曲线/曲面积分

第一类曲线积分 `int_L f(x,y,z) "d"s` 第二类曲线积分 `int_L bm F(x,y,z) * "d"bm r`
第一类曲面积分 `int_Sigma f(x,y,z) "d"sigma` 第二类曲面积分 `int_Sigma bm F(x,y,z) * "d"bm S`

形式上有

曲线切向微元 `"d"bm r = (dx, dy, dz)` 曲线弧长微元 `"d"s = |"d"bm r|`
曲面法向微元 `"d"bm S = (dy dz, dz dx, dx dy)` 曲面面积微元 `"d"sigma = |"d"bm S|`

实际计算时, 为曲线 `L` (曲面 `Sigma`) 选取合适的参数, 就有 `"d"bm r = bm v dt`, `quad "d"s = |bm v| dt`;
`"d"bm S = bm n "d"u"d"v`, `quad "d"sigma = |bm n|"d"u"d"v`. 其中 切向量 `bm v = ("d"bm r)/dt` `= (dx/dt, dy/dt, dz/dt)`, `quad` 法向量 `bm n = bm r_u xx bm r_v` `= |bm i, bm j, bm k; x_u, y_u, z_u; x_v, y_v, z_v|` 依赖于参数选取.

  1. 把曲面的单位法向量记为 `(cos alpha, cos beta, cos gamma)`, 则 `"d"bm S = (cos alpha, cos beta, cos gamma) "d"sigma`.
  2. 对于平面曲线, 其法向微元定义为 `"d"bm n = (dy, -dx)`, 从而 `("d"bm r, "d"bm n)` 成左手系, 即 `|dx, dy; dy, -dx| = -"d"s^2 lt 0`.

求 `int_L x y "d"s`, 其中 `L: {x+y+z = 0; x^2+y^2+z^2=1:}`

利用积分区域的对称性, `int_L x y "d"s` `= 1/3 int_L (x y+y z+z x) "d"s` `= 1/6 int_L [(x+y+z)^2 - (x^2+y^2+z^2)] "d"s` `= -1/6 int_L "d"s` `= -pi/3`.

微分算子

Nabla 算子

`grad := (del/(del x_1), cdots, del/(del x_m))`

标量场 (数量场) `f` 具有梯度 `"grad" f = grad f`. 梯度是矢量, 其与坐标选取无关. 梯度是导数的推广, 它简单地将求导运算推广到各分量, 其加减乘除及函数复合的运算和导数完全一致.

方向导数定义为函数值沿某个方向的变化率: `("d"f)/("d"bm n) = lim_(t to 0) (f(bm x_0 + t bm n) - f(bm x_0))//t` 可以证明 `("d"f)/("d"bm n) = bm n * grad f`, 因此梯度方向是该点处方向导数取得最大的方向, 大小等于这个最大的方向导数.

`grad c = 0` `grad (cf) = c grad f`
`grad (f +- g) = grad f +- grad g` `grad (fg) = g grad f + f grad g`
`grad (f//g) = (g grad f - f grad g) // g^2` `grad f(g) = ("d"f)/("d"g) grad g`
`grad f(g_1, cdots, g_n) = sum (del f)/(del g_i) grad g_i`

矢量场 (向量场) `bm F` 具有散度 `"div" bm F = grad * bm F` `= (del F_1)/(del x_1) + cdots + (del F_n)/(del x_n)`. 和旋度 (三维空间): `"rot" bm F = grad xx bm F` `= |bm i, bm j, bm k; del/(del x), del/(del y), del/(del z); F_1, F_2, F_3|`. 散度是标量而旋度是矢量.

散度定义为封闭曲面包围区域趋于无穷小时, 单位体积的通量之极限, 规定向外为正方向: `"div" bm F = lim_("diam"V to 0) (iint_(del V) bm F * "d"bm S)/V`. 散度的符号指出矢量场在一点处有正源/负源, 散度的大小指出源的强度.

方向旋量定义为给定法向量的平面上单位面积的环量之极限, 规定右手螺旋为正方向: `"rot"_(bm v) bm F = lim_("diam"S to 0) (int_(del S) bm F * "d"bm r)/S`. `bm F` 与切向 `"d"bm r` 方向越近似, 环量就越是取正值. 因此环量反映了矢量场沿曲线是否有旋涡, 以及旋涡的强度. 方向旋量反映了矢量场在一点处沿给定方向的旋转情况, 显然只要 `bm v` 取反方向, 方向旋量的符号就取反. 由 Stokes 公式可以证明 `"rot"_(bm v) bm F = bm v * "rot" bm F`. 旋度的方向是该点处方向旋量取得最大的方向, 大小等于这个最大的方向旋量.

