数列极限的定义

能与全体自然数建立一一对应的集合称为序列, 记为 `x_1, x_2, x_3, cdots`, 简写为 `{x_n}_(n=1)^oo` 或 `{x_n}`. 序列的第 `n` 项 `x_n` 称为它的通项. 如果序列中的每一元素都是实数, 就称它为实数列, 简称数列.

设 `a in RR`, `{x_n}` 为一数列. 如果对任意正实数 `epsi`, 都存在相应的正整数 `N`, 使对任意的 `n gt N`, 成立 `|x_n - a| lt epsi`, 则称数列 `{x_n}` 收敛, 它的极限为 `a`, 记为 `lim_(n to oo) x_n = a`, 或 `x_n to a` (`n to oo`). 等价的说法是, 当 `n` 趋于正无穷大时, `x_n` 趋于 `a` 或以 `a` 为极限. 反之, 如果数列的极限不存在, 则称它发散.

我们把数列极限的这种定义采用的数学表述称为 `epsi-N` 语言.
注意, 按照定义, 我们只需证明对小的正数 `epsi` 成立 `|x_n - a| lt epsi` 即可. 因此证明的时候可以根据实际情况加上 `epsi lt 1` 的限制条件等.
另外, `AA n gt N`, `|x_n - a| lt epsi` 的另一种说法是, 对充分大的 `bm n` 成立上式.
最后, 不等式 `|x_n - a| lt epsi` 的一个等价的写法是 `a - epsi lt x_n lt a + epsi`.

`lim_(n to oo) x_n = a` `iff lim_(n to oo) (x_n - a) = 0`.

若 `lim_(n to oo) x_n = a`, 则 `lim_(n to oo) (x_n - y_n) = 0` `iff {y_n}` 的极限存在, 且等于 `a`.

  1. 对任意 `epsi gt 0`, 由 `lim_(n to oo) x_n = a`, 存在正整数 `N` 使得 `|x_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt N`. 由 `lim_(n to oo) (x_n-y_n) = 0`, 存在正整数 `M` 使得 `|x_n - y_n| lt epsi/2`, `AA n gt M`. 于是对任意 `n gt max{N, M}`, 应用三角不等式有 `|y_n - a| le |y_n - x_n| + |x_n - a| lt epsi`.
  2. 现在设 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) y_n = a`, 则对任意 `epsi gt 0`, 存在正整数 `N, M` 使得 `|x_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt N`;
    `|y_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt M`.     类似地对 `n gt max{N, M}` 应用三角不等式即得结论.
  1. 对数 `lim_(n to oo) 1/(log_a n) = 0`, 其中 `a gt 1`.
  2. p 数列 `lim_(n to oo) 1/n^p = 0`, 其中 `p gt 0`;
  3. 等比数列 `lim_(n to oo) q^n = 0`, 其中 `0 lt q lt 1`;
  4. n 次方根 `lim_(n to oo) root n a = 1`, 其中 `a gt 0`, `a != 1`;
  1. `AA epsi gt 0`, 取正整数 `N gt a^(1/epsi)`, 则 `log_a N gt 1/epsi`, 从而 `AA n gt N`, `|1/(log_a n)| lt 1/(log_a N) lt epsi`.
  2. `AA epsi gt 0`, 取正整数 `N gt (1/epsi)^(1/p)`, 则 `N^p gt 1/epsi`, 从而 `AA n gt N`, `|1/n^p| lt 1/N^p lt epsi`.
  3. `AA epsi gt 0`, 不妨令 `epsi lt 1`. 取正整数 `N gt (log_2 epsi)/(log_2 q)`, 则 `N log_2 q lt log_2 epsi`. 从而 `AA n gt N`, `|q^n| lt q^N lt epsi`.
  4. `AA epsi gt 0`, 先设 `a gt 1`, 取正整数 `N gt (log_2 a)/(log_2(1+epsi))`, 则 `N log_2(1+epsi) gt log_2 a`, `(1+epsi)^N gt a`. 从而 `AA n gt N`, `|root n a - 1| lt root N a - 1 lt (1+epsi)-1 = epsi`. 再设 `a lt 1`, 不妨令 `epsi lt 1`. 取正整数 `N gt (log_2 a)/(log_2(1-epsi))`, 则 `log_2 a gt N log_2(1-epsi)`, `a gt (1-epsi)^N`, `root N a gt 1-epsi`. 从而 `AA n gt N`, `|1 - root n a| lt 1 - root N a lt 1-(1-epsi) = epsi`.

有界数列, 无穷大与无穷小, 两边夹法则

设 `{x_n}` 为一数列. 如果存在实数 `A, B` 使成立 `A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`, 则称 `{x_n}` 有界, 否则称它无界.

数列 `{x_n}` 有界当且仅当存在正实数 `M`, 对充分大的 `n` 成立 `|x_n| le M`.

先设 `{x_n}` 有界. 则存在实数 `A, B` 使成立 `A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`. 取 `M = max{|A|, |B|}`, 则 `|x_n| le M`, `AA n in ZZ^+`. 反之设存在正实数 `M` 和正整数 `N`, 成立 `|x_n| le M`, `AA n gt N`, 取 `M' = max{x_1, x_2, cdots, x_N, M}`, 则 `|x_n| le M'`, `AA n in ZZ^+`. 再取 `A = -M', B = M'` 即得结论.

如果 `lim_(n to oo) x_n = 0`, 则称 `{x_n}` 是一个无穷小量或无穷小. 如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `|x_n| gt M`, 则称 `{x_n}` 趋于无穷大, 或 `x_n` 是一个无穷大量. 其中, 如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `x_n gt M` (`x_n lt -M`), 则称 `{x_n}` 趋于正无穷大 (负无穷大), 记为 `lim_(n to oo) x_n = +oo` (`-oo`) 或 `x_n to +oo` (`-oo`), 当 `n to oo`.

