一般区间上的 Fourier 级数 设函数 `f in R[a, b]`, 记 `T = b-a`, `omega = 2pi//T`, 则 `f` 的 Fourier 级数为 `f(x) ~ sum_(n ge 0) a_n cos n omega x + b_n sin n omega x`. 其中系数 `a_n = (int_a^b f(x) cos n omega x dx)/(int_a^b cos^2 n omega x dx)`, `quad b_n = (int_a^b f(x) sin n omega x dx)/(int_a^b sin^2 n omega x dx)`, `quad n = 1, 2, cdots`. 特别 `a_0 = 1/(b-a) int_a^b f(x) dx` 也适合上面的公式; 又, 我们并不关心 `b_0` 的值, 因为 `sin 0 = 0`.

Fourier 级数可以推广到内积空间, 此时向量 `f` 在 正交基底 `e_1, e_2, cdots` 张成的子空间 `"span"[e_1, e_2, cdots]` 下的投影坐标 `x_n = ((f, e_n))/((e_n, e_n))`, `quad n = 1, 2, cdots`.

圆周上的 Fourier 级数 若 `f` 以 `2pi` 为周期, 在任意有限区间上可积, 则称 `f` 为定义在圆周上的函数, 它的 Fourier 级数为 `f(theta) ~ sum_(n in ZZ) hat(f)(n) "e"^(i n theta)`, 其中, Fourier 系数 `hat(f)(n) = 1/(2pi) int_(-pi)^pi f(theta) "e"^(-i n theta) "d"theta`.

利用积分 `int_(-pi)^pi "e"^(i n theta) "d"theta` `= { 0, n != 0; 2 pi, n = 0 :}` 暂不考虑收敛性问题, 形式地处理 Fourier 系数, 两边乘以 `"e"^(-i m theta)` 再逐项积分: `int_(-pi)^pi f(theta) "e"^(-i m theta) "d"theta` `= int_(-pi)^pi sum_(n in ZZ) hat(f)(n) "e"^(i(n-m)theta) "d"theta` `= sum_(n in ZZ) hat(f)(n) int_(-pi)^pi "e"^(i(n-m)theta) "d"theta` `= 2 pi hat(f)(m)`.

    设 `f` 是圆周上的函数,
  1. 若 `f` 连续可微, 则可以逐项求导 `hat(f')(n) = i n hat(f)(n)`;
  1. `n != 0` 时, 分部积分 `2pi hat(f)(n)` `int_(-pi)^pi f(x) "e"^(-i n x) dx` `1/(i n) int_(-pi)^pi f'(x) "e"^(-i n x) dx` `= 1/(i n) hat(f')(n)`. `n = 0` 时, 由周期性 `hat(f')(0) = int_(-pi)^pi f'(x) dx = 0`.

核函数

    核函数 是指以 `n` 为参数的一族函数, 当 `n` 取极限 (比如 `n to oo`) 时, 核函数的值集中于原点附近. 在圆周上, 一族好的核函数 `K_n(x)` 满足以下性质:
  1. 规范性: `1/(2pi) int_(-pi)^pi K_n(x) dx = 1`, `AA n ge 1`;
  2. 一致有界: 存在 `M gt 0` 使得 `int_(-pi)^pi |K_n(x)| dx le M`, `AA n ge 1`;
  3. 趋于 `delta` 函数: 对任意 `epsi gt 0`, `lim_(n to oo) int_(epsi le |x| le pi) |K_n(x)| dx = 0`.
    4. 易知当 `K_n` 为非负函数时, 1 已经蕴含了 2.

dirac `delta` 函数是一个广义函数, 用于描述集中于一点的量, 如质点或脉冲等. 核函数是对 `delta` 函数的近似.

Dirichlet 核定义为 `D_n(x) := sum_(k=-n)^n "e"^(i k x)` `= (sin(n+1//2)x)/(sin(x//2))`.

记 `omega = "e"^(i x)`, 左边等于 `sum_(k=0)^n omega^k + sum_(k=1)^n omega^(-k)` `= (1-omega^(n+1))/(1-omega) + (1-omega^-n)/(1-omega^-1) omega^-1` `= (omega^(n+1)-omega^-n)/(omega-1)` `= (omega^(n+1//2)-omega^(-n-1//2))/(omega^(1//2)-omega^(-1//2))` 等于右边.

Fejér 核定义为 `F_n(x) := 1/n sum_(0 le k lt n) D_k(x)` `= 1/n (sin^2(n x//2))/(sin^2(x//2))`.

左边等于 `1/(2 n sin^2(x//2)) sum_(0 le k lt n) 2 sin{:x/2:} sin(k+1/2)x` `= 1/(2 n sin^2(x//2)) sum_(0 le k lt n) [ cos k x - cos(k+1)x ]` `= (1-cos n x)/(2 n sin^2 (x//2))` 等于右边.

Poisson 核定义为 `P_r(x) := sum_(n=-oo)^oo r^|n| "e"^(i n x)` `= (1-r^2)/(1-2 r cos x + r^2)`, `quad 0 le r lt 1`.

记 `omega = r"e"^(i x)`, 左边等于 `sum_(n ge 0) omega^n + sum_(n ge 1) bar(omega)^n` `= 1/(1-omega) + (bar omega)/(1-bar omega)` `= (1 - omega bar omega)/((1-omega)(1-bar omega))` 等于右边.