1. 按以下步骤证明函数 `f(x) = x` 在任意区间 `[a, b]` 上黎曼可积且 `int_a^b x dx = 1/2(b^2 - a^2)`.
    1. 设 `Delta: a = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b` 是区间 `[a, b]` 的任意一个分割. 证明: `lim_(||Delta|| to 0) sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2 = 0`, 其中, `Delta x_i = x_i - x_(i-1)` (`i = 1, 2, cdots, n`), `||Delta||` `= underset(1 le x_i le n) max Delta x_i` (下同);
    2. 设 `Xi = {xi_1, xi_2, cdots, xi_n}` 是从属于分割 Delta 的任一组介点. 证明: `1/2(b^2 - a^2) - 1/2 sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2` `le sum_(i=1)^n xi_i Delta x_i` `le 1/2(b^2 - a^2) + 1/2 sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2`, 进而 `lim_(||Delta|| to 0)sum_(i=1)^n xi_i Delta x_i = 1/2(b^2-a^2)`.
    1. 对任意 `epsilon gt 0`, 取 `delta = epsilon/(b-a)`, 则当 `||Delta|| lt delta` 时, `|sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2|` `le ||Delta|| sum_(i=1)^n Delta x_i` `lt delta (b-a) = epsilon`. 所以要证的极限成立.
    2. 因为 `x_(i-1) le xi_i le x_i`, 所以 `|xi_i - 1/2(x_i + x_(i-1))| le 1/2 Delta x_i`. 从而 `|sum_(i=1)^n xi_i Delta x_i - 1/2(b^2 - a^2)|`
      `le sum_(i=1)^n |xi_i Delta x_i - 1/2(x_i^2 - x_(i-1)^2)|`
      `= sum_(i=1)^n |xi_i - 1/2(x_i + x_(i-1))| |Delta x_i|`
      `le 1/2 sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2`.
  2. 按以下步骤证明 `cos x` 在任意区间 `[a, b]` 上黎曼可积且 `int_a^b cos x dx = sin b - sin a`:
    1. 设 `Delta: a = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b` 是区间 `[a, b]` 的一个分割, `Xi = {xi_1, xi_2, cdots, xi_n}` 和 `H = {eta_1, eta_2, cdots, eta_n}` 是从属于分割 `Delta`; 的任意两组介点. 证明: `lim_(||Delta|| to 0) sum_(i=1)^n |cos xi_i - cos eta_i| Delta x_i = 0`;
    2. 对每个 `1 le i le n`, 取 `eta_i` 是使得等式 `sin x_i - sin x_(i-1) = cos eta_i (x_i - x_(i-1))` 成立的介点. 因为 `(sin x)' = cos x`, 根据微分中值定理这样的 `eta_i` 是存在的. 证明: `|sum_(i=1)^n cos xi_i Delta x_i - (sin b - sin a)|` `le sum_(i=1)^n |cos xi_i - cos eta_i| Delta x_i`, 进而 `lim_(||Delta|| to 0) sum_(i=1)^n cos xi_i Delta x_i = sin b - sin a`.
  3. 设 `0 le a lt b`. 按以下步骤证明函数 `x^2` 在 `[a, b]` 上黎曼可积且 `int_a^b x^2 dx = 1/3 (b^3 - a^3)`:
    1. 设 `Delta: a = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b` 是区间 `[a, b]` 的任意一个分割. 证明: `0` `le sum_(i=1)^n x_i^2 Delta x_i-sum_(i=1)^n x_(i-1)^2 Delta x_i` `le 2b sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2`,
      `sum_(i=1)^n x_i^2 Delta x_i` `+ sum_(i=1)^n x_(i-1) x_i Delta x_i` `+ sum_(i=1)^n x_(i-1)^2 Delta x_i` `= b^3 - a^3`;
    2. 设 `Xi = {xi_1, xi_2, cdots, xi_n}` 是任意一组从属于分割 `Delta` 的介点. 证明: `|sum_(i=1)^n xi_i^2 Delta x_i - 1/3(b^3-a^3)|` `le 4/3 b(b-a)` `||Delta||`, 进而 `lim_(||Delta|| to 0) sum_(i=1)^n xi_i^2 Delta x_i` `= 1/3(b^3-a^3)`.
