Euler 积分

第一类 Euler 积分: Beta 函数

`0`, `1` 是 Beta 函数积分的瑕点; `B(p, q)` 在 `p, q gt 0` 时收敛.

对称性 作区间再现 `x mapsto 1-x` 可得 `B(p, q) = B(q, p)`.

递推公式 `B(p+1, q) = p/(p+1) B(p, q)`.

分部积分, `B(p+1, q)` `= -1/q x^p (1-x)^q |_0^1 + p/q int_0^1 (1-x)^q x^(p-1) dx`
`= p/q (int_0^1 (1-x)^(q-1) x^(p-1) dx - int_0^1 (1-x)^(q-1) x^p dx)`
`= p/q (B(p, q) - B(p+1, q))`. 移项整理即得结论.

`p, q` 为非负整数时, `B(p, q) = ((p-1)! (q-1)!)/((p+q-1)!)`. 下文将证明一般的公式 `B(p, q) = (Gamma(p) Gamma(q))/(Gamma(p+q))`.

Beta 函数的其它形式
1. 令 `x = sin^2 theta`, 则 `B(p, q) = 2 int_0^(pi//2) sin^(2p-1) theta cos^(2q-1) theta "d"theta`.
2. 令 `x = t/(1+t)`, 则 `B(p, q) = int_0^oo t^(p-1)/(1+t)^(p+q) dt`.

在 Beta 函数的表达式中取 `p = s`, `q = 1-s` 得 `B(s, 1-s) = int_0^oo t^(s-1)/(1+t) dt`. 由后面的余元公式知道这个积分的值为 `pi/sin(pi s)`. 推论: `int_0^oo t^(s-1)/(x+t) dt = x^(s-1) pi/sin(pi s)`,
`int_0^oo t^(s-1)/(x^2+t^2) x dt = x^(s-1) (pi//2)/sin(pi s//2)`,
`int_0^oo t^(s-1) ln(1+1/t) dt = 1/s pi/sin(pi s)`.

点火公式 给出 Beta 函数在半整数点的取值: 对非负整数 `m, n`, `1/2 B((m+1)/2, (n+1)/2)` `= int_0^(pi/2) sin^m x cos^n x dx` `= ((m-1)!!(n-1)!!)/((m+n)!!) * s`, 其中 `m, n` 都为偶数时 `s = pi//2`, 否则 `s = 1`. 特别取 `m = 0` 得 `I_n = int_0^(pi/2) sin^n x dx` `= int_0^(pi/2) cos^n x dx` `= ((n-1)!!)/(n!!) * s`.

利用第 6 章的例题, 容易得到 `I_n = (n-1)/n I_(n-2)`; 而 `I_0 = pi/2`, `I_1 = 1`, 即得到上面的结论.

Wallis 公式 `lim_(n to oo) {:(2n)!!:}^2/((2n-1)!!(2n+1)!!) = pi/2`. 尽管只有乘除法因而计算简便, 但 Wallis 公式的收敛速度不快, 不适合直接用来计算 `pi`.

利用 `sin^(2n+1) x le sin^(2n) x le sin^(2n-1) x`, `quad 0 le x le pi/2`, 在 `[0, pi//2]` 积分得 `((2n)!!)/((2n+1)!!) le ((2n-1)!!)/((2n)!!) pi/2 le ((2n-2)!!)/((2n-1)!!)`. 于是 `pi/2 (2n)/(2n+1) le {:(2n)!!:}^2/((2n-1)!!(2n+1)!!) le pi/2`. 由两边夹法则立即得到结论.

第二类 Euler 积分: Gamma 函数

记忆: Mellin 变换定义为 `cc M[f(x)] = int_0^oo x^(s-1) f(x) dx`, 于是 `Gamma(s) = cc M["e"^-x]`, `B(p, q) = cc M[(1+x)^(-p-q)]`.

`Gamma(s)` 在 `s gt 0` 时收敛, 可在积分号下求任意阶导数: `Gamma^((n))(s) = int_0^oo x^(s-1) "e"^-x ln^n x dx`.

函数方程 `Gamma(s+1) = s Gamma(s)`. 特别 `n` 为非负整数时, `Gamma(n+1) = n!`. 利用函数方程, Gamma 函数的定义域可推广到除零和负整数外的所有实数: `Gamma(s) = (Gamma(s+n+1))/(s(s+1)cdots(s+n))`.

分部积分, `Gamma(s+1)` `= int_0^oo x^s "e"^-x dx` `= -x^s "e"^-x |_0^oo + s int_0^oo x^(s-1) "e"^-x dx` `= s Gamma(s)`.

Bohr-Mollerup 定理指出, 满足上述函数方程的所有函数中, 只有 Gamma 函数是对数凸的, 即 `ln Gamma (z)` 是凸函数.

令 `x = t^2` 得到: `Gamma(s) = 2 int_0^oo "e"^(-t^2) t^(2s-1) dt`. 利用 Euler-Poisson 积分知 `Gamma(1//2) = sqrt pi`, 再由函数方程递推可得 Gamma 函数在半整数点的取值: `Gamma(n + 1//2) = ((2n-1)!!)/2^n sqrt pi`.