若 `{x_n}` 是无穷大且 `x_n != 0`, 则 `{1/x_n}` 是无穷小; 反之若 `{y_n}` 是无穷小且 `y_n != 0`, 则 `{1/y_n}` 是无穷大.

只证第一个结论, 第二个结论类似. `AA epsi gt 0`, 由 `{x_n}` 是无穷大知存在正整数 `N`, 使得 `|x_n| gt 1/epsi`, `AA n gt N`. 即 `|1/x_n| lt epsi`, `AA n gt N`.

设 `{x_n}` 是无穷小, `{y_n}` 有界, 则 `{x_n y_n}` 是无穷小.

由 `{y_n}` 有界知存在 `M gt 0` 使得 `|y_n| le M`, `AA n in ZZ^+`. `AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N` 使成立 `|x_n| lt epsi/M`, `AA n gt N`. 从而 `|x_n y_n| lt epsi/M M = epsi`.

设 `{x_n}` 是无穷小, 且对充分大的 `n`, 有 `|y_n| le |x_n|`, 则 `{y_n}` 是无穷小.

由已知, 存在正整数 `M` 使得 `|y_n| le |x_n|`, `AA n gt M`. `AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N`, 使得 `|x_n| lt epsi`, `AA n gt N`. 从而 `n gt max{M, N}` 时, `|y_n| le |x_n| lt epsi`.

  1. `lim_(n to oo) (n!)/n^n = 0`, `lim_(n to oo) n^n/((2n)!) = 0`.
  2. `lim_(n to oo) a^n/(n!) = 0`, `a in RR`;
  3. `lim_(n to oo) n^p/a^n = 0`, `a gt 1`, `p gt 0`;
  4. `lim_(n to oo) (log_a n)/n^p = 0`, `a gt 1`, `p gt 0`.
  1. 只需注意到 `AA n in ZZ^+`, `(n!)/n^n le 1/n`, `n^n/((2n)!) lt 1/(n!)`;
  2. 取正整数 `N gt |a|`, 则存在实数 `r` 使 `|a|/N lt r lt 1`. 对任意 `n gt N` 有 `|a^n/(n!)|` `= |a|/n * |a|/(n-1) cdots |a|/(N+1) * |a|^N/(N!)` `lt r^(n-N) |a|^N/(N!)`. 因为 `r^n` 是无穷小, `r^-N |a|^N/(N!)` 是有界量, 所以上式右端是无穷小, 因此 `a^n/(n!)` 是无穷小.
  3. 设 `a = 1 + r`, `r gt 0`. 取正整数 `N gt p`, 当 `n gt 2N` 时, `n - N gt n/2`, 利用二项式定理有 `a^n = (1+r)^n` `= sum_(k=0)^n (n;k) r^k` `gt (n;N) r^N` `= (n * (n-1) cdots (n-N+1))/(N!) r^N` `gt (n-N)^N r^N // N!` `gt ((n r)/2)^N // N!`. 于是 `|n^p/a^n| lt n^p N! (2/(n r))^N`, 其中 `n^(p-N)` 是无穷小, 其余因子为有界量. 因此 `n^p/a^n` 是无穷小.
  4. `AA epsi gt 0`, 由 3 知存在正整数 `M`, 使得 `n/a^n lt p/a epsi`, `AA n gt M`. 取正整数 `N gt a^(M/p)`, 则 `p log_a N gt M`. `AA n gt N`, 记 `m = |__p log_a n__|+1`, 于是 `m gt M`. 从而 `|(log_a n)/n^p| = 1/p (p log_a n)/(a^(p log_a n))` `lt 1/p m/a^(m-1)` `= a/p m/a^m` `lt epsi`.

也可以利用正项级数的审敛法. 一旦级数收敛, 它的通项就趋于 0. 如设 `x_n = (n!)/n^n`, 则 `x_(n+1) / x_n = n^n/(n+1)^n to 1/e lt 1`, 则级数 `sum_(n ge 1) x_n` 收敛, 其通项趋于 0. 2, 3 小题类似.

两边夹法则 (squeezing theorem) 设数列 `{x_n}, {y_n}, {z_n}` 对充分大的 `n` 满足 `x_n le y_n le z_n`, 且 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) z_n = a`, 则 `{y_n}` 的极限也存在且等于 `a`.

设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n le z_n`, `AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立 `a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,
`a - epsi lt z_n lt a + epsi`, `AA n gt N_3`. 从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时, `a - epsi lt x_n le y_n le z_n lt a + epsi`, 即 `lim_(n to oo) y_n = a`.

记 `a_n = y_n - x_n`, `b_n = z_n - x_n`, `n = 1, 2, cdots`. 由知 `b_n` 是无穷小, 而 `|a_n| le |b_n|`, 故由知 `a_n` 也是无穷小. 再次应用 `y_n` 的极限存在, 且等于 `a`.

`lim_(n to oo) root n n = 1`.

`n gt 2` 时, 应用均值不等式有 ` 1 lt root(n)(n)` `= root(n)(sqrt n * sqrt n * 1)` `lt (2 sqrt n + n - 2)/n` `lt 2/sqrt n + 1`. 由两边夹法则, `lim_(n to oo) root n n = 1`.

数列极限的性质与四则运算

数列极限的惟一性 若数列有极限, 极限必惟一.