    1. `sum_(i=1)^n x_i^2 Delta x_i - sum_(i=1)^n x_(i-1)^2 Delta x_i`
      `= sum_(i=1)^n (x_i + x_(i-1)) (Delta x_i)^2`
      `le 2b sum_(i=1)^n (Delta x_i)^2`.       `sum_(i=1)^n x_i^2 Delta x_i + sum_(i=1)^n x_(i-1) x_i Delta x_i + sum_(i=1)^n x_(i-1)^2 Delta x_i`
      `= sum_(i=1)^n (x_i^2 + x_(i-1) x_i + x_(i-1)^2) Delta x_i`
      `= sum_(i=1)^n (x_i^3 - x_(i-1)^3)`
      `= b^3 - a^3`.
    2. `|sum_(i=1)^n xi_i^2 Delta x_i - 1/3 (b^3 - a^3)|`
      `le 1/3 sum_(i=1)^n | (xi_i^2 - x_i^2) + (xi_i^2 - x_(i-1) x_i)` `+ (xi_i^2 - x_(i-1)^2) | Delta x_i`.       当 `xi_i = x_i` 或 `xi_i = x_(i-1)`, `i = 1, 2, cdots, n` 时, 上式右端取得最大值 (?) `1/3 sum_(i=1)^n |2x_i + x_(i-1)| (Delta x_i)^2` 或 `1/3 sum_(i=1)^n |x_i + 2x_(i-1)| (Delta x_i)^2`. 此二式皆小于等于 `1/3 sum_(i=1)^n 3b (Delta x_i)^2` `le b ||Delta|| sum_(i=1)^n Delta x_i` `= b (b-a) ||Delta||`.
  4. 设 `0 le a lt b`, `m` 是正整数. 运用 3 题的方法或你自己认为更好的其他方法证明: `int_a^b x^m dx = 1/(m+1) (b^(m+1) - a^(m+1))`.
  5. 设函数 `f` 在区间 `[a, b]` 上赫尔德连续, 即存在常数 `0 lt mu le 1` 和 `C gt 0` 使成立 `|f(x) - f(y)| le C |x-y|^mu`, `AA x, y in [a, b]`. 又设存在在 `[a, b]` 上连续、在 `(a, b)` 上可微的函数 `F` 使 `F'(x) = f(x)`, `AA x in (a, b)`. 证明: `f` 在 `[a, b]` 上可积, 且 `int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)`.
    1. 设 `f(x)` 在 `[a, b]` 上可积. 证明: `f(x-c)` 在 `[a+c, b+c]` 上可积, 且 `int_(a+c)^(b+c) f(x-c) dx = int_a^b f(x) dx`;
    2. 设 `f` 是以 `T gt 0` 为周期的周期函数, 且在 `[0, T]` 上可积. 证明: 对任意实数 `a lt b`, `f` 也在 `[a, b]` 上可积, 且当 `b - a = nT + c`, 其中 `n` 是非负整数而 `0 le c lt T` 时, 有 `int_a^b f(x) dx = n int_0^T f(x) dx + int_a^(a+c) f(x) dx`. 特别地, `int_a^(a+T) f(x) dx = int_0^T f(x) dx`.
    1. 作 `[a+c, b+c]` 的任意分割 `Delta: a+c = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b+c`, 并取相应的介点集 `Xi= {xi_1, xi_2, cdots, xi_n}`. 在 `[a,b]` 上就有相应的分割 `Delta': a = x_0' lt x_1' lt cdots lt x_n' = b` 和相应的介点集 `Xi'= {xi_1', xi_2', cdots, xi_n'}`, 其中 `x_i' = x_i - c`, `i = 0, 1, cdots, n`; `xi_i' = xi_i - c`, `i = 1, 2, cdots, n`. 所以 `sum_(i=1)^n f(xi_i - c) Delta x_i` `= sum_(i=1)^n f(xi_i') Delta x_i'`. 在上式两端令 `||Delta|| to 0`, 因为 `f(x)` 在 `[a, b]` 上可积, 所以由右端极限存在推知左端极限也存在. 所以 `f(x-c)` 在 `[a+c, b+c]` 上可积, 且 `int_(a+c)^(b+c) f(x-c) dx = int_a^b f(x) dx`,
    2. 先证明可积性. 由 (1) 知 `f(x) = f(x-kT)` 在 `[kT, (k+1)T]` 上可积 (`k = 0, +-1, +-2, cdots`). 再由定积分的可加性, `f(x)` 在任意有限的区间上可积, 从而在 [a, b] 上可积. 再证明第二个等式. 由 (1) 知 `int_0^a f(x) dx` `= int_T^(a+T) f(x-T) dx` `= int_T^(a+T) f(x) dx`. 上式两端同时加上 `int_a^T f(x) dx` 就得到第二个等式. 再用这个结果证明第一个等式: `int_a^b f(x) dx`
      `= sum_(i=1)^n int_(a+(i-1)T)^(a+iT) f(x-(i-1)T) dx` `+ int_(a+nT)^b f(x-nT) dx`
      `= n int_a^(a+T) f(x) dx + int_a^(b-nT) f(x) dx`
      `= n int_0^T f(x) dx + int_a^(a+c) f(x) dx`.
