称一个非平凡群 `G` 为单群, 如果它的正规子群只有 `{e}` 和 `G`.
同构意义下, 单群的商群只能是自身或 `{e}`. 它不能再被分解为更小的商群.
考虑同态 `f: G to H` 的核 `"Ker" f`, 它是 `G` 的正规子群, 所以 `"Ker" f = {e}` 或 `G`. 这意味 `"Im" f = G` 或 `{e}`.
如同素数是构成整数的“基本粒子”, 单群是构成群的“基本粒子”. 那么有哪些单群呢? 我们指出, 最简单的一种单群是素数阶循环群 `C_p`, 其次是交代群 `A_(n ge 5)`.
素数阶循环群 `C_p` 是单群; 它们是单群家族中唯一的 Abel 群.
由 Lagrange 定理, 素数阶循环群显然只有平凡子群.
反之设 `G` 为单群, 且为 Abel 群, `G` 的子群皆正规, 所以它只有平凡子群.
下证 `G` 为素数阶循环群: 事实上, 取 `G` 中非单位元 `a`, 由于 `G` 只有平凡子群,
所以 `a` 生成整个群 `G`. 若 `|G| = m n`, `m, n gt 1`,
则 `(:a^m:)` 为一非平凡子群, 矛盾. 故 `|G|` 为素数.
`n ge 5` 时, `A_n` 为单群.
[参见 有限单群分类定理] 除了素数阶循环群以外, `A_5` 是最小单群, 阶为 60, Cayley 图状如足球. 除此之外最小的单群是 168 阶的射影特殊线性群 `PSL(2,7)`. 全部的有限单群已经被人们发现并归类为 18 个族, 它们包括素数阶循环群 `C_p`, 交代群 `A_(n ge 5)` 等等. 在这些单群家族以外, 还有 26 个不便归类的散在单群, 其中最大的两个称为魔群和小魔群.
令 `G` 为一群, `a, b in G` 的换位子 (commutor)定义为 `[a, b] := a^-1 b^-1 a b`. 容易验证, `a b = b a[a, b]`, `quad [a, b]^-1 = [b, a]`. `G` 中全体换位子生成的子群称为 `G` 的导群 (或换位子群): `G' := (: [a, b] | a, b in G:)`. 如果 `G = G'`, 则称 `G` 是完美 (perfect) 的.
由于 `a b` 乘以换位子就得到 `b a`, 换位子以及导群可以用来刻画一个群“不可交换”的程度. 换位子和导群越复杂, 就说明 `a b` 到 `b a` 相差得越远. 反之, 在 Abel 群中, 换位子和导群则简单到了极致.
令 `G` 为一群, 则 `G' normal G`.
`AA [a, b] in G'`, `g in G`,
`g[a, b]g^-1`
`= g a^-1 b^-1 a b g^-1`
`= g a^-1 (g^-1 g) b^-1 (g^-1 g) a (g^-1 g) b g^-1`
`= (g a^-1 g^-1) (g b^-1 g^-1) (g a g^-1) (g b g^-1)`
`= [g a g^-1, g b g^-1] in G'`.
从而 `G' normal G`.
群的交换化 令群 `N normal G`, 则 `G//N` 为一 Abel 群当且仅当 `G' sube N`. 特别地 `G//G'` 为一 Abel 群.
`G//N` 为一 Abel 群
`iff (AA a, b in G) a N * b N = b N * a N`
`iff (AA a, b in G) (a b)N = (b a)N`
`iff (AA a, b in G) (b a)^-1(a b) in N`
`iff (AA a, b in G) a^-1 b^-1 a b in N`
`iff G' sube N`.
这个定理告诉我们, 要使商群 `G//N` 为 Abel 群, 至少要取 `N = G'`. 换言之, `G//G'` 是 `G` 的商群中最大的 Abel 群.
`S_n' normal A_n`.
由 `S_n` 的任一换位子是偶置换知 `S_n' le A_n` (任取换位子 `a^-1 b^-1 a b`, 由 `a, a^-1`; `b, b^-1` 的奇偶性分别相等知 `a^-1 b^-1 a b in A_n`). 再由 `S_n' normal S_n` 推出 `S_n' normal A_n`.