设 `lim_(n to oo) x_n = a`, 且 `lim_(n to oo) x_n = b`. 如果 `a != b`, 不妨设 `a lt b`, 取 `epsi = (b-a)//2 gt 0`, 由极限的定义知分别存在正整数 `M, N`, 使得 `a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `quad n gt M`;
`b - epsi lt x_n lt b + epsi`, `quad n gt N`. 从而当 `n gt max{M, N}` 时, 以上两式皆成立, 有 `(a+b)//2 = b - epsi lt x_n lt a + epsi = (a+b)//2`, 矛盾. 所以必有 `a = b`.

收敛数列的有界性 如果 `{x_n}` 收敛, 则它有界. 从而无界数列必发散.

设 `x_n to a`. 对 `epsi = 1 gt 0`, 由极限的定义知存在正整数 `N`, 使成立 `|x_n - a| lt epsi = 1`, `AA n gt N`. 这蕴含 `|x_n| = |(x_n-a) + a| lt 1+|a|`, `AA n gt N`. 从而数列有界.

    收敛数列的保号性 设 `lim_(n to oo) x_n = a != 0`, 则存在一个介于 `a` 和 `0` 之间的实数 `r`,
  1. `a gt 0` 时, 对充分大的 `n` 成立 `x_n gt r gt 0`;
  2. `a lt 0` 时, 对充分大的 `n` 成立 `x_n lt r lt 0`.
    3. 从而当数列有一个不等于零的极限时, 对充分大的 `n`, `x_n` 与 `0` 保持一个正的距离.

只证结论 1, 结论 2 证明类似. 取 `epsi = a/2 gt 0`, 由极限定义, 对充分大的 `n` 有 `a - a/2 lt x_n lt a + a/2`, 从而 `x_n gt a/2 gt 0`. 取 `r = a/2` 即可.

数列极限的保序性 如果 `{x_n}`, `{y_n}` 收敛, 且对充分大的 `n` 有 `x_n le y_n`, 则 `lim_(n to oo) x_n le lim_(n to oo) y_n`. 注意, 由 `x_n lt y_n` 不能推出 `lim_(n to oo) x_n lt lim_(n to oo) y_n`. 比如 `1/n lt 2/n`, 但两数列都趋于 `0`.

设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n`. 记 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`. 反设 `a gt b`. 取 `epsi = (a-b)//2 gt 0`. 由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立 `a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,
`b - epsi lt y lt b + epsi`, `AA n gt N_3`. 从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时, `(a+b)//2 = a - epsi lt x_n le y_n lt b + epsi = (a+b)//2`, 矛盾. 因此 `a le b`.

如果 `x_n le x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称 `{x_n}` 单调递增, 如果 `x_n lt x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称 `{x_n}` 严格单调递增. 类似可以定义单调递减数列和严格单调递减数列.

设 `{x_n}` 是一序列, `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列, 则 `{x_(n_k)} := {x_(n_k)}_(k=0)^oo` 称为 `{x_n}` 的一个子 (序) 列, 特别 `{x_n}` 为数列时, `{x_(n_k)}` 称为 `{x_n}` 的一个子数列. 直观地看, 子列就是把原序列的一部分取出, 按原先的次序排成的一个序列.

若 `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列, 则 `n_k ge k`, `k in ZZ^+`.

归纳法容易证明.

收敛数列子列的收敛性 设 `lim_(n to oo) x_n = a`, 则 `{x_n}` 的任意子列也收敛到 `a`.

由极限定义, `AA epsi gt 0`, 存在正整数 `N`, 使得 `|x_n - a| lt epsi`, `AA n gt N`. 任取子列 `{x_(n_k)}`, 由 `n_k ge k`, `k in ZZ^+` 知, `|x_(n_k) - a| lt epsi`, `AA k gt N`.

数列极限的四则运算 若 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`, 则 `lim_(n to oo) (x_n +- y_n) = a +- b`; `quad lim_(n to oo) (x_n y_n) = ab`; `quad lim_(n to oo) (x_n)/(y_n) = a/b` (当 `b != 0`). 定理告诉我们, 极限运算与 (有限次的) 四则运算可以交换次序.

  1. `AA epsilon gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_1, N_2` 使成立 `|x_n - a| lt epsilon/2, AA n gt N_1`;
    `|y_n - b| lt epsilon/2, AA n gt N_2`.     故 `n gt max{N_1, N_2}` 时, `|(x_n +- y_n) - (a +- b)|` `le |x_n - a| + |y_n - b|` `lt epsi/2 + epsi/2 = epsi`.
  2. 由收敛数列的有界性知 `EE M gt 0`, 使 `|y_n| le M`, `AA n in NN`. `AA epsilon gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_1, N_2` 使成立 `|x_n - a| lt epsi/(2M)`, `AA n gt N_1`;
    `|y_n - b| lt epsi/(2(|a| + 1))`, `AA n gt N_2`.     (这样就避免了对 `a = 0` 的讨论). 因此 `n gt max{N_1, N_2}` 时, `|x_n y_n - a b|` `= |x_n y_n - a y_n + a y_n - a b|` `le |x_n - a| |y_n| + |a| |y_n - b|` `lt epsi/(2M) M + |a| epsi/(2|a|+1) lt epsi`.
  3. 注意 `lim_(n to oo) y_n = b != 0`, 由数列极限的保号性知存在正整数 `N_1` 与 `m gt 0` 使 `|y_n| gt m`, `AA n gt N_1`. `AA epsilon gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使 `|x_n - a| lt m epsilon/2`, `AA n gt N_2`;
    `|y_n - b| lt (m|b|)/(|a|+1) epsilon/2`, `AA n gt N_3`.     当 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时有 `|x_n/y_n - a/b|` `= |(b x_n - a y_n)/(b y_n)|` `= (|b x_n - a b + a b - a y_n|)/(|b| |y_n|)` `lt (|b| |x_n - a| + |a| |y_n - b|)/(m |b|)` `= 1/m|x_n-a| + |a|/(m|b|) |y_n - b|` `lt 1/m m epsi/2 + |a|/(m|b|) (m|b|)/(|a|+1) epsi/2` `lt epsi`.

