可解群

单群

如果一个非平凡的群 `G`, 它的正规子群只有 `{e}` 和 `G`, 则称 `G` 为单群.

如同素数是构成整数的“基本粒子”, 单群是构成群的“基本粒子”. 那么有哪些单群呢? 下面的定理指出, 最简单的一种单群是素数阶循环群.

素数阶循环群是单群; 反之单群中的 Abel 群必为素数阶循环群. 也就是说, 其它的单群都不满足交换律.

由 Lagrange 定理, 素数阶循环群显然只有平凡子群.
反之设 `G` 为 Abel 群, 它的每个子群都是正规子群, 又 `G` 是单群, 所以 `G` 只有平凡的子群, 即 `G` 为素数阶循环群. 事实上, 取 `G` 中非单位元 `a`, 由于 `G` 只有平凡子群, 所以 `a` 生成整个群 `G`. 若 `|G| = mn`, `m, n gt 1`, 则 `(:a^m:)` 为一非平凡子群, 矛盾. 故 `|G|` 为素数.

单群的同态像也是单群.

不妨设 `f: G to G'` 为一群满同态 (否则 `f` 是到 `f(G)` 上的满同态). 取 `G'` 的正规子群 `N' != {e'}`, 则 `f^-1(N') normal G`, 但 `G` 为单群, 故 `f^-1(N')` 等于 `{e}` 或 `G`. 但由 `f` 是满射知道, `N' = f(f^-1(N')) != {e'}`, 故只能 `f^-1(N') = G`. 再由 `f` 是满射, `N' = f(f^-1(N')) = f(G) = G'`. 所以 `G'` 为单群.

`n ge 5` 时, `A_n` 为单群.

    令 `H normal A_n`, `H != {(1)}`. 下证 `H = A_n`.
  1. 先证 `H` 中含有一 `3`-轮换. 我们通过考察 `H` 中元素的不动点数来证明它. 令 `tau in A_n`. 称 `i` 为 `tau` 的一个不动点, 如果 `tau(i) = i`. `tau` 的不动点数记为 `f(tau)`. 又令 `pi` 是 `H` 中不动点数最多的非幺元, 下证 `f(pi) = n-3`. 事实上 由对换为奇置换知 `f(pi) != n-2`, 从而 `f(pi) le n-3`. 假设 `f(pi) lt n-3`. 由于 `pi` 能分解成互不相交的轮换的乘积, 于是
  2. 若 `pi` 的分解式中只有对换, 则 `pi^-1 = pi`. 由于 `pi` 至少使 `3` 个点发生了移动, 不妨令 `pi = (12)(34) cdots`. 取 `sigma = (345) in A_n`. 显然除了 `5`, `pi` 的不动点也是 `tau := pi^-1 sigma pi sigma^-1 = pi (12)(45) cdots in H` 的不动点. 显然 `tau != (1)`, 否则推出 `pi = pi^-1 = sigma`. 又 `tau(1) = 1`, `tau(2) = 2`, 而 `pi(1) = 2`, `pi(2) = 1`, 因此 `f(tau) gt f(pi)`, 一个矛盾.
  3. 若 `pi` 的分解式中至少有一 `k`-轮换, `k ge 3`, 不妨令 `pi = (123 cdots)cdots`. 若 `f(pi) = n-4`, 则不妨令 `4` 也不是不动点, 从而 `pi = (1234) = (14)(13)(12) !in A_n`, 一个矛盾. 若 `f(pi) le n-5`, 则不妨令 `4, 5` 也不是不动点. 令 `sigma = (345) in A_n`. 显然 `pi` 的不动点也是 `tau := pi^-1 sigma pi sigma^-1` `= (pi^-1(3), pi^-1(4), pi^-1(5)) sigma^-1 in H` 的不动点. 显然 `tau != (1)`. 又 `tau(1) = 1`, 从而 `f(tau) gt f(pi)`, 一个矛盾. 因此, `f(pi) = n-3`, 即 `pi` 为一 `3`-轮换.
  4. 下证 `H` 含所有 `3`-轮换. 不妨令 `pi = (123)`, 则关于任意 `(i j k) in A_n`, 取置换 `delta = ( 1, 2, 3, 4, cdots, n; i, j, k, delta(4), cdots, delta(n); )`, 则 `(i j k) = delta (123) delta^-1`. 若 `delta` 为一偶置换, 则取 `varphi := delta`. 若 `delta` 为一奇置换, 则 `varphi := delta (45)` 为一偶置换, 且 `varphi (123) varphi^-1 = (i j k)`. 总之存在 `varphi in A_n`, 使得 `(i j k) = varphi pi varphi^-1 in H`. 由于 `A_n` 由全体 `3`-轮换生成, 所以 `H = A_n`.

[参见 有限单群分类定理] 除了素数阶循环群以外, `A_5` 是最小单群, 它的阶为 60, Cayley 图状如足球. 除此之外最小的单群是 168 阶的射影特殊线性群 `PSL(2,7)`. 全部的有限单群已经被人们发现并归类为 18 个族, 它们包括素数阶循环群 `C_p`, 交代群 `A_(n ge 5)` 等等. 在这些单群家族以外, 还有 26 个不便归类的散在单群, 其中最大的两个称为魔群和小魔群.

导群

令 `G` 为一群, `a, b in G` 的换位子 (commutor)定义为 `[a, b] := a^-1 b^-1 a b`. 容易验证, `a b = b a[a, b]`, `quad [a, b]^-1 = [b, a]`. `G` 中全体换位子生成的子群称为 `G` 的导群 (或换位子群): `G' := (: [a, b] | a, b in G:)`. 如果 `G = G'`, 则称 `G` 是完美 (perfect) 的.

    设 `e` 为群 `G` 的幺元, `a, b in G`. 则
  1. `a b = b a` 当且仅当 `[a, b] = e`;
  2. `G` 为一 Abel 群当且仅当 `G' = {e}`;

由于 `a b` 乘以换位子就得到 `b a`, 换位子以及导群可以用来刻画一个群“不可交换”的程度. 换位子和导群越复杂, 就说明 `a b` 到 `b a` 相差得越远. 反之, 在 Abel 群中, 换位子和导群则简单到了极致.

令 `G` 为一群, 则 `G' normal G`.

