线性函数

线性函数 (正比例函数) `f(k x) = k f(x)`, `quad AA k, x in RR` 的解是 `f(x) = c x`, 其中 `c = f(1)`.

令 `y = k x` 得 `f(y) = k f(x) = k x f(1) = y f(1)`.

反比例函数 `f(k x) = k^-1 f(x)`, `quad AA k, x != 0` 的解是 `f(x) = c/x`, 其中 `c = f(1)`.

令 `g(x) = f(1/x)`, 则 `g(1/(k x)) = 1/k g(1/x)`. 解得 `g` 为线性函数 `c x`, 因此 `f(x) = g(1/x) = c/x`.

Cauchy 方程

Cauchy 方程 `f(x+y) = f(x) + f(y)`. 满足此方程的函数称为加性函数. 设 `f: RR to RR` 满足 Cauchy 方程, 则 `f(q x) = q f(x)`, `quad AA q in QQ`, `x in RR`. 上式取 `x = 1` 知, Cauchy 方程在 `QQ` 上的解是线性函数 `f(x) = c x`, 其中 `c = f(1)`.

  1. 令 `x = y = 0` 得 `f(0) = 0`. 再令 `y = -x` 得 `f` 是奇函数. 因此我们只需证明 式对 `q gt 0` 成立.
  2. 先证 `f(n x) = n f(x)`, `n in ZZ^+, x in RR`. `n = 1` 时显然成立. 设结论对正整数 `n` 成立, 则 `f((n+1)x)` `= f(n x) + f(x)` `= n f(x) + f(x)` `= (n+1) f(x)`. 于是结论对所有正整数 `n` 成立.
  3. 在 2 的结论中用 `x/n` 代替 `x`, 又得到 `f(x/n) = (f(x))/n`. 设 `q = m/n`, `m, n` 是正整数, 则 `f(q x) = f(m x/n) = m f(x/n) = m/n f(x) = q f(x)`.
    `RR` 上的 Cauchy 方程 设 `f` 在 `RR` 上满足 Cauchy 方程, 但它不是线性函数 `y = c x`, 则其图像 `{(x, f(x)}` 是 `RR^2` 的稠密子集. 反过来, 只要 `f` 具有稍微好一点的性质, 如下面的任一条成立, 都能推出 `f` 为线性函数:
  1. 在某一点连续;
  2. 在某一开区间上单调;
  3. 在某一开区间上有上界或有下界.
  1. [来自 知乎] 由 `f` 不是线性函数知道, `bm u = (x, f(x))`, `bm v = (y, f(y))` 构成 `RR^2` 的基. 从而平面上任意一点都可以被下面的点列逼近: `p_i bm u + q_i bm v` `= (p_i x + q_i y, f(p_i x + q_i y))`, `quad p_i, q_i in QQ`.
  2. 反之, 由于单调函数除可数个点外处处连续, 很容易找到一个使 `f` 连续的点; 若 `f` 在某一点连续, 则 `f` 在这一点的某邻域上有界; 若 `f` 在某个开区间上有上界或有下界, 这蕴含 `f` 的图像不在 `RR^2` 上稠密.
    Cauchy 方程的不连续解
  1. 定义 `f: QQ(sqrt2) to QQ(sqrt2)`
    `a+b sqrt 2 |-> b+a sqrt 2`,     其中 `a, b` 是有理数. `f` 满足 Cauchy 方程, 但 `f(1) = sqrt 2`, `f(sqrt2) = 1`, 因此 `f` 不是线性函数.
