函数的极限

邻域与函数极限

邻域 设 `delta gt 0`.
1. `x_0` 为一实数, `(x_0-delta, x_0)`, `quad (x_0, x_0+delta)` `quad B(x_0, delta) := (x_0-delta, x_0+delta)` 分别称为 `x_0` 的左 `delta` 邻域, 右 `delta` 邻域和 `delta` 邻域, `overset @ B(x_0, delta) := B(x_0, delta)\\{x_0}` `= {x: 0 lt |x-x_0| lt delta}` `= (x_0-delta, x_0) uu (x_0, x_0+delta)` 称为 `x_0` 的去心 `delta` 邻域.
2. `+oo`, `-oo`, `oo` 的去心 `delta` 邻域分别记为 `overset @ B(+oo, delta) := (1//delta, +oo)`, `quad overset @ B(-oo, delta) := (-oo, -1//delta)`,
   `overset @ B(oo, delta) := {x: |x| gt 1//delta}` `= (-oo, -1//delta) uu (1//delta, +oo)`. `overset @ B(+oo, delta)` 和 `overset @ B(-oo, delta)` 也可看作 `oo` 的左 `delta` 邻域和右 `delta` 邻域.

函数极限 记 `RR^** = RR uu {+oo, -oo, oo}`, 设函数 `f` 在点 `x_0 in RR^**` 的某个去心邻域内有定义, `a in RR^**`. 如果对任意 `epsi gt 0`, 都存在相应的 `delta gt 0`, 使得 `f(x) in B(a, epsi)`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`, (当 `x_0, a in RR` 时, 上式即 `|f(x) - a| lt epsi`, `quad AA 0 lt |x-x_0| lt delta`) 则称 `f(x)` 在 `x` 趋于 `x_0` 时以 `a` 为极限, 或称当 `x` 趋于 `x_0` 时, `f(x)` 趋于 `a` 或收敛于 `a`, 记作 `lim_(x to x_0) f(x) = a` 或 `f(x) to a` (`x to x_0`). 函数极限的这种定义称为 `epsi`-`delta` 语言.

由定义知, 函数在 `x_0` 处的极限与它在 `x_0` 处的定义无关.

单侧极限 将函数极限定义中的 `overset @ B(x_0, delta)` 换成 `x_0` 的左 (右) `delta` 邻域, 其它条件不变, 则称 `f` 在 `x` 从左侧 (右侧) 趋于 `x_0` 时以 `a` 为极限, 或称 `a` 是 `f` 趋于 `x_0` 的左极限 (右极限), 记为 `lim_(x to x_0^-) f(x) = a`, `quad (lim_(x to x_0^+) f(x) = a)`,
或者 `f(x_0-0) = a`, `quad (f(x_0+0) = a)`.

设 `f` 在点集 `E sube RR` 上有定义, 且存在 `M gt 0` 使得 `|f(x)| le M`, `quad AA x in E`, 则称 `f` 在 `E` 上有界, 否则称它在 `E` 上无界. 若 `f` 在 `x_0` 的某个邻域上有界, 则称 `f` 在 `x_0` 附近局部有界. 在整个定义域上有界的函数称为有界函数, 否则称为无界函数.

若 `lim_(x to x_0) f(x) = 0`, `g` 在 `x_0` 附近局部有界, 则 `lim_(x to x_0) f(x) g(x) = 0`. 这个例子告诉我们, 无穷小与有界函数的乘积还是无穷小.

`AA epsi gt 0`, 由已知, 存在 `delta_1 gt 0`, `delta_2 gt 0` 和常数 `M gt 0` 使得 `|f(x)| lt epsi/M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_1)`,
`|g(x)| le M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_2)`. 取 `delta lt min {delta_1, delta_2}`, 则以上两式在 `overset @ B(x_0, delta)` 中同时成立, 于是 `|f(x) g(x)| lt epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.

函数极限的性质

这些性质的证明可类比于数列极限的相应定理. 我们只证其中一部分.

唯一性 若极限 `lim_(x to x_0) f(x)` 存在, 则该极限唯一.

反设 `x to x_0` 时, `f(x)` 有极限 `a` 和 `b`, 且 `a != b`, 不妨设 `a lt b`. 令 `epsi = (b-a)//2 gt 0`, 由极限定义, 存在 `delta_1, delta_2 gt 0`, 使得 `a-epsi lt f(x) lt a+epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_1)`,
`b-epsi lt f(x) lt b+epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta_2)`. 取 `delta = min{delta_1, delta_2}`, 从而当 `x in overset @ B(x_0, delta)` `= overset @ B(x_0, delta_1) nn overset @ B(x_0, delta_2)` 时, `f(x) lt a + epsi = b - epsi lt f(x)`, 矛盾. 所以 `a = b`.

