能与全体自然数建立一一对应的集合称为序列, 记为 `x_1, x_2, x_3, cdots`, 简写为 `{x_n}_(n=1)^oo` 或 `{x_n}`. 序列的第 `n` 项 `x_n` 称为它的通项. 如果序列中的每一元素都是实数, 就称它为实数列, 简称数列.
设 `a in RR`, `{x_n}` 为一数列. 如果对任意正实数 `epsi`, 都存在相应的正整数 `N`, 使对任意的 `n gt N`, 成立 `|x_n - a| lt epsi`, 则称数列 `{x_n}` 收敛, 它的极限为 `a`, 记为 `lim_(n to oo) x_n = a`, 或 `x_n to a` (`n to oo`). 等价的说法是, 当 `n` 趋于正无穷大时, `x_n` 趋于 `a` 或以 `a` 为极限. 反之, 如果数列的极限不存在, 则称它发散.
我们把数列极限的这种定义采用的数学表述称为 `epsi-N` 语言. 注意, 按照定义, 我们只需证明对小的正数 `epsi` 成立 `|x_n - a| lt epsi` 即可. 因此证明的时候可以根据实际情况加上 `epsi lt 1` 的限制条件等. 另外, `AA n gt N`, `|x_n - a| lt epsi` 的另一种说法是, 对充分大的 `bm n` 成立上式. 最后, 不等式 `|x_n - a| lt epsi` 的一个等价的写法是 `a - epsi lt x_n lt a + epsi`.
`lim_(n to oo) x_n = a` `iff lim_(n to oo) (x_n - a) = 0`.
若 `lim_(n to oo) x_n = a`, 则 `lim_(n to oo) (x_n - y_n) = 0` `iff {y_n}` 的极限存在, 且等于 `a`.
设 `{x_n}` 为一数列. 如果存在实数 `A, B` 使成立 `A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`, 则称 `{x_n}` 有界, 否则称它无界.
数列 `{x_n}` 有界当且仅当存在正实数 `M`, 对充分大的 `n` 成立 `|x_n| le M`.
先设 `{x_n}` 有界. 则存在实数 `A, B` 使成立 `A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`. 取 `M = max{|A|, |B|}`, 则 `|x_n| le M`, `AA n in ZZ^+`. 反之设存在正实数 `M` 和正整数 `N`, 成立 `|x_n| le M`, `AA n gt N`, 取 `M' = max{x_1, x_2, cdots, x_N, M}`, 则 `|x_n| le M'`, `AA n in ZZ^+`. 再取 `A = -M', B = M'` 即得结论.
如果 `lim_(n to oo) x_n = 0`, 则称 `{x_n}` 是一个无穷小量或无穷小. 如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `|x_n| gt M`, 则称 `{x_n}` 趋于无穷大, 或 `x_n` 是一个无穷大量. 其中, 如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `x_n gt M` (`x_n lt -M`), 则称 `{x_n}` 趋于正无穷大 (负无穷大), 记为 `lim_(n to oo) x_n = +oo` (`-oo`) 或 `x_n to +oo` (`-oo`), 当 `n to oo`.
若 `{x_n}` 是无穷大且 `x_n != 0`, 则 `{1/x_n}` 是无穷小; 反之若 `{y_n}` 是无穷小且 `y_n != 0`, 则 `{1/y_n}` 是无穷大.
只证第一个结论, 第二个结论类似. `AA epsi gt 0`, 由 `{x_n}` 是无穷大知存在正整数 `N`, 使得 `|x_n| gt 1/epsi`, `AA n gt N`. 即 `|1/x_n| lt epsi`, `AA n gt N`.
设 `{x_n}` 是无穷小, `{y_n}` 有界, 则 `{x_n y_n}` 是无穷小.
由 `{y_n}` 有界知存在 `M gt 0` 使得 `|y_n| le M`, `AA n in ZZ^+`. `AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N` 使成立 `|x_n| lt epsi/M`, `AA n gt N`. 从而 `|x_n y_n| lt epsi/M M = epsi`.
设 `{x_n}` 是无穷小, 且对充分大的 `n`, 有 `|y_n| le |x_n|`, 则 `{y_n}` 是无穷小.
由已知, 存在正整数 `M` 使得 `|y_n| le |x_n|`, `AA n gt M`. `AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N`, 使得 `|x_n| lt epsi`, `AA n gt N`. 从而 `n gt max{M, N}` 时, `|y_n| le |x_n| lt epsi`.