群 `G` 的 `n` 阶导群定义为: `G^((0)) = G`, `quad G^((n+1)) = (G^((n)))'`, `quad n = 0, 1, 2, cdots`. 如果存在非负整数 `n` 使 `G^((n)) = {e}`, 则称 `G` 是可解群 (solvable group). 显然 Abel 群是可解群, 因为它的导群就是 `{e}`.
可解单群 `=` 素数阶群 `sub` 循环群 `sub` Abel 群 `sub` 可解群.
| `'` | `''` | `'''` | |
| `S_1` | `{e}` | ||
| `S_2` | `{e}` | ||
| `S_3` | `A_3` | `{e}` | |
| `S_4` | `A_4` | `K_4` | `{e}` |
| `S_5` | `A_5` | `A_5` | `A_5` |
在 Galois 理论中, 我们将利用 `n ge 5` 时 `S_n` 不是可解群这一结论, 说明一般五次及以上方程没有根式解. 这一推理过程是非常巧妙的.
令 `G` 为非平凡群, `M lhd G` (即 `M normal G` 且 `M != G`). 称 `M` 为 `G` 的一个极大正规子群, 如果 `M` 和 `G` 之间没有其它的正规子群, 即 `M le N normal G` `rArr N = M or N = G`.
任意非平凡有限群 `G` 都有极大正规子群.
`|G| = 2` 时, `{e}` 即是 `G` 的极大正规子群; `|G| = n gt 2` 时, 任取 `M_1 lhd G`, 若 `M_1` 不极大, 则存在 `M_2` 使得 `M_1 lt M_2 lhd G`, 这蕴含 `|M_1| lt |M_2|`. 若 `M_2` 不极大, 类似可得 `M_3, M_4, cdots`, 且 `|M_1| lt |M_2| lt |M_3| lt cdots`. 但 `|G|` 有限, 这一序列也有限, 所以存在 `G` 的极大正规子群.
若群 `M lhd G`, 则 `M` 为 `G` 的一个极大正规子群当且仅当 `G//M` 为一单群.
`lArr`: 任取 `N` 满足 `M lt N normal G`, 由 `M lhd G` 知 `M lhd N`.
考察
`N//M = {n M | n in N} le G//M`,
因为 `N normal G`, 所以 `N//M normal G//M`. 但 `G//M` 为单群, 又由 `M lt N`,
`N//M != {M}`, 故 `N//M = G//M`, 即 `N = G`.
`rArr`: 取自然同态 `eta: G to G//M`.
任取 `H` 满足 `{M} lt H normal G//M`, 又记 `K = eta^-1(H) normal G`.
在 `{M} lt H` 两边同取 `eta^-1` 得到 `M lt K`.
但 `M` 是极大正规子群, 故 `K = G`, `H = eta(K) = G//M`.
任意非平凡有限群 `G` 有合成群列.
`|G| = 2` 时, `G rhd {e}` 即为 `G` 的一个合成群列. `|G| = n gt 2` 时, 假设阶小于 `n` 的非平凡有限群有合成群列, 考查阶为 `n` 的情形. 若 `G` 为单群, 则 `G rhd {e}` 为 `G` 的一个合成群列; 否则取 `G` 的极大正规子群 `M`, 显然 `1 lt |M| lt |G|`. 由归纳假设, `M` 有合成群列. 又 `G//M` 为单群, 可以将 `G` 加入到 `M` 的合成群列中, 成为 `G` 的一个合成群列.
设群 `H le G`, 如果对 `G` 上任意自同构映射 `sigma` (即 `sigma in Aut(G)`), 有 `sigma(H) = H`. 则称 `H` 为 `G` 的一个特征子群, 记为 `H" char "G`. 换言之, `H" char "G` 当且仅当对任意 `sigma in Aut(G)`, 都有 `sigma|_H in Aut(H)`.
特征子群是正规子群.
取 `sigma: h in H to g h g^-1 in G` 即可.
特征子群的传递性 设群 `K" char "H" char "G`, 则 `K" char "G`.