  7. 设 `f(x)` 在 `[a, b]` 上可积, 且积分值为 `I`. 在 `[a, b]` 上任意有限个点处改变函数 `f(x)` 的值, 得到一个新的函数为 `f^(**)(x)`. 证明 `f^(**)(x)` 也在 `[a, b]` 上可积, 且积分值仍为 `I`.
    作 `[a, b]` 的分割 `Delta: a = x_0 lt x_1 lt cdots lt x_n = b`, 并取相应介点集 `Xi = {xi_1, xi_2, cdots, xi_n}`. 设 `H = {eta_1, eta_2, cdots, eta_p}` 是 `Xi` 与函数值被改变的点集的交. 于是 `sum_(i=1)^n f^**(xi_i) Delta x_i` `= sum_(i=1)^n f(xi_i) Delta x_i` `+ sum_(i=1)^p [f^**(eta_i) - f(eta_i)] Delta x_i`. 因为 `f(x)` 在 `[a, b]` 上可积从而有界, 设 `|f(x)| le M`, `AA x in [a, b]`. 又设 `m = max{|f^**(eta_i)|}_(i=1)^p`, 则上式右端第二项小于等于 `p(m + M)||Delta||`. 对任意 `epsilon gt 0`, 取 `delta = epsilon/(p(m+M))`, 则当 `||Delta|| lt delta` 时, 上式右端第二项小于 `epsilon`. 在上式两端令 `||Delta|| to 0`, 就得到 `f^(**)(x)` 在 `[a, b]` 上可积, 且积分值仍为 `I`.
    1. 设 `f(x)` 在 `[0, +oo)` 的任意有限子区间上可积, 且 `lim_(x to +oo) f(x) = c`. 证明: `lim_(a to +oo) 1/a int_0^a f(x) dx = c`;
    2. 设 `f` 是以 `T gt 0` 为周期的周期函数, 且在 `[0, T]` 上可积. 证明: `lim_(a to +oo) 1/a int_0^a f(x) dx = 1/T int_0^T f(x) dx`.
    1. 由 `lim_(x to +oo) f(x) = c` 知对任意 `epsilon gt 0`, `EE X gt 0`, 当 `x gt X` 时, `|f(x) - c| lt epsilon/2`. 由 `f(x)` 在 `[0, X]` 上可积知 `EE M gt 0`, `f(x) le M`, `AA x in [0,X]`. 注意到 `1/a int_0^a c dx = c`, 当 `a gt (2X(M+|c|))/epsilon` 时, 我们有 `|1/a int_0^a f(x) dx - c|`
      `le 1/a int_0^a |f(x) - c| dx`
      `= 1/a (int_0^X |f(x) - c| dx + int_X^a |f(x) - c| dx)`
      `lt X/a * (M + |c|) + (a-X)/a * epsilon/2`
      `lt epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon`.       即所要证的极限成立.

      2. 用洛必达法则与定积分的求导法则立得结论.

    2. 设 `a = nT + b`, 其中 `n in NN`, `0 le b lt T`. 由第 6 题知 `1/a int_0^a f(x) dx`
      `= 1/a (n int_0^T f(x) dx + int_0^b f(x) dx)`
      `= (a-b)/(aT) int_0^T f(x) dx + 1/a int_0^b f(x) dx`.       由 `f` 在 `[0, T]` 上可积知它有界. 设 `f(x) le M`, `AA x in [0,T]`. 故上式右端第二项的模小于等于 `(bM)/a`. 再在上式两端取极限, 结论得证.