`AA [a, b] in G'`, `g in G`, `g[a, b]g^-1` `= g a^-1 b^-1 a b g^-1` `= g a^-1 (g^-1 g) b^-1 (g^-1 g) a (g^-1 g) b g^-1` `= (g a^-1 g^-1) (g b^-1 g^-1) (g a g^-1) (g b g^-1)` `= [g a g^-1, g b g^-1] in G'`. 从而 `G' normal G`.

单群中除了素数阶循环群就是完美群.

若 `G` 为单群, 由于单群的正规子群只有平凡群和它自身, 故 `G' = {e}` 或 `G' = G`. 前者说明 `G` 为 Abel 群, 即素数阶循环群; 后者说明 `G` 是完美群.

`S_n' normal A_n`.

由 `S_n` 的任一换位子是偶置换知 `S_n' le A_n` (任取换位子 `a^-1 b^-1 a b`, 由 `a, a^-1`; `b, b^-1` 的奇偶性分别相等知 `a^-1 b^-1 a b in A_n`). 再由 `S_n' normal S_n` 推出 `S_n' normal A_n`.

可解群

群 `G` 的 `n` 阶导群定义为: `G^((0)) = G`, `quad G^((n+1)) = (G^((n)))'`, `quad n = 0, 1, 2, cdots`. 如果存在非负整数 `n` 使 `G^((n)) = {e}`, 则称 `G` 是可解群 (solvable group). 显然 Abel 群是可解群, 因为它的导群就是 `{e}`.

非平凡的完美群不是可解群, 因为无论怎么求导都得到它自己. 反之任意不可解的有限群 `G` 存在一个 `n` 阶导群 `G^((n))` 是非平凡完美群.

若 `G^((n))` 不是完美群, 则它有真子群 `G^((n+1))`. 但 `G` 是有限群, 这一过程不可能无限进行下去, 必存在 `n` 使 `G^((n)) = G^((n+1))`. 由 `G` 不可解知 `G^((n))` 非平凡.

    单群中只有素数阶循环群是可解的, 其余单群都是完美群, 因而不可解.

可解单群 `=` 素数阶群 `sub` 循环群 `sub` Abel 群 `sub` 可解群.

    `A_n` 的可解性
  1. `A_1, A_2` 为平凡群, 是可解群; `A_3` 为素数阶 (3阶) 群, 也是可解群;
  2. `A_4` 是可解群: 用换位子的定义计算可得 `A_4' = K_4`. `K_4` 是 Abel 群因而可解.
  3. `n ge 5` 时, `A_n` 为单群, 但它不是素数阶群, 因此不可解. 事实上, `n ge 4` 时 `A_n` 不是 Abel 群, 故 `n ge 5` 时 `A_n` 为完美群.
    `S_n` 的可解性
  1. `S_1, S_2` 是 Abel 群, 因此为可解群.
  2. `S_3` 是可解群. 3 阶群 `A_3` 的子群 `S_3'` 的阶只能是 1 或 3. 若 `|S_3'| = 1`, 则 `S_3` 为 Abel 群, 矛盾; 所以 `|S_3'| = 3`, 即 `S_3' = A_3`. 而 `A_3` 是可解群.
  3. `S_4` 是可解群; 因为 `S_4' le A_4`, 反之可以验证, `A_4` 的任一元素都为 `S_4` 的换位子, 故 `S_4' = A_4`. 而 `A_4` 是可解群.
  4. `n ge 5` 时, `S_n` 不是可解群. 注意到 `S_n' normal A_n`, 且 `n ge 3` 时 `S_n` 不是 Abel 群, 所以 `S_n' = A_n`. 但是 `A_n` 的任意阶导群都是自己, 所以 `S_n` 不是可解群.
`S_n` 的各阶导群
`'` `''` `'''`
`S_1` `{e}`
`S_2` `{e}`
`S_3` `A_3` `{e}`
`S_4` `A_4` `K_4` `{e}`
`S_5` `A_5` `A_5` `A_5`

在 Galois 理论中, 我们将利用 `n ge 5` 时 `S_n` 不是可解群这一结论, 说明一般五次及以上方程没有根式解. 这一推理过程是非常巧妙的.

    令 `G` 为一群, `varphi` 是群同态, 则
  1. `H le G` `rArr H' le G'`;
  2. `(varphi(G))' = varphi(G')`.
  1. 因为 `H le G`, `H` 的换位子都是 `G` 的换位子, 从而 `H' le G'`.
  2. `AA a, b in G`, `[varphi(a), varphi(b)] = varphi[a, b]`, 从而 `(varphi(G))' = varphi(G')`.

可解群的子群和同态像均为可解群.

    令 `G` 为一群, `N normal G`, 则
  1. 若 `G` 可解, 则 `G//N` 可解;
  2. 若 `N`, `G//N` 可解, 则 `G` 可解.
  1. `G//N` 是 `G` 在自然同态 `eta: g in G to g N in G//N` 下的像, 因而可解.
  2. 因为 `N`, `G//N` 都可解, 存在非负整数 `s, t`, 使 `N^((s)) = {e}`, `quad (G//N)^((t)) = {bar e}`. 其中 `e, bar e` 分别为 `N, G//N` 的幺元. 因为 `G//N` 是 `G` 在自然同态 `eta` 下的像, 故对非负整数 `t`, 有 `{bar e} = (G//N)^((t)) = (eta(G))^((t))` `= eta(G^((t))) = (G^((t)) N)//N`. (注意未必有 `N normal G^((t))`, 因为未必有 `N le G^((t))`; 但一定有 `N normal G^((t)) N`, 这是因为 `G^((t)) N = N G^((t))`, 故 `N le G^((t)) N le G`, 又 `N normal G`) 因此 `G^((t)) N = N`, 从而 `G^((t)) le N`. 于是 `G^((s+t)) le N^((s)) = {e}`, 即 `G` 可解.

子群列

令 `G` 为非平凡群, `M lhd G` (即 `M normal G` 且 `M != G`). 称 `M` 为 `G` 的一个极大正规子群, 如果包含 `M` 的 `G` 的正规子群只有 `M` 和 `G`, 即 `(AA N normal G)` `M sub N rArr N = G`.

任意非平凡有限群 `G` 都有极大正规子群.