令 `sigma in Aut(G)`, 由 `H" char "G` 知 `sigma|_H in Aut(H)`, 又由 `K" char "H` 知 `sigma|_K = (sigma|_H)_K in Aut(K)`, 因此 `H" char "G`.
令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n))" char "G`.
令 `sigma in Aut(G)`, 则 `sigma(G^((n))) = (sigma(G))^((n)) = G^((n))`, 即 `G^((n))" char "G`.
令 `G` 为一群, `n` 为非负整数, 则 `G^((n)) normal G`. 于是 `G` 可解时, `G^((n))`, `n = 0, 1, cdots, k` 构成 `G` 的一个正规群列.
由于正规子群不具有传递性, 我们利用特征子群的概念才得到这一结果.
非平凡有限群 `G` 可解当且仅当 `G` 有一合成群列, 且它的所有合成因子都为素数阶循环群. 换言之, 有限可解群是由最简单的单群——素数阶循环群合成的.
充分性. 素数阶循环群必为 Abel 群, 合成群列是次正规群列.
应用知 `G` 可解.
必要性. 由于 `G` 为非平凡有限群, 故 `G` 有一合成群列. 令 `H//K` 为 `G`
的一个合成因子, 其中 `K lhd H le G`, 则由 `G` 可解知,
`G` 的子群 `K, H` 都可解, 从而 `H//K` 可解. 但 `H//K` 又是单群,
所以 `H//K` 为一素数阶循环群.
令 `G` 为一群, `G` 上的全体自同构映射 `Aut(G)` 关于变换的通常合成为一群, 称为 `G` 的自同构群.
群 `G` 中全体共轭变换 `"int"_a(g) = a g a^-1` 构成 `G` 的内自同构群 `Int(G)` 或 `"Inn"(G) = { "int"_a | a in G }`, 可以验证 `Int(G) normal Aut(G)`, 又称 `"Out"(G) = Aut(G)//Int(G)` 为 `G` 的外自同构群.
令 `G` 为一群, 则 `IntG ~= G//Z(G)`.
作 `eta: a in G to "int"_a in Int(G)`, 由内自同构的定义知 `eta`
为一满射, 又 `AA g in G`,
`"int"_(a b)(g) = (a b)g(a b)^-1 = ("int"_a "int"_b)(g)`,
故 `eta` 为一满同态.
下证 `"Ker"eta = Z(G)`. 这是因为
`a in "Ker"eta`
`iff "int"_a = 1_G`
`iff (AA x in G) x = "int"_a(x) = a x a^-1`
`iff (AA x in G) x a = a x`
`iff a in Z(G)`.
根据同态基本定理,
`Int(G) = "Im"eta ~= G//"Ker"eta = G//Z(G)`.
特别当 `Z(G) = {e}` 时, `G ~= IntG normal AutG`, 同构意义下可以认为 `G normal Aut(G)`.
设 `G` 的中心平凡, 则 `Aut(G)` 的中心也平凡. 于是存在上升群列 `G normal Aut(G) normal Aut(Aut(G)) normal cdots` 1951 年, 维兰特证明上述升链在有限步一定终止, 即存在某个 `G ~= Int(G) = Aut(G)`. 我们称 `G` 为完全群, 如果它的中心平凡, 且 `Int(G) = Aut(G)`.
任取 `tau in Z(Aut(G))`, 下证 `tau` 是恒等自同构. 由于 `tau` 在 `Aut(G)` 的中心, 它与任意 `G` 的自同构可交换, 特别地, 与内自同构 `"int"_a` 可交换: `tau "int"_a = "int"_a tau`. 另一方面, 由前面 `Int(G) normal Aut(G)` 的证明过程知道 `"int"_(tau(a)) = tau "int"_a tau^-1`. 两式比较得 `"int"_a = "int"_(tau(a))`. 由于 `a mapsto "int"_a` 是双射, 这推出 `a = tau(a)`, 即 `tau` 是恒等自同构.
[群友 千帆过尽，勿忘初心] `n ge 3` 时, 对称群 `S_n` 的中心平凡, 因此 `S_n ~= Int(S_n)`. 又 `Aut(S_3) ~= S_3`, 所以 `S_3` 是完全群.
