条件极值问题 设函数 `f, g_1, cdots, g_n` 在开集 `D sube RR^m` 上有定义 (`n lt m`), 求函数 `f(x) = f(x_1, cdots, x_m)` 在约束条件 `g_i(x_1, cdots, x_m) = 0`, `quad i = 1, 2, cdots, n` (17-2-1) 下的极值. 满足约束条件 的 `x` 的取值范围 `S sube D` 称为可行域. 若存在 `x_0 in S` 以及邻域 `B(x_0, delta) sube D`, 满足 `f(x_0) le f(x)`, `quad AA x in B(x_0, delta) nn S`, 则称 `x_0` 为 `f` 在约束条件下的极小值; 极大值定义类似.
理论上, 可从约束条件中解出 `n` 个变元, 作为其它 `m-n` 个变元的函数, 将 `f(x)` 化为只含 `m-n` 个变元的函数, 从而将条件极值问题化为无条件极值问题. 但实际上, 从约束条件往往难以解出它所确定的 `n` 个隐函数, 或者即使解出, 代入后得到的函数也不便于求偏导数. Lagrange 乘数法巧妙避免了这些不便之处, 利用它可以直接获得条件极值问题的解.
以 `m=4, n=2` 的情形为例, 在开集 `D sube RR^4` 上 求 `f(x, y, u, v)` 在约束条件 `{ F(x, y, u, v) = 0; G(x, y, u, v) = 0; :}` 下的极值点. 为了能用微分学进行研究, 我们假设 `f, F, G` 可微.