环

    令 `R` 为一非空集, 称 `R := (R";" +, *)` 为一环, 如果
  1. `(R, +)` 为一 Abel 群;
  2. `(R, *)` 为一半群;
  3. 满足乘法对加法的左, 右分配律, 即 `a(b+c) -= a b + a c`, `quad (b+c)a = b a + c a`.
    4. 加法群的单位元称为 `R` 的零元, 记为 `0`. 若乘法半群的左幺元 (右幺元, 幺元) 存在, 则称其为 `R` 的左幺元 (右幺元, 幺元); `R` 的幺元记为 `1`.

环的两种运算 (加法和乘法) 通过分配律相互影响, 牵制.

在些书本的定义中, 把幺环称为环 (ring), 把不含幺元的一般的环称为 (rng).

    令 `R` 为一环, `a, b in R`, `n in ZZ`, 则
  1. `0 a -= a 0 -= 0`; 即加法单位元是乘法的零元;
  2. `(n a)b -= a(n b) -= n(a b)`; 即整系数可穿越; 特别地, `(-a)b -= a(-b) -= -(a b)`; `(-a)(-b) -= a b`.
  1. `AA a in R`, 由 `0 a = (0+0)a = 0 a + 0 a` 知 `0 a = 0`, 同理 `a 0 = 0`.
  2. `AA a, b in R`, `n = 0` 时, 结论显然成立. `n` 为一正整数时, `(n a)b = overbrace(a+a+cdots+a)^n b` `= overbrace(a b+a b+cdots+a b)^n` `= n(a b)`. 同理 `a(n b) = n(a b)`.
    `n = -1` 时, `(-a) b + a b = (-a+a)b = 0`, 故 `(-a)b = -(a b)`. 同理 `a(-b) = -(a b)`.
    `n` 为一负整数时, 记 `m = -n`, 则 `(n a)b = (m(-1)a)b = m(-a)b = m(-(a b))` `= -m(a b) = n(a b)`. 同理 `a(n b) = n(a b)`.
  1. 全体整数 `ZZ` 关于整数的加法和乘法成一交换幺环.
  2. 线性空间 `V` 上全体线性变换 `cc L(V)` 关于线性变换的加法与合成成一幺环; 平行地, 数域 `bbb F` 上 `n` 阶方阵的全体 `bbb F^(n xx n)` 关于矩阵的通常加法与乘法成一环;
  3. 一元多项式环 数域 `bbb F` 上一元多项式全体 `bbb F[x]` 关于多项式的加法与乘法成一交换幺环.
  4. 模 `n` 的剩余类环 令 `n in ZZ^+`, 定义 `ZZ` 上 模 `n` 同余的等价关系 `a ~ b iff n | a-b`, 在此关系下的每个等价类称为模 `n` 的剩余类, 全体模 `n` 的剩余类为 `ZZ_n := {bar 0, bar 1, cdots, bar(n-1)}`. 定义 `ZZ_n` 上的加法与乘法为: `bar a + bar b = bar(a+b)`,
    `bar a * bar b = bar(a b)`.     容易验证它们是良定义的, 且 `(ZZ_n";" +, *)` 为一环, 即`ZZ` 模 `bm n` 的剩余类环.

令 `(R";" +, *)` 为一环, `S` 是 `R` 的非空子集. 称 `S` 为 `R` 的一个子环, 如果 `(S";" +, *)` 也成一环, 记为 `S le R`.

子环的判定 令 `S` 为环 `R` 的一个非空子集, 则 `S le R` 当且仅当 `(AA a, b in S)` `a-b, a b in S`. 其中, `a-b in S` 保证了 `(S, +)` 是 `(R, +)` 子群, `a b in S` 保证了 `(S, *)` 是 `(R, *)` 子半群.

令 `R` 为一环, 则 `R` 的若干子环的交仍为 `R` 的子环.

子环一定含有原来的零元, 但幺元则未必. 整数环 `ZZ` 有幺元, 而它的子环 `2ZZ` 没有幺元.
数域 `bbb F` 上的矩阵环 `{(a,b;0,0)|a, b in bbb F}` 无幺元,
而它的子环 `{(a,0;0,0)| a in bbb F}` 有幺元 `(1,0;0,0)`.
整数环上的矩阵环 `{(a,b;c,d)| a, b, c, d in ZZ}` 有幺元 `(1,0;0,1)`,
它的子环 `{(a,a;0,0)| a in ZZ}` 有幺元 `(1,1;0,0)`, 二者的幺元不同.