`I_n = int_(-oo)^oo "e"^(-x^2) x^n dx` `= { 0, if n" is odd"; Gamma((n+1)/2), if n" is even" :}`

`n` 是奇数时, 被积函数为奇函数, 积分为零; `n` 是偶数时, 被积函数为偶函数, 利用 Gamma 函数的变化形式知 `I_n = Gamma((n+1)/2)`. (也可以利用第 6 章的这个例题).

Dirichlet 公式 `B(p, q) = (Gamma(p)Gamma(q))/(Gamma(p+q))`.

应用 Gamma 函数与 Beta 函数的变化形式, 并在极坐标下积分: `Gamma(p) Gamma(q)` `= 4 int_0^oo "e"^(-x^2) x^(2p-1) dx int_0^oo "e"^(-y^2) y^(2q-1) dy`
`= 4 int_0^oo int_0^oo "e"^-(x^2+y^2) x^(2p-1) y^(2q-1) dx dy`
`= 4 int_0^(pi//2) cos^(2p-1) theta sin^(2q-1) theta "d"theta` `int_0^oo "e"^(-r^2) r^(2p+2q-1) "d"r`
`= B(p, q) Gamma(p+q)`.

Gamma 函数的乘积表示

Euler-Gauss 乘积公式 `Gamma(s) = lim_(n to oo) (n^s n!)/(s(s+1) cdots (s+n))`. 使用 Gauss 的记号 `Pi(s) = Gamma(s+1)`, 此结论简记为 `Pi(s+n) // Pi(n) ~ n^s`.

只需证 `Gamma(s) = lim_(n to oo) n^s B(s, n+1)`: `Gamma(s) = int_0^oo "e"^-t t^(s-1) dt` `overset ? = lim_(n to oo) int_0^n (1-t/n)^n t^(s-1) dt` `= lim_(n to oo) n^s int_0^1 (1-u)^n u^(s-1) "d"u` `= lim_(n to oo) n^s B(s, n+1)`. 下面证明问号处的等式. 考虑 `|int_0^oo "e"^-t t^(s-1) dt - int_0^n (1-t/n)^n t^(s-1) dt|` `le |int_0^oo ["e"^-t - (1-t/n)^n] t^(s-1) dt|` `+ |int_n^oo (1-t/n)^n t^(s-1) dt|`. 先看第一项. 由于 `ln (1-t/n)^n` `= n ln(1-t/n)` `= n (-t/n + O(1/n^2))` `= -t + O(1/n)`, 从而 `"e"^-t-(1-t/n)^n` `= "e"^-t(1-"e"^(O(1/n)))` `= "e"^-t O(1/n)`. 第一项等于 `|O(1/n) int_0^oo "e"^-t t^(s-1) dt|` `= O(1/n) Gamma(s) to 0`. 再看第二项, 由均值不等式 `root(n+1)((1-t/n)^n)` `le (n-t+1)/(n+1)` `= 1-t/(n+1)` 知道, 数列 `(1-t/n)^n` 单调递增趋于 `"e"^-t`, 即 `"e"^-t` 是它的一个上界. 从而第二项小于等于 `|int_n^oo "e"^-t t^(s-1) dt|`, 它是收敛的 Gamma 积分的尾部, 因此当 `n to oo` 时上式趋于零. 综上有 `|int_0^oo "e"^-t t^(s-1) dt - int_0^n (1-t/n)^n t^(s-1) dt|` `to 0`.

只需证 `lim_(n to oo) (n!)/(Gamma(s+n+1)) n^s = 1`. 用 Striling 公式, 上式左边等于 `lim_(n to oo) (sqrt n (n/"e")^n)/(sqrt(s+n) ((s+n)/"e")^(s+n)) n^s` `= lim_(n to oo) ("e"^s)/(1+s/n)^n (n/(s+n))^(s+1/2) = 1`.

Gamma 函数的解析延拓 乘积公式右边的极限, 只要分母不为零, 对任意复数 `s` 都收敛. 因此借助此公式, 可以将 `Gamma(s)` 的定义拓展到复平面上, `s != 0, -1, -2, cdots`. `Gamma(s)` 没有零点, 它的倒数 `1/(Gamma(s))` 在 `CC` 上解析.

用 `(n+1)^s` 等价代替乘积公式的 `n^s`, 记 `f(n) = (n!)/(s(s+1)cdots(s+n)) (n+1)^s`, 将公式写为无穷乘积 `Gamma(s) = f(0) prod_(n ge 1) (f(n))/(f(n-1))` `= 1/s prod_(n ge 1) n/(s+n) ((n+1)/n)^s` `= 1/s prod_(n ge 1) (1+s/n)^-1 (1+1/n)^s`. (收敛性的说明??)

Weierstrass 公式 `1/(Gamma(s)) = "e"^(gamma s) s prod_(n ge 1) (1+s/n) "e"^(-s/n)`. `gamma` 为 Euler-Mascheroni 常数.