`S_(n ge 3)` 的中心平凡证明见第二章. 下面考察 `Aut(S_3)`, 由于 `S_3` 可以由它的 3 个 2 阶元生成, `Aut(S_3)` 包含这 3 个元素间的全体置换, 从而同构于 `S_3`.
令群 `H le G`, `g in G`, 则 `g H g^-1 ~= H`, 称为 `H` 在 `G` 中的共轭子群.
作映射 `f: h in H to g h g^-1 in g H g^-1`. 显然 `f` 为双射, 又 `AA h_1, h_2 in H`, `f(h_1) f(h_2) = g h_1 g^-1 g h_2 g^-1` `= g(h_1 h_2)g^-1 = f(h_1 h_2)`, 故 `f` 为一同态, 即 `f` 为一同构.
令 `H` 是 `G` 的子群. 我们希望 `H` 是 `G` 的正规子群, 这当然办不到! 退而求其次, 希望 `H` 在 `G` 的某个子群中正规. 这就是下面要引入的正规化子. 这个过程好比一场投票选举: 每个 `g in G` 都参与对 `H` 的投票: 如果等式 `g H g^-1 = H` 成立, 就投赞成票, 反之投反对票. 正规化子就是群 `H` 的正规性的拥护者.
若 `H` 有限, 正规化子还可以定义为 `N_G = {g in G | g H g^-1 sube H}`. 事实上, 由于 `g H g^-1 ~= H` 有 `|g H g^-1| = |H|`, 故只能 `g H g^-1 = H`.
`N_G(H) = H` 时, `H` 在 `G` 中的正规程度最差; `N_G(H) = G` 时, `H normal G`, 在 `G` 中的正规程度最好. `Z_G(H) = H` 时, `H` 为一 Abel 群; `Z_G(H) = G` 时, `H le Z(G)`. 另外显然 `Z(G) = Z_G(G)`.
令群 `H le G`, 将 `Int(N_G(H))` 中的内自同构限制到 `H` 上, 记为 `Int(N_G(H))|_H`. 可以证明它是 `Aut(H)` 的子群, 且 `Int(N_G(H))|_H ~= N_G(H) // Z_G(H)`. 进一步当 `H normal G` 时, `N_G(H) = G`, 上式化为 `Int(G)|_H ~= G // Z_G(H)`. 再进一步令 `H = G`, 就得到.
令 `g in N_G(H)`, 则 `{:"int"_g:}(H) = g H g^-1 = H`, 其中
`"int"_g in Int(N_G(H))`. 因此 `"int"_g|_H` 为 `H` 上一自同构. 据此, 存在同态
`eta: N_G(H) to Aut(H)`
`g mapsto "int"_g|_H`.
又
`"Ker"eta = {g in N_G(H): "int"_g|_H = 1_H}`
`= {g in N_G(H): (AA h in H) g h g^-1 = h}`
`= Z_G(H) nn N_G(H)`
`= Z_G(H)`.
于是由群同态基本定理
`N_G(H)//Z_G(H)`
`= N_G(H)//"Ker"eta ~= "Im"eta`
`= Int(N_G(H))|_H le`
`Aut(H)`.
令 `G` 为一群, `a in G`, 且 `(:a:) normal G`. 则 `G' sube Z_G((:a:))`.
由, `G//Z_G((:a:)) ~= Int(G)|_(:a:)`, 后者是循环群的自同构群, 必为 Abel 群, 所以 `G//Z_G((:a:))` 也是 Abel 群. 从而 `G' sube Z_G((:a:))`.
正合列是指形如 `G_1 to G_2 to cdots to G_n` 的一列群, 相邻两个群之间带有同态映射, 且 每个 `G_(i-1) to G_i` 的像等于 `G_i to G_(i+1)` 的核.
设 `G` 为一群, `H` 是 `G` 的正规子群, 则有正合列
`{e} to overset "子群" (underset "核" H) to G to overset"商群"(underset"像"(G//H)) to {e}`.
两个例子是
`{e} to Z(G) to G to Int(G) to {e}`,
`{e} to Int(G) to Aut(G) to "Out"(G) to {e}`.