令 `R, S` 为两个环, 称映射 `f: R to S` 为 `R` 到 `S` 的一个环同态映射, 如果 `f(a+b) -= f(a) + f(b)`,
`f(a b) -= f(a) f(b)`. 若 `f` 为单射 (满射, 双射), 则称 `f` 为一单同态 (满同态, 同构) 映射. 若 `f` 为一同构映射, 则称 `R` 与 `S` 同构, 记为 `R ~= S`.
环同态映射 `f` 的核定义为 `"Ker"f := f^-1(bar 0) = {a in R| f(a) = bar 0}`, 其中 `bar 0` 是 `S` 的零元.

环的同态像 (原像) 仍为一环. 令 `R, S` 为两个环, `R_1 le R`, `S_1 le S`. `f: R to S` 为一同态映射. 则 `f(R_1) le S`, `quad f^-1(S_1) le R`. 特别有 `"Im"f le S`, `"Im"f^-1 le R`, `"Ker"f le R`.

`AA f(a), f(b) in f(R_1)`, 其中 `a, b in R_1`, 有 `f(a) - f(b) = f(a-b) in f(R_1)`,
`f(a) f(b) = f(a b) in f(R_1)`. 因此 `f(R_1) le S`. 又 `AA c, d in f^-1(S_1)`, 则 `f(c), f(d) in S_1`, 有 `f(c-d) = f(c) - f(d) in S_1`,
`f(c d) = f(c) f(d) in S_1`. 因此 `c-d, c d in f^-1(S_1)`, 即 `f^-1(S_1) le R`.

类比于任一半群可扩张为一幺半群, 我们有: 任一环可扩张为 (或嵌入到) 一幺环. 令 `R` 为一环, 则存在一个幺环 `R_1`, 使得 `R` 同构于 `R_1` 的某一子环.

Every rng is an ideal in some ring, and every ideal of a ring is a rng.

整环, 除环与域

无零因子环

令 `R` 为一环, 如果存在 `a, b in R\\{0}`, 使得 `a b = 0`, 则称 `a` 为 `R` 的一个左零因子, `b` 为 `R` 的一个右零因子. 左零因子和右零因子统称为零因子.
如果 `|R| ge 2`, 且无零因子, 则称 `R` 为一无零因子环 (domain). 按定义, 在无零因子环 `R` 中, `(AA a, b in R\\{0})` `a b != 0`.

    令 `(R";" +, *)` 为一环, 则下列各款等价:
  1. `R` 为一无零因子环;
  2. `(R\\{0}, *)` 为一半群;
  3. `(AA a != 0, b, c in R)` `a b = a c rArr b = c`.
    4. 因此, 在以上条件下, `(R\\{0}, *)` 为一双消半群.
  1. `iff` 3. `AA a != 0`, `b, c in R`, 若 `a b = a c`, 则 `a(b-c) = a b - a c = 0`, 但 `a != 0`, 由 `R` 无零因子知 `b-c = 0`, 即 `b = c`. 反之设 3 成立, 则 `AA a, b in R\\{0}`, 有 `a b != 0`, 否则由 `a b = 0 = a 0` 推出 `b = 0`, 矛盾.
  2. `iff` 1. 在无零因子环中有 `(AA a, b in R\\{0})` `a b in R\\{0}`, 即 `(R\\{0}, *)` 满足封闭性; 又结合律显然成立, 所以 `(R\\{0}, *)` 为一半群; 反之若它为一半群, 也能推出 `R` 无零因子.

整环, 除环与域

一元多项式环 `bbb F[x]` 和整数环 `ZZ` 都是整环; `n ge 2` 时, `n` 阶方阵环 `bbb F^(n xx n)` 为一含零因子环; 所有的数域都是域.

由于有限双消半群为群, 所以有限无零因子环是除环, 有限整环是域.

[T. H. Wedderburn, 1905] 有限除环是域.

除环 (域) 的等价定义 令 `(R";" +, *)` 为一 (交换) 幺环, 且任意非零元都有乘法逆元, 即 `(AA a in R\\{0})` `(EE a^-1 in R)` `a a^-1 = a^-1 a = 1`. 则 `R` 为一除环 (域).

只要再证它无零因子. 任取 `a, b in R` 满足 `a b = 0`. 设 `a != 0`, 则 `a^-1` 存在, 于是 `a(a^-1 + b) = 1 + a b = 1 + 0 = 1`. 两边左乘 `a^-1` (或由逆元惟一) 得 `a^-1 + b = a^-1`, 从而 `b = 0`.