`grad * bm c = 0` `grad xx bm c = bm 0`
`grad * (c bm F) = c (grad * bm F)` `grad xx (c bm F) = c (grad xx bm F)`
`grad * (bm F +- bm G) = grad * bm F +- grad * bm G` `grad xx (bm F +- bm G) = grad xx bm F +- grad xx bm G`
`grad * (f bm F) = grad f * bm F + f (grad * bm F)` `grad xx (f bm F) = grad f xx bm F + f(grad xx bm F)`

设 `f`, `bm F` 二阶连续可微, 因此二阶混合偏导相等. 梯度场的散度是 laplace 算子 (见下节); 梯度场的旋度为零向量, 旋度场的散度为 0. `grad * (grad f) = (grad * grad) f := grad^2 f`,
`grad xx (grad f) = bm 0`, `quad grad * (grad xx bm F) = 0`.

`bm A * grad` 算子可以用于标量或矢量. 输入标量, 输出标量; 输入矢量, 输出矢量: `(bm A * grad) f` `= A_1 (del f)/(del x_1) + cdots + A_n (del f)/(del x_n)`,
`(bm A * grad) bm F` `= ((bm A * grad) F_1, cdots, (bm A * grad) F_n)`.

注意 `bm A * grad` 是一个算子, 而 `grad * bm A` 是一个标量. 比如在三维情形: `bm A * grad = A_1 del/(del x) + A_2 del/(del y) + A_3 del/(del z)`,
`grad * bm A = pp A_1 x + pp A_2 y + pp A_3 z`.

`D` 算子作用于矢量, 得到它的导矩阵: `D bm F` `= [grad F_1; vdots; grad F_n]` `= [ (del F_1)/(del x_1), cdots, (del F_1)/(del x_n); vdots, , vdots; (del F_n)/(del x_1), cdots, (del F_n)/(del x_n); ]` 作用于标量时, 就是 `D f = grad f`.

    nabla 算子的综合公式 以下公式都涉及旋度, 因此只限于三维空间:
  1. `grad(bm F * bm G)` `= bm F D bm G + bm G D bm F` `= bm F xx (grad xx bm G) + bm G xx (grad xx bm F) + (bm F * grad) bm G + (bm G * grad) bm F`;
  2. `grad * (bm F xx bm G) = bm G * grad xx bm F + bm F * grad xx bm G`;
  3. `grad xx (bm F xx bm G) = (grad * bm G) bm F - (grad * bm F) bm G + (bm G * grad) bm F - (bm F * grad) bm G`;
  4. `grad xx (grad xx bm F) = grad(grad * bm F) - (grad * grad)bm F`

直接计算验证. 注意到各个分量的地位对称, 因此只验证 `x` 分量相等即可. 以 1. 的证明为例, 左边的 `x` 分量等于 `F_1 (del G_1)/(del x) + F_2 (del G_2)/(del x) + F_3 (del G_3)/(del x)` `+ ** + ** + **`. 右边的 `x` 分量等于 `|F_2, F_3; (del G_1)/(del z) - (del G_3)/(del x), (del G_2)/(del x) - (del G_1)/(del y)|` `+ (F_1 del/(del x) + F_2 del/(del y) + F_3 del/(del z)) G_1` `+ | ** |` `+ **`. 其中 `**` 号省略的部分, 只需将字母 `F, G` 对换就可得到. 因此两式相等.

Laplace 算子

`laplace := grad^2 = grad * grad = sum del^2/(del x_i^2)`
`laplace c = 0`
`laplace (cf) = c laplace f`
`laplace (f +- g) = laplace f +- laplace g`
`laplace (fg) = f laplace g + g laplace f + 2 grad f * grad g`
`laplace f(g) = grad ("d"f)/("d"g) * grad g + ("d"f)/("d"g) laplace g`
`laplace f(g_1, cdots, g_n) = sum grad (del f)/(del g_i) * grad g_i + sum (del f)/(del g_i) laplace g_i`

如 `laplace(f g) = grad^2(f g)` `= grad * (f grad g + g grad f)` `= f grad^2 g + g grad^2 f + 2 grad f * grad g`.