设 `lim x_n = a`, `AA c in RR`, 令 `y_n = c` 是一个常数列, 则 `lim_(n to oo) (c x_n) = c a`, `quad lim_(n to oo) (c + x_n) = c + a`.

实数的完备性

单调有界原理

Cantor 闭区间套定理

Bolzano-Weierstrass 列紧性 (致密性) 原理

Cauchy 收敛准则

压缩映像

设 `0 lt r lt 1`, 且对任意正整数 `n` 有 `|x_(n+1)-a| le r |x_n-a|`, 则 `lim_(n to oo) x_n = a`.

归纳法容易证明 `|x_n - a| le r^(n-1)|x_1 - a|`, `r^(n-1)` 是无穷小, `|x_1 - a|` 是有界量, 因此 `|x_n - a|` 为无穷小, 即 `lim_(n to oo) x_n = a`.

    [群友 我是懒羊羊的数学题] 设 `x_1 = sqrt 6`, `x_(n+1) = sqrt(6+x_n)`. 求 `lim_(n to oo) x_n` 和 `lim_(n to oo) (x_n - 3) 6^n`.
  1. 解方程 `x = sqrt(6+x)` 得到唯一不动点 `x = 3`. 归纳法容易得到通项的范围 `0 lt x_n lt 3`. 现考虑通项与不动点的差: `|x_(n+1) - 3|` `= |sqrt(6+x_n) - 3|` `= |(x_n - 3)/(sqrt(6+x_n) + 3)|` `le 1/(sqrt 6 + 3) |x_n - 3|`. 由引理知 `x_n to 3`.
  2. 类似 1. 有 `(x_(n+1) - 3) 6^(n+1)` `= 6/(sqrt(6+x_n) + 3) (x_n - 3) 6^n`. 问题化为 `prod_(n ge 1) 6/(sqrt(6+x_n)+3)`. ??
    3. *如果把题目的 6 改成 2, 则可以找到 `x_(n+1)^2 = x_n + 2` 的解 `x_n = 2cos(pi//2^(n+1))`, 所求极限为 `pi^2//4`.
    设数列 `{x_n}` 满足:
  1. 存在有限个子数列收敛到同一极限, 且 `{x_n}` 是这些子数列的并, 则 `{x_n}` 收敛; 常见的情形是它的奇数项与偶数项分别收敛到同一极限.
  2. 存在常数 `lambda in (0, 1)` 使得 `|x_(n+1) - x_n| le lambda |x_n - x_(n-1)|`, `quad n = 2, 3, cdots`. 则 `{x_n}` 收敛.

Banach 压缩映像原理

设 `x_1 = 1`, `x_n = 1/m [(m-1) x_(n-1) + A/x_(n-1)^(m-1)]`, 其中 `m` 是非零整数, `A gt 0`. 证明 `{x_n}` 收敛, 且极限为 `root m A`.

分步取 N 法

Cesàro 定理

    Cesàro 定理 设 `lim_(n to oo) a_n = a`, 则
  1. `lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n a_k = a`;
  2. 若 `a_n gt 0`, `a gt 0`, 由 1. 取对数得到 `lim_(n to oo) root n (prod_(k=1)^n a_k) = a`;
记 `S_n = sum_(k=1)^n a_k`. 对任意 `epsi gt 0`, 取 `N` 充分大使得任意 `n gt N` 有 `|a_n - a| lt epsi`, 于是 `|S_n/n - a|` `= |(S_N - N a)/n + (a_(N+1)-a)/n + cdots + (a_n - a)/n|` `le |(S_N - N a)/n| + epsi`. 令 `n to oo`, 由于 `N` 是固定的, 得到 `|S_n/n - a| le epsi`.
或者说, 对于给定的 `N`, 再取 `M` 使得 `n gt M` 时 `|(S_N - N a)/n| lt epsi`, 这样上式总的来说就小于 `2 epsi`.
我们把和式 `sum_(k=1)^n` 分成 `sum_(k=1)^N` 和 `sum_(k=N+1)^n` 两部分, 再分别证明它们小于 `epsi`. 这一证明技巧将贯穿本节的内容.

[史济怀《数学分析》] 设 `x_n to x, y_n to y`, 证明 `1/n (x_1 y_n + cdots + x_n y_1) to x y`.

  1. 先设 `y = 0`. 利用 Cauchy 不等式, 原式的平方 `le 1/n^2 (sum_(k=1)^n x_k^2) (sum_(k=1)^n y_k^2)`. 而 `x_n^2, y_n^2` 的极限分别是 `x^2` 和 `y^2`, 利用 Cesàro 定理知不等式右端趋于 `x^2 y^2 = 0`, 因此原式的平方趋于 0, 从而原式的极限是 0.
    或者, 也可以设 `|x_n|` 的上界是 `X`, 应用 Cesàro 定理得 `1/n |x_1 y_n + cdots + x_n y_1|` `le X/n sum_(k=1)^n |y_k|` `= X |y| = 0`, 从而原式极限为 0.
  2. 一般情形, 考虑以 0 为极限的数列 `{y_n - y}`, 由 1. 的结论有 `1/n (x_1 (y_n - y) + cdots + x_n (y_1 - y)) to 0`, 于是再次应用 Cesàro 定理有: `lim_(n to oo) 1/n (x_1 y_n + cdots + x_n y_1)` `= lim_(n to oo) 1/n (x_1 y + cdots + x_n y)` `= x y`.