局部有界性 若极限 `lim_(x to x_0) f(x)` 存在, 则 `f` 在 `x_0` 附近局部有界.

设 `lim_(x to x_0) f(x) = a`. 由极限定义, 存在 `delta gt 0`, 使得 `a - 1 lt f(x) lt a + 1`, `AA x in overset @ B(x_0, delta)`. 取 `M = |a| + 1`, 则 `|a+-1| le M`, 于是 `|f(x)| lt M`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`. 这说明 `f` 在 `x_0` 的一个去心邻域上有界. 如果补充 `f` 在 `x_0` 处的定义, 则 `f` 在 `x_0` 的邻域上有界, 即局部有界.

局部保号性 设 `lim_(x to x_0) f(x) = a != 0`, 则存在一个介于 `a` 和 `0` 之间的实数 `r`,
1. `a gt 0` 时, 在 `x_0` 的某去心邻域内有 `f(x) gt r gt 0`;
2. `a lt 0` 时, 在 `x_0` 的某去心邻域内有 `f(x) lt r lt 0`.
从而若函数趋于 `x_0` 时有一个不等于零的极限, 则在 `x_0` 的某去心邻域内, `f(x)` 与 `0` 保持一个正的距离.

只证结论 1, 结论 2 证明类似. 取 `epsi = a/2 gt 0`, 由极限定义, 在 `x_0` 的某去心邻域内有 `a-a/2 lt f(x) lt a+a/2`, 从而 `f(x) gt a/2 gt 0`. 取 `r = a/2` 即可.

保序性 如果 `f(x)`, `g(x)` 在 `x to x_0` 时有极限, 且在 `x_0` 的某去心邻域内成立 `f(x) le g(x)`, 则 `lim_(x to x_0) f(x) le lim_(x to x_0) g(x)`.

两边夹法则 设函数 `f`, `g`, `h` 都在 `x_0` 的某去心邻域内有定义, 且在该邻域内成立 `f(x) le g(x) le h(x)`. 又设 `lim_(x to x_0) f(x) = lim_(x to x_0) h(x) = a`, 则 `lim_(x to x_0) g(x) = a`.

四则运算 若 `lim_(x to x_0) f(x) = a`, `lim_(x to x_0) g(x) = b`, 则 `lim_(x to x_0) (f(x) +- g(x)) = a +- b`, `quad lim_(x to x_0) (f(x) g(x)) = a b`, `quad lim_(x to x_0) (f(x))/(g(x)) = a/b` (当 `b != 0`). 从而对任意常数 `c` 有 `lim_(x to x_0) (c f(x)) = c a`.

函数极限的复合

函数极限的复合 设 `lim_(x to x_0) f(x) = y_0`, `lim_(y to y_0) g(y) = g(y_0)`, 则 `lim_(x to x_0) g(f(x)) = g(y_0)`. 这启发我们得出极限运算的变量替换法则: 若极限 `a = lim_(x to x_0) g(f(x))` 不好计算, 则 令 `y = f(x)`, 原问题就化为对极限 `y_0 = lim_(x to x_0) f(x)` 和 `a = lim_(y to y_0) g(y)` 的计算.

`AA epsi gt 0`, 由 `lim_(y to y_0) g(y) = g(y_0)` 知, 存在 `sigma gt 0`, 使得 `|g(y) - g(y_0)| lt epsi`, `quad AA y in overset @ B(y_0, sigma)`. 显然 `y = y_0` 时, 上面的不等式仍成立. 对于此 `sigma gt 0`, 由 `lim_(x to x_0) f(x) = y_0` 知, 存在 `delta gt 0`, 使得 `f(x) in B(y_0, sigma)`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`. 综上有 `|g(f(x)) - g(y_0)| lt epsi`, `quad AA x in overset @ B(x_0, delta)`.

下面的定理揭示了函数极限与数列极限的联系:

Heine 定理 设 `f` 在 `x_0` 的某邻域上有定义, 则
1. `lim_(x to x_0) f(x) = a` 的充要条件是对任意以 `x_0` 为极限的互异点列 `{x_n}` 都成立 `lim_(n to oo) f(x_n) = a`. 所谓互异点列, 是指它的所有点两两不同.
2. `f` 在 `x_0` 处连续的充要条件是对任意以 `x_0` 为极限的点列 `{x_n}` 都成立 `lim_(n to oo) f(x_n) = f(x_0)`.