`|G| = 2` 时, `{e}` 即是 `G` 的极大正规子群; `|G| = n gt 2` 时, 任取 `M_1 lhd G`, 若 `M_1` 不极大, 则存在 `M_2 lhd G`, `M_1 sub M_2`. 这蕴含 `|M_1| lt |M_2|`. 若 `M_2` 不极大, 类似可得 `M_3, M_4, cdots`, 且 `|M_1| lt |M_2| lt |M_3| lt cdots`. 但 `|G|` 有限, 这一序列也有限, 所以存在 `G` 的极大正规子群.

若群 `M lhd G`, 则 `M` 为 `G` 的一个极大正规子群当且仅当 `G//M` 为一单群.

充分性: 任取 `N normal G`, 且 `M sub N`, 由 `M lhd G` 知 `M lhd N`. 考察 `N//M = {n M | n in N} le G//M`. 因为 `N normal G`, 所以 `N//M normal G//M`, 但 `G//M` 为单群, 又由 `M sub N`, `N//M != {M}`, 故 `N//M = G//M`, 即 `N = G`.
必要性: 作自然同态 `eta: g in G to g M in G//M`. 取 `H normal G//M`, 且 `H != {M}`, 又记 `K = eta^-1(H) normal G`. 由 `{M} sub H`, `M = eta^-1({M}) sub eta^-1(H) = K`. 但 `M` 是极大正规子群, 故 `K = G`, `H = eta(K) = G//M`.

令 `G` 为非平凡群, `k ge 1`. 称 `G` 的子群列 `G = G_0 rhd G_1 rhd cdots rhd G_k = {e}` 为 `G` 的一个长度为 `k` 的合成群列, 如果各个合成因子 `G_i//G_(i+1)` 为一单群, `i = 0, 1, cdots, k-1`.

`G_i//G_(i+1)` 为单群, 则 `G_(i+1)` 为 `G_i` 的一个极大正规子群. 这保证了合成群列中不能再插入其他子群.

任意非平凡有限群 `G` 有合成群列.

`|G| = 2` 时, `G rhd {e}` 即为 `G` 的一个合成群列. `|G| = n gt 2` 时, 假设阶小于 `n` 的非平凡有限群有合成群列, 考查阶为 `n` 的情形. 若 `G` 为单群, 则 `G rhd {e}` 为 `G` 的一个合成群列; 否则取 `G` 的极大正规子群 `M`, 显然 `1 lt |M| lt |G|`. 由归纳假设, `M` 有合成群列. 又 `G//M` 为单群, 可以将 `G` 加入到 `M` 的合成群列中, 成为 `G` 的一个合成群列.

令 `G` 为一群, `k ge 1`, 称 `G` 的子群列 `G = G_0 rnormal G_1 rnormal cdots rnormal G_k = {e}` 为 `G` 的一个长度为 `k` 的次正规群列, `G_i//G_(i+1)` 称为 `G` 的次正规因子; 若进一步 `G_i normal G`, 则上述群列称为 `G` 的正规群列, `G_i//G_(i+1)` 称为 `G` 的正规因子; `i = 0, 1, cdots, k-1`.

合成群列是次正规群列, 正规群列是次正规群列.

可解群的等价条件

设群 `H le G`, 如果对 `G` 上任意自同构映射 `sigma` (即 `sigma in "Aut"(G)`), 有 `sigma(H) = H`. 则称 `H` 为 `G` 的一个特征子群, 记为 `H" char "G`. 换言之, `H" char "G` 当且仅当对任意 `sigma in "Aut"(G)`, 都有 `sigma|_H in "Aut"(H)`.

  1. `{e}" char "G`, `G" char "G`. 称 `{e}, G` 为 `G` 的平凡特征子群.
  2. `Z(G)" char "G`.
  1. 显然.
  2. 由 `sigma` 为满同态, `AA sigma(g) in G, x in Z(G)`, `sigma(g) sigma(x) = sigma(g x) = sigma(x g) = sigma(x) sigma(g)`, 故 `sigma(x) in Z(G)`, 即 `sigma(Z(G)) sube Z(G)`.
    另一方面, `AA sigma(x) in Z(G), g in G`, `sigma(x g) = sigma(x) sigma(g) = sigma(g) sigma(x) = sigma(g x)`, 由 `sigma` 为单射知 `x g = g x`. 故 `x in Z(G)`, 即 `sigma^-1(Z(G)) sube Z(G)`, 从而 `Z(G) = sigma(sigma^-1(Z(G))) sube sigma(Z(G))`.

特征子群是正规子群.

取 `sigma: h in H to g h g^-1 in G` 即可.

特征子群的传递性 设群 `K" char "H" char "G`, 则 `K" char "G`.

令 `sigma in "Aut"(G)`, 由 `H" char "G` 知 `sigma|_H in "Aut"(H)`, 又由 `K" char "H` 知 `sigma|_K = (sigma|_H)_K in "Aut"(K)`, 因此 `H" char "G`.

令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n))" char "G`.

令 `sigma in "Aut"(G)`, 则 `sigma(G^((n))) = (sigma(G))^((n)) = G^((n))`, 即 `G^((n))" char "G`.

令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n)) normal G`. 于是 `G` 可解时, `G^((n))`, `n = 0, 1, cdots, k` 构成 `G` 的一个正规群列.

由于正规子群不具有传递性, 我们利用特征子群的概念才得到这一结果.

令群 `N normal G`, 则 `G//N` 为一 Abel 群当且仅当 `G' sube N`.

`G//N` 为一 Abel 群 `iff (AA a, b in G) a N * b N = b N * a N` `iff (AA a, b in G) (a b)N = (b a)N` `iff (AA a, b in G) (b a)^-1(a b) in N` `iff (AA a, b in G) a^-1 b^-1 a b in N` `iff G' sube N`.

`G//G'` 为一 Abel 群.

这个定理告诉我们, `G'` 是使得 `G//N` 为一 Abel 群的最小正规子群 `N`; 换言之, `G//G'` 是同构意义下最大的形如 `G//N` 的 Abel 群.