  2. 将 `RR` 视为 `QQ` 上的线性空间, 如果承认选择公理, 则存在一个 Hamel 基 `H sube RR`, 满足对任意 `x in RR` 都存在正整数 `n` 和 `x_1, cdots, x_n in H` 和 `k_1, cdots, k_n in QQ` 使得 `x = sum k_i x_i`. 任取 `h in H`, 将 `x in R` 按 Hamel 基展开后 `h` 的系数记为 `f(x)`, 则 `f(x)` 是 Cauchy 方程的不连续解 (注意连续函数的值域是 `RR` 上的区间, 而 `f(x)` 的值域 `sube QQ`. 又 `f(x)` 不恒为零, 所以它的值域不是区间).
    设 `f` 是连续函数, 在 `RR` 上解函数方程
  1. `f(x) f(y) = f(x+y)`;
  2. `f(x) f(y) = f(x y)`; 满足此方程的函数称为积性函数;
    3. 在 `RR^+` 上解函数方程
  3. `f(x) + f(y) = f(x y)`;
    1. `f(x) = f(x/2) f(x/2) ge 0` 是非负函数.
    2. 若 `u` 是 `f` 的零点, 则 对任意 `x in RR`, `f(x) = f(u + x - u)` `= f(u) f(x-u) = 0`, 即 `f(x) -= 0`.
    3. 下设 `f` 无零点, 由 (1) 知 `f` 恒正. 于是 `g(x) = ln f(x)` 适合 Cauchy 方程, 显然 `g` 也是连续函数, 记 `f(1) = a`, 则 `g(1) = ln a`, 我们有 `g(x) = x ln a`, 于是 `f(x) = "e"^(g(x)) = "e"^(x ln a) = a^x`. 综上有 `f(x) = a^x`, `a = f(1) ge 0`.
    1. 取 `y = 0` 得 `f(x) f(0) = f(0)`. 若 `f(0) != 0`, 则有 `f(x) -= 1`.
    2. 下设 `f(0) = 0`. 取 `y = 1` 得 `f(x) f(1) = f(x)`. 若 `f(1) != 1`, 则有 `f(x) -= 0`.
    3. 下设 `f(0) = 0`, 且 `f(1) = 1`, 我们来证 `0` 是 `f` 的唯一零点. 否则设 `f(u) = 0`, `u != 0`, 则 `AA x in RR`, `f(x) = f(x/u u) = f(x/u) f(u) = 0`, 与 `f(1) = 1` 矛盾.
    4. 下证 `f(x^n) = f(x)^n`, `n` 是整数. `n = 1` 时显然成立. 设结论对正整数 `n` 成立, 则 `f(x^(n+1)) = f(x^n) f(x) = f(x)^n f(x) = f(x)^(n+1)`. 故结论对所有正整数 `n` 成立. 又 `f(x^-1) f(x) = f(1) = 1`, 类似可证结论对所有负整数也成立.
    5. 下证 `f(x^q) = f(x)^q`, `q in QQ`, `x in RR^+`. 在 (2) 的结论中用 `root n x` 代替 `x`, 又得到 `f(root n x) = root n (f(x))`. 设 `q = m/n`, `m` 是整数, `n` 是正整数, 则 `f(x^q) = f((x^(1/n))^m) = f(x^(1/n))^m = f(x)^(m/n) = f(x)^q`.
    1. 取 `x = y = 1` 知 `f(1) = 0`. 令 `g(x) = "e"^(f(x))`, 则 `g` 是积性函数.

