx` `= 1/2 ln |(1+x)/(1-x)| - ln |1+x| + C` `= -1/2 ln |1-x^2| + C`.
    5. 原式 `= int dx/((x+1)^2 - 4)` `= 1/4 ln |x/(x+2)| + C`.
    6. 原式 `= int (x+1-1)^3/(x+1)^(4/3) dx` `= int ((x+1)^(5/3) - 3(x+1)^(2/3) + 3(x+1)^(-1/3) - (x+1)^(-4/3)) dx` `= 3/8 (x+1)^(8/3) - 9/5 (x+1)^(5/3) + 9/2 (x+1)^(2/3) + 3 (x+1)^(-1/3) + C`.
    7. 原式 `= 1/2 int (sqrt(x+1) - sqrt(x-1)) dx` `= 1/3 ((x+1)^(3/2) - (x-1)^(3/2)) + C`.
    8. 原式 `= 1/2 int (1/sqrt(x-1) - 1/sqrt(x+1)) dx` `= sqrt(x-1) - sqrt(x+1) + C`.
    9. 原式 `= int dx/(2 sin^2(x+pi/4))` `= -1/2 "cot"(x+pi/4) + C`.
    10. 原式 `= int dx/(2 sin^2(x-pi/4))` `= -1/2 "cot"(x-pi/4) + C`.