    可解群的等价条件 令 `G` 为一群, 则以下几款等价:
  1. `G` 可解;
  2. `G` 有一正规群列, 且它的所有正规因子都为 Abel 群;
  3. `G` 有一次正规群列, 且它的所有次正规因子都为 Abel 群.
  1. `rArr` 2. 利用和即可.
  2. `rArr` 3. 显然.
  3. `rArr` 1. 令 `k ge 1`, `G = G_0 rnormal G_1 rnormal cdots rnormal G_k = {e}` 为 `G` 的一个次正规群列, 且 `G_i//G_(i+1)` 为一 Abel 群, `i = 0, 1, cdots, k-1`. 下证 `G^((i)) le G_i`, `i = 1, 2, cdots, k`, 从而 `G^((k)) le G_k = {e}`, 就推出 `G` 可解.
    关于 `i` 应用数学归纳法. 当 `i = 1` 时, 由于 `G//G_1` 为一 Abel 群, 则 `G' sube G_1`, 结论成立.
    假设 `i-1` 时结论成立, 考察 `i gt 1` 的情形, 由于 `G_(i-1)//G_i` 为一 Abel 群, 则 `G_(i-1)' sube G_i`, 由归纳假设 `G^((i)) = (G^((i-1)))' sube G_(i-1)' sube G_i`.

非平凡有限群 `G` 可解当且仅当 `G` 有一合成群列, 且它的所有合成因子都为素数阶循环群. 换言之, 有限可解群是由最简单的单群——素数阶循环群合成的.

充分性. 素数阶循环群必为 Abel 群, 合成群列是次正规群列. 应用知 `G` 可解.
必要性. 由于 `G` 为非平凡有限群, 故 `G` 有一合成群列. 令 `H//K` 为 `G` 的一个合成因子, 其中 `K lhd H le G`, 则由 `G` 可解知, `G` 的子群 `K, H` 都可解, 从而 `H//K` 可解. 但 `H//K` 又是单群, 所以 `H//K` 为一素数阶循环群.

自同构群

令 `G` 为一群, `G` 上的全体自同构映射 `"Aut"(G)` 关于变换的通常合成为一群, 称为 `G` 的自同构群.

    循环群的自同构群
  1. 循环群的自同构群为 Abel 群;
  2. `n` 阶循环群同构于整数模 `n` 加群 `ZZ_n`. `"Aut"(ZZ_n)` 为一 `varphi(n)` 阶 Abel 群, `varphi(n)` 为 Euler 函数;
  3. 无穷阶循环群同构于整数加群 `ZZ`. `"Aut"(ZZ) = {n mapsto n, n mapsto -n}`.
  1. `AA sigma, tau in "Aut"(G)`, 其中 `sigma(a) = a^m`, `tau(a) = a^n`, `m, n in ZZ`, 则 `AA a^k in G`, `sigma tau(a^k) = a^(m n k) = tau sigma(a^k)`.
  2. 自同构映射将群的 `k` 阶元映为 `k` 阶元; 特别地, 将生成元映为生成元. 由于每一对生成元之间的对应关系都决定了 `G` 的一个自同构 (如 `sigma(a) = b`, 则 `sigma(a^k) = b^k`), 从而 `|"Aut"(G)|` 等于 `G` 中生成元的个数, 即 `varphi(n)`.
  3. 这是因为 `ZZ` 的生成元只有 `+-1`.

内自同构

群 `G` 中全体共轭变换 `"int"_a(g) = a g a^-1` 构成 `G` 的内自同构群 `"Int"(G) = { "int"_a | a in G }`, 可以验证 `"Int"(G) normal "Aut"(G)`, 又称 `"Out"(G) = "Aut"(G)//"Int"(G)` 为 `G` 的外自同构群.

  1. 显然 `"int"_a` 为双射, 又 `"int"_a(g h) = a(g h)a^-1 = a g a^-1 a h a^-1 = "int"_a(g)"int"_a(h)`, `"int"_a` 为一同构, 故 `"int"_a in "Aut"(G)`.
  2. 由 1. 知 `"Int"(G) sube "Aut"(G)`, 又 `AA "int"_a, "int"_b in "Int"(G)`, `"int"_a^-1 = "int"_(a^-1) in "Int"(G)`, `quad "int"_a "int"_b = "int"_(a b) in "Int"(G)`. 所以 `"Int"(G) le "Aut"(G)`.
  3. `AA "int"_a in "Int"(G), sigma in "Aut"(G), x in G`, `(sigma "int"_a sigma^-1)(x)` `= sigma( "int"_a (sigma^-1(x)))` `= sigma(a sigma^-1(x) a^-1)` `= sigma(a) x sigma(a)^-1` `= "int"_(sigma(a))(x)`. 从而 `sigma "int"_a sigma^-1 = "int"_(sigma(a)) in "Int"(G)`, 于是 `"Int"(G) normal "Aut"(G)`.

令 `G` 为一群, 则 `"Int"G ~= G//Z(G)`.

作 `eta: a in G to "int"_a in "Int"(G)`, 由内自同构的定义知 `eta` 为一满射, 又 `AA g in G`, `"int"_(a b)(g) = (a b)g(a b)^-1 = ("int"_a "int"_b)(g)`, 故 `eta` 为一满同态.
下证 `"Ker"eta = Z(G)`. 这是因为 `a in "Ker"eta` `iff "int"_a = 1_G` `iff (AA x in G) x = "int"_a(x) = a x a^-1` `iff (AA x in G) x a = a x` `iff a in Z(G)`. 根据同态基本定理, `"Int"(G) = "Im"eta ~= G//"Ker"eta = G//Z(G)`.

[群友 千帆过尽，勿忘初心] `n ge 3` 时, 对称群 `S_n` 只有平凡的中心, 因此 `S_n ~= "Int"(S_n)`.

正规化子与中心化子

令群 `H le G`, `g in G`, 则 `g H g^-1 ~= H`, 称为 `H` 在 `G` 中的共轭子群.

作映射 `f: h in H to g h g^-1 in g H g^-1`. 显然 `f` 为双射, 又 `AA h_1, h_2 in H`, `f(h_1) f(h_2) = g h_1 g^-1 g h_2 g^-1` `= g(h_1 h_2)g^-1 = f(h_1 h_2)`, 故 `f` 为一同态, 即 `f` 为一同构.

令 `H` 是 `G` 的子群. 我们希望 `H` 是 `G` 的正规子群, 这当然办不到! 退而求其次, 希望 `H` 在 `G` 的某个子群中正规. 这就是下面要引入的正规化子. 这个过程好比一场投票选举: 每个 `g in G` 都参与对 `H` 的投票: 如果等式 `g H g^-1 = H` 成立, 就投赞成票, 反之投反对票. 正规化子就是群 `H` 的正规性的拥护者.