[来自 我是乱序的不等式] `lim_(x to oo) sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) sqrt(x^2+k)`.

首先我们有恒等式 `sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) = 0`. 当 `x` 趋于无穷大时 `sqrt(x^2+k)` 相对于 `k` 的变化是小的, 我们近似认为它对于 `k` 是常数, 可以提到求和号外面. 因此猜想这个极限是 `0`.
我们来实际证明它. 提出 `x`, 得 `x sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) sqrt(1+k/x^2)` `= x sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) (1 + o(1/x))` `= 0 + sum_(k=0)^n (-1)^k (n;k) o(1) to 0`.

两个重要极限

等价无穷小

当 `x to 0` 时, `sin x ~ x`, `tan x ~ x`, `arcsin x ~ x`, `arctan x ~ x`, `1 - cos x ~ x^2/2`, `tanx - sin x ~ x^3/2`.

`tan x - sin x = tan x(1 - cos x) ~ x * x^2/2`.

1. 若 `f, g to 1`, 则 `f - g ~ ln f - ln g` 是等价无穷小.
2. 若 `f ~ g` 是等价无穷小, 则 `ln f ~ ln g` 是等价的负无穷大.

1. 设 `f = 1 + alpha`, `g = 1 + beta`, 则 `alpha, beta` 是无穷小, `ln f - ln g` `= ln{:(1+alpha)/(1+beta):}` `= ln(1+(alpha-beta)/g)` `~ (alpha - beta)/g` `~ f - g`.
2. `(ln f)/(ln g) - 1` `= (ln f - ln g)/(ln g)` `= ln{:f/g:}/(ln g)` `to ln 1/(-oo) = 0`.

[来自 汽水] `lim_(x to 0) ((sin x + "e"^(tan x))^(1/x) - (tan x + "e"^(sin x))^(1/x))/x^3`.

[来自 诗许] 首先 `(sin x + "e"^(tan x))^(1/x)` `~ exp((sin x + "e"^(tan x) - 1)/x)` `~ exp(1+1) = "e"^2`. 同理 `(tan x + "e"^(sin x))^(1/x) to "e"^2`. 现在利用 `f, g to 1` 时 `f - g ~ ln f - ln g`, 原式极限等价于 `"e"^2/x^4 ln((sin x + "e"^(tan x))/(tan x + "e"^(sin x)))`
`~ "e"^2/x^4 ((sin x + "e"^(tan x))/(tan x + "e"^(sin x)) - 1)`
`~ "e"^2/x^4 [(sin x - "e"^(sin x)) - (tan x - "e"^(tan x))]`
`~ "e"^2/x^4 (sin x - tan x) (xi - "e"^xi)'`, `quad sin x lt xi lt tan x
`~ -"e"^2/2 (1-"e"^xi)/x` `~ "e"^2/2`.

函数的连续性

Lipschitz 条件 设函数 `f` 的定义域为 `D`. 考察它的差商 `(f(x) - f(y))/(x-y)`.
1. 若差商在 `x_0 in D` 附近局部有界, 即存在常数 `L gt 0` 和 `delta gt 0`, 使得 `|f(x) - f(y)| le L|x-y|`, `quad AA x, y in B(x_0, delta)`, 则 `f` 在 `x_0` 处连续.
2. 若差商在 `D` 上有界, 即存在常数 `L gt 0` 使得 `|f(x) - f(y)| le L|x-y|`, `quad AA x, y in D`, 则称 `f` 在 `D` 上 Lipschitz 连续或满足 Lipschitz 条件, `L` 称为 Lipschitz 常数. 这时可以推出 `f` 在 `D` 上一致连续.

`AA x_0 in D`, 设存在常数 `L` 和 `x_0` 的邻域 `G`, 使得 `|f(x) - f(x_0)| le L|x-x_0|`, `quad AA x in G`. 取 `0 lt delta lt epsi//L`, 则对任意 `x in B(x_0, delta) nn G` 有 `|f(x) - f(x_0)| le epsi`, 这就证明了结论 1. 如果 `f` 在 `D` 上 Lipschitz 连续, 则在上面的证明中, `L` 与 `x_0` 的选取无关, 相应地 `delta` 也与 `x_0` 选取无关, 因此 `f` 在 `D` 上一致连续.

初等函数的连续性

1. `"e"^x` 在 `RR` 上连续;
2. `ln x` 在 `(0, +oo)` 上连续;
3. `x^alpha` (`alpha in RR`) 在 `(0, +oo)` 上连续;
4. `sin x`, `cos x` 在 `RR` 上 Lipschitz 连续;
5. `arcsin x` 在 `(-1, 1)` 上连续;
6. `arctan x` 在 `RR` 上连续.