满足 `laplace f -= 0` 的函数称为调和函数.

径向函数

设 `bm r = (x_1, cdots, x_m)`, `r = |bm r|`, 则 `grad r = (bm r)/r`, `quad |grad r| = 1`, `quad grad * bm r = m`, `quad laplace r = (m-1)/r`;
`grad f(r) = ("d"f)/("d"r) grad r`, `quad laplace f(r) = ("d"^2 f)/("d"r^2) + (m-1)/r ("d"f)/("d"r)`;

`laplace r = grad * grad r` `= grad * (bm r)/r` `= 1/r grad * bm r + bm r * grad 1/r` `= m/r - 1/r^2 bm r * grad r` `= m/r - 1/r^3 bm r * bm r` `= (m-1)/r`.
`laplace f(r) = grad * grad f(r)` `= grad ("d"f)/("d"r) * grad r + ("d"f)/("d"r) laplace r` `= ("d"^2 f)/("d"r^2) grad r * grad r + ("d"f)/("d"r) laplace r` `= ("d"^2 f)/("d"r^2) + (m-1)/r ("d"f)/("d"r)`.

特别当 `m = 3`, 在三维空间中有 `r laplace f = "d"^2/("d"r^2) (rf)`, 因此, `1//r` 是三维空间中的调和函数; 类似可证 `ln r` 是二维空间的调和函数. 一般地, 微分方程 `f'' + (m-1)/r f' = 0` 的通解 `{ c_1 x^(2-m) + c_2, if m != 2; c_1 ln x + c_2, if m = 2:}` 给出 `m` 维空间的调和径向函数.

多元积分公式

在二维空间中, 约定 `"d"V = dx dy`, 三维空间中则 `"d"V = dx dy dz`.

Green, Gauss, Stokes

Leibniz: `"d"/dt int_(alpha(t))^(beta(t)) f(x, t) dx` `= int_(alpha(t))^(beta(t)) del/(del t) f(x, t) dx` `+ f(beta(t), t) beta'(t)` `- f(alpha(t), t) alpha'(t).` Green (记忆: `del y` 者符号相反): `iint_V |del/(del x), del/(del y); P, Q| "d"V = oint_(del V) P dx + Q dy` Gauss: `iiint_V grad * bm F "d"V` `= oiint_(del V) bm F * "d" bm S` Stokes: `iint_Sigma grad xx bm F * "d" bm S = oint_(del Sigma) bm F * "d" bm r`,

用混合积的定义, Stokes 公式可以写为 `iint_S | del/(del x), del/(del y), del/(del z); P, Q, R; dy dz, dz dx, dx dy; | = oint_(del S) P dx + Q dy + R dz`, 取 `dz = 0` 就得到 Green 公式.

[来自 群Scalar] 求 `(t - t^3, 1 - t^4)`, `t in [-1, 1]` 围成图形的面积.

由 Green 公式 (注意 `t` 从 `-1` 到 `1` 曲线为顺时针) `iint_V dx dy` `= 1/2 oint_(del V) x dy - y dx` `= 1/2 int_1^(-1) [(t - t^3)(-4 t^3) - (1-t^4)(1-3t^2)] dt` `= 16/35`.

Green 三大公式

回忆方向导数的定义: `(del f)/(del bm n) = grad f * bm n`, 在 Gauss 公式中取 `bm F = grad f`, 则 `bm F * "d"bm S` `= grad f * bm n |"d"bm S|` `= (del f)/(del bm n) "d"sigma`, 得到有用的方向导数形式: `iiint_V Delta f "d"V = oiint_(del V) (del f)/(del bm n) "d" sigma`, `quad bm n` 是单位外法向量. 在 Green 公式中取 `(Q, -P) = grad f`, 也得到方向导数形式: `iint_V Delta f "d"V = oint_(del V) (del f)/(del bm n) "d"s`, `quad bm n` 是单位外法向量 `(dy/("d"s), -dx/("d"s))`. 这个公式实际是下面 Green 第一公式的特殊情形.

