设 `f` 是连续函数, 容易通过求导验证它的 `n` 阶原函数是
`1/((n-1)!) int_a^x f(t) (x-t)^(n-1) dt`.
今对任意 `beta gt 0`, 定义 `f` 的 `beta` 阶原函数为
`{::}_a D_x^-beta f = 1/(Gamma(beta)) int_a^x f(t) (x-t)^(beta-1) dt`,
其中 `(x-t)^(beta-1)` 称为记忆核函数.
常用的分数阶导数定义有两种. 设 `beta gt 0`, `m = |__beta__|+1`, 定义
- 先积分再求导的 `beta` 阶 Riemann-Liouville 导数 (R-L 导数):
`{::}_a^"RL" D_x^beta f = D^m {::}_a D_x^-(m-beta) f`.
- 先求导再积分的 `beta` 阶 Caputo 导数:
`{::}_a^"C" D_x^beta f = {::}_a D_x^-(m-beta) D^m f`.
两种导数一般不相等.
Caputo 导数在实际应用中更常见, 它对函数的光滑性要求很高, 要求 `f`
至少有 `m` 阶导数; Riemann-Liouville 导数更多见于理论研究.
分数阶微积分具有线性性.
- `{::}_0 D_x^nu x^mu = (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu-nu)) x^(mu-nu)`;
`{::}_0 D_x^nu 1 = x^-nu/(Gamma(1-nu))`;
- `{::}_0 D_x^nu "e"^x = sum_(n=0)^oo x^(n-nu)/(Gamma(1+n-nu)`;
`{::}_(-oo) D_x^nu "e"^x = "e"^x`;
- `{::}_(-oo) D_x^nu sin x = sin(x+(nu pi)/2)`;
`{::}_(-oo) D_x^nu cos x = cos(x+(nu pi)/2)`.
当 `nu` 为正整数时, 求导结果与经典微积分相同. 值得注意,
常数的分数阶导数未必是零.
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`{::}_0 D_x^-alpha x^mu`
`= 1/(Gamma(alpha)) int_0^x t^mu (x-t)^(alpha-1) dt`
`= x^(mu+alpha)/(Gamma(alpha)) int_0^1 y^mu(1-y)^(alpha-1) dy`
`= x^(mu+alpha)/(Gamma(alpha)) B(alpha,mu+1)`
`= (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu+alpha)) x^(mu+alpha)`.
不妨设 `0 lt nu lt 1`, 从而
`{::}_0 D_x^nu x^mu`
`= "d"/dx {::}_0 D_x^-(1-nu) x^mu`
`= "d"/dx (Gamma(1+mu))/(Gamma(2+mu-nu)) x^(1+mu-nu)`
`= (Gamma(1+mu))/(Gamma(1+mu-nu)) x^(mu-nu)`.
- 第一式通过将 `"e"^x` 展开为幂级数并逐项求导得到. 第二式...
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