关于域的更多知识, 我们在下一章介绍.

除环的等价定义 (MyCoy) 令 `R` 为一环, `|R| ge 2`. 若在 `R\\{0}` 上方程 `a x = b` (`y a = b`) 常有解, 即 `(AA a, b in RR\\{0})` `(EE x in RR\\{0})` `a x = b`, 则 `R` 为一除环.

因为在 `R\\{0}` 上方程 `a x = b` 常有解, 所以 `AA a, b in R\\{0}`, `(EE c, d in RR\\{0})` `a c = b`, `b d = c`. 从而 `(a b)d = a(b d) = a c = b != 0`. 因此 `a b != 0`. 所以 `R` 无零因子. 亦即 `(R\\{0}, *)` 为一双消半群. 现在证明 `(R\\{0}, *)` 为一群. `AA a in R\\{0}`, 方程 `a x = a` 有解 `e in R\\{0}`, 于是 `a e^2 = (a e)e = a e`, 两边消去 `a` 得 `e^2 = e`. `AA b in RR\\{0}`, `b e = b e^2`. 消去一个 `e` 得 `b = b e`. 于是, `(R\\{0}, *)` 中有右幺元 `e`. 又显然方程 `a x = e` 的解就是 `a` 的右逆元, 所以 `(R\\{0}, *)` 为一群, `R` 为一除环.

四元数除环 验证 `H = {(a,b;-bar b,bar a) | a, b in CC}` `sube CC^(2 xx 2)` 为一除环.

容易验证 `H` 关于 `CC^(2 xx 2)` 的减法封闭. 又关于任意 `(a, b; -bar b, bar a)`, `(c, d; -bar d, bar c) in H`, 两矩阵的乘积 `(a c-b bar d, a d+b bar c; -bar(a d+b bar c), bar(a c-b bar d)) in H`. 从而 `H le C^(2 xx 2)`.
显然 `H` 含单位矩阵, 又关于任意 `(a, b; -bar b, bar a) in H\\{bm O}`, 其中 `a, b` 不全为零, 其行列式 `Delta = a bar a + b bar b = |a|^2 + |b|^2 gt 0`. 从而 `H\\{bm O}` 的矩阵都可逆,其逆矩阵为 `1/Delta (bar a, -b; bar b, a) in H`. 从而 `(H\\{bm O}, *)` 为一群. 由于 `H` 中元素一般不可交换, 所以 `H` 为一除环, 但不是域. `H` 称为 Hamilton 四元数除环

记 `a = x + "i"y`, `b = z + "i"w`, `x, y, z, w in RR`. 则 `(a, b; -bar b, bar a)` `= x (1, 0; 0, 1)` `+ y ("i", 0; 0, -"i")` `+ z (0, 1; -1, 0)` `+ w (0, "i"; "i", 0)` `:= x * 1 + y * I + z * J + w * K`. 因此, `H = {x + y I + z J + w K| x, y, z, w in RR}`. 易知 `I, J, K` 满足: `I^2 = J^2 = K^2 = -1`,
`I J = -J I = K`, `J K = -K J = I`, `K I = -I K = J`.

环的特征

令 `R` 为一环, 当 `R` 的元素在加群中的最大阶为一正整数 `n` 时, 称 `n` 为 `R` 的特征, 记为 `"char"(R)`; 若 `R` 的元素在加群的最大阶为 `oo`, 则规定 `R` 的特征为 `0`.

令 `R` 为一环, `"char"(R) = n lt oo`. 则 `R` 的任一元素在加群中的阶整除 `n`. 从而 `AA a in R`, `n a = 0`.

令 `R` 为一幺环, 若 `|1|` (在加群中的阶) 有限, 则 `"char" R = |1|` (在加群中的阶).

设 `|1| = n`, 则 `n 1 = 0`. `AA a in R`, `n a = n(1 a) = (n 1) a = 0 a = 0`. 从而 `a` 在加群中的阶整除 `n`. 所以 `n` 是 `R` 中元素的最大阶, 即 `"char"(R) = n`.

`"char"(ZZ) = "char"(bbb F[x]) = 0`. `"char"(ZZ_n) = n`.

无零因子环 `R` 的所有非零元在加群中的阶相同. 因此, 要确定 `R` 的特征, 只需任取一非零元, 若它的阶为有限的 `n`, 则 `"char"(R) = n`, 否则 `"char"(R) = 0`.

