`max{x,y}, min{x,y} = (x+y)/2 +- |x-y|/2`. `max{x,a}` 和 `min{x,a}` 的图像. `(max{x,a}-a)/(x-a)`, `(x-max{x,a})/(x-a)`, `((max{x,a}-a)(x-max{x,b}))/((x-a)(x-b))` 的图像.

设非空集合 `A sube RR^+` 有上界. `n in ZZ^+`, `A^n = {a^n | a in A}`, 则 `"sup"(A^n)` 存在, 且 `"sup"(A^n) = ("sup" A)^n`.

不妨设 `n ge 2`. 记 `x = "sup" A`.
1. `x^n` 是 `A^n` 上界. 任取 `a^n in A^n`, 则 `a le x`, 故 `a^n le x^n`.
2. `x^n` 是 `A^n` 最小上界. 设 `y ge a^n`, `AA a in A`. 断言 `x^n le y`. 否则, 取 `epsi = (x^n - y)/(nx^(n-1)) gt 0`, 则存在 `a_epsi in A`, `a_epsi gt x - epsi`. 利用 `n` 次方差公式放大, 有 ` x^n - a_epsi^n lt x^n - (x-epsi)^n lt epsi n x^(n-1) = x^n - y`, 从而 `y lt a_epsi^n`, 矛盾.

函数的奇偶性
1. 若 `f` 以 `a` 为对称轴, 则 `f(a+x)` 是偶函数, 即 `f(a+x) = f(a-x)`. 一般地, 若 `f` 满足 `f(a+x) = f(b-x)`, 令 `t = (a-b)/2 + x`, 即化为 `f((a+b)/2 + t) = f((a+b)/2 - t)`, 可见 `f` 以 `(a+b)/2` 为对称轴.
2. 若 `f` 以 `(a, b)` 为对称中心, 则 `f(a+x)-b` 是奇函数, 即 `f(a+x)+f(a-x) = 2b`. 一般地, 若 `f` 满足 `f(a+x) + f(b-x) = 2c`, 令 `t = (a-b)/2 + x`, 即化为 `f((a+b)/2+t) + f((a+b)/2-t) = 2c`, 可见 `f` 以 `((a+b)/2, c)` 为对称中心.

1. 设 `f(x)` 在 `x ge 0` 时有定义, 将它的图像沿 `y` 轴作对称开拓 (偶延拓), 就得到 `f(|x|)` 的图像;
2. 将 `f(x)` 的图像位于 `x` 轴下方的部分折叠到 `x` 轴上方, 就得到 `|f(x)|` 的图像.

设 `f` 的定义域关于原点对称, 则 `f` 可以分解为偶函数与奇函数之和: `f(x) = (f(x) + f(-x))/2 + (f(x) - f(-x))/2`. 类似的命题还有, `n` 阶矩阵可以分解为对称阵和反对称阵之和; 有界变差函数可以分解为单增函数与单减函数之和.

函数作图 用计算器作 `f(x)`, `x in [a, b]` 的图像, 可以利用表达式 `f(x) + 0 sqrt((x-a)(b-x))`

函数大冒险
1. `sqrt(1-x^2)*sin(500x)*abs(x)`
2. `sqrt(1-x^2)*(sin(500x)+cos(x))/2`
3. `sqrt(1-x^2)*(sin(500x)*cos(x)+x)/3`
4. `(exp(2x)-exp(-2x)+sin(500x))*sin(500x)/5`
5. `(sqrt(1-x^2)*cos(500x)+abs(x))*0.7`
6. `(x-y)*(x+0.2)*(y-0.2) gt 0`
7. `(x+y)*(x-y)*(x-0.2)*(y-0.1) lt 0.001`

冷知识,
1. `f(x) = (1-x)/(1+x)` 的反函数是自己, 即 `f^2(x) = x`;
2. 若 `f(x) = 1/(1-x)`, 则 `f^3(x) = x`;

单个函数实现所有初等函数与四则运算 [bilibili@爱因是蛋] 借助常数 1 和二元函数 eml (exp minus ln): `"eml"(x,y) := exp(x) - ln(y)`, `quad x, y in CC`, `y != 0`, 可以将所有一元初等函数表示成一棵二叉树. 其中叶子节点是 `x` 或 `1`, 非叶子节点是 `"eml"` 运算.

首先构造指数、对数函数: `exp x = "eml"(x,1)`;
`ln x = "e" - ("e" - ln x)` `= "eml"(1,exp("eml"(1,x)))`, `quad x != 0. 接下来构造四则运算, 首先是减法: `x - y = "eml"(ln(x),exp(y))`, `quad x != 0`;
`x = 0` 时上述定义失效, 单独定义 `-y` 如下: `-y = { (1-y)-1, if y != 1; ("e"-y)-"e", if y = 1 :}` 继续完成四则运算的构造: `x + y = x - (-y)`;
`x * y = exp(ln(x) + ln(y))`, `quad x, y != 0`;
`x // y = exp(ln(x) - ln(y))`, `quad x, y != 0`. 有了四则运算, 所有理数都能表示出来. 于是 `x^q = exp(q*ln(x))`, `quad q in QQ`, `x != 0`;
`i = (-1)^(1//2)`;
`cos(x) = (exp(i x)+exp(-i x))//2`;
`sin(x) = (exp(i x)-exp(-i x))//2i`. 类似构造出各种三角函数、反三角函数. 某些无理数也能表示出来, 如 `pi = ln(-1) // i`, `quad "e" = exp(1)`.