利用乘积公式, 左边等于 `lim_(n to oo) (s(s+1)cdots(s+n))/(n^s n!)` `= lim_(n to oo) "e"^(-s ln n) * s prod_(1 le k le n) (1 + s/k)` `= lim_(n to oo) "e"^(s (gamma - H_n)) * s prod_(1 le k le n) (1 + s/k) =` 右边.

余元公式 `Gamma(s) Gamma(1-s) = pi/(sin pi s)`. 这是复变量正弦函数的乘积公式.

利用乘积公式有 `Gamma(1+s) Gamma(1-s)` `= lim_(n to oo) n^s/((1+s)(1+s/2) cdots (1+s/n))` `n^(1-s)/((1-s)(1-s/2) cdots (1-s/n)) 1/(n+s)` `= lim_(n to oo) n/(n+s) prod_(k=1)^n (1-s^2/k^2)^-1`. 再用 Euler 无穷乘积公式 `prod_(n=1)^oo (1-s^2/n^2) = (sin pi s)/(pi s)` 即得结论.

[来自 无懈可击99] 我们通过计算下面的积分来证明余元公式: `Gamma(s) Gamma(1-s)` `= B(s, 1-s) Gamma(1)` `= int_0^oo x^(s-1)/(1+x) dx`. 积分写为 `int_0^1 + int_1^oo`, 第二项作倒代换 `x mapsto 1//x` 得 `int_0^1 (x^(s-1) + x^-s)/(1+x) dx`. 用几何级数展开为 `int_0^1 (x^(s-1) + x^-s) sum_(n ge 0) (-x)^n dx`
`= sum_(n ge 0) (-1)^n int_0^1 (x^(s-1) + x^-s) x^n dx`
`= sum_(n ge 0) (-1)^n (1/(n+s) + 1/(n-s+1))`
`= 1/s + sum_(n ge 1) (-1)^n (1/(n+s) - 1/(n-s))`
`= 1/s - 2s sum_(n ge 1) (-1)^n 1/(n^2-s^2)`. 比较 `cos s x` 的 Fourier 展式 `cos s x = (sin pi s)/pi (1/s - 2s sum_(n ge 1) (-1)^n (cos n x)/(n^2-s^2))` 就得到结论.

Gauss-Legendre 倍元公式
1. `Gamma(x) Gamma(x+1/2) = (Gamma(2x))/2^(2x) 2 sqrt pi`;
2. `prod_(0 le k lt n) Gamma(x+k/n) = (Gamma(n x))/n^(n x) sqrt n (2pi)^((n-1)/2)`.
令 `x = z + b//n` 得 `Gamma(n z + b) = n^(n z+b-1//2) (2pi)^((1-n)//2) prod_(0 le k lt n) Gamma(z + (b+k)/n)`.

1. 由于 `Gamma(m + 3/2)` `= Gamma((2m+3)/2)` `= (2m+1)/2 (2m-1)/2 cdots 3/2 1/2 Gamma(1/2)` `= ((2m+1)!)/(2^(2m+1) m!) sqrt pi`, 即 `(m! 2^(2m+1))/((2m+1)!) = sqrt pi /(Gamma(n+3/2)`. 利用 Gamma 函数的 Euler 乘积表示进行计算, 我们有 `{: , Gamma(x) Gamma(x+1/2); ~, (m^(2x+1/2) {:m!:}^2)/(x(x+1/2) cdots (x+m)(x+m+1/2)) quad (m to oo); ~, (m^(2x+1/2) {:m!:}^2 2^(2m+2))/(2x(2x+1)cdots(2x+2m+1)); ~, (Gamma(2x))/((2m+1)^(2x)(2m+1)!) m^(2x+1/2) {:m!:}^2 2^(2m+2); ~, (Gamma(2x))/2^(2x) (2 sqrt m m! sqrt pi)/(Gamma(n+1+1/2)); ~, (Gamma(2x))/2^(2x) 2 sqrt pi. :}`
2. 利用三角恒等式 `prod_(0 lt k lt n) sin{:(k pi)/n:} = (2n)/2^n`. 由余元公式有 `prod_(0 lt k lt n) Gamma(k/n)` `= sqrt(prod_(0 lt k lt n) Gamma(k/n) Gamma(1-k/n))` `= sqrt(pi^(n-1)/(prod_(0 lt k lt n) sin{:(k pi)/n:}))` `= (2pi)^((n-1)/2) / sqrt n`, 计算 `prod_(0 le k lt n) Gamma(m+1+k/n)` `= m! prod_(0 lt k lt n) (m n+k)/n ((m-1)n+k)/n cdots (n+k)/n k/n Gamma(k/n)` `= ((n m+n-1)!)/n^(n m+n-1) prod_(0 lt k lt n) Gamma(k/n)` 我们得到 `n^(n m+n-1)/((n m+n-1)!) = (2pi)^((n-1)/2)/(sqrt n prod_(0 le k lt n) Gamma(m+1+k/n))`. 注意 `sum_(0 lt k lt n) k/n = (n-1)/2`, 于是 `{: ,prod_(0 le k lt n) Gamma(x+k/n); ~, lim_(m to oo) (m^(n x + (n-1)/2) {:m!:}^n) / (x(x+1/n) cdots (x + m + (n-1)/n)) quad (m to oo); ~, (m^(n x + (n-1)/2) {:m!:}^n n^(n(m+1))) / (n x(n x+1) cdots (n x+ n m + n - 1)); ~, (Gamma(n x))/((n m+n-1)^(n x) (n m+n-1)!) m^(n x+(n-1)/2) {:m!:}^n n^(n(m+1)); ~, (Gamma(n x))/n^(n x) {:m!:}^n sqrt n (2pi m)^((n-1)/2) /( prod_(0 le k lt n) Gamma(m+1+k/n)); ~, (Gamma(n x))/n^(n x) sqrt n (2pi)^((n-1)/2). :}`