若 `R` 的所有非零元在加群中的阶无限, 可认为它们的阶相同. 若 `EE a in R\\{0}`, `|a| = m lt oo`, 则 `AA b in R\\{0}`, `a(m b) = (m a)b = 0 b = 0`. 由 `R` 无零因子推出 `m b = 0`, 从而 `|b| lt oo`. 设 `|b| = n | m`. 从而 `b(n a) = (n b)a = 0 a = 0`. 同样由 `R` 无零因子推出 `n a = 0`, 从而 `m | n`. 所以 `m = n`.

无零因子环的特征或者是零, 或者是一素数.

设无零因子环 `R` 的特征为 `n gt 0`, 假设 `n = n_1 n_2`, 其中 `n_1, n_2 gt 1`. 取 `R` 中的 `n` 阶元 `a`, 有 `n_1 a != 0`, `quad n_2 a != 0`, 但 `(n_1 a)(n_2 a) = n_1 n_2 a^2 = n a^2 = 0`, 这与 `R` 无零因子矛盾.

环的理想

环的理想

设环 `I le R`, 称 `I` 为 `R` 的一个左理想 (右理想), 如果 `R I sube I` (`I R sube I`). 记为 `I normal_l R` (`I normal_r R`). 如果 `I` 同时是 `R` 的左, 右理想, 则称 `I` 是 `R` 的理想 (ideal), 记为 `I normal R`. `{0}` 和 `R` 是 `R` 的两个平凡理想. 只有平凡理想的非平凡环称为单环.

理想的判定条件 令 `R` 为一环, `I` 是 `R` 的非空子集. `I` 是 `R` 的左理想 (右理想) 当且仅当 `AA a, b in I`, `AA r in R`, `a - b, r a in I` (`a - b, a r in I`). 因此, `I` 是 `R` 的理想当且仅当 `(AA a, b in I)` `(AA r in R)` `a-b, r a, a r in I`

  1. 令 `R` 为一环, `n in ZZ`, 则 `n R = {n a | a in R} normal R`.
  2. `bbb F[x]` 中全体常数项为零的多项式构成 `bbb F[x]` 的一个理想.
  3. 令 `m in ZZ`, 定义 `ZZ_m^(n xx n)` 为每个元素都被 `m` 整除的 `n` 阶方阵的全体: `ZZ_m^(n xx n) = {(a_(i j) in ZZ^(n xx n): m | a_(i j), i, j = 1, 2, cdots, n}`. 则 `ZZ_m^(n xx n) normal ZZ^(n xx n)`.

数域 `bbb F` 上的 `n` 阶矩阵环为单环.

设 `R` 为交换幺环, `I normal R`, 则 `I^(n xx n) normal R^(n xx n)`, 反之 `R^(n xx n)` 的任一理想可以写成 `I^(n xx n)` 的形式.

平行于正规子群的相关定理, 我们有:

令 `R, S` 为两个环, `f: R to S` 为一环同态映射, 则 `I normal R rArr f(I) normal f(R)`,
`J normal S rArr f^-1(J) normal f^-1(S) = R`. 特别 `"Im"f normal S`, `"Ker"f normal R`.

    令 `R` 为一环, `I, S` 是 `R` 的两个子环. 则
  1. `I normal R` `rArr I nn S normal R nn S = S`;
  2. `I normal R and I le S le R` `rArr I normal S`.
  3. `I normal R or S normal R` `rArr I + S le R`;
  4. `I normal R and S normal R` `rArr I + S normal R`;
  5. `I normal R and S normal R` `rArr I nn S normal R`;

剩余类环

令 `(R";"+,*)` 为一环, `I normal R`, 称 `r + I := {r + a | a in I} = I + r` 为 `R` 关于 `I` 的含 `r` 的剩余类. 又令 `R//I := {r + I | r in R}`, 定义 `R//I` 上二元合成如下: `(r+I) + (s+I) -= (r+s) + I`, `quad (r+I) * (s+I) -= (r s) + I`. 可以验证 `+, *` 为 `R//I` 上的二元运算, 且 `(R//I";" +, *)` 为一环, 称为 `R` 关于理想 `I` 的剩余类环.

`ZZ//n ZZ = ZZ_n`.

