函数逼近

设 `f in C[a, b]`, 若 `int_a^b f(x) varphi(x) dx = 0`, `quad AA varphi in C[a, b]`, `int_a^b varphi(x) dx = 0`, 则 `f` 为常数.

记 `f` 在 `[a, b]` 上的平均值为 `p = 1/(b-a) int_a^b f(x) dx`, 容易验证 `f-p` 是连续函数, 且 `int_a^b (f(x)-p) dx = 0`. 取 `varphi = f - p` 有 `int_a^b |f(x) - p|^2 dx` `= int_a^b f(x) (f(x) - p) dx - p int_a^b (f(x) - p) dx = 0`. 由于 `f - p` 是连续函数, 上式蕴含 `f(x) -= p`.

变分引理 设 `f in L^2[a, b]`, 若 `AA varphi in C_0[a, b]` (即 `varphi` 是 `[a, b]` 上在两个端点处等于零的连续函数) 有 `int_a^b f(x) varphi(x) dx = 0`, 则 `f` 几乎处处为零.

根据逼近定理??, 存在函数列 `varphi_n in C_0[a, b]` 使得 `varphi_n overset (L^2) rarr f`, `n to oo`. 由 Cauchy 不等式, `int_a^b f^2(x) dx` `= int_a^b f(x) [f(x) - varphi_n(x)] dx` `le sqrt(int_a^b f^2(x) dx) sqrt(int_a^b |f(x) - varphi_n(x)|^2 dx)`. 令 `n to oo`, 就有 `int_a^b f^2(x) dx = 0`. 由定理??, 这当且仅当 `f` 几乎处处为零.

Weierstrass 函数 `f(x) = sum_(n ge 0) a^n cos(b^n pi x)`, `quad 0 lt a lt 1`, `b` 为正奇数 在 `RR` 上处处连续, 且 `ab gt 1 + 3/2 pi` (即, `b ge 7`) 时处处不可导. `f(x)` 是 Hölder 连续的, 但不是 Lipschitz 连续的.

[来自 知乎]
1. 连续性: 由优级数 `sum_(n=0)^(oo) a^n`, 利用 Weierstrass 判别法知 `f(x)` 在 `RR` 上内闭一致收敛. 由于每个函数项是 `RR` 上的连续函数, 所以 `f(x)` 也是 `RR` 上的连续函数.
2. 下证 `f` 处处不可导. 为此, 记 `(f(x+h) - f(x))/h` `= sum_(n ge 0) a^n [cos b^n pi (x+h) - cos b^n pi x] // h` `= sum_(n=0)^(m-1) + sum_(n ge m)` `= S_m + R_m`.
3. `|S_m|` 的上界. 由微分中值定理, `|cos b^n pi (x+h) - cos b^n pi x|` `= |b^n pi h sin b^n pi (x+theta h)|` `le b^n pi |h|`, `quad theta in (0, 1)`, 有 `|S_m| le sum_(n=0)^(m-1) a^n b^n pi` `= pi (a^m b^m -1)/(a b -1)` `le pi (a^m b^m)/(a b-1)`.
4. `|R_m|` 的下界. 将 `b^m x` 写为整数部分和小数部分: `b^m x = A_m + B_m`, `quad A_m in ZZ`, `B_m in [-1/2, 1/2)`. 令 `h = (1-B_m)/b^m`, 则 `h in (0, 3/(2 b^m)]`. 注意 `b` 是奇数, 有 `cos b^n pi (x+h)` `= cos b^(n-m) pi (b^m x + b^m h)` `= cos b^(n-m) pi (1 + A_m)` `= (-1)^(1+A_m)`,
   `cos b^n pi x` `= cos b^(n-m) pi (A_m + B_m)` `= (-1)^(A_m) cos b^(n-m) pi B_m`. 因此 `|R_m| = 1/|h| sum_(n ge m) a^n (1 + cos b^(n-m) pi B_m)` `ge a^m/|h| (1+cos b^0 pi B_m)` `ge a^m/|h|` `ge 2/3 a^m b^m`.
5. 综上 `|(f(x+h) - f(x))/h|` `ge |R_m| - |S_m|` `ge (2/3 - pi/(a b-1)) a^m b^m`. 令 `m to oo`, 则 `h` 是一个趋于零的数列. 只要 `2/3 - pi/(a b-1) gt 0`, 上式右边就趋于正无穷, 因此 `f` 不可微.

利用幂级数求级数和 `sum_(k ge 1) 1/(3k(3k-1)(3k-2))`

原式等于 `sum_(k ge 1) (1/2)/(3k) - 1/(3k-1) + (1/2)/(3k-2)` `= sum_(k ge 1) int_0^1 1/2 x^(3k-1) - x^(3k-2) + 1/2 x^(3k-3) dx` `= int_0^1 (x^2//2 - x + 1//2)/(1-x^3) dx` `= 1/12(sqrt 3 pi - 3 ln 3)` `~~ 0.17880`.