也可以利用正项级数的审敛法. 一旦级数收敛, 它的通项就趋于 0. 如设 `x_n = (n!)/n^n`, 则 `x_(n+1) / x_n = n^n/(n+1)^n to 1/e lt 1`, 则级数 `sum_(n ge 1) x_n` 收敛, 其通项趋于 0. 2, 3 小题类似.
两边夹法则 (squeezing theorem) 设数列 `{x_n}, {y_n}, {z_n}` 对充分大的 `n` 满足 `x_n le y_n le z_n`, 且 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) z_n = a`, 则 `{y_n}` 的极限也存在且等于 `a`.
设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n le z_n`, `AA epsi gt 0`,
由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立
`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,
`a - epsi lt z_n lt a + epsi`, `AA n gt N_3`.
从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时,
`a - epsi lt x_n le y_n le z_n lt a + epsi`,
即 `lim_(n to oo) y_n = a`.
记 `a_n = y_n - x_n`, `b_n = z_n - x_n`, `n = 1, 2, cdots`. 由知 `b_n` 是无穷小, 而 `|a_n| le |b_n|`, 故由知 `a_n` 也是无穷小. 再次应用 `y_n` 的极限存在, 且等于 `a`.
`lim_(n to oo) root n n = 1`.
`n gt 2` 时, 应用均值不等式有 ` 1 lt root(n)(n)` `= root(n)(sqrt n * sqrt n * 1)` `lt (2 sqrt n + n - 2)/n` `lt 2/sqrt n + 1`. 由两边夹法则, `lim_(n to oo) root n n = 1`.
数列极限的惟一性 若数列有极限, 极限必惟一.
设 `lim_(n to oo) x_n = a`, 且 `lim_(n to oo) x_n = b`.
如果 `a != b`, 不妨设 `a lt b`, 取 `epsi = (b-a)//2 gt 0`,
由极限的定义知分别存在正整数 `M, N`, 使得
`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `quad n gt M`;
`b - epsi lt x_n lt b + epsi`, `quad n gt N`.
从而当 `n gt max{M, N}` 时, 以上两式皆成立, 有
`(a+b)//2 = b - epsi lt x_n lt a + epsi = (a+b)//2`,
矛盾. 所以必有 `a = b`.
收敛数列的有界性 如果 `{x_n}` 收敛, 则它有界. 从而无界数列必发散.
设 `x_n to a`. 对 `epsi = 1 gt 0`, 由极限的定义知存在正整数 `N`, 使成立 `|x_n - a| lt epsi = 1`, `AA n gt N`. 这蕴含 `|x_n| = |(x_n-a) + a| lt 1+|a|`, `AA n gt N`. 从而数列有界.
只证结论 1, 结论 2 证明类似. 取 `epsi = a/2 gt 0`, 由极限定义, 对充分大的 `n` 有 `a - a/2 lt x_n lt a + a/2`, 从而 `x_n gt a/2 gt 0`. 取 `r = a/2` 即可.
数列极限的保序性 如果 `{x_n}`, `{y_n}` 收敛, 且对充分大的 `n` 有 `x_n le y_n`, 则 `lim_(n to oo) x_n le lim_(n to oo) y_n`. 注意, 由 `x_n lt y_n` 不能推出 `lim_(n to oo) x_n lt lim_(n to oo) y_n`. 比如 `1/n lt 2/n`, 但两数列都趋于 `0`.
设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n`.
记 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`.
反设 `a gt b`. 取 `epsi = (a-b)//2 gt 0`.
由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立
`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,
`b - epsi lt y lt b + epsi`, `AA n gt N_3`.
从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时,
`(a+b)//2 = a - epsi lt x_n le y_n lt b + epsi = (a+b)//2`,
矛盾. 因此 `a le b`.
如果 `x_n le x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称 `{x_n}` 单调递增, 如果 `x_n lt x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称 `{x_n}` 严格单调递增. 类似可以定义单调递减数列和严格单调递减数列.
设 `{x_n}` 是一序列, `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列, 则 `{x_(n_k)} := {x_(n_k)}_(k=0)^oo` 称为 `{x_n}` 的一个子 (序) 列, 特别 `{x_n}` 为数列时, `{x_(n_k)}` 称为 `{x_n}` 的一个子数列. 直观地看, 子列就是把原序列的一部分取出, 按原先的次序排成的一个序列.
若 `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列, 则 `n_k ge k`, `k in ZZ^+`.