群作用保持乘法和单位元, 可以类比于线性空间的数乘运算.
群作用 `f: G xx X to X` 与群同态 `eta: G to S_X` 一一对应. 其中 `S_X` 是 `X` 上的对称群, 亦即 `X` 上全体可逆变换.
设有群作用 `f(g, x) := g(x)`,
作 `eta: g in G to sigma_g in S_X`, 其中 `sigma_g: x to g(x)`.
先证 `sigma_g in S_X`, 即 `sigma_g` 为双射.
显然 `sigma_g` 是 `X` 上的变换. 又 `AA x in X`,
`sigma_(g^-1) @ sigma_g{::}(x)`
`= sigma_(g^-1)(sigma_g{::}(x))`
`= g^-1(g(x)) = x`,
所以 `sigma_(g^-1) @ sigma_g = 1_X`.
同理 `sigma_g @ sigma_(g^-1) = 1_X`, 于是 `sigma_g` 为一双射.
又 `AA g, h in G`, `x in X`,
`eta(h g)(x) = sigma_(h g)(x)`
`= (h g)(x) = h(g(x))`
`= sigma_h(sigma_g{::}(x)) = (sigma_h @ sigma_g)(x)`
`= [eta(h) eta(g)](x)`,
因此 `eta` 为一同态映射.
反之, 令 `eta: G to S_X` 为同态映射. 作映射
`f: (g, x) in G xx X to (eta(g))(x) in X`.
由于 `AA g, h in G`, `x in X`,
`(h g)(x) = eta(h g)(x) = (eta(h) @ eta(g))(x)`
`= eta(h)(eta(g)(x)) = h(g(x))`;
`e(x) = eta(e)(x) = 1_X(x) = x`.
因此 `f: G xx X to X` 为群作用.
定理告诉我们, 定义了群作用 `f(g, x)` 后, 每取定一个群元 `g in G`, 就对应有 `X` 上的一个可逆变换 `sigma_g`, 且 `G` 到 `S_X` 间是群同态的关系, 亦即 `sigma_g` 保持了 `g` 在 `G` 中的代数运算. 反之, 如果每取定一个 `g in G`, 就对应有 `X` 上的可逆变换 `sigma_g`, 且 `sigma_g` 保持 `g` 在 `G` 中的代数运算, 我们也就定义了一个群作用 `f(g, x)`.
令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 定义 `X` 上二元关系 `~` 如下: `x ~ y iff (EE g in G) g(x) = y`. 可以验证 `~` 为 `X` 上一等价关系. 元素 `x in X` 所在的等价类记为 `O_x := {g(x) | g in G}`. 这是 `x` 在群作用 `f` 下能到达的地方, 称为 `f` 的一个轨道. 显然 `X` 是全体不同轨道的无交并. 若 `f` 只有一个轨道, 则称它是可迁的.
群 `G` 在共轭作用 `g(x) = g x g^-1` 下的轨道是其共轭类. `G` 是全体共轭类的无交并. 正规子群是一到多个共轭类的并, 这是因为正规子群满足 `AA g in G`, `g H g^-1 sube H`, 即它的共轭像含于自身.
令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 任取 `x in X`, 考虑 `x` 何时为不动点. 事实上, 定义 `H_x := {g in G | g(x) = x}` 由 `e in H_x` 知 `H_x` 非空. 容易验证 `H_x le G`, 称为 `x` 在 `f` 下的稳定子群或稳定化子.
`AA a, b in G`, 若 `a x = b x = x`, 则 `a b^-1 x = a b^-1(b x) = a x = x`. 所以 `a b^-1 in H_x`.
如果 `x in X` 在任意 `g in G` 的作用下都不动: `(AA g in G) g(x) = x`, 即 `O_x = {x}`, 亦即 `H_x = G`, 则称 `x` 为 `f` 的不动点.