Raabe 积分 [来自 积分的方法与技巧] `R(a) = int_a^(a+1) ln Gamma(x) dx` `= a(ln a - 1) + ln sqrt(2pi)`.

对参数 `a` 求导, `R'(a) = ln Gamma(a+1) - ln Gamma(a) = ln a`. 区间再现, 利用余元公式 `R(0) = int_0^1 ln Gamma(x) dx` `= 1/2 int_0^1 ln Gamma(x) Gamma(1-x) dx` `= 1/2 int_0^1 ln{:pi/(sin pi x):} dx` `= 1/2 ln pi - 1/(2 pi) int_0^pi ln sin x dx` `= 1/2 ln pi + 1/2 ln 2`. 最后 `R(a) = int_0^a R'(x) dx + R(0)` `= a(ln a - 1) + ln sqrt(2pi)`.

1. `1 - 1/(n!) int_0^n t^n "e"^-t dt = "e"^-n sum_(k=0)^n n^k/(k!)`;
2. (Dobiński 公式) `n to oo` 时上式两边趋于 `1/2`.

1. 一种做法是对左边反复分部积分. 第二种做法从右边出发, 利用 gamma 函数定义及二项式定理有 `"e"^-n sum_(k=0)^n n^k/(k!)` `= "e"^-n/(n!) sum_(k=0)^n (n;k) n^k (n-k)!` `= "e"^-n/(n!) sum_(k=0)^n (n;k) n^k int_0^oo t^(n-k) "e"^-t dt` `= "e"^-n/(n!) int_0^oo (n+t)^n "e"^-t dt` `= 1/(n!) int_n^oo t^n "e"^-t dt` `= 1 - 1/(n!) int_0^n t^n "e"^-t dt`.
2. 利用等式 `sum_(k=0)^n n^k/(k!) = sum_(k=0)^n (k^k (n-k)^(n-k))/(k! (n-k)!)`, (规定 `0^0 = 1`) (??) 有 `lim_(n to oo) "e"^-n sum_(k=0)^n n^k/(k!)` `= lim_(n to oo) "e"^-n sum_(k=1)^(n-1) ("e"^k "e"^(n-k))/(sqrt(2pi k) sqrt(2pi(n-k)) O(1+1/k) O(1+1/(n-k)))` `= lim_(n to oo) 1/(2 pi n) sum_(k=1)^(n-1) 1/sqrt(k/n (1-k/n))` `= 1/(2pi) int_0^1 dx/sqrt(x(1-x))` `= 1/(2pi) (Gamma(1/2)^2)/(Gamma(1)) = 1/2`.

2. 的另一证法. 设 `X_1, X_2, cdots, X_n` 独立服从参数为 1 的 Poisson 分布, 则 `X = X_1 + X_2 + cdots + X_n` 服从参数为 `n` 的 Poisson 分布. `P{X le n} = "e"^-n sum_(k=0)^n n^k/(k!)`. 令 `n to oo`, 由中心极限定理 `(X-n)/sqrt n to Z`, `quad Z ~ N(0, 1)`, 于是 `P{X le n} to P{Z le 0} = 1/2`.

Digamma 函数

Gamma 函数的对数的导数称为 digamma 函数: `psi(s) = "d"/("d"s) ln Gamma(s)` `= (Gamma'(s))/(Gamma(s))`, `quad s gt 0`. digamma 函数的高阶导数 `psi^((n))` 称为 polygamma 函数.

1. 函数方程 `psi(s+1) = psi(s) + 1//s`;
2. 余元公式 `psi(1-s) - psi(s) = pi cot pi s`;
3. 倍元公式 [来自群友 d] `psi(n s) = 1/n sum_(k=0)^(n-1) psi(s + k/n) + ln n`.
4. 级数表示 `psi(s+1) = -gamma + sum_(n ge 1) (1/n - 1/(n+s))`; 特别 `psi(n+1) = -gamma + H_n`.
5. 高阶导数 `psi^((n))(s) = sum_(k ge 0) (n!(-1)^(n+1))/(k+s)^(n+1)`; 特别 `psi` 在 1 附近有 Taylor 展开 `psi(s+1) = -gamma + sum_(n ge 1) (-1)^(n+1) zeta(n+1) s^n`.
6. 极限表示 `psi(a) = lim_(b to oo) [Gamma(b) - B(a, b)]`.
7. 积分表示 [来自 积分的方法与技巧] `psi(s) = int_0^oo ("e"^-x - (1+x)^-s) dx/x` `= int_0^oo (("e"^-x)/x - "e"^((1-s)x)/("e"^x-1)) dx`. 特别 `int_0^oo ("e"^-x/x - "e"^(-x)/(1-"e"^-x)) dx = psi(1) = -gamma`.

