单代数扩域的 `bbb F`-自同构
域 `bbb K` 上全体自同构关于变换的通常合成构成一个群 `Aut(bbb K)`, 称为 `bbb K` 的自同构群.
下面只看单代数扩域. 记 `bbb K = bbb F(alpha)`, `alpha` 是 `bbb F` 上代数元. 于是 `bbb K` 中元素形如 `f(alpha)`, 其中 `f in bbb F[x]`. 令 `sigma in Aut(bbb K)`, `f(x) = c_n x^n + cdots + c_1 x + c_0`, 则 `sigma(f(alpha))` `= sigma(c_n) sigma(alpha)^n + cdots + sigma(c_1) sigma(alpha) + sigma(c_0)`. 假如 `sigma` 保持 `f` 的系数不变: `sigma(c_i) = c_i`, `i = 0, cdots, n`, 则得到一个漂亮的等式: `sigma(f(alpha)) = f(sigma(alpha))`. 进一步, 若 `sigma` 在 `bbb F` 上为恒等映射: `AA b in bbb F, sigma(b) = b`; 则上式对任意 `f in bbb F[x]` 成立.
这种在 `bbb F` 上保持恒等的 `bbb K` 的自同构称为 `bbb K` 的 `bbb F`-自同构. 我们发现, `bbb K` 的 `bbb F`-自同构 `sigma` 由 `alpha` 的像 `sigma(alpha)` 完全决定. 事实上, 记 `beta = sigma(alpha)`, 则有 `sigma: bbb K to bbb K`
`f(alpha) mapsto f(beta)`. 下面考虑 `alpha` 可能的像. 在上式中令 `f` 为 `alpha` 的最小多项式, 就有 `f(beta) = sigma(f(alpha)) = sigma(0) = 0`. 这指出 `alpha` 的像 `beta` 必为 `f` 的根. `alpha` 与 `beta` 有相同的最小多项式, 我们称它们是共轭的. `bbb F`-自同构将 `alpha` 映为它的共轭, 换言之, `bbb F`-自同构是对多项式的根的置换.
本章的主题就是根的置换. 刻画这种置换的工具就是 Galois 群.
最后, `bbb F`-自同构的数目不超过 `f` 的根的数目, 如果记 `bbb F`-自同构的数目为 `|Gal(bbb K // bbb F)|`, 则 `|Gal(bbb K // bbb F)| le [bbb K: bbb F] = n`, 如果上式等号成立, 则 `f` 的每个根都决定一个 `bbb F`-自同构, 这时我们称 `bbb K // bbb F` 是 Galois 扩张: 这当且仅当 `f` 有 `n` 个不同的根, 且这些根都属于 `bbb K`. 换言之, `f` 可分, 且 `f` 的分裂域含于 `bbb K`.

若 `bbb K, bbb L` 都是 `bbb F` 的有限次扩域, 且 `bbb K` 到 `bbb L` 间存在 `bbb F`-同态 `varphi`, 则由非平凡的域同态都是单同态知 `varphi` 单; 又 `varphi` 是 `bbb K` 到 `bbb L` 的线性映射, 所以当 `bbb K`, `bbb L` 次数相同时, `varphi` 是它们之间的一个同构.

Galois 群与 Galois 扩张

Galois 群

考虑扩域 `bbb K // bbb F`,
1. `bbb K` 上全体 `bbb F`-自同构组成 `Aut(bbb K)` 的子群 `Gal(bbb K // bbb F) := {sigma in Aut(bbb K): {:sigma|_(bbb F) = {:"id"|_(bbb F):}:}}`, 称为 `bbb K` 在 `bbb F` 上的 Galois 群.
2. 设 `G le Aut(bbb K)`, 视 `G` 为 `bbb K` 上的群作用, 则 `bbb K` 在 `G` 作用下的全体不动点构成 `bbb K` 的子域 `Inv(G) := {alpha in bbb K: (AA g in G) g(alpha) = alpha}`, 称为 `bbb K` 的 `G`-不动子域.

固定 `bbb K` 时, `Gal` 可以视为映射, 它将 `bbb K` 的子域映为 `Aut(bbb K)` 的子群; `Inv` 则将 `Aut(bbb K)` 的子群映为 `bbb K` 的子域: `bbb K overset(Gal)underset(Inv)⇄ Aut(bbb K)`

在域 `bbb K` 上考虑 `Gal` 与 `Inv` 这一对映射, 简记 `Gal(bbb F) = Gal(bbb K // bbb F)`, 则它们 (关于子域和子群) 是单调减的:
1. `bbb E le bbb F rArr` `Gal(bbb E) ge Gal(bbb F)`;
2. `G le H rArr` `Inv(G) ge Inv(H)`;
考虑这一对映射的复合, 有
3. `Inv(Gal(bbb F)) ge bbb F`;
4. `Gal(Inv G) ge G`;
5. `Gal(bbb F) = Gal(Inv(Gal(bbb F)))`.

1. `bbb F` 上的恒等变换也是 `bbb E` 上的恒等变换;
2. 在 `H` 的作用下不变, 蕴含在 `G` 的作用下不变;
3. 由定义, Galois 群起码保证 `bbb F` 中的点不动;
4. 设 `bbb F = Inv G`, 则 `AA g in G`, `g{:|:}_(bbb F) = "id"{:|:}_(bbb F)`, 即 `g in Gal(bbb F)`.
5. 设 `bbb E = Inv(Gal(bbb F)) ge bbb F`, 则左边 `ge` 右边. 设 `G = Gal(bbb F)`, 则右边 `= Gal(Inv G) ge G = `左边.

