9. 1. 设积分 `int_a^(+oo) f(x) dx` 收敛, 且 `lim_(x to +oo) f(x) = c`, 证明: `c = 0`.
   2. 设积分 `int_a^(+oo) f(x) dx` 收敛, 且 `f(x)` 在 `[a, +oo)` 上单调, 证明: `lim_(x to +oo) f(x) = 0`.
   3. 设积分 `int_a^(+oo) f(x) dx` 收敛, 且 `f(x)` 在 `[a, +oo)` 上一致连续, 证明: `lim_(x to +oo) f(x) = 0`;
   4. 设积分 `int_a^(+oo) f(x) dx` 和 `int_a^(+oo) |f'(x)| dx` 都收敛, 证明: `lim_(x to +oo) f(x) = 0`.
   1. 若 `c ne 0`, 不妨设 `c gt 0`, 则存在 `M gt a`, 当 `x gt M` 时, `f(x) gt c/2`. 这与 `int_a^(+oo) f(x) dx` 收敛相矛盾. 所以必有 `c = 0`.
   2. 不妨设 `f(x)` 在 `[a, +oo)` 上单调递减, 则易知 `f(x)` 非负. 由无穷积分收敛的柯西准则知, 对任意 `epsi gt 0`, 存在 `A gt a`, 当 `b, c ge A` 时, 有 `|int_b^c f(t) dt| lt epsi`. 则 `x gt A+1` 时, `|f(x)|` `= |int_A^(A+1) f(x) dt|` `le |int_A^(A+1) f(t) dt|` `lt epsi`. 所以 `lim_(x to +oo) f(x) = 0`. 单调增的情形, 对 `-f(x)` 作相应讨论即可.
   3. 由 `f(x)` 在 `[a, +oo)` 上一致连续知, 对任意 `epsi gt 0`, 存在 `0 lt delta le epsi`, 对任意 `x_1`, `x_2 in [a, +oo)`, 当 `|x_1 - x_2| le delta` 时, `|f(x_1) - f(x_2)| lt epsi/2`. 又因为 `int_a^(+oo) f(x) dx` 收敛, 由无穷积分收敛的柯西准则知, 对上述 `delta gt 0`, 存在 `A gt a`, 对任意 `b, c gt A`, 有 `|int_b^c f(t) dt| lt delta^2/2`. `x gt A` 时, 取 `x_1`, `x_2` 使 `A lt x_1 lt x lt x_2`, 且 `x_2 - x_1 = delta`, 则 `|f(x)|`
      `= 1/delta |int_(x_1)^(x_2) f(x) dt|`
      `le 1/delta (|int_(x_1)^(x_2) (f(x) - f(t)) dt|` `+ |int_(x_1)^(x_2) f(t) dt|)`
      `lt 1/delta (delta epsi/2 + delta^2/2) le epsi`. 故 `lim_(x to +oo) f(x) = 0`.
   4. `int_a^(+oo) |f'(x)| dx` 收敛蕴含 `int_a^(+oo) f'(x) dx` 收敛. 由无穷积分收敛的柯西准则, 对任意 `epsi gt 0`, 存在 `A gt a`, 当 `x_1`, `x_2 gt A` 时, `|f(x_1) - f(x_2)| = |int_(x_1)^(x_2) f'(x) dx| lt epsi`. 再由函数极限的柯西准则, `lim_(x to +oo) f(x) = c` 存在. 由 (1) 知 `c = 0`.