群 `G` 在共轭作用 `g(x) = g x g^-1` 下的稳定子群 `H_x` 等于元素 `x` 的中心化子 `Z_G(x)`; `G` 在共轭作用下的不动点的全体就是 `Z(G)`. 设 `G` 是有限群, 若记 `x` 在共轭作用下的轨道为 `C(x)`, 则我们有记数公式: `|G| = |Z_G(x)| |C(x)|`. 有限群 `G` 被划分为共轭类的不交并, 这给出类方程: `|G| = sum_(共轭类 C) |C|`.
轨道-稳定子群引理 令 `f: G xx X to X` 为一群作用, 则 `|G| = |O_x| |H_x|`.
只需建立 `G // H_(x,l) to O_x` 的双射, 从而
`|O_x| = |G//H_(x,l)| = [G:H_x]`.
事实上, 作
`varphi: G//H_(x,l) to O_x`
`a H_x mapsto a(x)`.
则由
`a H_x = b H_x iff a^-1 b in H_x`
`iff x = (a^-1 b) x`
`iff a(x) = b(x)`
知, `varphi` 为一映射, 且为一单射, 又由轨道定义, `varphi` 为一满射,
因此 `varphi` 为一双射.
[来自 知乎@Pika369]
群作用的轨道自然形成了集合 `X` 的划分 `X//G = {O_x | x in X}`. Pólya 计数定理主要解决轨道数目 `|X//G|` 的计算问题.
回忆稳定子群的定义, 固定集合元素 `x`, 它的稳定子群是群 `G` 中使得 `g(x) = x` 的 `g` 的集合: `H_x := {g in G | g(x) = x}`. 现在先固定 `G` 中元素 `g`, 用 `X^g` 表示集合 `X` 中满足 `g(x) = x` 的 `x` 的集合: `X^g := {x in X | g(x) = x}`.
Burnside 引理 有限集合 `X` 在有限群 `G` 作用下的轨道数目为 `|X//G| = 1/|G| sum_(g in G) |X^g|`.
引入记号
`[g(x) = x] = {1, if g(x) = x; 0, otherwise:}`
交换求和次序, 应用轨道-稳定子群引理:
`sum_(g in G) |X^g|`
`= sum_(g in G) sum_(x in X) [g(x) = x]`
`= sum_(x in X) sum_(g in G) [g(x) = x]`
`= sum_(x in X) |H_x|`
`= sum_(x in X) |G|/|O_x|`
`= |G| sum_(O_x) sum_(x in O_x) 1/|O_x|`
`= |G| sum_(O_x) 1`
`= |G| |X//G|`.
集合染色问题
用集合 `C` 中的 `m` 种颜色对集合 `X` 中的 `n` 个元素进行染色,
每个染色方案就是 `X` 到 `C` 的一个映射:
`f: X to C`,
`x mapsto f(x)`.
若每个元素都独立地染色, 所有方案数为 `|C^X| = m^n`.
现在让置换群 `G` 作用于集合 `X`, 则 `G` 诱导出染色方案集合 `C^X` 上的群作用:
染色方案 `x mapsto f(x)` 在 `G` 的作用下变为 `g(x) mapsto f(x)`.
将同一轨道中的染色方案视为相同方案, 则染色方案总数是多少?
Pólya 定理 集合染色问题的方案数是: `1/|G| sum_(g in G) m^(l(g))`. 其中 `m` 是颜色的个数, `l(g)` 表示置换 `g` 中的轮换个数. 如果 `g` 中的 `k`-轮换数目为 `l_k(g)`, 则 `l(g) = sum_(k=1)^n l_k(g)`. 参见轮换型号.
问题化为计算 `G` 在 `Y = C^X` 上群作用的轨道数. 由 Burnside 引理, 只需算出每个 `g in G` 对应的
`|Y^g|`; 即给定一个置换 `g`, 有多少种染色方案在 `g` 的作用下不变?
事实上, 将 `g` 写为轮换的乘积, 则染色方案 `f` 在 `g` 作用下不变当且仅当 `f` 把 `g` 的同一个轮换中的元素映为同一种颜色.
比如 `g = (1 2 3)(5 7)(6)`, 如果我们把 `1, 2, 3` 染为同一种「颜色 `a`」, `5, 7` 染为同一种「颜色 `b`」,
`6` 染为「颜色 `c`」, 那么这个方案在 `g` 的置换下就是不变的.