归纳法容易证明.
收敛数列子列的收敛性 设 `lim_(n to oo) x_n = a`, 则 `{x_n}` 的任意子列也收敛到 `a`.
由极限定义, `AA epsi gt 0`, 存在正整数 `N`, 使得 `|x_n - a| lt epsi`, `AA n gt N`. 任取子列 `{x_(n_k)}`, 由 `n_k ge k`, `k in ZZ^+` 知, `|x_(n_k) - a| lt epsi`, `AA k gt N`.
若 `{x_n}` 是有限个子数列的无交并, 且这些子数列收敛到同一极限, 则 `{x_n}` 收敛; 常见的情形是它的奇数项与偶数项分别收敛到同一极限.
数列极限的四则运算 若 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`, 则 `lim_(n to oo) (x_n +- y_n) = a +- b`; `quad lim_(n to oo) (x_n y_n) = ab`; `quad lim_(n to oo) (x_n)/(y_n) = a/b` (当 `b != 0`). 定理告诉我们, 极限运算与 (有限次的) 四则运算可以交换次序.
设 `lim x_n = a`, `AA c in RR`, 令 `y_n = c` 是一个常数列, 则 `lim_(n to oo) (c x_n) = c a`, `quad lim_(n to oo) (c + x_n) = c + a`.
有序域
设域 `bbb F` 上定义了一个全序 `le`, 且
`AA c in bbb F`, `quad a gt b rArr a + c gt b + c`,
`AA c gt 0`, `quad a gt b rArr a c gt b c`.
则称 `bbb F` 是有序域.
只证 4. 因 `le` 是全序, 必有 `x gt 0`, `x = 0` 或 `x lt 0` 其一成立. `x gt 0` 时, 两边同乘 `x` 可知 `x^2 gt 0`. `x lt 0` 时, 两边同乘 `-x` 可知 `x^2 gt 0`. 最后 `x = 0` 时显然 `x^2 = 0`.
区间
设 `bbb F` 是有序域, `a, b in bbb F`, 定义
`[a, b] := { x in bbb F, a le x le b }`,
`(a, b) := { x in bbb F, a lt x lt b }`,
`[a, b) := { x in bbb F, a le x lt b }`,
`(a, b] := { x in bbb F, a lt x le b }`,
又引入形式记号 `-oo`, `+oo`, 定义
`(a, +oo) := { x in bbb F, a lt x }`.
类似定义 `[a, +oo)`, `(-oo, a)` 和 `(-oo, a]`.
阿基米德性质 设 `bbb F` 是有序域. 若对 `bbb F` 中的任意 `a, b gt 0`, 都存在自然数 `n` 使得 `n a gt b`, 则称 `bbb F` 满足 Archimedes 性质. 等价的描述是: 对任意 `x gt 0` 存在自然数 `n gt x`. 可以验证有理数域 `QQ` 满足阿基米德性质.
阿基米德有序域中, 不存在无穷大 (最大正数) 与无穷小 (最小正数).
在非标准分析中, 会专门研究含有无穷小的数域.
若 `bbb F` 是阿基米德有序域, 则它是稠密全序集. 因此有理数域 `QQ` 是稠密全序集.
[来自群友 幂零群] [参考 周树人v吃鱼@知乎]
考虑 `QQ` 上全体 Cauchy 列 (参见 Cauchy 收敛准则) 的集合 `S`. Cauchy 列之间定义等价关系 `~`: `{x_n} ~ {y_n}` `iff AA epsi gt 0, EE N in NN, AA n gt N, |x_n - y_n| lt epsi`. Cauchy 列之间的加法与乘法定义为 `{x_n} + {y_n} = {x_n + y_n}`, `quad {x_n} * {y_n} = {x_n * y_n}`. 则实数集可以定义为 `RR := S // ~`.
以下几个定理互相等价, 它们给出实数完备性的等价刻画.
Dedekind 分割 设 `X, Y` 是 `RR` 的两个非空子集, 满足: `AA x in X`, `AA y in Y`, `x le y`, 那么存在 `a in RR`, 使得 `AA x in X`, `AA y in Y`, `x le a le y`. 特别当 `X nn Y = O/`, `X uu Y = RR` 时, 称 `(X, Y)` 是 `RR` 的一个 Dedekind 分割. 这时上述的 `a` 是唯一的.