    Green 第一公式 类比于分部积分公式将导数从一个因子转移到另一个因子上, 此公式将 nabla 算子从 `g` 转移到 `f` 上:
  1. (2d) `iint_V grad f * grad g "d"V = int_(del V) g{::} (del f)/(del bm n) "d"s - iint_V g laplace f "d"V`;
  2. (3d) `iiint_V grad f * grad g "d"V = iint_(del V) g{::} (del f)/(del bm n) "d"sigma - iiint_V g laplace f "d"V`.

只证 2d 情形 (3d 情形其实更简单). 利用方向导数的定义和 `bm n = (dy/("d"s), -dx/("d"s))`, `int_(del V) g{::} (del f)/(del bm n) "d"s` `= int_(del V) g grad f * bm n "d"s` `= int_(del V) g ((del f)/(del x) dy - (del f)/(del y) dx)` `= iint_V [del/(del x)(g{::}(del f)/(del x)) + del/(del y)(g{::}(del f)/(del y))] "d"V` `= iint_V grad f * grad g "d"V + iint_V g laplace f "d"V`.

    Green 第二公式
  1. (2d) `iint_V |laplace f, laplace g; f, g| "d"V = int_(del V) |(del f)/(del bm n), (del g)/(del bm n); f, g| "d"s`;
  2. (3d) `iiint_V |laplace f, laplace g; f, g| "d"V = iint_(del V) |(del f)/(del bm n), (del g)/(del bm n); f, g| "d"sigma`.

分别对函数 `f, g` 应用 Green 第一公式即可. `grad f * grad g` 的积分刚好抵消.

    Green 第三公式 设 `u` 为调和函数, `r` 是点 `(x,y)` 或 `(x,y,z)` 到 `del V` 上积分变动点的距离.
  1. (2d) `u(x,y) = 1/(2pi) int_(del V) (u (del ln r)/(del bm n) - ln r (del u)/(del bm n)) "d"s`;
  2. (3d) `u(x,y,z) = 1/(4pi) iint_(del V) (1/r (del u)/(del bm n) - u (del(1//r))/(del bm n)) "d"sigma`.

只证 2d 情形. 取 `C` 是以 `(x,y)` 为心, `rho` 为半径的圆周. 对函数 `u` 和 `ln r`, 在 `C` 和 `del V` 所夹的区域上应用 Green 第二公式, 注意 `ln r` 是二维空间的调和函数, 有 `int_(del V) - int_C = 0`, 其中被积函数是 `|(del ln r)/(del bm n), (del u)/(del bm n); ln r, u|`. 于是 `int_(del V)` `= int_C (u (del ln r)/(del bm n) - ln r (del u)/(del bm n)) "d"s` `= int_C (u (del ln r)/(del r) - ln rho (del u)/(del bm n)) "d"s` `= 1/rho int_C u "d"s`. 令 `rho to 0`, 则 `u` 在 `C` 上的平均值 `1/(2pi rho) int_C u "d"s` 趋于 `u(x,y)`, 从而 `u(x,y) = 1/(2pi) int_(del V)`.

Dirichlet 原理 在区域边界上取给定值的连续可微函数, 其 Dirichlet 积分 (函数的梯度的模的平方在区域上的积分) 取最小值当且仅当该函数为调和函数.

设 `laplace f = 0`, 且 `f|{::}_(del V) = g|_(del V)`. 在 Green 第一公式中令 `g = f`, 利用边界条件得 `iint_V |grad f|^2 "d"V` `= int_(del V) f{::} (del f)/(del bm n) "d"s` `= int_(del V) g{::} (del f)/(del bm n) "d"s` `= iint_V grad f * grad g "d"V`. 从而 `iint_V |grad g|^2 "d"V - iint_V |grad f|^2 "d"V` `= iint_V |grad g|^2 "d"V + iint_V |grad f|^2 "d"V - 2 iint_V grad f * grad g "d"V` `= iint_V |grad g - grad f|^2 "d"V ge 0`.