比较集合论中的结果: 令 `f: X to Y`, 有 `A sube B rArr f(A) sube f(B)`,
`C sube D rArr f^-1(C) sube f^-1(D)`,
`f^-1(f(A)) supe A`, 等号成立当且仅当 `f` 单,
`f(f^-1(C)) sube C`, 等号成立当且仅当 `f` 满.

Galois 扩张

Galois 扩张 上述推论的 3. 取等号时, `Inv(Gal(bbb F)) = bbb F`, `Inv` 恰为 `Gal` 的左逆. 这时称 `bbb K // bbb F` 是 Galois 扩张. Galois 扩张有许多等价的定义, 下面就来讨论它们.

若多项式 `f` 的任意不可约因式无重根, 则称 `f` 可分. 若 `bbb F` 是特征为零的域, 则任意 `f in bbb F[x]` 都可分.

不可分多项式的例子 考虑 `bbb F_p` 上的超越元 `u`, 令 `bbb K = bbb F_p(u)` 是 `bbb F_p` 的超越扩张, 则 `f(x) = x^p - u in bbb K[x]` 不可分.

1. 先证 `f` 有重根. 取 `f` 的任一根 `alpha`, 则 `alpha^p = u`, 注意到 `K` 的特征为 `p`, 有 `f(x) = x^p - alpha^p = (x-alpha)^p`, 即 `alpha` 为 `p` 重根.
2. 再证 `f` 不可约. 若 `f` 可约, 则有非平凡分解 `f = g h`, 且 `alpha` 是 `g, h` 的根. 设 `g(x) = (x-alpha)^k`, 其中 `0 lt k lt p`, 则 `g(x)` 的常数项 `(-alpha)^k !in bbb K`. 这说明 `g !in bbb K[x]`, 矛盾.

有限次扩域的 Galois 群为有限群 设 `bbb K // bbb F` 为有限次扩域, 则 `|Gal(bbb K // bbb F)| le [bbb K: bbb F]`. 等号成立当且仅当 `bbb K` 为 `bbb F` 上一可分多项式的分裂域.

Galois 扩张的等价条件 对有限次扩域 `bbb K // bbb F`, 以下各款等价:
1. `bbb K // bbb F` 是 Galois 扩张;
2. `bbb K` 是 `bbb F` 上一可分多项式的分裂域;
3. `|Gal(bbb K // bbb F)| = [bbb K: bbb F]`.
最常用的推论是: 特征为零的域 `bbb F` 上任意多项式的分裂域都是 `bbb F` 的 Galois 扩张.

1. `rArr` 2: 只需证任意 `alpha in bbb K` 在 `bbb F` 上的最小多项式 `p(x)` 无重根, 且 `p(x)` 的所有根属于 `bbb K`.
   1. 由引理, `G := Gal(bbb K // bbb F)` 为有限群, 因此轨道 `O_alpha = {sigma(alpha): sigma in G}` 是有限集. 不妨令 `O_alpha` 中所有不同的元素为 `sigma_1(alpha) = alpha`, `sigma_2(alpha), cdots, sigma_r(alpha)`, 其中 `sigma_1 = {:"id"|_(bbb K)` 为 `bbb K` 上的恒等自同构.
   2. 设 `f(x) in bbb F[x]`, `f(alpha) = 0`, 则 `AA sigma in G`, 由 `sigma` 为 `bbb F`-自同构知, `f(sigma(alpha)) = sigma f(alpha) = sigma(0) = 0`. 从而根 `alpha` 的置换 `sigma(alpha)` 仍为 `f(x)` 的根. 这启发我们构作 `q(x) = prod_(i=1)^r (x - sigma_i(alpha))` `= sum_(j=0)^r q_j x^j`. 显然 `q(x)` 无重根, 且它的所有根属于 `bbb K`.
   3. 下证 `q(x) = p(x)`. 由 Vieta 定理知道, `q_j` 是所有根的对称多项式: `q_j = s(sigma_1(alpha), cdots, sigma_r(alpha))`, `AA sigma in G`, `sigma sigma_1(alpha), cdots, sigma sigma_r(alpha)` 是所有根的一个排列, 因此 `q_j` 是 `sigma` 的不动点: `sigma(q_j) = q_j`, `quad j = 0, 1, cdots, r-1`.
   4. 由假设, `bbb K` 为 `bbb F` 的 Galois 扩张, 即 `Inv(G) = bbb F`, 故 `sigma` 的所有不动点必属于 `bbb F`, 于是 `q_j in bbb F`, 即 `q(x) in bbb F[x]`. 我们得到: `q(x)` 是 `alpha` 在 `bbb F` 上的零化多项式, 因此 `p(x) | q(x)`. 另一方面, 在 (2) 中取 `f = p` 可知 `q(x)` 的任一根都是 `p(x)` 的根, 于是 `q(x) | p(x)`, 从而 `p(x) = q(x)`.
2. `rArr` 3: 由引理知结论成立.
3. `rArr` 1: 令 `bbb E = Inv(Gal(bbb K // bbb F)) ge bbb F`, 由 的 5, `Gal(bbb K // bbb F) = Gal(bbb K // bbb E)`. 从而 `[bbb K: bbb F]` `= |Gal(bbb K // bbb F)|` `= |Gal(bbb K // bbb E)|` `le [bbb K: bbb E]`, 这推出 `bbb F ge bbb E`, 于是 `bbb F = bbb E`, 即 `bbb K` 为 `bbb F` 的一个 Galois 扩张.

Galois 对应定理