Stolz 定理

    Stolz 定理 对于数列 `A_n, B_n`, 考虑两种情形:
  1. `A_n` 单调递增趋于 `+oo`;
  2. `A_n` 单调递减趋于零, `B_n to 0`.
    3. 若条件 1, 2 其中之一成立, 且下式右端极限存在, 则左端极限也存在且等号成立: `lim_(n to oo) B_n/A_n = lim_(n to oo) (B_n - B_(n-1))/(A_n - A_(n-1)) = L`. Stolz 定理可以看作离散版本的洛必达法则. 两种情形分别称为 `ast//oo` 型和 `0//0` 型极限.
  1. 补充定义 `A_0 = B_0 = 0`, 记 `a_n = A_n - A_(n-1)`, `b_n = B_n - B_(n-1)`, 于是 `A_n = sum_(k=1)^n a_n`, `B_n = sum_(k=1)^n b_n`. 只需证: `lim_(n to oo) (sum_(k=1)^n b_k)/(sum_(k=1)^n a_k) = lim_(n to oo) b_n/a_n = L`. 对任意 `epsi gt 0`, 取 `M` 使得 `|b_n/a_n - L| lt epsi`, `quad AA n gt M`. 因为 `A_n to +oo`, 再取 `N` 使得 `1/A_n sum_(k=1)^M |b_k - L a_k| lt epsi`, `quad AA n gt N`. 于是 `n gt max{N, M}` 时, `|(sum_(k=1)^n b_k)/(sum_(k=1)^n a_k) - L|` `= |1/A_n sum_(k=1)^n (b_k - L a_k)|` `le 1/A_n sum_(k=1)^M |b_k - L a_k| + 1/A_n sum_(k=M+1)^n a_k |b_k/a_k - L|` `le 2 epsi`.
  2. 对任意 `epsi gt 0`, 取 `N` 使得 `|(B_(n-1) - B_n)/(A_(n-1) - A_n) - L| lt epsi`, `quad AA n gt N`. 注意 `A_n` 单调减, 上式写为 `(L - epsi) (A_(n-1) - A_n) lt B_(n-1) - B_n lt (L + epsi) (A_(n-1) - A_n)`. 取 `m gt n`, 从 `n+1` 到 `m` 求和得 `(L - epsi) (A_n - A_m) lt B_n - B_m lt (L + epsi) (A_n - A_m)`, 即 `|(B_n - B_m)/(A_n - A_m) - L| lt epsi`, 令 `m to oo` 即得结论.
    设 `a_0 gt 0`, `a_(n+1) = sin(a_n)`, 求证
  1. `a_n to 0`, `n to oo`;
  2. `a_n ~ sqrt(3/n)`, `n to oo`.
  1. `n gt 0` 时 `{a_n}` 单调有界, 故数列收敛到 `x = sin x` 的唯一不动点 `x = 0`;
  2. 应用 stolz 定理和等价无穷小, `lim_(n to oo) n/(1/a_n^2)` `= lim_(n to oo) (a_n^2 a_(n-1)^2)/(a_(n-1)^2 - a_n^2)` `= lim_(x to 0) (sin^2 x x^2)/(x^2 - sin^2 x)` `= 3`.

Toeplitz 定理

[来自 我是乱序的不等式] 若 `a_n to a`, 且正项级数 `sum b_n` 收敛到 `S`, 那么 `sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k to a S`.

记 `b_n` 的前 `n` 项和为 `S_n`. 对任意 `epsi gt 0`, 先取 `M` 使得 `|a_n - a| lt epsi`, `quad AA n gt M`, 再取 `N` 使得 `|S_n - S| lt epsi`, `quad b_n lt epsi/M`, `quad AA n gt N`. 于是 `n gt M + N + 1` 时, 记 `A` 为 `|a_n - a|` 的上界, 有 `|sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k - a S|`
`le |sum_(k=1)^n (a_(n+1-k) - a) b_k| + |a(S_n - S)|`
`le |sum_(k=1)^(n-M) (a_(n+1-k) -a) b_k| + |sum_(k=n-M+1)^n (a_(n+1-k)-a) b_k| + |a| epsi`
`le S epsi + M * A * epsi + |a| epsi`.

设 `p_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots`, `lim_(n to oo) a_n = a`, 且 `lim_(n to oo) p_n/(p_1 + p_2 + cdots + p_n) = 0` 证明: `lim_(n to oo) (p_1 a_n + p_2 a_(n-1) + cdots + p_n a_1)/(p_1 + p_2 + cdots + p_n) = a`.

[来自群友 乐正垂星] 记 `S_n = sum_(k=1)^n p_k`. 对任意 `epsi gt 0`, 先取 `M` 使得 `|a_n - a| lt epsi`, `quad AA n gt M`. 再取 `N` 使得 `|p_n/S_n| lt epsi/M`, `quad AA n gt N`. 于是 `n gt M + N + 1` 时, `|(sum_(k=1)^n p_k a_(n+1-k))/S_n - a|` `= |sum_(k=1)^n p_k/S_n (a_(n+1-k)-a)|` `le |sum_(k=1)^(n-M)| + |sum_(k=n-M+1)^n|`. 对上式第一项, 有 `sum_(k=1)^(n-M) |p_k/S_n| |a_(n+1-k)-a|` `le sum_(k=1)^(n-M) |p_k/S_n| epsi` `le epsi`. 对第二项, 记 `|a_n - a|` 的上界为 `A`, 有 `sum_(k=n-M+1)^n |p_k/S_n| |a_(n+1-k)-a|` `le sum_(k=n-M+1)^n |p_k/S_k| A` `le M * epsi/M * A = A epsi`. 故原式极限为 `a`.