环的同态/同构定理

平行于群的相关定理, 我们有:

令 `f: R to S` 为一环满同态映射, 则集合 `{R_1| "Ker"f le R_1 le R}`, `{S_1| S_1 le S}` 之间存在一个双射. 即 `R` 中含 `"Ker"f` 的子环与 `S` 中的子环一一对应. 由于理想在环同态映射下的像和原像也是理想, 将定理中的子环换成理想, 结论也成立. 特别地, 设 `I normal R`, 取 `eta: r in R to r + I in R//I` 为自然同态, 则 `"Ker"eta = I`. 由定理有: `R` 中含 `I` 的理想与 `R//I` 的理想一一对应. 即任意 `bar J normal R//I`, `EE J normal R`, 使得 `bar J = J//I`.

环同态基本定理 令 `f: R to S` 为一环同态映射, 则 `R//"Ker"f ~= "Im"R`.

环的第一同构定理 令 `f` 是环 `R` 上的同态映射, `I` 是 `R` 的含 `"Ker"f` 的理想, 则 `R//I ~= f(R)//f(I)`.

环的第二同构定理 令 `R` 为一环, `I normal R`, `S le R`, 则 `(S+I)//I ~= S//(S nn I)`.

环的直积

平行于群的相关概念, 我们有:

令 `R` 为一环, `R_1, R_2 normal R`. 若 `R = R_1 + R_2`, 且 `R` 的任一元素表为 `R_1, R_2` 中元素之和的方式惟一, 则称 `R` 是 `R_1, R_2` 的内直积 (或内直和).

    内直积的等价条件 设环 `R_1, R_2 normal R`, 且 `R = R_1 + R_2`. 则以下各款等价:
  1. `R` 是 `R_1, R_2` 的内直积;
  2. `R` 中存在一元素, 表为 `R_1, R_2` 中元素之和的方式惟一;
  3. `R` 的零元表为 `R_1, R_2` 中元素之各的方式惟一, 即 `0 = 0 + 0`;
  4. `R_1 nn R_2 = {0}`.

令 `R_1, R_2` 为两个环, 定义 `R_1 xx R_2` 上的二元合成 `+,*` 如下: `(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)`,
`(a,b) * (c,d) = (a c,b d)`. 可以验证 `(R_1 xx R_2";" +, *)` 成一环, 称其为环 `R_1, R_2` 的 (外) 直积, 仍记为 `R_1 xx R_2`.
`R_1 xx R_2` 的零元是 `(0, 0)`. 若 `R_1, R_2` 是幺环, 则 `R_1 xx R_2` 是幺环, 幺元为 `(1, 1)`. 若 `R_1, R_2` 为交换环, 则 `R_1 xx R_2` 也为交换环.

    设 `R_1, R_2` 为两个环, 定义 `bar R_1 := {(a,0)| a in R_1}` `quad bar R_2 := {(0,b)| b in R_2}`. 则
  1. `R_1 ~= bar R_1`, `R_2 ~= bar R_2`;
  2. `R_1 xx R_2` 是 `bar R_1, bar R_2` 的内直积.

令环 `R` 是 `R_1, R_2` 的内直积, 则 `R ~= R_1 xx R_2`.

有时对环的内, 外直积不加区分, 都称作直积, 记为 `R_1 xx R_2`. 直积的概念容易推广到多个环的情形.

素理想与极大理想

生成的理想

令 `R` 为一环, `I_1, I_2, cdots, I_n normal R`. 由归纳法易知 `nnn_(k=1)^n I_k normal R`, `quad sum_(k=1)^n I_k normal R`. 设 `M sube R`, 定义 `(:M:)` 为 `R` 的所有包含 `M` 的理想的交, 称为由子集 `M` 生成的理想. 显然 `(:M:)` 是 `R` 的包含 `M` 的最小理想. 如果 `M` 为有限集, 则称 `(:M:)` 为一有限生成理想. 当 `M = {x_1, x_2, cdots, x_n}` 时, `(:M:)` 简记为 `(:x_1, x_2, cdots, x_n:)`. 特别由单个元素 `a` 生成的理想 `(:a:)` 称为由 `a` 生成的主理想. 主理想可以类比于循环群.

主理想的成分如何呢? 考虑到理想自身是一子环, 且通过乘法吸收环上的任意元素, 我们有 `(:a:) = {n a + r a + a s + sum r_i a s_i | n in ZZ, r, s, r_i, s_i in R}`; 可以验证上述通式对环的加法与乘法封闭, 且通式中的每一项左乘 (右乘) 环中的任意元素 `b`, 所得的结果仍是通式中的一项. 当 `R` 为幺环时, 简化为 `(:a:) = {sum r_i a s_i | r_i, s_i in R}`; 当 `R` 为交换环时, 简化为 `(:a:) = {n a + r a| r in R, n in ZZ}`; 当 `R` 为交换幺环时, 简化为 `(:a:) = {r a | r in RR} = a R`.