    令群 `H le G`, 定义
  1. `H` 的正规化子 (normalizer)为 `N_G(H) := {g in G | g H g^-1 = H}` `= {g in G | g H = H g}`.
  2. `H` 的中心化子 (centralizer)为 `Z_G(H) := {g in G | (AA h in H) g h g^-1 = h }` `= {g in G | (AA h in H) g h = h g}`.
  3. 此外, 元素 `x in G` 的中心化子定义为 `Z_G(x) := {g in G| g x g^-1 = x }` `= {g in G | g x = x g}`.
    4. 容易验证 `N_G(H), Z_G(H)` 均为 `G` 的子群, 且 `H` 是 `N_G(H)` 的正规子群, `H` 是 `Z_G(H)` 的中心. 这两个定义有些相似, 但请注意, `N_G(H)` 的定义只要求集合相等, 而 `Z_G(H)` 则达到元素级别的粒度.

若 `H` 有限, 正规化子还可以定义为 `N_G = {g in G | g H g^-1 sube H}`. 事实上, 由于 `g H g^-1 ~= H` 有 `|g H g^-1| = |H|`, 故只能 `g H g^-1 = H`.

    设群 `H le G`, 则
  1. `H normal N_G(H)`; 特别 `H normal G iff N_G(H) = G`;
  2. `Z_G(H) normal N_G(H)`; 特别 `H normal G` 时, `Z_G(H) normal G`;
  3. 若 `K normal H`, 则 `H le N_G(K)`.

`N_G(H) = H` 时, `H` 在 `G` 中的正规程度最差; `N_G(H) = G` 时, `H normal G`, 在 `G` 中的正规程度最好. `Z_G(H) = H` 时, `H` 为一 Abel 群; `Z_G(H) = G` 时, `H le Z(G)`. 另外显然 `Z(G) = Z_G(G)`.

令群 `H le G`, 则 `N_G(H) // Z_G(H) ~= "Int"(N_G(H))|_H le "Aut"(H)`

令 `g in N_G(H)`, 则 `"int"_g(H) = g H g^-1 = H`, 其中 `"int"_g in "Int"(N_G(H))`. 因此 `"int"_g|_H` 为 `H` 上一自同构. 据此, 存在同态 `eta: N_G(H) to "Aut"(H)`
`g to "int"_g|_H`. 又 `"Ker"eta = {g in N_G(H) | "int"_g|_H = 1_H}` `= {g in N_G(H) | (AA h in H) g h g^-1 = h}` `= Z_G(H) nn N_G(H)` `= Z_G(H)`. 于是由群同态基本定理 `N_G(H)//Z_G(H)` `= N_G(H)//"Ker"eta ~= "Im"eta` `= Int(N_G(H))|_H le` `"Aut"(H)`.

令群 `H normal G`, 则 `N_G(H) = G`, 于是 `G//Z_G(H) ~= "Int"(G)|_H le "Aut"(H)`.

在上面的推论中取 `H = G`, 可以看到 是 的推广.

令 `G` 为一群, `a in G`, 且 `(:a:) normal G`. 则 `G' sube Z_G((:a:))`.

由, `G//Z_G((:a:)) ~= "Int"(G)|_(:a:) le "Aut"((:a:))` 后者是循环群的自同构群, 必为 Abel 群, 所以 `G//Z_G((:a:))` 也是 Abel 群. 从而 `G' sube Z_G((:a:))`.

正合列

正合列是指形如 `G_1 to G_2 to cdots to G_n` 的一列群, 相邻两个群之间带有同态映射, 且 每个 `G_(i-1) to G_i` 的像等于 `G_i to G_(i+1)` 的核.

设 `G` 为一群, `H` 是 `G` 的正规子群, 则有正合列 `{e} to overset "子群" (underset "核" H) to G to overset"商群"(underset"像"(G//H)) to {e}`. 两个例子是 `{e} to Z(G) to G to "Int"(G) to {e}`,
`{e} to "Int"(g) to "Aut"(G) to "Out"(G) to {e}`.

群作用与有限群的 Sylow 定理

群作用

    考虑群 `G` 与非空集合 `X`, 若映射 `f: G xx X to X`
    `(g, x) mapsto f(g, x) := g(x)`,     满足以下两条性质:
  1. `(g h)x = g(h x)`, `AA g, h in G, AA x in X`;
  2. `e x = x`, `AA x in X`, `e` 是 `G` 的幺元.
    3. 则 `f` 称为 `G` 在 `X` 上的一个作用. 由定义有 `g^-1(g(x)) = (g^-1 g)x = e x = x`.
  1. 线性空间 `(V";" bbb F)` 的数乘运算 `(k, alpha) mapsto k alpha` 是 `bbb F` 的乘法群在 `V` 上的一个群作用.
  2. 群 `G` 上的左平移变换 `(g, x) mapsto g x` 是 `G` 对自身的群作用. 右平移类似.
  3. 群 `G` 上的共轭变换 `(g, x) mapsto g x g^-1` 是 `G` 对自身的群作用.
  4. 群 `G` 关于子群 `H` 的左陪集全体 `G//H_l = {g H | g in G}` 称为 `G` 的一个齐性空间. 齐性空间未必构成群, 它的要求低于商群. `(g, a H) mapsto (g a) H` 是 `G` 在 `G//H_l` 上的一个群作用. 右陪集类似.

群作用 `f: G xx X to X` 与群同态 `eta: G to S_X` 一一对应. 其中 `S_X` 是 `X` 上的对称群, 亦即 `X` 上全体可逆变换.

设有群作用 `f(g, x) := g(x)`, 作 `eta: g in G to sigma_g in S_X`, 其中 `sigma_g: x to g(x)`. 先证 `sigma_g in S_X`, 即 `sigma_g` 为双射. 显然 `sigma_g` 是 `X` 上的变换. 又 `AA x in X`, `sigma_(g^-1) @ sigma_g{::}(x)` `= sigma_(g^-1)(sigma_g{::}(x))` `= g^-1(g(x)) = x`, 所以 `sigma_(g^-1) @ sigma_g = 1_X`. 同理 `sigma_g @ sigma_(g^-1) = 1_X`, 于是 `sigma_g` 为一双射. 又 `AA g, h in G`, `x in X`, `eta(h g)(x) = sigma_(h g)(x)` `= (h g)(x) = h(g(x))` `= sigma_h(sigma_g{::}(x)) = (sigma_h @ sigma_g)(x)` `= [eta(h) eta(g)](x)`, 因此 `eta` 为一同态映射.
反之, 令 `eta: G to S_X` 为同态映射. 作映射 `f: (g, x) in G xx X to (eta(g))(x) in X`. 由于 `AA g, h in G`, `x in X`, `(h g)(x) = eta(h g)(x) = (eta(h) @ eta(g))(x)` `= eta(h)(eta(g)(x)) = h(g(x))`;
`e(x) = eta(e)(x) = 1_X(x) = x`. 因此 `f: G xx X to X` 为群作用.