这启示我们得到如下定理:

Toeplitz 定理 设对任意正整数 `n` 和任意正整数 `k le n` 有 `t_(n, k) ge 0` 和 `sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`, 且对每个固定有 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n, k) = 0`. 若 `lim_(n to oo) a_n = a`, 则 `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) a_k = a`.

记 `b_n = a_n - a`, `n = 1, 2, cdots`, 只需证 `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k = 0`. 因为 `b_n to 0`, 存在正整数 `N`, 对任意 `n gt N` 有 `|b_n| lt epsi/2`. 由于对每个固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`, 故存在正整数 `M`, 对任意 `n gt M` 有 `|sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| lt epsi/2`. 从而当 `n gt max{N, M}` 时 `|sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k|` `= |sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| + |sum_(k=N+1)^n t_(n,k) b_k|` `lt epsi/2 + epsi/2` `= epsi`.

已知 `lim_(n to oo) a_n = a`, `x_n = sum_(k=0)^n (n;k) a_k`, 求极限 `lim_(n to oo) x_n/2^n`.

取 `t_(n,k) = 1/2^n (n;k)`, 则 `sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`. 另一方面, `(n;k)` 是 `n` 的 `k` 次多项式, 因此 `lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`. 由 Toeplitz 定理, `lim_(n to oo) x_n/2^n = a`.

从 `"e"` 到 `gamma`

`n ge 2` 时, `(1+1/n)^n lt sum_(k=0)^n 1/(k!) lt 3`.

由二项式定理, ` (1 + 1/n)^n = 1 + n * 1/n + (n(n-1))/(2!) * 1/n^2 + cdots + 1/n^n` `lt sum_(k=0)^n 1/(k!)` `le 2 + sum_(k=2)^n 1/(k(k-1))` `= 2 + 1 - 1/n lt 3`.

数列 `x_n = (1+1/n)^n` 有极限, 记为 `"e" = 2.718281828...` 我们已知 `"e"` 是无理数. 这个常数有许多好的性质, 最重要的一点是, 函数 `"e"^x` 的导数是它自身. 人们把 `"e"` 用于自然对数的底, 即 `ln x := log_"e" x`.

由引理知数列有上界, 下证数列单调递增. 由均值不等式知 ` root(n+1)((1 + 1/n)^n) lt (n(1 + 1/n) + 1)/(n+1) = 1 + 1/(n+1)`. 所以 `(1 + 1/n)^n lt (1 + 1/(n+1))^(n+1)`. 从而由单调有界原理知极限 `lim_(n to oo) x_n` 存在.

由极限的四则运算容易得到: ` lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1) = lim_(n to oo) (1 + 1/(n+1))^n = "e"`,
` lim_(n to oo) (1 - 1/n)^n = lim_(n to oo) (1 - 1/n)^(n+1) = lim_(n to oo) (1 - 1/(n+1))^n = "e"^-1`.

对任意正整数 `n` 有 `(1 + 1/n)^n lt "e" lt (1 + 1/n)^(n+1)`, 或等价地, `1/(n+1) lt ln(1 + 1/n) lt 1/n`, 即 `ln{:(n+1)/n:} lt 1/n lt ln{:n/(n-1):}`, `quad n ge 2`.

由的证明知道, `(1+1/n)^n` 严格单调递增趋于 `"e"`, 因此得到不等式的前一半. 为证后半部分, 由 `lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1) = "e"`, 因此只需证明 `(1 + 1/n)^(n+1)` 严格单调递减. 由均值不等式有: ` root(n+2)(1/( (1 + 1/n)^(n+1) ))` `lt 1/(n+2)((n+1)/(1 + 1/n) + 1)` `= (n+1)/(n+2)`. 所以 ` (1 + 1/n)^(n+1)` `gt ((n+2)/(n+1))^(n+2)` `= (1 + 1/(n+1))^(n+2)`.

对函数 `ln x` 在区间 `[n, n+1]` 上应用微分中值定理, 立即得到第二个不等式.

`H_n = sum_(k=1)^n 1/k` 称为第 `n` 个调和数 (harmonic number). 这个名字来自音乐中的泛音, 因为一段弦振动时, 其二分之一, 三分之一, 四分之一... 也在相应振动. 由的第三式求和得到 `ln(n+1) lt H_n lt ln n + 1`, `quad n ge 2`. 因为 `lim_(n to oo) ln(n+1) = +oo`, 所以 调和级数 `lim_(n to oo) H_n = +oo`. 然而极限 `lim_(n to oo) H_n - ln n` 存在, 称为Euler-Mascheroni 常数 `gamma = 0.5772156649015329...` 这个数究竟是有理数还是无理数, 目前尚未得到证明.

对任意正整数 `n`, 记 `x_n = H_n - ln n`. 一方面 `H_n gt ln(n+1) gt ln n`, 因此 `{x_n}` 有下界. 另一方面 `x_(n+1) - x_n = 1/(n+1) - ln(1+1/n) lt 0`, 即 `{x_n}` 单调递减.

`H_n ~ ln n` (`n to oo`).

设 `x_n = H_(2n) - H_n` `= sum_(k=1)^n 1/(n+k)` `= sum_(k=1)^(2n) (-1)^(k-1)/k`, 则 `lim x_n = ln 2`.

`lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n)` `= lim_(n to oo) [(H_(2n) - ln 2n) - (H_n - ln n) + ln 2]` `= gamma - gamma + ln 2 = ln 2`.

利用 得到 `ln{:(2n+1)/n:} lt sum_(k=1)^n 1/(n+k) lt ln{:(2n)/(n-1):}`, 两边夹即得结论.