1. `psi(s+1) = "d"/("d"s) ln Gamma(s+1)` `= "d"/("d"s)(ln s + ln Gamma(s))` `= 1/s + psi(s)`.
2. 由 Gamma 函数的余元公式取对数再求导即可.
3. 由 Gamma 函数的倍元公式取对数再求导即可.
4. 由函数方程 `psi(n+1) = psi(1) + sum_(k=1)^n 1/k = psi(1) + H_n`. 为求出 `psi(1)`, 使用 Weierstrass 公式: `ln Gamma(s) = -gamma s - ln s + sum_(n ge 1)(s/n - ln(1+s/n))`,
   `psi(s) = -gamma - 1/s + sum_(n ge 1)(1/n - 1/(n+s))`,
   即 `psi(s+1) = -gamma + sum_(n ge 1)(1/n - 1/(n+s))`. 因此 `psi(1) = -gamma`.
   从另一角度, 交换积分与求和, `int_0^1 sum_(n ge 1) (1/n - 1/(n+s)) "d"s` `= sum_(n ge 1) (1/n - ln(1+1/n))` `= lim_(n to oo) H_n - ln(n+1)` `= gamma`. 但 `int_0^1 psi(s+1) "d"s = ln Gamma(2) - ln Gamma(1) = 0`, 两式相减, 再次印证了 `psi(1) = -gamma`.
5. 直接求导即可.
6. `Gamma(b) - B(a, b)` `= Gamma(b)(1 - (Gamma(a))/(Gamma(a+b)))` `= (Gamma(b+1))/(Gamma(a+b)) (Gamma(a+b) - Gamma(a))/b`, 令 `b to 0` 即得 `(Gamma'(a))/(Gamma(a)) = psi(a)`.
7. 将 Gamma 函数与 Beta 函数的积分形式代入上题的极限表示, `psi(s) = lim_(h to 0) int_0^oo ("e"^-x - (x+1)^(-s-h)) x^(h-1) dx` `= int_0^oo ("e"^-x - (x+1)^-s) dx/x`. 第二项令 `1 + x = "e"^y` 就得到第二个积分.

Stirling 公式

下文推导阶乘函数的 Stirling 公式, 为此先证明一个 (冗长但实用的) 引理.

Laplace 方法 设 `f in C^2[a,b]`. `x_0 in (a,b)` 是 `f` 唯一的极大值点, `f''(x_0) = -lambda lt 0`, 则 `int_a^b "e"^(M f(x)) dx\ ~\ "e"^(M f(x_0)) sqrt((2pi)/(M lambda))`, `quad M to oo`. 这意味着 `"e"^(M f(x))` 在整个区间上的积分值几乎都集中在 `x_0` 附近, 且可以用 `f` 的二阶 Taylor 展开 `int_(-oo)^oo "e"^(M f(x_0) - M lambda(x-x_0)^2/2) dx` 来估计.

将 `f` 在 `x_0` 处展开, 因为是极大值点, `f'(x_0) = 0`, 有 `f(x) = f(x_0) + f''(x_0+theta(x-x_0)) (x-x_0)^2/2`. 由二阶导数连续, 对任意 `epsi gt 0`, 当 `x` 与 `x_0` 充分接近时, `f''(x_0)-epsi le f''(x_0+theta(x-x_0)) le f''(x_0)+epsi`, 从而 `f(x_0) - (lambda+epsi) (x-x_0)^2/2` `le f(x)` `le f(x_0) - (lambda-epsi) (x-x_0)^2/2`. 取 `delta gt 0` 充分小. 一方面, 注意到 `int_(-oo)^oo "e"^(-y^2/2) dy = sqrt (2pi)`, 有 `int_a^b "e"^(M f(x)) dx` `ge int_(x_0-delta)^(x_0+delta) "e"^(M f(x_0)-M(lambda+epsi)(x-x_0)^2/2) dx` `= int_(-delta sqrt(M(lambda+epsi)))^(delta sqrt(M(lambda+epsi))) "e"^(M f(x_0) - y^2/2)/sqrt(M(lambda+epsi)) dy` `~ "e"^(M f(x_0)) sqrt((2pi)/(M(lambda+epsi)))`; 另一方面, 由 `x_0` 是唯一的极大值点知, 存在 `eta gt 0` 使得 `f(x) le f(x_0)-eta`, `quad |x-x_0| ge delta`. 不妨设 `lambda-epsi gt 0`, 得到 `int_a^b "e"^(M f(x)) dx` `= int_a^(x_0-delta) + int_(x_0-delta)^(x_0+delta) + int_(x_0+delta)^b` `le (b-a)"e"^(M(f(x_0)-eta)) + int_(x_0-delta)^(x_0+delta) "e"^(M f(x_0)-M(lambda-epsi)(x-x_0)^2/2) dx` `~ "e"^(M f(x_0)) ((b-a)"e"^(-M eta) + sqrt((2pi)/(M(lambda-epsi))))` `~ "e"^(M f(x_0)) sqrt((2pi)/(M(lambda-epsi)))`. 令 `epsi to 0`, 由两边夹法则即得结论.