反之, 要使方案在 `g` 的置换下不变, 则 `1, 2, 3` 必须染为同一种颜色, `5, 7` 必须染为同一种颜色.
这样的方案有几种? 注意到 `a, b, c` 是否是同一种颜色无关紧要,
即它们可以独立地染色, 因此在 `g = (1 2 3)(5 7)(6)`
的置换下不变的方案数有 `m^3` 种. 一般地, 就有
`|Y^g| = m^(l(g))`.
[来自群友 折棒] 正四面体用四种颜色染色有几种方案?
() (12)(34) (13)(24) (14)(23) (123) (321) (124) (421) (134) (431) (234) (432)其中没有写出的数字应该看作一个单独的轮换, 比如 `(1 2 3)` 写全了应该是 `(123)(4)`, 它由两个轮换构成. 代入 Pólya 公式得到答案 `1/|A_4| sum_(g in A_4) 4^(l(g))` `= 1/12 (4^4 + 11*4^2)` `= 36`.
Pólya 定理的循环群情形 (`G = C_n`) 一个抽奖的圆盘均匀分成 `n` 个扇形, 求用 `m` 种颜色给这些扇形染色的方案数.
Pólya 定理的二面体群情形 (`G = D_(2n)`) 求 `n` 颗珠子的项链用 `m` 种颜色染色的方案数.
阶为素数幂的群称为`bm p`-群, 如 `|G| = p^k`, 其中 `p` 为一素数, `k in ZZ^+`. 由 Lagrange 定理知道, `p`-群的非平凡子群都是 `p`-群.
令 `G` 为一 `p`-群, `X` 为一非空有限集, 若群作用 `f: G xx X to X` 有 `n` 个不动点, 则 `|X| -= n` `quad (mod p)`. 从而 `p !| |X|` 时, 群作用必有不动点.
令 `X` 为群作用 `f` 的轨道的如下无交并 `X = uuu_(i=1)^m O_(x_i)`, 不妨令 `x_1, x_2, cdots, x_n` 为 `f` 的所有不动点, 则 每个不动点所在的轨道大小为 1, `|X| = n + sum_(i=n+1)^m |O_(x_i)|`. 对任意 `n lt i le m`, `|O_(x_i)| gt 1`, 由, `|O_(x_i)|` 整除 `|G| = p^k`, 所以 `p` 整除 `|O_(x_i)|`. 上式两边同时模 `p` 即得证.
`p`-群有非平凡中心.
令 `|G| = p^k`, 只需说明 `|Z(G)| != 1`. 注意 `Z(G)` 是 `G` 上共轭作用的全体不动点, 因此 `|Z(G)| -= p^k (mod p)`, 立即推出 `|Z(G)| != 1`.
设 `n` 为正整数, `p` 为素数, 且 `p` 在 `n` 中次数为 `l`, 即 `p^l | n` 且 `p^(l+1) !| n`, 则对任意 `0 le k le l`, `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数为 `l-k`.
令 `n = p^l m`, 其中 `p !| m`, 则 `(n;p^k) = n/p^k (n-1;p^k-1)` `= p^(l-k) m (n-1;p^k-1)`. 且 `AA 1 le i le p^k-1`, `0 le t le k`, 由于 `p^t | n`, 有 `p^t | n-i` `iff p^t | i` `iff p^t | p^k-i`, 因此 `(n-1;p^k-1) = ((n-1)cdots(n-(p^k-1)))/((p^k-1)cdots(p^k-(p^k-1)))` 分子分母含有同样多的公因子 `p`, 因而消去因子 `p` 后得到一分子分母都与 `p` 互素的分数 (实际上是整数). 将这结果代回 `(n; p^k)` 的表达式, 注意 `p !| m`, 即知 `p` 在 `(n; p^k)` 中的次数恰为 `l-k`.
共轭性质的证明.
令 `X = G//P_l` (`G` 关于 Sylow `p`-子群 `P` 的左齐性空间),
则 `|X| = [G:P] = n//p^l`. 作映射
`f: H xx X to X`
`(h, g P) to (h g)P`.
