- 设 `E sube RR` 是非空点集. 若 `E` 中任一子集皆为闭集, 试问 `E` 是有限集吗?
- 设 `A, B` 是 `RR` 中点集, 试问: 等式 `bar(A nn B) = bar A nn bar B`
一定成立吗?
- 设 `E_k sube RR^n` (`k = 1, 2, cdots`), 令 `E = uuu_(k=1)^oo E_k`. 若有
`x_0 in E'`, 试问: 是否一定存在 `E_(k_0)`, 使得 `x_0 in E_(k_0)'`?
- 设 `E sube RR^n`, 试证明 `bar E` 是包含 `E` 的一切闭集 `F` 之交:
`bar E = nnn_(F supe E) F`.
- 设 `F sube RR` 是有界闭集, `f(x)` 是定义在 `F` 上的 (实值) 函数.
若对任意的 `x_0 in F'`, 均有 `f(x) to +oo` (`x in F` 且 `x to x_0`),
试证明 `F` 是可数集. (`F = uuu_(n=1)^oo {x: f(x) le n}`)
- 设 `f in C(RR)`, 试证明 `F = {(x, y): f(x) ge y}` 是 `RR^2` 中的闭集.
- 试在 `RR` 中做出可列个互不相交的稠密可列集.
- 设 `E sube RR^n`, 试证明 `overset @ E = (bar(E^C))^C`, `del E = bar E \\ overset @ E`.
- 试证明函数
`f(x, y) = {
x sin(1//y), y != 0;
0, y = 0;
:}`
的不连续点集不是闭集.
- 试证明 `G sube RR^n` 是开集当且仅当 `G nn del G = O/`; `F sube RR^n`
是闭集当且仅当 `del F sube F`.
- 设 `G sube RR^n` 是非空开集, `r_0 gt 0`. 若对任意的 `x in G`, 作闭球
`bar(B(x, r_0))`, 试证明 `A = uuu_(x in G) bar(B(x, r_0))` 是开集.
- 设 `F sube RR` 是无限闭集, 试证明存在 `F` 中可数子集 `E`, 使得 `bar E = F`.
- 设 `E sube RR^n` 中的每点都是 `E` 的孤立点, 试证明 `E`
是某开集和闭集的交集.
- 设在 `RR^n` 中 `{G_alpha}` 是 `E` 的一个开覆盖, 试问 `{bar(G_alpha)}`
能覆盖 `bar E` 吗?
- 设 `Gamma = {[a_alpha, b_alpha]: alpha in [0, 1]}`, 且 `Gamma`
中的任意两个闭区间必相交, 试证明
`nnn_(alpha in [0, 1]) [a_alpha, b_alpha] != O/`.
- 设 `F sube RR` 是非空可数闭集, 试证明 `F` 必含有孤立点.
- 设 `{f_n(x)}` 是 `RR` 上的非负渐降连续函数列. 若在有界闭集 `F` 上
`f_n(x) to 0` (`n to oo`), 试证明 `f_n(x)` 在 `F` 上一致收敛于零.