定理告诉我们, 定义了群作用 `f(g, x)` 后, 每取定一个群元 `g in G`, 就对应有 `X` 上的一个可逆变换 `sigma_g`, 且 `G` 到 `S_X` 间是群同态的关系, 亦即 `sigma_g` 保持了 `g` 在 `G` 中的代数运算. 反之, 如果每取定一个 `g in G`, 就对应有 `X` 上的可逆变换 `sigma_g`, 且 `sigma_g` 保持 `g` 在 `G` 中的代数运算, 我们也就定义了一个群作用 `f(g, x)`.

群作用的轨道与不动点

令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 定义 `X` 上二元关系 `~` 如下: `x ~ y iff (EE g in G) g(x) = y`. 可以验证 `~` 为 `X` 上一等价关系. 元素 `x in X` 所在的等价类记为 `O_x := {g(x) | g in G}`. 这是 `x` 在群作用 `f` 下能到达的地方, 称为 `f` 的一个轨道. 显然 `X` 是全体不同轨道的无交并. 若 `f` 只有一个轨道, 则称它是可迁的.

群 `G` 在共轭作用 `g(x) = g x g^-1` 下的轨道是其共轭类. `G` 是全体共轭类的无交并. 正规子群是一到多个共轭类的并, 这是因为正规子群满足 `AA g in G`, `g H g^-1 sube H`, 即它的共轭像含于自身.

令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 任取 `x in X`, 考虑 `x` 何时为不动点. 事实上, 定义 `H_x := {g in G | g(x) = x}` 由 `e in H_x` 知 `H_x` 非空. 容易验证 `H_x le G`, 称为 `x` 在 `f` 下的稳定子群或稳定化子.

`AA a, b in G`, 若 `a x = b x = x`, 则 `a b^-1 x = a b^-1(b x) = a x = x`. 所以 `a b^-1 in H_x`.

如果 `x in X` 在任意 `g in G` 的作用下都不动: `(AA g in G) g(x) = x`, 即 `O_x = {x}`, 亦即 `H_x = G`, 则称 `x` 为 `f` 的不动点.

群 `G` 在共轭作用 `g(x) = g x g^-1` 下的稳定子群 `H_x` 等于元素 `x` 的中心化子 `Z_G(x)`; `G` 在共轭作用下的不动点的全体就是 `Z(G)`. 设 `G` 是有限群, 若记 `x` 在共轭作用下的轨道为 `C(x)`, 则我们有记数公式: `|G| = |Z_G(x)| |C(x)|`. 有限群 `G` 被划分为共轭类的不交并, 这给出类方程: `|G| = sum_(共轭类 C) |C|`.

轨道-稳定子群引理 令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 则 `|G| = |O_x| |H_x|`.

只需建立 `G // H_(x,l) to O_x` 的双射, 从而 `|O_x| = |G//H_(x,l)| = [G:H_x]`. 事实上, 作 `varphi: G//H_(x,l) to O_x`
`a H_x mapsto a(x)`. 则由 `a H_x = b H_x iff a^-1 b in H_x` `iff x = (a^-1 b) x` `iff a(x) = b(x)` 知, `varphi` 为一映射, 且为一单射, 又由轨道定义, `varphi` 为一满射, 因此 `varphi` 为一双射.

Pólya 计数

[来自 知乎@Pika369]

群作用的轨道自然形成了集合 `X` 的划分 `X//G = {O_x | x in X}`. Pólya 计数定理主要解决轨道数目 `|X//G|` 的计算问题.

回忆稳定子群的定义, 固定集合元素 `x`, 它的稳定子群是群 `G` 中使得 `g(x) = x` 的 `g` 的集合: `H_x := {g in G | g(x) = x}`. 现在先固定 `G` 中元素 `g`, 用 `X^g` 表示集合 `X` 中满足 `g(x) = x` 的 `x` 的集合: `X^g := {x in X | g(x) = x}`.

Burnside 引理 有限集合 `X` 在有限群 `G` 作用下的轨道数目为 `|X//G| = 1/|G| sum_(g in G) |X^g|`.

引入记号 `[g(x) = x] = {1, if g(x) = x; 0, otherwise:}` 交换求和次序, 应用轨道-稳定子群引理: `sum_(g in G) |X^g|` `= sum_(g in G) sum_(x in X) [g(x) = x]` `= sum_(x in X) sum_(g in G) [g(x) = x]` `= sum_(x in X) |H_x|`
`= sum_(x in X) |G|/|O_x|` `= |G| sum_(O_x) sum_(x in O_x) 1/|O_x|` `= |G| sum_(O_x) 1` `= |G| |X//G|`.

集合染色问题 用集合 `C` 中的 `m` 种颜色对集合 `X` 中的 `n` 个元素进行染色, 每个染色方案就是 `X` 到 `C` 的一个映射: `f: X to C`,
`x mapsto f(x)`. 若每个元素都独立地染色, 所有方案数为 `|C^X| = m^n`.
现在让置换群 `G` 作用于集合 `X`, 则 `G` 诱导出染色方案集合 `C^X` 上的群作用: 染色方案 `x mapsto f(x)` 在 `G` 的作用下变为 `g(x) mapsto f(x)`. 将同一轨道中的染色方案视为相同方案, 则染色方案总数是多少?

Pólya 定理 集合染色问题的方案数是: `1/|G| sum_(g in G) m^(l(g))`. 其中 `m` 是颜色的个数, `l(g)` 表示置换 `g` 中的轮换个数. 如果 `g` 中的 `k`-轮换数目为 `l_k(g)`, 则 `l(g) = sum_(k=1)^n l_k(g)`. 参见轮换型号.