我们证明 `a` 的唯一性. 假如还有一个 `b in RR` 满足 `AA x in X`, `AA y in Y`, `x le b le y`. 如果 `b != a`, 不妨设 `a lt b`, 则取 `c = (a+b)//2`, 它满足 `AA x in X`, `AA y in Y`, `x le a lt c lt b le y`. 于是 `c !in X`, `c !in Y`, 这与 `X uu Y = RR` 矛盾.
只证 1. 设 `X` 是有上界的非空实数集, 记 `X` 的全体上界为 `Y`. 由 Dedekind 分割 知道, 存在 `a in RR` 使得 `AA x in X`, `AA y in Y`, `x le a le y`. 这个 `a` 就是 `X` 的上确界, 因为首先 `AA x in X`, `x le a`, 说明它是上界. 其次我们证明对任意 `epsi gt 0`, 都存在 `x_epsi in X` 使得 `x_epsi gt a - epsi`. 否则存在 `epsi_0 gt 0`, 对任意 `x in X` 都有 `x le a - epsi_0`, 这说明 `a - epsi_0` 也是 `X` 的一个上界, 故 `a - epsi_0 in Y`. 但 `AA y in Y` 都有 `a le y`, 所以 `a le a - epsi_0`, 引出矛盾.
我们运用确界原理对 1. 作出证明. 设 `{x_n}` 单调递增且有上界. 由确界原理知道 `{x_n}` 作为集合有上确界 `x`. 对任意 `epsi gt 0`, 由 `x` 是上确界知道: `EE N in ZZ^+`, 使得 `x_N gt x - epsi`. 于是对任意 `n gt N` 有 `x_n ge x_N gt x - epsi`. 另一方面由于 `x` 是上界, 有 `x_n le x`. 综上有 `AA n gt N`, `|x_n - x| lt epsi`.
Bolzano-Weierstrass 列紧性 (致密性) 原理, 又名聚点定理 有界数列必存在收敛子数列.
Cauchy 收敛准则 如果数列 `{x_n}` 满足对任意 `epsi gt 0`, 存在正整数 `N`, 使得 `|x_m - x_n| lt epsi`, `quad AA m, n gt N`. 就称该数列为 Cauchy 列. Cauchy 收敛准则是说: `{x_n}` 是 Cauchy 列 `iff {x_n}` 收敛. 任意 Cauchy 列均收敛的域称为完备域. Cauchy 收敛准则表明实数域是一个完备域.
最后, 为了闭环, 用有限覆盖定理证明 Dedekind 分割:
以及, 用 Cauchy 收敛准则证明单调有界原理:
设 `{x_n}` 单调递增, 有上界 `M`. 为证明 `{x_n}` 有极限, 只需说明它是 Cauchy 列: 对任意 `epsi gt 0`, 把区间 `[x_0, M]` 平均分成 `s` 份, 使得每份的长度小于 `epsi`. 由于这些区间只有有限个, 而数列有无穷多项, 故至少存在一个小区间 `I`, 其中含有数列的无穷多项. 记 `I` 中的项的最小下标为 `N`, 下证 `AA n gt N`, `x_n in I`. 反设存在 `k gt N`, `x_k !in I`. 因为 `k gt N`, 由数列的单调性知道 `x_k ge x_N`, 于是 `x_k` 只能位于 `I` 后面的某一区间内. 但这样一来 `x_k` 之后的所有项都不在区间 `I` 内, 而 `x_k` 之前只有有限项, 这与 `I` 中含有数列的无穷多项矛盾.
压缩映像原理可以推广到完备度量空间. 我们依然可以使用 Cauchy 收敛准则.
设 `x_1 = 1`, `x_n = 1/m [(m-1) x_(n-1) + A/x_(n-1)^(m-1)]`, 其中 `m` 是非零整数, `A gt 0`. 证明 `{x_n}` 收敛, 且极限为 `root m A`.
[史济怀《数学分析》] 设 `x_n to x, y_n to y`, 证明 `1/n (x_1 y_n + cdots + x_n y_1) to x y`.
[来自 我是乱序的不等式] 若 `a_n to a`, 且正项级数 `sum b_n` 收敛到 `S`, 那么 `sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k to a S`.
记 `b_n` 的前 `n` 项和为 `S_n`. 对任意 `epsi gt 0`,
先取 `M` 使得
`|a_n - a| lt epsi`, `quad AA n gt M`,
再取 `N` 使得
`|S_n - S| lt epsi`, `quad b_n lt epsi/M`, `quad AA n gt N`.