微分形式与外微分运算

[来自 茶凉凉凉凉]
    外积 观察多元积分换元公式 `"d"u"d"v = (del(u, v))/(del(x, y)) dx dy`, 如果将 `x, y` 的次序对调, 得到 `dy dx = (del(y, x))/(del(x, y)) dx dy` `= |y_x, y_y; x_x, x_y| dx dy` `= |0, 1; 1, 0| dx dy` `= -dx dy`. 这个性质类似于向量的外积, 我们也把它称为外积, 写作 `dx ^^ dy`. 外积运算满足
  1. 线性性. `(P dx + Q dy) ^^ "d"u = P dx ^^ "d"u + Q dy ^^ "d"u`;
  2. 反对称性. `dx ^^ dy = - dy ^^ dx`.
    3. 由反对称性立即得到 `dx ^^ dx = 0`.
    一般地, 在 `n` 维空间中, 规定每交换一对变量, 外积就改变一次符号: `dx_1 ^^ cdots ^^ color(red)(dx_i) ^^ cdots ^^ color(blue)(dx_j) ^^ cdots ^^ dx_n`
    `= -dx_1 ^^ cdots ^^ color(blue)(dx_j) ^^ cdots ^^ color(red)(dx_i) ^^ cdots ^^ dx_n`.
  1. 零阶微分形式 就是普通的多元函数 `f`.
  2. 一阶微分形式 是 `dx, dy, dz` 以及它们的线性组合 (系数是普通函数, 如 `P dx + Q dy`).
  3. 二阶微分形式 是 `dx ^^ dy`, `dy ^^ dz`, `dz ^^ dx` 以及它们的线性组合.
  4. 三阶微分形式 是 `dx ^^ dy ^^ dz` 以及它的线性组合 (其实在三维空间中只有一种组合).
    5. 由 `dx ^^ dx = 0` 知道, 在 `n` 维空间中, 最高只有 `n` 阶微分形式.
    设 `omega` 是微分形式, 定义外微分运算 `"d"omega` 如下:
  1. 零阶微分形式 `f` 的外微分定义为它的全微分: `"d"f = grad f * "d"bm r` `= sum (del f)/(del x_i) dx_i`.
  2. 若 `omega` 形如 `omega = dx_1 cdots dx_n`, 则单项式 `f omega` 的外微分定义为 `"d"(f omega) = "d"f ^^ omega`. 利用外积运算的线性性, 可将 `"d"f` 展开各项与 `"d"omega` 相乘, 再合并同类项.
  3. 最后, 规定外微分具有线性性 `"d"(omega_1 + omega_2) = "d"omega_1 + "d"omega_2`, 欲求整个微分形式的外微分, 只需将各个单项式的外微分相加.
  1. 零阶微分形式 (普通函数) 求两次外微分结果为零: `"d"^2 f = 0`.
  1. `"d"^2 f` `= "d"(sum_i pp f x_i "d"x_i)` `= sum_i "d"(pp f x_i) ^^ "d"x_i` `= sum_i sum_j pp^2 f (x_i x_j) "d"x_j ^^ "d"x_i`, 从而 `"d"^2 f` 展开为 `("d"x_1, cdots, "d"x_n)` 的二次型, 其系数矩阵反对称, 因此结果为零.
    外微分下的三大公式
  1. Green: `"d"(P dx + Q dy)` `= ((del Q)/(del x) - (del P)/(del y)) dx ^^ dy`.
  2. Stokes: `"d"(P dx+Q dy+R dz)` `= ((del R)/(del y)-(del Q)/(del z)) dy ^^ dz` `+ ((del P)/(del z)-(del R)/(del x)) dz ^^ dx` `+ ((del Q)/(del x)-(del P)/(del y)) dx ^^ dy`.
  3. Gauss: `"d"(P dy^^dz + Q dz^^dx + R dx^^dy)` `= ((del P)/(del x) +(del Q)/(del y) + (del R)/(del z)) dx ^^ dy ^^ dz`.
    4. 至此三大公式, 包括 Newton-Leibniz 公式都统一写成: `int_(del D) omega = int_D "d" omega`.
  1. 左边等于 `"d"P ^^ dx + "d"Q ^^ dy` `= ((del P)/(del x) dx + (del P)/(del y) dy) ^^ dx` `+ ((del Q)/(del x) dx + (del Q)/(del y) dy) ^^ dy` 等于右边.
  2. 和 Green 公式完全类似.
  3. 第一项 `"d"P ^^ dy ^^ dz` `= ((del P)/(del x)dx+(del P)/(del y)dy+(del P)/(del z)dz) ^^ dy ^^ dz` `= (del P)/(del x) dx ^^ dy ^^ dz`. 其余两项是类似的 (注意 `dx ^^ dy ^^ dz = dy ^^ dz ^^ dx = dz ^^ dx ^^ dy`).