问题化为计算 `G` 在 `Y = C^X` 上群作用的轨道数. 由 Burnside 引理, 只需算出每个 `g in G` 对应的 `|Y^g|`; 即给定一个置换 `g`, 有多少种染色方案在 `g` 的作用下不变? 事实上, 将 `g` 写为轮换的乘积, 则染色方案 `f` 在 `g` 作用下不变当且仅当 `f` 把 `g` 的同一个轮换中的元素映为同一种颜色.
比如 `g = (1 2 3)(5 7)(6)`, 如果我们把 `1, 2, 3` 染为同一种「颜色 `a`」, `5, 7` 染为同一种「颜色 `b`」, `6` 染为「颜色 `c`」, 那么这个方案在 `g` 的置换下就是不变的. 反之, 要使方案在 `g` 的置换下不变, 则 `1, 2, 3` 必须染为同一种颜色, `5, 7` 必须染为同一种颜色.
这样的方案有几种? 注意到 `a, b, c` 是否是同一种颜色无关紧要, 即它们可以独立地染色, 因此在 `g = (1 2 3)(5 7)(6)` 的置换下不变的方案数有 `m^3` 种. 一般地, 就有 `|Y^g| = m^(l(g))`.

[来自群友 折棒] 正四面体用四种颜色染色有几种方案?

总之, 把正四面体的对称性群 `A_4` 的元素用轮换写出来: 
()
(12)(34)
(13)(24)
(14)(23)
(123)
(321)
(124)
(421)
(134)
(431)
(234)
(432)
其中没有写出的数字应该看作一个单独的轮换, 比如 `(1 2 3)` 写全了应该是 `(123)(4)`, 它由两个轮换构成. 代入 Pólya 公式得到答案 `1/|A_4| sum_(g in A_4) 4^(l(g))` `= 1/12 (4^4 + 11*4^2)` `= 36`.

Pólya 定理的循环群情形 (`G = C_n`) 一个抽奖的圆盘均匀分成 `n` 个扇形, 求用 `m` 种颜色给这些扇形染色的方案数.

  1. 求 `C_n` 的轮换型号. 以 `C_8` 为例, 观察置换 `sigma = (1 3 5 7)(2 4 6 8)`, 它的阶是 `4`, 包含两个 `4`-轮换. 一般地, 可以证明 (??) `C_n` 中的 `d` 阶元包含 `n//d` 个 `d` 轮换.
  2. 那么 `C_n` 有多少个 `d` 阶元呢? 取生成元 `a`, 利用阶数公式 `|a^m| = n/(gcd(m, n))`, `quad m = 1, cdots, n`. 知道, `a^m` 的阶为 `d` 当且仅当 `gcd(m, n) = n/d`. 等号两边除以 `n/d` 得 `gcd(m d/n, d) = 1`, `m d/n` in `[1, d] nn ZZ`. 因此 `C_n` 中的 `d` 阶元有 `varphi(d)` 个, `varphi` 是 Euler totient 函数.
  3. 代入 Pólya 公式. 方案数为 `1/n sum_(g in C_n) m^(l(g))` `= 1/n sum_(d | n) varphi(d) m^(n//d)`.

Pólya 定理的二面体群情形 (`G = D_(2n)`) 求 `n` 颗珠子的项链用 `m` 种颜色染色的方案数.

首先 `D_(2n)` 有一个 `n` 阶子群同构于 `C_n`, 这部分对方案数的贡献是 `1/(2n) sum_(d | n) varphi(d) m^(n//d)`. `D_(2n)` 的剩下 `n` 个元素均为轴对称变换: 因此总方案数为 `1/(2n) sum_(d | n) varphi(d) m^(n//d) + { (m+1)/4 m^(n//2), if n 偶; 1/2 m^((n+1)//2), if n 奇:}`

Sylow 定理

阶为素数幂的群称为`bm p`-群, 如 `|G| = p^k`, 其中 `p` 为一素数, `k in ZZ^+`.

令 `G` 为一 `p`-群, `X` 为一非空有限集, 若群作用 `f: G xx X to X` 有 `n` 个不动点, 则 `|X| -= n (mod p)`. 从而 `p !| |X|` 时, 群作用必有不动点.

令 `X` 为群作用 `f` 的轨道的如下无交并 `X = uuu_(i=1)^m O_(x_i)`, 不妨令 `x_1, x_2, cdots, x_n` 为 `f` 的所有不动点, 则 每个不动点所在的轨道大小为 1, `|X| = n + sum_(i=n+1)^m |O_(x_i)|`. 对任意 `n lt i le m`, `|O_(x_i)| gt 1`, 由, `|O_(x_i)|` 整除 `|G| = p^k`, 所以 `p` 整除 `|O_(x_i)|`. 上式两边同时模 `p` 即得证.

`p`-群有非平凡中心.

令 `|G| = p^k`, 只需说明 `|Z(G)| != 1`. 注意 `Z(G)` 是 `G` 上共轭作用的全体不动点, 因此 `|Z(G)| -= p^k (mod p)`, 立即推出 `|Z(G)| != 1`. 事实上 `|Z(G)|` 整除 `|G| = p^k`, 因此 `|Z(G)| = p^l`, `l` 是某个满足 `1 le l le k` 的整数.

设 `n` 为正整数, `p` 为素数, 且 `p` 在 `n` 中次数为 `l`, 即 `p^l | n` 且 `p^(l+1) !| n`, 则对任意 `0 le k le l`, `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数为 `l-k`.

令 `n = p^l m`, 其中 `p !| m`, 则 `(n;p^k) = n/p^k (n-1;p^k-1)` `= p^(l-k) m (n-1;p^k-1)`. 且 `AA 1 le i le p^k-1`, `0 le t le k`, 由于 `p^t | n`, 有 `p^t | n-i` `iff p^t | i` `iff p^t | p^k-i`, 因此 `(n-1;p^k-1) = ((n-1)cdots(n-(p^k-1)))/((p^k-1)cdots(p^k-(p^k-1)))` 分子分母含有同样多的公因子 `p`, 因而消去因子 `p` 后得到一分子分母都与 `p` 互素的分数 (实际上是整数). 将这结果代回 `(n; p^k)` 的表达式, 注意 `p !| m`, 即知 `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数恰为 `l-k`.