于是 `n gt M + N + 1` 时, 记 `A` 为 `|a_n - a|` 的上界, 有
`|sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k - a S|`
`le |sum_(k=1)^n (a_(n+1-k) - a) b_k| + |a(S_n - S)|`
`le |sum_(k=1)^(n-M) (a_(n+1-k) -a) b_k| + |sum_(k=n-M+1)^n (a_(n+1-k)-a) b_k| + |a| epsi`
`le S epsi + M * A * epsi + |a| epsi`.
设 `p_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots`, `lim_(n to oo) a_n = a`, 且 `lim_(n to oo) p_n/(p_1 + p_2 + cdots + p_n) = 0` 证明: `lim_(n to oo) (p_1 a_n + p_2 a_(n-1) + cdots + p_n a_1)/(p_1 + p_2 + cdots + p_n) = a`.
[来自群友 乐正垂星] 记 `S_n = sum_(k=1)^n p_k`. 对任意 `epsi gt 0`, 先取 `M` 使得 `|a_n - a| lt epsi`, `quad AA n gt M`. 再取 `N` 使得 `|p_n/S_n| lt epsi/M`, `quad AA n gt N`. 于是 `n gt M + N + 1` 时, `|(sum_(k=1)^n p_k a_(n+1-k))/S_n - a|` `= |sum_(k=1)^n p_k/S_n (a_(n+1-k)-a)|` `le |sum_(k=1)^(n-M)| + |sum_(k=n-M+1)^n|`. 对上式第一项, 有 `sum_(k=1)^(n-M) |p_k/S_n| |a_(n+1-k)-a|` `le sum_(k=1)^(n-M) |p_k/S_n| epsi` `le epsi`. 对第二项, 记 `|a_n - a|` 的上界为 `A`, 有 `sum_(k=n-M+1)^n |p_k/S_n| |a_(n+1-k)-a|` `le sum_(k=n-M+1)^n |p_k/S_k| A` `le M * epsi/M * A = A epsi`. 故原式极限为 `a`.
这启示我们得到如下定理:
Toeplitz 定理 设对任意正整数 `n` 和任意正整数 `k le n` 有 `t_(n, k) ge 0` 和 `sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`, 且对每个固定有 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n, k) = 0`. 若 `lim_(n to oo) a_n = a`, 则 `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) a_k = a`.
记 `b_n = a_n - a`, `n = 1, 2, cdots`, 只需证 `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k = 0`. 因为 `b_n to 0`, 存在正整数 `N`, 对任意 `n gt N` 有 `|b_n| lt epsi/2`. 由于对每个固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`, 故存在正整数 `M`, 对任意 `n gt M` 有 `|sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| lt epsi/2`. 从而当 `n gt max{N, M}` 时 `|sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k|` `= |sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| + |sum_(k=N+1)^n t_(n,k) b_k|` `lt epsi/2 + epsi/2` `= epsi`.
已知 `lim_(n to oo) a_n = a`, `x_n = sum_(k=0)^n (n;k) a_k`, 求极限 `lim_(n to oo) x_n/2^n`.
取 `t_(n,k) = 1/2^n (n;k)`, 则 `sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`. 另一方面, `(n;k)` 是 `n` 的 `k` 次多项式, 因此 `lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`. 由 Toeplitz 定理, `lim_(n to oo) x_n/2^n = a`.
`n ge 2` 时, `(1+1/n)^n lt sum_(k=0)^n 1/(k!) lt 3`.
由二项式定理, ` (1 + 1/n)^n = 1 + n * 1/n + (n(n-1))/(2!) * 1/n^2 + cdots + 1/n^n` `lt sum_(k=0)^n 1/(k!)` `le 2 + sum_(k=2)^n 1/(k(k-1))` `= 2 + 1 - 1/n lt 3`.
数列 `x_n = (1+1/n)^n` 有极限, 记为 `"e" = 2.718281828...` 我们已知 `"e"` 是无理数. 这个常数有许多好的性质, 最重要的一点是, 函数 `"e"^x` 的导数是它自身. 人们把 `"e"` 用于自然对数的底, 即 `ln x := log_"e" x`.
由引理知数列有上界, 下证数列单调递增. 由均值不等式知 ` root(n+1)((1 + 1/n)^n) lt (n(1 + 1/n) + 1)/(n+1) = 1 + 1/(n+1)`. 所以 `(1 + 1/n)^n lt (1 + 1/(n+1))^(n+1)`. 从而由单调有界原理知极限 `lim_(n to oo) x_n` 存在.