若 `[a, b]` 是无限区间, 要使引理成立, 还需两个充分条件. 一是满足条件 的 `eta` 存在, 二是存在 `M_0 gt 0`, 使得 `int_a^b "e"^(M_0 f(x)) dx lt oo`. 此时有 `int_a^(x_0-delta) "e"^(M f(x)) dx + int_(x_0+delta)^b "e"^(M f(x)) dx` `le int_a^b "e"^(M_0 f(x)) "e"^((M-M_0) f(x)) dx` `le int_a^b "e"^(M_0 f(x)) "e"^((M-M_0) (f(x_0)-eta)) dx` `= O("e"^((M-M_0) (f(x_0)-eta)))`, 代入前面的证明, 得到相同的结果.

Stirling 公式 `n! ~ sqrt(2pi n) (n/"e")^n`, `quad n to oo`.

利用 Gamma 函数, `n! = Gamma(n+1)` `= int_0^oo "e"^(-t) t^n dt` (令 `t = n x`) `= n^(n+1) int_0^oo "e"^(-n x) x^n dx` `= n^(n+1) int_0^oo "e"^(n(ln x-x)) dx`. 应用 Laplace 方法, 其中 `f(x) = ln x-x`, `quad f'(x) = 1/x-1`, `quad f''(x) = -1/x^2`,
`f'(1) = 0`, `quad f(1) = f''(1) = -1`. 有 `n! ~ n^(n+1) "e"^-n sqrt((2pi)/n)` `= sqrt(2pi n) (n/"e")^n`.

Riemann zeta 函数

积分表达式 [来自 论文哥] 对 `s gt 0` 有 `zeta(s) Gamma(s) = int_0^oo x^(s-1)/("e"^x-1) dx`,
`eta(s) Gamma(s) = int_0^oo x^(s-1)/("e"^x+1) dx`,
`eta(s) Gamma(s) = int_0^1 int_0^1 [-ln(x y)]^(s-2)/(1+x y) dx dy`,
`beta(s) Gamma(s) = int_0^1 int_0^1 [-ln(x y)]^(s-2)/(1+x^2 y^2) dx dy`.

记第一个公式右边的积分为 `I`. 化为几何级数并逐项积分有 `I = int_0^oo x^(s-1) sum_(n ge 1) "e"^(-n x) dx` `= sum_(n ge 1) 1/n^s int_0^oo t^(s-1) "e"^-t dt` `= zeta(s) Gamma(s)`. 第二个公式的证明类似.

函数方程 `zeta(1-s) = 2/(2pi)^s cos{:(pi s)/2:} Gamma(s) zeta(s)`,
`beta(1-s) = (2/n)^s sin{:(pi s)/2:} Gamma(s) beta(s)`.

Dirichlet beta 函数

[来自 壹零叁] `int_0^oo (ln^2 t)/(t^2+1) dt = pi^3/8`.

取围道 `C = C_1 + C_2 + C_3 + C_4`, 其中 `C_1: [r, R]`, `quad C_2: R "e"^("i"theta), theta in [0, pi]`,
`C_3: [-R, -r]`, `quad C_4: r "e"^(-"i"theta), theta in [pi,2pi]`. `"i"` 是围道中唯一极点, 故 `int_C (ln^2 t)/(1+t^2) dt` `= 2pi"i" "Res"(t="i")` `= 2pi"i" lim_(t to "i") (ln^2 t)/(1+t^2) (t-"i")` `= -pi^3/4`. 由长大不等式, 当 `R to oo` 和 `r to 0^+` 时, 大小两圆弧上积分为零. 再看 `C_1` 和 `C_3`, 有 `int_(C_1) to I`,
`int_(C_3)` `to int_-oo^0 (ln^2 t)/(1+t^2) dt` `= int_0^oo (ln t + pi"i")^2/(1+t^2) dt` `= I + int_0^oo (2 pi "i"ln t - pi^2)/(1+t^2) dt` `= I + 0 - pi^3/2`. 综上 `2I - pi^3/2 = -pi^3/4`, `I = pi^3/8`.

记 `I_n = int_0^oo (ln^n t)/(1+t^2) dt`, 则 `I_奇 = 0`, `I_(2n) = (-1)^n E_(2n) (pi/2)^(2n+1)`, 其中 `E_(2n)` 为 Euler 数.

