[知乎@ZCC, 丘维声《群表示论》]
群的线性表示
线性表示的概念
群的线性表示
令 `G` 为一群, `V` 是 `bbb F` 上的线性空间, `GL(V)` 是 `V` 上的一般线性群 (全体可逆线性变换组成的群).
我们把群同态 `rho: G to GL(V)` 称为群 `G` 的一个(线性) 表示 (representation).
注意区别于群展示 (presentation).
- 表示空间 是指线性空间 `V`.
- 表示维数 (或次数) 定义为表示空间的维数 `"deg" rho := dim V`.
- 忠实 是指 `"ker" rho = {1}`, 即 `rho` 只把 `G` 的单位元映为恒等线性变换.
- 常表示 是指域的特征 `"char " bbb F` 不能整除群的阶 `|G|`. 否则称为模表示.
- 表示等价 是指两个表示 `rho_1: G to GL(V_1)` 和 `rho_2: G to GL(V_2)` 相差一个相似变换,
即存在可逆线性算子 `T: V_1 to V_2`, 使得
`rho_1(g) = T^-1 rho_2(g) T`, `quad AA g in G`.
容易验证这是一个等价关系.
- 矩阵表示
如果 `V` 是有限维的, 则 `GL(V)` 同构于 `n` 阶可逆矩阵群 `GL_n(bbb F)`.
`G` 到 `GL_n(bbb F)` 的同态称为 `G` 的 `n` 阶矩阵表示.
两个矩阵表示相互等价当且仅当它们相差一个相似变换.
有限维线性表示与矩阵表示是同一概念的两种不同说法: 一个是线性空间的语言, 一个是矩阵的语言.
- 复/实表示 是指 `bbb F = CC`/`RR` 的情形.
- 一次表示 即群 `G` 到域 `bbb F` 的乘法群 `bbb F^xx` 的同态.
例如对任意 `a in RR^xx`, `f_a: x in RR^xx to "e"^("i"a x) in CC` 是实数乘法群 `RR^xx` 的一次复表示.
- 置换表示: 任意一般群的线性表示
考虑群 `G` 对有限集 `{x_1, cdots, x_n}` (视为线性空间 `V` 的基底)
的置换作用 `(g, x_i) mapsto g x_i`.
我们可以令
`rho(g)(x_i) = g x_i`.
一般地, 对任意 `v = sum a_i x_i in V`, 定义
`rho := g mapsto v mapsto sum a_i (g x_i)`,
称为 `G` 的 `n` 次置换表示.
`rho(g)` 在基底 `x_1, cdots, x_n` 下的矩阵是 `n` 阶置换矩阵,
即每行每列有一个元素是 1, 其余元素全为 0.
- 正则表示: 有限群的重要表示 有限群 `G` 对自身的左平移作用是 `(g, x) mapsto g x`.
它也是一个置换, 因此可以考虑其置换表示.
记 `bbb F[G]` 是 `G` 生成的自由模, 换言之
`G` 的全体元素构成表示空间 `bbb F[G]` 的基底:
`sum_(g in G) a_g g in bbb F[G]`.
`G` 的正则表示 `rho` 是忠实的, 因为
`g in "Ker" rho`
`iff rho(g) = 1`
`iff (AA x in G) rho(g)(x) = x`
`iff (AA x in G) g x = x`
`iff g = 1`.
表示的组成与分解
子表示, 商表示, 直和表示
设 `rho: G to GL(V)` 是 `G` 的一个表示. `W` 是 `V` 的线性子空间.
- 若对任意 `g in G`, `W` 都是线性变换 `rho(g)` 的不变子空间, 即
`rho(g)(W) sube W`, `quad AA g in G`,
则称 `W` 是 `G` 不变子空间. `0` 和 `V` 是两个平凡的 `G` 不变子空间.
两个 `G` 不变子空间的交与和仍是 `G` 不变子空间.
- 设 `W` 是 `G` 不变子空间. 将 `rho(g)` 限制在子空间 `W` 上, 得到
`rho_W := g mapsto rho(g)|_W`,
这是 `G` 在子空间 `W` 上的表示, 称为 `W` 诱导的 `rho` 的子表示.
- 商空间 `V // W` 上的映射
`bar rho(g) := v + W mapsto rho(g)(v) + W`
也诱导了表示 `bar rho`, 称为 `W` 诱导的 `rho` 的商表示.
-
若 `V_1, V_2` 是 `V` 的两个 `G` 不变子空间, 且 `V = V_1 o+ V_2`, 则它们互为
`G` 不变补空间.
- 设 `rho_1, rho_2` 是 `G` 的两个表示, 表示空间为 `V_1, V_2`. 则
`rho_1 o+ rho_2 := g mapsto rho_1(g) o+ rho_2(g)`
称为 `rho_1, rho_2` 的直和表示.
可约性
-
若表示 `rho` 只有平凡的不变子空间, 则称它是不可约的, 否则是可约的.