由极限的四则运算容易得到:
` lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1)
= lim_(n to oo) (1 + 1/(n+1))^n = "e"`,
` lim_(n to oo) (1 - 1/n)^n
= lim_(n to oo) (1 - 1/n)^(n+1)
= lim_(n to oo) (1 - 1/(n+1))^n = "e"^-1`.
对任意正整数 `n` 有 `(1 + 1/n)^n lt "e" lt (1 + 1/n)^(n+1)`, 或等价地, `1/(n+1) lt ln(1 + 1/n) lt 1/n`, 即 `ln{:(n+1)/n:} lt 1/n lt ln{:n/(n-1):}`, `quad n ge 2`.
由的证明知道, `(1+1/n)^n` 严格单调递增趋于 `"e"`, 因此得到不等式的前一半. 为证后半部分, 由 `lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1) = "e"`, 因此只需证明 `(1 + 1/n)^(n+1)` 严格单调递减. 由均值不等式有: ` root(n+2)(1/( (1 + 1/n)^(n+1) ))` `lt 1/(n+2)((n+1)/(1 + 1/n) + 1)` `= (n+1)/(n+2)`. 所以 ` (1 + 1/n)^(n+1)` `gt ((n+2)/(n+1))^(n+2)` `= (1 + 1/(n+1))^(n+2)`.
对函数 `ln x` 在区间 `[n, n+1]` 上应用微分中值定理, 立即得到第二个不等式.
`H_n = sum_(k=1)^n 1/k` 称为第 `n` 个调和数 (harmonic number). 这个名字来自音乐中的泛音, 因为一段弦振动时, 其二分之一, 三分之一, 四分之一... 也在相应振动. 由的第三式求和得到 `ln(n+1) lt H_n lt ln n + 1`, `quad n ge 2`. 因为 `lim_(n to oo) ln(n+1) = +oo`, 所以 调和级数 `lim_(n to oo) H_n = +oo`. 然而极限 `lim_(n to oo) H_n - ln n` 存在, 称为Euler-Mascheroni 常数 `gamma = 0.5772156649015329...` 这个数究竟是有理数还是无理数, 目前尚未得到证明.
对任意正整数 `n`, 记 `x_n = H_n - ln n`. 一方面 `H_n gt ln(n+1) gt ln n`, 因此 `{x_n}` 有下界. 另一方面 `x_(n+1) - x_n = 1/(n+1) - ln(1+1/n) lt 0`, 即 `{x_n}` 单调递减.
`H_n ~ ln n` (`n to oo`).
设 `x_n = H_(2n) - H_n` `= sum_(k=1)^n 1/(n+k)` `= sum_(k=1)^(2n) (-1)^(k-1)/k`, 则 `lim x_n = ln 2`.
`lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n)` `= lim_(n to oo) [(H_(2n) - ln 2n) - (H_n - ln n) + ln 2]` `= gamma - gamma + ln 2 = ln 2`.
利用 得到 `ln{:(2n+1)/n:} lt sum_(k=1)^n 1/(n+k) lt ln{:(2n)/(n-1):}`, 两边夹即得结论.
利用定积分定义, `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n 1/(n+k)` `= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n 1/(1+k/n)` `= int_0^1 dx/(1+x)` `= ln 2`.
用 Cauchy 不等式可以得到 `(H_(2n)-H_n)^2 lt n sum_(k=1)^n 1/(n+k)^2` `lt n sum_(k=1)^n 1/((n+k)(n+k-1))` `= n (1/n - 1/(2n)) = 1/2` 和 `(H_(2n) - H_n) sum_(k=1)^n (n+k) ge n^2`. 从而 `2/3 le ln 2 = lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n) le (sqrt 2)/2`. 这个不等式写成小数就是 `0.667 le 0.693 le 0.707`, 也是一个蛮不错的放缩.
本例给出 `n!` 的较粗糙的不等式估计. 更精确的估计参见 Stirling 公式. `(n+1)^n "e"^-n lt n! lt (n+1)^(n+1) "e"^-n`, `quad n in ZZ^+`. 换言之 `(n-1)! "e"^(n-1) le n^n lt n! "e"^(n-1)`, `quad n in ZZ^+`.