交换幺环 `R` 中, `(:1:) = 1 R = R`. 因此如果 `R` 的某个理想 `I` 包含幺元 `1`, 则 `I = R`.

令 `R` 为一环, `X = {x_1, x_2, cdots, x_n} sube R`. 则 `(:X:) = sum_(i=1)^n (:x_i:)`.

左 `sube` 右: 因为理想的和还是理想, 所以等式右边是含 `X` 的一个理想, 由定义, 等式左边是含 `X` 的最小理想, 故左边 `sube` 右边.
右 `sube` 左: 对任意 `i in {1, 2, cdots, n}`, 有 `(:x_i:) sube (:X:)`. 而由 `(:X:)` 为一理想知, 它对加法封闭, 所以右边 `sube` 左.

理想的乘积 设环 `A, B normal R`. 定义 `A B := {sum a b | a in A, b in B}`.

环 `R` 可换时, `AA a, b in R`, `(:a:)(:b:) = (:a b:)`.

左 `sube` 右: 由 `a` 生成的主理想为 `(:a:) = {n a + r a| r in R, n in ZZ}`. 将 `a`, `b` 生成的主理想的通式相乘, 有 `(n a + r a)(m b + s b)` `= (n m)a b + (n s)a b + (m r)a b + (r s)a b`. 显然符合 `(:a b:)` 中的通式.
右 `sube` 左: 显然 `a b in (:a:)(:b:)`, 即 `(:a:)(:b:)` 为一含 `a b` 的理想, 自然包含了含 `a b` 的最小理想 `(:a b:)`.

设 `ZZ[x]` 为整系数多项式环, 可以验证 `ZZ[x]` 为一整环, 因此它是交换幺环. 则 `(:x:) = x ZZ[x]`, 它是全体常数项为 `0` 的整系数多项式构成的理想. `(:2, x:) = (:2:) + (:x:)` 是全体常数项为偶数的整系数多项式构成的理想.

素理想

令 `R` 为一环, 称 `P lhd R` (即 `P normal R`, 且 `P != R`) 为 `R` 的一个素理想, 如果对任意 `A, B normal R`, `A B sube P rArr A sube P or B sube P`.

素理想可以类比于素数. 在 `ZZ` 中由素数 `p` 生成的理想 `(:p:)` 是 `ZZ` 的一个素理想. 因为 `ZZ` 的每个理想都是主理想, 设它的任意两个理想是 `(:m:), (:n:)`. 于是 `(:m:) (:n:) sube (:p:) rArr p | m n` `rArr p | m or p | n` `rArr (:m:) sube (:p:) or (:n:) sube (:p:)`.

素理想的判定 环 `P lhd R`, 是 `R` 的素理想的充分条件是 `(AA a, b in R)` `a b in P rArr a in P or b in P`. 当 `R` 可换时, 该条件是充分必要的.

充分性. `AA A, B normal R`, 若 `A B sube P`, 且 `A !sube P`, 则存在 `a in A`, `a !in P`. 从而 `AA b in B`, 由 `a b in A B sube P` 推知 `b in P`, 因此 `B sube P`. 于是 `P` 为 `R` 的一个素理想.
必要性. `AA a, b in R`, 设 `a b in P`, 则由 `R` 可换知, `(:a:)(:b:) = (:a:)(:b:) sube P`. 若 `a !in P`, 则 `(:a:) !sube P`, 从而 `b in (:b:) sube P`.

`R` 不是交换环时, 上述定理的条件不是必要的. 例如域 `bbb F` 上的 `n` 阶矩阵环为一单环, 它的惟一真理想 `(:0:)` 是它的素理想, 而 `n ge 2` 时, `bbb F^(n xx n)` 有零因子, 即 `a b in (:0:)`, 但 `a != 0`, `b != 0`.

极大理想

称环 `M lhd R` 为 `R` 的一个极大理想, 如果对任意 `I normal R`, `M sub I rArr I = R`, 即 `R` 中严格包含 `M` 的理想只有 `R` 本身.

若 `p` 为一素数, 则 `(:p:)` 为 `ZZ` 的素理想, 也为极大理想. 反之, `ZZ` 的非平凡素理想 (极大理想) 可以由某个素数 `p` 生成.