我们已经计算过 `I_0 = pi/2`, `I_2 = pi^3/8`. 完全类似计算 `I_2` 的方法, 用留数法可得递推公式 `I_(2n) + sum_(k=0)^n (2n;2k) I_(2n-2k) (pi "i")^(2k)` `= ((pi "i")/2)^(2n) * pi`. 或者, 记 `a_(2n) = (-1)^n/pi^(2n+1) I_(2n)`, 则 `a_(2n) + sum_(k=0)^n (2n;2k) a_(2k) = 1/2^(2n)`. 两边同乘 `x^(2n)/(2n)!` 并求和, 右边等于 `cosh(x/2)`, 而左边等于 `sum_(n ge 0) a_(2n) x^(2n)/(2n)!` `+ sum_(n ge 0) sum_(k=0)^n (2n; 2k) a_(2k) x^(2n)/(2n)!`
`= sum_(n ge 0) a_(2n) x^(2n)/(2n)!` `+ sum_(j ge 0) x^(2j)/(2j)! sum_(k ge 0) a_(2k) x^(2k)/(2k)!`
`= (1 + cosh x) sum_(n ge 0) a_(2n) x^(2n)/(2n)!`. 我们求得 `a_n` 的生成函数 `sum_(n ge 0) a_(2n) x^(2n)/(2n)!` `= cosh(x/2)/(1+cosh x)` `= 1/(2 cosh(x/2))`. 而 Euler 数的生成函数为 `sum_(n ge 0) E_(2n) x^(2n)/(2n)!` `= 1/(cosh x)`. 这推出 `a_(2n) = E_(2n)/(2^(2n+1))`.

Dirichlet beta 函数的特殊值 `beta(2k+1) = 1/2 (-1)^k E_(2k)/(2k!) (pi/2)^(2k+1)`, 如 `beta(1) = pi/4`, `beta(3) = pi^3/32` 等等.

利用结论 `int_0^1 x^(n-1) ln^m x dx` `= (-1)^m m!/n^(m+1)`, 将上题的积分展开为 `int_0^oo (ln^(2k) t)/(1+t^2) dt` `= 2 int_0^1 (ln^(2k) t)/(1+t^2) dt` `= 2 sum_(n ge 0) (-1)^n int_0^1 t^(2n) ln^(2k) t dt` `= 2(2k)! sum_(n ge 0) (-1)^n/(2n+1)^(2k+1)` `= 2(2k)! beta(2k+1)`.

Catalan 常数

[来自 论文哥] `beta(2) = sum_(n ge 0) (-1)^n/(2n+1)^2` 称为 Catalan 常数: `G = 0.915965594177...` 也有用 `K` 或 `C` 表示 Catalan 常数的. 由此计算:
1. `int_0^1 int_0^1 1/(1+x^2 y^2) dx dy = G`;
2. `int_0^1 (arctan x)/x dx = G`;
3. `int_0^1 (ln x)/(1+x^2) dx` `= -1/2 int_0^(pi/2) x csc x dx` `= int_0^(pi/4) ln tan x dx` `= -G`;
4. `int_0^(pi/4) ln sin x dx` 和 `int_0^(pi/4) ln cos x dx`;
5. `int_0^(pi/2) ln(1+cos x) dx` `= int_0^(pi/2) ln(1+sin x) dx`;
6. `int_0^(sqrt2/2) (ln x)/sqrt(1-x^2) dx`, `int_0^(sqrt 2/2) (arcsin x)/x dx` 和 `int_0^(pi/4) x cot x dx`;
7. `int_0^(1/2) Gamma(1+x)Gamma(1-x) dx`.

1. 将分母以几何级数展开, 收敛域为 `[-1, 1]`, 可以逐项积分. 原式等于 `int_0^1 int_0^1 sum_(n ge 0) (-x^2 y^2)^n dx dy` `= sum_(n ge 0) (-1)^n int_0^1 x^(2n) dx int_0^1 y^(2n) dy` `= sum_(n ge 0) (-1)^n/(2n+1)^2 = G`.
2. 利用 `arctan x = sum_(n ge 0) (-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)`, 原式等于 `int_0^1 sum_(n ge 0) (-1)^n x^(2n)/(2n+1) dx` `overset ? = sum_(n ge 0) (-1)^n/(2n+1) int_0^1 x^(2n) dx` `= sum_(n ge 0) (-1)^n/(2n+1)^2` `= G`.
3. 分部积分, `int_0^1 (arctan x)/x dx = - int_0^1 (ln x)/(1+x^2) dx`. 令 `t = arctan x`, `int_0^1 (arctan x)/x dx = int_0^(pi/4) t/(sin t cos t) dt` `= 1/2 int_0^(pi/2) (t dt)/(sin t)`,
   `int_0^1 (ln x)/(1+x^2) dx = int_0^(pi/4) ln tan t dt`.
4. 两个积分分别记为 `I, J`, 于是 `I+J = int_0^(pi/4) ln{:(sin 2x)/2:} dx` `= 1/2 int_0^(pi/2) ln sin x dx - pi/4 ln 2` `= - pi/2 ln 2`,
   `I-J = int_0^(pi/4) ln tan x dx = -G`. 解线性方程组即得到 `I, J = -pi/4 ln 2 ∓ G/2`.
5. 由上题易得结果为 `2G - pi/2 ln 2`.
6. 令 `x = sin t`, `int_0^(sqrt2/2) (ln x)/sqrt(1-x^2) dx` `= int_0^(pi/4) ln sin t dt`. 另外两个积分的处理方法和 `int_0^(pi/2) ln sin x dx` 一样, 先换元再分部积分, 得 `int_0^(sqrt2/2) (arcsin x)/x dx` `= int_0^(pi/4) t cot t dt` `= -pi/8 ln 2 - int_0^(pi/4) ln sin t dt` `= pi/8 ln 2 + G/2`.
7. 原式等于 `int_0^(1/2) x Gamma(x) Gamma(1-x) dx` `= int_0^(1/2) (pi x)/(sin pi x) dx` (余元公式) `= 2/pi G` (由 3).