`AA h_1, h_2 in H`, `AA g P in X`,
`e(g P) = (e g) P = g P`,
`quad (h_1 h_2)g P = (h_1 (h_2 g)) P`.
从而 `f` 为群 `H` 在 `X` 上的一个群作用.
由 `p !| |X|` 知, `f` 有不动点, 记为 `a P`, 即 `AA h in H`,
`h (a P) = a P`. 从而 `a^-1 h a in P`, 于是
`a^-1 H a sube P`, 即 `H sube a P a^-1`.
我们来研究一些特定阶有限群的结构, 主要工具是 Sylow 定理和群的 (半) 直积.
72, 36 阶群不是单群.
设 `|G| = 72 = 2^3 3^2`, 由 Sylow 定理, `G` 的 Sylow 3 子群的个数
`n_3 = 1+3t | 2^3`, 因此, `t = 0, 1`.
当 `t = 0` 时, `G` 的 Sylow 3 子群只有 1 个, 为 9 阶正规子群.
当 `t = 1` 时, `G` 的 Sylow 3 子群有 4 个, 令 `X` 是这 4 个群的集合:
`X = {P_1, P_2, P_3, P_4}`.
考虑 `G` 在 `X` 上的共轭作用, 则由, `G` 的每一元素提供一个 4
次置换, 于是我们得到一个同态映射 `varphi: G to S_4`.
由 `|G| = 72 gt |S_4| = 24` 知, `varphi` 不是单射, 即 `"Ker"varphi !=
{e}`, 又显然 `varphi(G) != {(1)}` (否则 `G` 只有一个 Sylow 3-子群,
矛盾). 从而 `"Ker" varphi != G`, 于是 `G`
有非平凡的正规子群 `"Ker"varphi` (它是 `varphi(G)` 的平凡正规子群
`{(1)}` 的原像, 因此是正规子群).
综上所述, `G` 不是单群.
类似可证明 36 阶群不是单群.
15 阶群是循环群.
[来自群友 问情明心] 用表示论来做：因为奇数阶群 `G` 的阶`|G|≡s (mod 16)`，其中 `s` 是 `G` 的共轭类的个数， 所以 `s ≡ 15 (mod16)`，另外 `s≤|G|=16`，所以 `s` 只能等于 `15`， 所以 `G` 有 `15=|G|` 个不等价的不可约表示，从而 `G` 是Abel群.
[来自 sola@知乎]
设 `p gt 2`, 我们也可以利用群的半直积分解讨论 `2p` 阶群的结构.
首先用前面相同的做法得到 `G ~= C_p ><| C_2`.
为确定 `G` 的同构类, 从半直积的定义出发, 讨论同态 `varphi: C_2 to Aut C_p`,
其中 `Aut C_p` 同构于模乘法群 `ZZ_p^ast`.
我们记 `C_2` 的元素为 `{0, 1}`, `Aut C_p` 的元素为 `{xx_1, cdots, xx_(p-1)}` (模 `p` 乘法).
其中 `varphi(0) = xx_1` (恒等映射).
`varphi(1)` 的阶只能是 1 或 2, 因此 `varphi(1) = xx_1` 或 `varphi(1) = xx_(p-1) = xx_(-1)`.
若 `varphi(1) = xx_1`, 则 `varphi` 是平凡同态, 半直积退化为直积: `G ~= C_p xx C_2 ~= C_(2p)`.
若 `varphi(1) = xx_(-1)`, 则 `G` 中的乘法法则是
`(x, y) * (z, w)`
`= (x + varphi(y)(z), y + w)`
`= { (x+z, y+w), if y = 0;
(x-z, y+w), if y = 1 :}`.
下面验证这是二面体群. 分别取 `p` 阶群和 2 阶群的生成元 `a, b`, 则
`a b = (1, 0) * (0, 1) = (1, 1)`;
`b a^-1 = (0, 1) * (-1, 0) = (1, 1)`.
故 `a b a b = 1`.
12 阶群 [来自 sola@知乎] 12 阶群有 5 个同构类. 其中交换群有 `C_12` 与 `C_6 xx C_2`. 非交换群有 `D_12`, `A_4` 和 `"Dic"_12`.