利用定积分定义, `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n 1/(n+k)` `= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n 1/(1+k/n)` `= int_0^1 dx/(1+x)` `= ln 2`.

用 Cauchy 不等式可以得到 `(H_(2n)-H_n)^2 lt n sum_(k=1)^n 1/(n+k)^2` `lt n sum_(k=1)^n 1/((n+k)(n+k-1))` `= n (1/n - 1/(2n)) = 1/2` 和 `(H_(2n) - H_n) sum_(k=1)^n (n+k) ge n^2`. 从而 `2/3 le ln 2 = lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n) le (sqrt 2)/2`. 这个不等式写成小数就是 `0.667 le 0.693 le 0.707`, 也是一个蛮不错的放缩.

本例给出 `n!` 的比较粗糙的估计. 更仔细的估计参见 Stirling 公式. `((n+1)/"e")^n lt n! lt "e" ((n+1)/"e")^(n+1)`, `quad n in ZZ^+`. 换言之 `(n-1)! "e"^(n-1) le n^n lt n! "e"^(n-1)`, `quad n in ZZ^+`.

记 `a_n = ((n+1)/"e")^n`, `b_n = "e" ((n+1)/"e")^(n+1)`, 则 `a_n/a_(n-1)` `= n/"e" (1+1/n)^n` `lt n`,
`a_n lt n! * a_1 = n! * 2//"e" lt n!`; 同样 `b_n/b_(n-1)` `= n/"e" (1+1/n)^(n+1)` `gt n`,
`b_n gt n! * b_1 = n! * 4//"e" gt n!`.

证明: `lim_(n to oo) n/(root n (n!)) = "e"`.

利用不等式 得 `1/(root n (n+1)) * n/(n+1) "e" lt n/(root n (n!)) lt n/(n+1) "e"`. 再由两边夹法则即得证.

[来自 论文哥] 第 2 问的又一证明. 用定积分定义, `1 = int_0^1 ln{:1/x:} dx` `= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n ln{:1/(k/n):}` `= lim_(n to oo) 1/n ln{:n^n/(n!):}` `= lim_(n to oo) ln {: n/(root n (n!)):}`. 两边取指数即可.

第 2 问的又一证明. 取对数后, 利用 Stolz 定理, `lim_(n to oo) (ln n - 1/n ln(n!))` `= lim_(n to oo) (n ln n - (n-1) ln (n-1) - ln n)` `= lim_(n to oo) (n-1) ln{:n/(n-1):}` `= lim_(n to oo) (ln(1+1/(n-1)))/(1/(n-1)) = 1`. 故原极限为 `"e"`.

`lim_(x to +oo) (sum_(n ge 1) (x/n)^n)^(1/x)`.

记 `f(x) = sum_(n ge 1) (x/n)^n`, 利用不等式 得 `f(x) le sum_(n ge 1) 1/(n-1)! x^n/"e"^(n-1)` `= x "e"^(x//"e")`,
`f(x) ge sum_(n ge 1) 1/n! x^n/"e"^(n-1)` `= "e"("e"^(x//"e") - 1)`. `x to +oo` 时, `(x "e"^(x//"e"))^(1/x)` `= x^(1/x) "e"^(1/"e")` `to "e"^(1/"e")`, 另一方面由洛必达法则, `("e"("e"^(x/"e") - 1))^(1/x)` `= "e"^(1/x) exp[1/x ln ("e"^(x//"e") - 1)]` `~ exp[("e"^(x//"e") * (1//"e"))/("e"^(x//"e")-1)]` `~ "e"^(1/"e")`. 由两边夹法则即得结论.

`lim_(n to oo) n sin(2pi n! "e") = 2pi`.

使用 `"e"` 的级数表示, `n! "e"` `= n! (sum_(k=0)^n 1/(k!) + 1/((n+1)!) + o(1/((n+1)!)))` `= A + 1/(n+1) + o(1/(n+1))`. 其中 `A := n! sum_(k=0)^n 1/(k!)` 是整数. 我们有 `n sin(2pi n! "e")` `= n sin((2pi)/(n+1) + o(1/(n+1)))` `to 2 pi`.

[周民强《实变函数》] Dirichlet 函数表示为累次极限 `lim_(n to oo) lim_(k to oo) (cos(2pi n! x))^(2k) = { 1, if x in QQ; 0, otherwise :}`

若 `x in QQ`, 则 `n` 充分大时, `n! x` 是整数, `cos(2pi n! x) = 1`, 此时不论 `k` 取何值, `(cos(2pi n!x))^(2k)` 总是等于 1.
若 `x !in QQ`, 则 `n! x` 永远不会是整数或整数的一半, 从而 `|cos(2pi n!x)| lt 1`, `lim_(k to oo) (cos(2pi n!x))^(2k) = 0`.

[苏剑林. (2015, Mar 28). 有趣的求极限题：随心所欲的放缩] `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n (k/n)^n = "e"/("e"-1)`.

只需证明 `lim_(n to oo) sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n = sum_(n=0)^oo "e"^-n`. 先由均值不等式 (`n gt k`) `root(n+1)((1-k/n)^n) le (n-k+1)/(n+1) = 1-k/(n+1)` 知道, 数列 `{(1-k/n)^n}` 单调递增趋于 `"e"^-k`, 于是左边 `le` 右边. 为证明左边 `ge` 右边, 同样由均值不等式 (`n gt k`) `root(n-k+1)(1/((1-k/n)^(n-k))) le 1/(n-k+1) ((n-k)/(1-k/n) + 1)` `= (n+1)/(n-k+1)`, 有 `(1-k/n)^(n-k)` `ge ((n-k+1)/(n+1))^(n-k+1)` `= (1-k/(n+1))^(n-k+1)` `ge "e"^-k`. 对任意 `epsi gt 0` 和任意正整数 `N`, 因为对固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) (1-k/n)^k = 1`, 所以当 `n` 充分大时, 有 `(1-k/n)^k ge 1-epsi`, `quad k = 0, 1, cdots, N`. 不妨设 `n gt N`, 从而 `sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n` `ge sum_(k=0)^N (1-k/n)^(n-k) (1-k/n)^k` `ge (1-epsi) sum_(k=0)^N "e"^-k`. 令 `epsi to 0`, `N to oo` 就得到要证的不等式.