记 `a_n = ((n+1)/"e")^n`, `b_n = "e" ((n+1)/"e")^(n+1)`, 则
`a_n/a_(n-1)`
`= n/"e" (1+1/n)^n`
`lt n`,
`a_n lt n! * a_1 = n! * 2//"e" lt n!`;
同样
`b_n/b_(n-1)`
`= n/"e" (1+1/n)^(n+1)`
`gt n`,
`b_n gt n! * b_1 = n! * 4//"e" gt n!`.
证明: `lim_(n to oo) n/(root n (n!)) = "e"`.
利用不等式 得 `1/(root n (n+1)) * n/(n+1) "e" lt n/(root n (n!)) lt n/(n+1) "e"`. 再由两边夹法则即得证.
[来自 论文哥] 第 2 问的又一证明. 用定积分定义, `1 = int_0^1 ln{:1/x:} dx` `= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n ln{:1/(k/n):}` `= lim_(n to oo) 1/n ln{:n^n/(n!):}` `= lim_(n to oo) ln {: n/(root n (n!)):}`. 两边取指数即可.
第 2 问的又一证明. 取对数后, 利用 Stolz 定理, `lim_(n to oo) (ln n - 1/n ln(n!))` `= lim_(n to oo) (n ln n - (n-1) ln (n-1) - ln n)` `= lim_(n to oo) (n-1) ln{:n/(n-1):}` `= lim_(n to oo) (ln(1+1/(n-1)))/(1/(n-1)) = 1`. 故原极限为 `"e"`.
`lim_(x to +oo) (sum_(n ge 1) (x/n)^n)^(1/x)`.
记 `f(x) = sum_(n ge 1) (x/n)^n`,
利用不等式 得
`f(x) le sum_(n ge 1) 1/(n-1)! x^n/"e"^(n-1)`
`= x "e"^(x//"e")`,
`f(x) ge sum_(n ge 1) 1/n! x^n/"e"^(n-1)`
`= "e"("e"^(x//"e") - 1)`.
`x to +oo` 时,
`(x "e"^(x//"e"))^(1/x)`
`= x^(1/x) "e"^(1/"e")`
`to "e"^(1/"e")`,
另一方面由洛必达法则,
`("e"("e"^(x/"e") - 1))^(1/x)`
`= "e"^(1/x) exp[1/x ln ("e"^(x//"e") - 1)]`
`~ exp[("e"^(x//"e") * (1//"e"))/("e"^(x//"e")-1)]`
`~ "e"^(1/"e")`.
由两边夹法则即得结论.
`lim_(n to oo) n sin(2pi n! "e") = 2pi`.
使用 `"e"` 的级数表示, `n! "e"` `= n! (sum_(k=0)^n 1/(k!) + 1/((n+1)!) + o(1/((n+1)!)))` `= A + 1/(n+1) + o(1/(n+1))`. 其中 `A := n! sum_(k=0)^n 1/(k!)` 是整数. 我们有 `n sin(2pi n! "e")` `= n sin((2pi)/(n+1) + o(1/(n+1)))` `to 2 pi`.
[周民强《实变函数》] Dirichlet 函数表示为累次极限 `lim_(n to oo) lim_(k to oo) (cos(2pi n! x))^(2k) = { 1, if x in QQ; 0, otherwise :}`
若 `x in QQ`, 则 `n` 充分大时, `n! x` 是整数, `cos(2pi n! x) = 1`, 此时不论 `k` 取何值,
`(cos(2pi n!x))^(2k)` 总是等于 1.
若 `x !in QQ`, 则 `n! x` 永远不会是整数或整数的一半, 从而 `|cos(2pi n!x)| lt 1`,
`lim_(k to oo) (cos(2pi n!x))^(2k) = 0`.
[苏剑林. (2015, Mar 28). 有趣的求极限题：随心所欲的放缩] `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n (k/n)^n = "e"/("e"-1)`.