假设 `f` 可微且 `f(x + y) = f(x) f(y)`, 可以这样导出它的微分方程: 两边积分, `int_0^1 f(x+y) dy = f(x) int_0^1 f(y) dy`, 对 `x` 求导, `int_0^1 f'(x+y) dy = f'(x) int_0^1 f(y) dy`. 于是 `f'(x) = (f(x+1) - f(x))/(int_0^1 f(y) dy)` `= (f(1) - f(0))/(int_0^1 f(y) dy) f(x)` `= c f(x)`.

函数迭代与不动点

    设 `f: RR to RR`,
  1. 若 `p` 是 `f @ f` 的不动点, 则它要么是 `f` 的不动点, 要么是 `f` 的周期 2 点. 所谓周期 2 点是指存在 `x != y` 使得 `f(x) = y`, `f(y) = x`.
  2. 若 `p` 是 `f @ f` 的唯一不动点, 则它也是 `f` 的唯一不动点.
  3. 若 `p` 是 `f` 的不动点, `f` 可导, 则 `(f f)'(p) ge 0`.
  1. 显然 `f` 的不动点必为 `f @ f` 的不动点. 现在设 `p` 不是 `f` 的不动点, 记 `q := f(p)`, 则 `f(q) = f f(p) = p`, 即 `p`, `q` 是 `f` 的周期 2 点.
  2. 由已知 `f f(p) = p`, 于是 `f f(f(p)) = f(f f(p)) = f(p)`, 即 `f(p)` 也是 `f @ f` 的不动点. 由唯一性得 `f(p) = p`, 即 `p` 是 `f` 的不动点. 又 `f` 的不动点必为 `f @ f` 的不动点, 所以 `p` 是 `f` 的唯一不动点.
  3. 这是因为 `(f f)'(p) = f'(p) f'(f(p))` `= f'(p)^2`.
  1. 令 `f(x) = 1/(1-x)`, 则 `f^3(x) -= x`. 这个性质是由特征方程 `x^2 - x + 1 = 0` 决定的.
  2. 设 `f(x) = x/(1+|x|)`, 则 `f^n(x) = x/(1+n|x|)`.
  3. `[1, x; 0, 1]^n = [1, n x; 0, 1]`.

[来自群友 Lavender] 考虑 `RR to RR` 的函数方程 `f f(x) = -x^3 + x^2 + 1`. 问: 是否存在处处可导的解? 是否存在处处连续的解?

    两种情况都无解, 理由如下:
  1. [来自 Lavender] 易知 `f f(1) = 1` 是 `f @ f` 的唯一不动点, 则它也是 `f` 的唯一不动点. 由前述定理知 `(f f)'(1) ge 0`, 与下面的事实矛盾: `(f f)'(1) = [-3x^2 + 2x]_(x=1) = -1`.
  2. [来自 玩家喵] 注意到 `f f(x)` 在不动点附近严格单调减, 所以在这一区间 `f(x)` 是单射: `f(x) = f(y)` `rArr f f(x) = f f(y)` `rArr x = y`. 但 `f` 连续, 根据介值定理, 它在这一区间单调. 不论它是单增还是单减, 复合函数 `f @ f` 必是单调增的, 矛盾.

[来自 OEIS, British Mathematical Olympiad 1992, Problem 5] 设 `f(1)`, `f(2)`, `f(3)...` 是一个严格单调递增的正整数列, 满足 `f(f(x)) = 3x`, 求 `f(1992)`.

    观察:
  1. 若 `f` 有不动点 `p`, 则 `f f(p) = p`, 与已知 `f f(p) = 3 p` 矛盾; 因此 `f` 没有不动点. 又由 `f` 严格单增知道对任意 `x` 有 `f(x) ge x`, 但 `f` 没有不动点, 故 `f(x) gt x`.
  2. `f(3x) = f f f(x) = 3 f(x)`.
  3. 现在考虑 `f(1)` 的值. 由 1. 知道 `f(1) gt 1`, 又 `3 = f(f(1)) gt f(1)`, 所以 `f(1) = 2`.
  4. 由 2, `f(3) = 3 f(1) = 6`, 但 `f(f(2)) = 6`, 由于 `f` 是单射, 推出 `f(2) = 3`. 继续计算 `1 to 2 to 3 to 6 to 9 to 18 ...` 容易看出 `f^(2n)(1) = 3^n`, `quad f^(2n+1)(1) = 2*3^n`.
  5. 下证公式 `f(3^k + j) = 2*3^k + j`, `quad k ge 0`, `quad 0 le j le 3^k`. 其中 `j = 0` 和 `j = 3^k` 的情形已经成立, 即: `f(3^k) = 2*3^k`, `quad f(2*3^k) = 3^(k+1)`. 注意两个等式中, 自变量的差值是 `3^k`, 函数值的差也是 `3^k`. 然而 `f` 严格单调, 从而公式必须对任意 `0 le j le 3^k` 成立.
  6. 由 5. 立即得到 `f(2*3^k + j)` `= f f(3^k+j)` `= 3^(k+1) + 3j`, 于是 `f(1992) = f(2*3^6+534)` `= 3^7+3 xx 534 = 3789`.