    上一个证明中用到的两个不等式也可以这样证:
  1. 要证 `(1-k/n)^n le "e"^-k`, 令 `x = k/n`, 只需证 `1-x le "e"^-x`, 显然成立.
  2. 要证 `(1-k/n)^(n-k) ge "e"^-k`, 令 `x = 1-k/n`, 只需证: `AA x in (0, 1]`, `x^x ge "e"^(x-1)`, 换言之 `x ln x ge x-1` `x = 1` 时上式等号成立; 又在 `(0, 1)` 上, 导数 `ln x lt 0`, 故不等式成立.

上极限与下极限

设 `{x_n}` 是有界数列. 定义上极限和下极限 `underset(n to oo) bar lim x_n = underset(n ge 1)"inf" underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = underset(n ge 1)"sup" underset(k ge n) "inf" x_k`. 其中 `{underset(k ge n) "sup" x_k}` 和 `{underset(k ge n) "inf" x_k}` 称为 `{x_n}` 的上控数列和下控数列.

`underset(n to oo) bar lim x_n = lim_(n to oo) underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = lim_(n to oo) underset(k ge n) "inf" x_k`.

由习题 1.2 7(4) 知, 上控数列单调递减, 下控数列单调递增. 显然它们都有界. 于是由单调有界原理, 它们的极限存在.

设 `{x_n}` 为有界数列. 称 `a` 为 `{x_n}` 的一个部分极限, 如果 `{x_n}` 有子列收敛到 `a`. 记 `{x_n}` 的全体部分极限为 `L`, 则 `L != O/`.

设 `{x_n}` 为有界数列, 其全体部分极限为 `L`, 则 `underset(n to oo) bar lim x_n = max L`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = min L`.

先证 `underset(n to oo) bar lim x_n` 是 `L` 的一个上界. 任取 `a in L`, 由定义知存在子列 `{x_(n_k)}` 以 `a` 为极限. 在不等式 `x_(n_k) le underset(i ge n_k) "sup" x_i`, `k = 1, 2, cdots` 两端令 `k to oo`, 得 `a le underset(n to oo) bar lim x_n`.

现在说明 `underset(n to oo) bar lim x_n in L`. 记 `u = underset(n to oo) bar lim x_n`, `bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i`. 对任意 `k in NN`, 由 `lim_(n to oo) bar x_n = u` 知, 存在充分大的 `N_k in NN`, 当 `n gt N_k` 时有 `|bar x_n - u| lt 1/k`. 再由 `bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i` 知, 存在 `n_k ge n`, 使 `|x_(n_k) - bar x_n| lt 1/k`. 于是 `|x_(n_k) - u| le |x_(n_k) - bar x_n| + |bar x_n - u| lt 2/k`. 在取定 `n_k` 后, 只需令下一次的 `N_(k+1) ge n_k`, 就能保证 `n_(k+1) ge n gt N_(k+1) ge n_k`. 所以 `{x_(n_k)}` 是收敛于 `u` 的 `{x_n}` 的子列.

设 `{x_n}` 是有界数列, 则 `{x_n}` 收敛的充要条件是 `underset(n to oo) bar lim x_n = underset(n to oo) ul lim x_n`. 这一条件成立时, 上极限, 下极限, 极限三者相等.

记 `x_n` 的全体部分极限为 `L`.

必要性. 设 `x_n to a`, 则它的所有子列也收敛到 `a`. 从而 `|L| = 1`, 显然有 `max L = min L`.

充分性. 反设 `{x_n}` 不收敛, 由 Cauchy 收敛准则知, 存在 `epsi_0 gt 0`, 对任意 `N_k in NN`, 存在 `m_k, n_k gt N`, 使 `|x_(m_k) - x_(n_k)| ge epsi_0`. 可以取 `N_1 = 1`, `N_(k+1) = max{m_k, n_k}`, 这就保证 `{x_(m_k)}`, `{x_(n_k)}` 是两个子列. 应用列紧性原理, 从 `{x_(m_k)}` 中选出一收敛子列, 再从 `{x_(n_k)}` 的相应子数列中选出一收敛子列. 这一子列与 `{x_(m_k)}` 的相应子列保持对应项的距离不小于 `epsi_0`, 因此它们的极限不相等. 于是 `L` 至少含两个不同实数, 从而 `max L != min L`.

杂例

  1. `lim_(n to oo) sin(pi sqrt(n^2+1)) = 0`;
  2. `lim_(n to oo) cos(pi sqrt(4n^2 + n)) = (sqrt 2)/2`.
  1. `|sin(pi sqrt(n^2+1))|` `= |sin(n pi + (sqrt(n^2+1) - n) pi)|` `= |cos(n pi) sin[(sqrt(n^2+1)-n)pi]|` `= |sin {:pi/(sqrt(n^2+1)+n):}|` `to 0`.
  2. 原式等于 `cos(2pi n sqrt(1+1/(4n)))` `= cos(2pi n(1 + 1/(8n) + o(1/n)))` `= cos{:pi/4:} cos o(1) - sin{:pi/4:} sin o(1)` `to (sqrt 2)/2`.