作变元变换 `t = x^n`, 则左端积分等于 `n int_0^1 f(t) "d"(t^(1/n)) = int_0^1 f(t)/t t^(1/n) dt`. 因为 `x^(1/n)` 在 `[0, 1]` 上不一致收敛, 我们把区间分为两部分来讨论. `|n int_0^1 f(x^n) dx - int_0^1 f(x)/x dx|`
`= |int_0^1 f(x)/x (x^(1/n) - 1) dx|`
`le int_0^delta |f(x)/x| |x^(1/n) - 1| dx` `+ int_delta^1 |f(x)/x| |x^(1/n) - 1| dx`. 我们记 `M` 为 `|f(x)/x|` 在 `[0, 1]` 上的上界. 对任意 `epsi gt 0`, 先取 `delta` 充分小, 如 `delta = epsi/(2M)`, 使第一项小于 `epsi/2`. 取定此 `delta` 后, 由 `lim_(n to oo) delta^(1/n) = 1` 知 `EE N in NN`, 当 `n gt N` 时有 `|x^(1/n) - 1|` `le |delta^(1/n) - 1|` `lt epsilon/(2M)`, `quad AA x in [delta, 1]`. 从而第二项小于 `(1-delta) M epsi/(2M) lt epsi/2`. 综上可知所要证的极限成立.