显然一次表示都是不可约的.
-
若 `V` 中的每个 `G` 不变子空间都有 `G` 不变补空间, 则称 `rho` 是完全可约的.
不可约表示都是完全可约的.
完全可约表示的子表示也完全可约.
有限维完全可约表示可以分解为有限个不可约子表示的直和:
`V = O+ V_k`, `quad V_k` 是 `G` 不变子空间,
`rho = O+ rho_(V_k)`, `quad rho_(V_k)` 是不可约子表示.
形象地说, 有限维完全可约, 就是可以将它完全分解到不可约为止.
设 `G` 有两个等价表示 `rho_1, rho_2`, 则
- `rho_1` 可约 `iff rho_2` 可约;
- `rho_1` 完全可约 `iff rho_2` 完全可约.
(Maschke) 有限群的有限维常表示是完全可约的.
(非常好性质!)
- 设 `(varphi, V)` 是群 `G` 的线性表示.
若 `varphi` 不可约, 则它完全可约.
下设 `varphi` 可约, 则存在非平凡的 `G` 不变子空间 `V_1 sube V`.
根据线性空间相关理论, 存在 `V_1` 的补空间 `V_2` 使得 `V = V_1 o+ V_2`.
但 `V_2` 未必是 `G` 不变的. 我们打算在 `V_2` 的基础上作出 `V_1` 的 `G` 不变补空间.
-
由线性变换相关理论知道, 如果线性变换 `bm A, bm B` 可交换, 则 `"Im"bm B` 是 `bm A` 的不变子空间.
因此, 如果对任意 `g in G` 有 `varphi(g) bm B = bm B varphi(g)`, 则 `"Im"bm B`
就是一个 `G` 不变子空间.
-
我们希望进一步有 `V = V_1 o+ "Im"bm B`. 回想投影变换的相关性质: 若 `bm B`
是投影变换, 则 `V = "Ker"bm B o+ "Im"bm B`. 因此只需让 `V_1 = "Ker"bm B` 即可.
-
具体做法如下: 由于 `V = V_1 o+ V_2`, 存在投影变换
`bm P` 使得
`V_1 = "Ker" bm P`, `quad V_2 = "Im" bm P`.
因为 `G` 是有限群, 可以令
`bm B = b sum_(h in G) varphi(h) bm P varphi(h)^-1`,
其中 `b in bbb F-{0}` 是一个待定系数. 于是对任意 `g in G`,
`varphi(g) bm B varphi(g)^-1`
`= b sum_(h in G) varphi(g h) bm P varphi(g h)^-1`
`= b sum_(y in G) varphi(y) bm P varphi(y)^-1`
`= bm B`.
由 2. 知 `"Im"bm B` 是一个 `G` 不变子空间.
-
根据 3. 的启发, 我们希望有 `"Ker"bm B = V_1`, 且 `bm B` 是一个投影变换.
下面探究 `"Ker"bm B` 与 `V_1` 的关系. 任取 `v in V_1`,
因为 `V_1` 是 `G` 不变子空间, `varphi(h)^-1 v in V_1`, 又 `V_1 = "Ker" bm P`, 有
`bm B v`
`= b sum_(h in G) varphi(h) bm P varphi(h)^-1 v`
`= b sum_(h in G) varphi(h) 0`
`= 0`,
于是 `V_1 sube "Ker"bm B`.
-
我们还需证明 (1) `"Ker"bm B sube V_1`; (2) `bm B` 是一个投影变换.
下面指出, 只要证明
(3) 对任意 `v in V` 有 `v - bm B v in V_1`.
就可以同时得到 (1) (2) 两个结论. 这是因为一方面对任意 `v in V`,
`v - bm B v in V_1 sube "Ker"bm B`,
所以 `bm B(v - bm B v) = 0`, 即 `bm B^2 = bm B`, 说明 `bm B` 是投影变换;
另一方面, 对任意 `u in "Ker"bm B`, 有 `u = u - bm B u in V_1`, 即 `"Ker"bm B sube V_1`.
-
下面证 (3). 把 `v - bm B v` 写为 `(bm(I-B)) v`, 其中
`bm(I-B)`
`= 1/|G| sum_(h in G) bm I - b sum_(h in G) varphi(h) bm P varphi(h)^-1`.
由于 `varphi` 是常表示, `|G| != 0_(bbb F)`, 所以 `|G|` 在 `bbb F` 中有逆元.
特别取 `b = 1//G` 时, 上式化为
`bm(I-B)`
`= 1/|G| sum_(h in G) varphi(h)(bm I - bm P)varphi(h)^-1`.
注意到 `bm(I-P)` 也是投影变换, 且 `"Im"(bm(I-P)) = "Ker"bm P = V_1`, 因此 `AA h in G`,
`varphi(h) (bm I - bm P) varphi(h)^-1 v in V_1`
从而 `(bm(I-B)) v in V_1`. 证毕.