  9. 比较下列积分的大小:
    1. `int_0^(pi/2) sin^3 x dx` 和 `int_0^(pi/2) sin^2 x dx`;
    2. `int_0^1 e^(-x) dx` 和 `int_0^1 e^(-x^2) dx`;
    3. `int_(1/2)^1 sqrt x ln x dx` 和 `int_(1/2)^1 root 3 x ln x dx`.
  10. 证明下列估计式:
    1. `sqrt(2/e) le int_(-1/sqrt 2)^(1/sqrt 2) e^(-x^2) dx le sqrt 2`;
    2. `1 le int_0^(pi/2) sin x /x dx le pi/2`;
    3. `(1+ln2)/2 le int_e^(2e) ln x / x dx le 1`;
    4. `sqrt 2 le int_2^3 root x x dx le root e e`.
  11. 根据第 4 题, 对任意自然数 `m` 有 `int_a^b x^m dx = 1/(m+1) (b^(m+1) - a^(m+1))`. 证明:
    1. `1.086 lt int_0^1 sqrt(1 + x^4) dx lt 1.097`;
    2. `156/210 lt int_0^1 e^(-x^2) dx lt 157/210`.
  12. 已知当 `f(x)` 和 `g(x)` 都在 `[a, b]` 上可积时, 它们的乘积 `f(x)g(x)` 也在 `[a, b]` 上可积. 据此证明不等式 `(int_a^b f(x) g(x) dx)^2` `le (int_a^b |f(x)|^2 dx) (int_a^b |g(x)|^2 dx)`.

    设 `h(t) = t^2 int_a^b |f(x)|^2 dx - 2t int_a^b |f(x)g(x)|dx + int_a^b |g(x)|^2 dx` `= int_a^b (t|f(x)| - |g(x)|)^2 dx ge 0`. 易知其判别式 `Delta le 0`, 即 `(int_a^b f(x) g(x) dx)^2` `le (int_a^b |f(x)|^2 dx) (int_a^b |g(x)|^2 dx)`. 且等号成立当且仅当 `f(x)` 与 `g(x)` 在 `[a, b]` 上线性相关.

  13. 设 `f(x)` 和 `g(x)` 都在 `[a, b]` 上可积, `f(x)` 在 `[a, b]` 上单调递减, `g(x)` 满足 `0 le g(x) le 1`, `AA x in [0, 1]`. 令 `theta = int_a^b g(x) dx`. 证明:
    1. `int_(b-theta)^b [1 - g(x)] dx` `= int_a^(b-theta) g(x) dx`, `int_a^(a+theta) [1 - g(x)] dx` `= int_(a+theta)^b g(x) dx`;
    2. `int_(b-theta)^b f(x) dx` `le int_a^b f(x) g(x) dx` `le int_a^(a+theta) f(x) dx`.
  14. 证明:
    1. `lim_(n to oo) int_0^(pi/2) sin^n x dx = 0`;
    2. `lim_(n to oo) int_0^1 ln(1 + x^n) dx = 0`;
    3. `lim_(n to oo) int_0^(pi/2) (1 - sin x)^n dx = 0`;
    4. `lim_(n to oo) int_0^1 (1 - x^n)^alpha dx = 1` `(alpha ne 0)`.
      对任意 `0 lt delta lt pi/2`, 记 `sin(pi/2-delta) = r`. 我们有 `|int_0^(pi/2) sin^n x dx|`
      `le int_0^(pi/2-delta) |sin x|^n dx` `+ int_(pi/2-delta)^(pi/2) |sin x|^n dx`
      `le (pi/2-delta) r^n + delta`
      `lt pi/2 r^n + delta`.       对任意 `epsi gt 0`, 先取 `delta = epsi/2`, 再取 `N` 充分大使 `n gt N` 时, `(pi/2-delta) r^n lt epsi/2`. 由于 `lim_(n to oo) (pi/2 - delta) r^n = 0`, 这样的 `N` 是存在的. 则当 `n gt N` 时, 上式右端小于 `epsi`, 即所要证的极限成立.