    Sylow 定理 令 `G` 为一 `n` 阶群, 素数 `p` 在 `n` 中的次数为 `l`. 则
  1. 存在性 `G` 必有 `p^k` 阶子群, `k = 1, cdots, l`, 其中 `p^l` 阶的子群 称为 `G` 的 Sylow `bm p`-子群.
  2. 共轭性质 设 `G` 的子群 `|H| = p^k`, `|P| = p^l`, `k le l`. 则 `H` 含于 `P` 的某个共轭子群, 即 `(EE a in G)` `H sube a P a^-1`. 因为共轭子群与原来的子群同构, 从而阶数相同, 所以 Sylow `p`-子群的共轭子群也是 Sylow `p`-子群. 特别取 `k = l` 有 `H = a P a^-1`, 即 `G` 的 Sylow `p`-子群都是相互共轭的.
  3. 惟一性 由 2. 立即得到, `P` 是 `G` 的惟一 Sylow `p`-子群当且仅当它的任意共轭子群都是它自身: `(AA g in G)` `g P g^-1 = P`, 即 `P normal G`.
  4. 数量关系 `G` 的 Sylow `p`-子群的数目 `n_p -= 1 (mod p)`, 且 `n_p p^l | n`.
    存在性的证明.
  1. 令 `X = {A sube G {:|:} |A| = p^k}`. 则 `|X| = (n;p^k)`. 作映射 `f: G xx X to X`
    `(g, A) to g A`.     这里 `g A = {g a | a in A}` 类似于左陪集, 不同之处在于 `A` 是一般的集合. 由于 `G` 上左平移变换为单射, 故 `|g A| = |A|`. 现在 `AA g, h in G`, `A in X`, 有 `e A = A`, `quad (g h) A = g(h A)`, 故 `f` 为群 `G` 在 `X` 上的一个群作用.
  2. 将 `X` 写为 `f` 轨道的无交并: `X = uuu_(i=1)^m O_(A_i)`, `quad |X| = sum_(i=1)^m |O_(A_i)|`. 由引理, `p` 在 `|X|` 中的次数为 `l-k`. 故存在 `1 le j le m`, `p^(l-k+1) !| |O_(A_j)|`, 即 `|O_(A_j)|` 至多含 `l-k` 个素因子 `p`. 根据, `|G| = |O_(A_j)| |H_(A_j)|`. 从而 `|H_(A_j)|` 至少含有 `l-(l-k) = k` 个素因子 `p`, 即 `p^k | |H_(A_j)|`.
  3. 下证 `H_(A_j)` 就是我们要寻找的子群. 因为 `H_(A_j) = {g in G | g A_j = A_j}`, 所以 `AA g in H_(A_j)`, `AA a in A_j`, `g a in A_j`. 从而 `H_(A_j)` 的右陪集 `H_(A_j) a sube A_j`, 因此 `|H_(A_j)| = |H_(A_j) a| le |A_j| = p^k` 但 `p^k | |H_(A_j)|`, 所以 `|H_(A_j)| = p^k`, 即为 `G` 的一个 `p^k` 阶子群.

共轭性质的证明. 令 `X = G//P_l` (`G` 关于 Sylow `p`-子群 `P` 的左齐性空间), 则 `|X| = [G:P] = n//p^l`. 作映射 `f: H xx X to X`
`(h, g P) to (h g)P`. `AA h_1, h_2 in H`, `AA g P in X`, `e(g P) = (e g) P = g P`, `quad (h_1 h_2)g P = (h_1 (h_2 g)) P`. 从而 `f` 为群 `H` 在 `X` 上的一个群作用. 由 `p !| |X|` 知, `f` 有不动点, 记为 `a P`, 即 `AA h in H`, `h (a P) = a P`. 从而 `a^-1 h a in P`, 于是 `a^-1 H a sube P`, 即 `H sube a P a^-1`.

    数量关系的证明.
  1. 先证 `n_p | n`. 令 `X` 为 `G` 的所有 Sylow `p`-子群构成的集合. 作映射 `f_1: G xx X to X`
    `(g, P) to g P g^-1`.     容易验证 `f_1` 为一群作用. 但 `G` 的所有 Sylow `p`-子群都是相互共轭的, 所以 `f_1` 只有一个轨道 `X`, 从而 `n_p = |X| | |G| = n`.
  2. 令 `X = {P_1, P_2, cdots, P_(n_p)}`, 则 `f_2: P_1 xx X to X`
    `(a, P_i) to a P_i a^-1`.     提供 `P_1` 在 `X` 上的一个群作用. 记 `f_2` 的不动点数为 `t`, 则 `n_p -= t (mod p)`.
  3. 下证 `t = 1`. 显然 `P_1 in X` 为 `f_2` 的一个不动点, 若 `P_j` 也为 `f_2` 的不动点, 即 `(AA g in P_1)` `P_j = g P_j g^-1`, 从而 `P_1 sube N_G(P_j)`. 即 `P_1` 为 `N_G(P_j)` 的一个 Sylow `p`-子群. 但 `P_j normal N_G(P_j)` 是 `N_G(P_j)` 的惟一 Sylow `p`-子群, 故 `P_1 = P_j`. 这证明了不动点的惟一性.
  4. 最后由 `n_p | n` 和 `p !| n_p` 知 `n_p p^l | n`.

72, 36 阶群不是单群.

设 `|G| = 72 = 2^3 3^2`, 由 Sylow 定理, `G` 的 Sylow 3-子群的个数 `n_3 = 1+3t | 2^3`, 因此, `t = 0, 1`. 当 `t = 0` 时, `G` 的 Sylow-3 子群只有 1 个, 为 9 阶正规子群. 当 `t = 1` 时, `G` 的 Sylow-3 子群有 4 个, 令 `X` 是这 4 个群的集合: `X = {P_1, P_2, P_3, P_4}`. 考虑 `G` 在 `X` 上的共轭作用, 则由, `G` 的每一元素提供一个 4 次置换, 于是我们得到一个同态映射 `varphi: G to S_4`. 由 `|G| = 72 gt |S_4| = 24` 知, `varphi` 不是单射, 即 `"Ker"varphi != {e}`, 又显然 `varphi(G) != {(1)}` (否则 `G` 只有一个 Sylow 3-子群, 矛盾). 从而 `"Ker" varphi != G`, 于是 `G` 有非平凡的正规子群 `"Ker"varphi` (它是 `varphi(G)` 的平凡正规子群 `{(1)}` 的原像, 因此是正规子群). 综上所述, `G` 不是单群.
类似可证明 36 阶群不是单群.