交换幺环的素理想和极大理想

    在交换幺环 `R` 中,
  1. 零理想为一素理想当且仅当 `R` 为一整环;
  2. 零理想为一极大理想当且仅当 `R` 为一域.
  1. 只需证零理想为一素理想当且仅当 `R` 无零因子. 事实上由素理想的充要条件, `{0}` 为一素理想 `iff (AA a, b in R)` `a b in {0} rArr a in{0} or b in{0}` `iff (AA a, b in R)` `a b = 0 rArr a = 0 or b = 0` `iff R` 无零因子.
  2. 只需证 `R` 为一单环当且仅当 `R` 的任意非零元有乘法逆.
    "`lArr`": 设 `I normal R`, `I != {0}`. 则 `I` 中存在非零元 `a`. 记 `a` 的乘法逆为 `a^-1 in R`, 则 `1 = a^-1 a in I`. 因此 `I = R`, 即 `R` 为单环.
    "`rArr`": 任取非零元 `a in R`, 则 `(:a:) normal R`, `(:a:) != {0}`. 因为 `R` 为单环, `(:a:) = R`, 从而 `1 in (:a:) = {r a | r in R}`. 即存在 `a^-1 in R`, `a^-1 a = 1`.
    在交换幺环 `R` 中, 若 `I normal R`, 则 `R//I` 也为交换幺环. 且
  1. `P lhd R` 为一素理想当且仅当 `R//P` 为一整环;
  2. `M lhd P` 为一极大理想当且仅当 `R//M` 为一域.
  1. 只需证 `P` 为 `R` 的一素理想当且仅当 `{bar 0}` 为 `R//P` 的一素理想. `{bar 0}` 为 `R//P` 的一素理想 `iff (AA bar a, bar b in R//P) bar a bar b in {bar 0}` 蕴含 `bar a in {bar 0} or bar b in {bar 0}` `iff (AA bar a, bar b in R//P) bar(a b) = bar a bar b = bar 0` 蕴含 `bar a = bar 0 or bar b = bar 0` `iff (AA a, b in R) a b in P` 蕴含 `a in P or b in P` `iff P` 为 `R` 的一素理想
  2. 只需证 `M` 为 `R` 的一极大理想当且仅当 `{bar 0}` 为 `R//M` 的一极大理想. `M` 为 `R` 的一极大理想 `iff (AA I normal R, M sub I)` `I = R` `iff (AA I normal R, M sub I)` `I//M = R//M` `iff (AA bar I normal R//M, bar I != {bar 0})` `bar I = R//M` `iff {bar 0}` 为 `R//M` 的一极大理想.

交换幺环的极大理想是素理想.

令 `R, S` 是两个交换幺环, `f: R to S` 为一环满同态映射, `R` 的全体含 `"Ker"f"` 的素理想与 `S` 的全体素理想间存在双射, `R` 的全体含 `"Ker"f"` 的极大理想与 `S` 的全体极大理想间存在双射.

交换幺环上的多项式环

设 `R, R'` 是两个交换幺环, `R le R'`, 且 `R` 的幺元就是 `R'` 的幺元. 任取 `u in R'`, 称 `f(u) = sum_(k=0)^n a_k u^k`, `a_k in R`, `k = 0, 1, cdots, n`, `n` 为非负整数 为 `R` 上 `u` 的多项式, `a_k` 称为此多项式的系数. `R` 上的全体 `u` 的多项式记为 `R[u]`, 可以验证 `R[u] le R'`, 称为 `R` 上添加 `u` 生成的子环.
如果 `AA f(u) in R[u]`, `f(u) = 0 iff f(u)` 的系数全为零, 换言之, 如果不存在以 `R` 中不全为零的元素为系数的多项式, 使得 `u` 是此多项式的根, 则称 `u` 为 `R` 上的超越元 (或未定元), 否则称 `u` 为 `R` 上的代数元.
最后, 若 `x` 为 `R` 上的超越元, 则称 `R[x]` 为 `R` 上的一元多项式环, `f(x) in R[x]` 称为 `R` 上的一元多项式. 交换幺环 `R` 上关于超越元 `x` 的一个一元多项式可以惟一地写成 `f(x) = sum_(k=0)^n a_k x^k`, `a_k in R`, `k = 0, 1, cdots, n` 的形式 (不计系数为零的项). 规定 `0` 的次数为 `-oo`, 非零多项式的次数 `del f(x) = max{k| a_k != 0}`.