1. `AA x_0 in RR`, `AA epsi gt 0`, 取 `0 lt delta lt ln(1+"e"^(-x_0) epsi)`. 记 `h = "e"^(-x_0) epsi gt 0`, 因为 `ln(1+h) + ln(1-h) = ln(1-h^2) lt 0`, 所以 `|ln(1+h)| lt |ln(1-h)|`. 于是 `0 lt |x-x_0| lt delta` 时, 有 `ln(1-h) lt x-x_0 lt ln(1+h)`, 取指数得 `1-h lt "e"^(x-x_0) lt 1+h`, 即 `|"e"^(x-x_0)-1| lt h`. 于是 `|"e"^x - "e"^(x_0)|` `= "e"^(x_0) |"e"^(x-x_0)-1|` `lt "e"^(x_0) h = epsi`.
2. `AA x_0 gt 0`, `AA epsi gt 0`, 取 `0 lt delta lt x_0(1-"e"^-epsi)`, 因为 `("e"^epsi-1) - (1-"e"^-epsi)` `= ("e"^(epsi//2) - "e"^(-epsi//2))^2 gt 0`, 所以 `|"e"^epsi-1| gt |"e"^-epsi-1|`. 取 `x gt 0`, 当 `x` 满足 `0 lt |x-x_0| lt delta` 时, 有 `x_0("e"^-epsi-1) lt x-x_0 lt x_0("e"^epsi-1)`, 即 `"e"^-epsi lt x/x_0 lt "e"^epsi`, 取对数得 `|ln x - ln x_0| lt epsi`.
3. 将 `x^alpha` 变形为 `"e"^(alpha ln x)`. 由复合函数的极限运算法则知道它是连续函数.
4. 只证 `sin x`. `AA x_0 in RR`, 记 `a = (x+x_0)/2`, `b = (x-x_0)/2`, 运用和差化积公式, `|sin x - sin x_0|` `= |sin(a+b) - sin(a-b)|` `= 2 |cos a sin b|` `le 2 |sin b| le 2 |b|` `= |x-x_0|`.
5. `AA x_0 in (-1, 1)`, 先证 `lim_(x to x_0) sqrt(1-x^2) = sqrt(1-x_0^2)`, 这只需注意到 `|sqrt(1-x^2)-sqrt(1-x_0^2)|` `= |x^2-x_0^2|/(sqrt(1-x^2)+sqrt(1-x_0^2))` `le |x^2-x_0^2|/sqrt(1-x_0^2)` `to 0`. 现在由极限的四则运算得 `|arcsin x - arcsin x_0|` `le |tan(arcsin x - arcsin x_0)|` `= |(sin(arcsin x - arcsin x_0))/(cos(arcsin x - arcsin x_0))|` `= |(x sqrt(1-x_0^2) - x_0 sqrt(1-x^2))/(sqrt(1-x^2)sqrt(1-x_0^2) + x x_0)|` `to 0`.
6. 应用极限的四则运算, `|arctan x - arctan x_0|` `le |tan(arctan x - arctan x_0)|` `= |x-x_0|/|1+x x_0|` `to 0`.

由极限的四则运算与复合法则知道, 初等函数在其定义域的每个内点处都连续.

有界闭区间上的连续函数

杂例

求 `root 3 (1+2x^2+x^3)` 在 `x to oo` 时的渐近线.

设它有渐近线 `y = a x + b`, 则 `{: 0 ,= lim_(x to oo) (root 3 (1+2x^2+x^3) - a x - b); ,= lim_(x to 0) (root 3 (1 + 2/x^2 + 1/x^3) - a/x - b); ,= lim_(x to 0) (root 3 (x^3 + 2x + 1) - a - b x)//x; ,= lim_(x to 0) (1 + 1/3(x^3 + 2 x) + o(x) - a - b x)//x; ,= lim_(x to 0) (2/3-b) + (1-a)//x :}` 因此 `a = 1, b = 2/3`.

已知极限 `lim_(x to 0) ("e"^x - 1 - x)/x^2 = a` 存在, 求 `a` 的值.

由已知 `a = lim_(x to 0) ("e"^(2x) - 1 - 2x)/(2x)^2` `= lim_(x to 0) (("e"^x-1)^2 + 2("e"^x-1) - 2x)/(4x^2)` `= 1/4 + a/2`. 于是 `a = 1/2`.