只需证明 `lim_(n to oo) sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n = sum_(n=0)^oo "e"^-n`. 先由均值不等式 (`n gt k`) `root(n+1)((1-k/n)^n) le (n-k+1)/(n+1) = 1-k/(n+1)` 知道, 数列 `{(1-k/n)^n}` 单调递增趋于 `"e"^-k`, 于是左边 `le` 右边. 为证明左边 `ge` 右边, 同样由均值不等式 (`n gt k`) `root(n-k+1)(1/((1-k/n)^(n-k))) le 1/(n-k+1) ((n-k)/(1-k/n) + 1)` `= (n+1)/(n-k+1)`, 有 `(1-k/n)^(n-k)` `ge ((n-k+1)/(n+1))^(n-k+1)` `= (1-k/(n+1))^(n-k+1)` `ge "e"^-k`. 对任意 `epsi gt 0` 和任意正整数 `N`, 因为对固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) (1-k/n)^k = 1`, 所以当 `n` 充分大时, 有 `(1-k/n)^k ge 1-epsi`, `quad k = 0, 1, cdots, N`. 不妨设 `n gt N`, 从而 `sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n` `ge sum_(k=0)^N (1-k/n)^(n-k) (1-k/n)^k` `ge (1-epsi) sum_(k=0)^N "e"^-k`. 令 `epsi to 0`, `N to oo` 就得到要证的不等式.
设 `{x_n}` 是有界数列. 定义上极限和下极限 `underset(n to oo) bar lim x_n = underset(n ge 1)"inf" underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = underset(n ge 1)"sup" underset(k ge n) "inf" x_k`. 其中 `{underset(k ge n) "sup" x_k}` 和 `{underset(k ge n) "inf" x_k}` 称为 `{x_n}` 的上控数列和下控数列.
`underset(n to oo) bar lim x_n = lim_(n to oo) underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = lim_(n to oo) underset(k ge n) "inf" x_k`.
由习题 1.2 7(4) 知, 上控数列单调递减, 下控数列单调递增. 显然它们都有界. 于是由单调有界原理, 它们的极限存在.
设 `{x_n}` 为有界数列. 称 `a` 为 `{x_n}` 的一个部分极限, 如果 `{x_n}` 有子列收敛到 `a`. 记 `{x_n}` 的全体部分极限为 `L`, 则 `L != O/`.
设 `{x_n}` 为有界数列, 其全体部分极限为 `L`, 则 `underset(n to oo) bar lim x_n = max L`, `quad` `underset(n to oo) ul lim x_n = min L`.
先证 `underset(n to oo) bar lim x_n` 是 `L` 的一个上界. 任取 `a in L`, 由定义知存在子列 `{x_(n_k)}` 以 `a` 为极限. 在不等式 `x_(n_k) le underset(i ge n_k) "sup" x_i`, `k = 1, 2, cdots` 两端令 `k to oo`, 得 `a le underset(n to oo) bar lim x_n`.
现在说明 `underset(n to oo) bar lim x_n in L`. 记 `u = underset(n to oo) bar lim x_n`, `bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i`. 对任意 `k in NN`, 由 `lim_(n to oo) bar x_n = u` 知, 存在充分大的 `N_k in NN`, 当 `n gt N_k` 时有 `|bar x_n - u| lt 1/k`. 再由 `bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i` 知, 存在 `n_k ge n`, 使 `|x_(n_k) - bar x_n| lt 1/k`. 于是 `|x_(n_k) - u| le |x_(n_k) - bar x_n| + |bar x_n - u| lt 2/k`. 在取定 `n_k` 后, 只需令下一次的 `N_(k+1) ge n_k`, 就能保证 `n_(k+1) ge n gt N_(k+1) ge n_k`. 所以 `{x_(n_k)}` 是收敛于 `u` 的 `{x_n}` 的子列.
设 `{x_n}` 是有界数列, 则 `{x_n}` 收敛的充要条件是 `underset(n to oo) bar lim x_n = underset(n to oo) ul lim x_n`. 这一条件成立时, 上极限, 下极限, 极限三者相等.
必要性. 设 `x_n to a`, 则它的所有子列也收敛到 `a`. 从而 `|L| = 1`, 显然有 `max L = min L`.
充分性. 反设 `{x_n}` 不收敛, 由 Cauchy 收敛准则知, 存在 `epsi_0 gt 0`, 对任意 `N_k in NN`, 存在 `m_k, n_k gt N`, 使 `|x_(m_k) - x_(n_k)| ge epsi_0`. 可以取 `N_1 = 1`, `N_(k+1) = max{m_k, n_k}`, 这就保证 `{x_(m_k)}`, `{x_(n_k)}` 是两个子列. 应用列紧性原理, 从 `{x_(m_k)}` 中选出一收敛子列, 再从 `{x_(n_k)}` 的相应子数列中选出一收敛子列. 这一子列与 `{x_(m_k)}` 的相应子列保持对应项的距离不小于 `epsi_0`, 因此它们的极限不相等. 于是 `L` 至少含两个不同实数, 从而 `max L != min L`.