`QQ` 中的数皆为 `ZZ` 上的代数元. `"i" in CC` 是 `ZZ` 上的代数元. `pi` 和 `"e"` 都是 `ZZ` 上的超越元.

Gauss 整环 定义为 `ZZ["i"] := ZZ + ZZ"i" = {m + n "i"| m, n in ZZ}`. `AA m + n"i" in ZZ["i"]`, 有 `(m+n"i")^2 - 2m(m+n"i") + m^2 +n^2 = 0`, 从而 `m + n"i"` 为 `ZZ` 上的代数元.

交换幺环上的一元多项式环一定存在.

    构造性证明.
  1. 令 `R' := {(a_0, a_1, cdots ) | a_k in R, k = 0, 1, cdots,` 仅有有限个 `a_k` 不为零`}`. 且 `(a_0, a_1, cdots) = (b_0, b_1, cdots)` `iff a_k = b_k`, `k = 0, 1, cdots`. 定义 `R'` 上二元合成 `+, *`: `(a_0, a_1, cdots) + (b_0, b_1, cdots) = (a_0+b_0, a_1+b_1, cdots)`,
    `(a_0, a_1, cdots) * (b_0, b_1, cdots) = (c_0, c_1, cdots)`,     其中 `c_n = sum_(i+j=n) a_i b_j`, `n = 0, 1, cdots`. 可以验证 `+, *` 为 `R'` 上的二元运算, 且 `(R'";" +, *)` 为一交换幺环, 零元和幺元分别为 `(0, 0, cdots, 0, cdots)` 和 `(1, 0, cdots, 0, cdots)`.
  2. 令 `R_0 = {(a_0, 0, cdots, 0, cdots) | a_0 in R}`, 则 `R_0 le R'`, `(1, 0, cdots, 0, cdots) in R_0`, 且 `R ~= R_0`. 故 在同构意义下 `R le R'`. 下证 `R'` 为 `R` 上的一元多项式环. 令 `x = (0, 1, 0, cdots, 0, cdots)`, 则 `x^k = (overbrace(0, cdots, 0)^k, 1, 0, cdots)`,
    `a_k x^k = (overbrace(0, cdots, 0)^k, a^k, 0, cdots)`, `a_k in R`.     `AA f = (a_0, a_1, cdots) in R'`, 存在非负整数 `n`, `a_n = a_(n+1) = cdots = 0`, 从而 `f = (a_0, a_1, cdots, a_(n-1), 0, cdots)` `= a_0 + a_1 x + cdots + a_(n-1) x^(n-1) in R[x]`. 即 `R' sube R[x]`, 又显然 `R[x] sube R'`, 于是 `R' = R[x]`. 若 `sum_(k=0)^n a_k x^k = 0`, 即 `(a_0, a_1, cdots, a_n, 0, cdots) = (0, 0, cdots)`. 则 `a_0 = a_1 = a_2 = cdots = a_n = 0`, 从而 `x` 为 `R` 上的超越元, 于是 `R[x]` 为 `R` 上的一元多项式环.

带余除法 令 `R` 为一交换幺环, `f(x), g(x) in R[x]`, `g(x) != 0`, 且 `g(x)` 的首项系数有乘法逆元. 则存在惟一的 `q(x), r(x) in R[x]`, 使得 `f(x) = q(x) g(x) + r(x)`, `quad del r(x) lt del g(x)`. `q(x)`, `r(x)` 分别称为 `g(x)` 除 `f(x)` 的商式和余式.

令 `R` 为一整环, 则 `R[x]` 也为一整环.

容易验证 `R[x]` 为一交换幺环, 且 `R[x]` 的幺元就是 `R` 的幺元. 因此只需证明 `R[x]` 无零因子. 令 `f(x) = sum_(k=0)^m a_k x^k`, `g(x) = sum_(k=0)^n a_k x^k in R[x]`, `a_m, b_n != 0`. 则 `f(x) g(x) = a_m b_n x^(m+n) + cdots + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x + a_0 b_0`. 由 `R` 为一整环知 `a_m b_n != 0`, 从而 `f(x) g(x) != 0`.

由上述定理的证明知, 整环 `R` 上的一元多项式环有如下次数公式: `del [f(x)g(x)] -= del f(x) + del g(x)`. 在一般的交换幺环中这不一定成立.

整环的因子分解理论

`ZZ` 和 `bbb F[x]` 的每个理想都是主理想, 即都可以由某一元素生成.

主理想整环: principal ideal domain 唯一因子分解整环: unique factorization domain