Euler 和 (调和和)

我们称 `H_n = sum_(k=1)^n 1/k` 为调和数, `H_n^((m)) = sum_(k=1)^n 1/k^m` 为广义调和数.

对整数 `b gt a ge 0` 有 `sum_(k ge 1) 1/((a+k)(b+k)) = (H_b - H_a)/(b - a)`.

左边等于 `1/(b-a) sum_(k ge 1) (1/(a+k) - 1/(b+k))` 等于右边.

`ln^2(1-x)` 的展开 `ln^2 (1-x) = sum_(n ge 2) (2H_(n-1))/n x^n`.

左边等于 `(sum_(n ge 1) x^n/n)^2` `= sum_(n ge 2) x^n sum_(k=1)^(n-1) 1/(k(n-k))`. 裂项得 `sum_(k=1)^(n-1) 1/(k(n-k))` `= 1/n sum_(k=1)^(n-1) (1/k + 1/(n-k))` `= (2H_(n-1))/n`.

`sum_(k ge 1) 1/k (H_(n+k) - H_k)` `= sum_(j=1)^n H_j/j` `= sum_(k ge 2) (1/k - 1/(n+k)) H_(k-1)`.

等式记为 `(1) = (2) = (3)`. 其中
1. `(1) = sum_(k ge 1) 1/k sum_(j=1)^n 1/(k+j)` `= sum_(j=1)^n sum_(k ge 1) 1/(k(k+j))` `= (2)`.
2. [来自 乐正垂星] `(2) = sum_(j=1)^n sum_(k ge 1) 1/(k(k+j))` `==^(m=j+k) sum_(m ge 2) 1/m sum_(j=1)^s 1/(m-j)` `= sum_(m ge 2) 1/m (H_(m-1) - H_(m-s))` `overset ? = (3)`. 其中 `s = min(n, m-1)`. 我们用极限说明最后一个等号成立: 这只需证 `sum_(k ge 2) (H_(k-s)/k - H_(k-1)/(n+k)) = 0`. 事实上对任意充分大的 `N`, `0 le S_N = sum_(k=2)^N H_(k-s)/k - sum_(k=2)^N H_(k-1)/(n+k)`
   `= sum_(k=2)^(n+1) H_0/k + sum_(k=n+2)^N H_(k-n-1)/k - sum_(k=2)^N H_(k-1)/(n+k)`
   `= sum_(j=2)^(N-n) H_(j-1)/(j+n) - sum_(k=2)^N H_(k-1)/(n+k)`
   `= sum_(j=N-n+1)^N H_(j-1)/(j+n)`
   `le n H_(N-1)/(N-1)`. 上式两边令 `N to oo` 得 `S_N to 0`.

`sum_(k=1)^(n-1) H_k/(k+1) = sum_(k=1)^(n-1) (n H_k - k H_n)/(k(n-k))`.

从等式 `sum_(k ge 1) 1/k (H_(n+k-1) - H_k) = sum_(k ge 1) (1/(k+1) - 1/(n+k)) H_k` 出发, 上式右边写为 `sum_(k ge 1) (H_k/(k+1) - H_(n+k-1)/(n+k))` `+ 1/(n+k)(H_(n+k-1) - H_k)` `= S_1 + S_2`. 于是 `S_1` 等于左边减 `S_2`, 即 `sum_(k=1)^(n-1) H_k/(k+1)` `= sum_(k ge 1) (1/k - 1/(n+k)) sum_(j=1)^(n-1) 1/(k+j)` `= sum_(j=1)^(n-1) (H_j/j - (H_n-H_j)/(n-j))` `= sum_(j=1)^(n-1) (n H_j - j H_n)/(j(n-j))`.

`sum_(k=1)^n H_k/k = 1/2 (H_n^2 + H_n^((2)))`.

上式左边记为 `S`, 分部求和, `S = [H_k H_(k-1)]_1^(n+1) - sum_(k=1)^n H_k/(k+1)`
`= H_(n+1) H_n - H_n/(n+1) - sum_(k=1)^(n-1) H_k/(k+1)`
`= H_n^2 + sum_(k=1)^(n-1) 1/(k+1)^2 - sum_(k=1)^(n-1) H_(k+1)/(k+1)`
`= H_n^2 + H_n^((2)) - S`.

1. `int_0^1 x^(n-1) ln^m x dx = (-1)^m m!/n^(m+1)`;
2. `int_0^1 x^(n-1) ln (1-x) dx = -H_n/n`.
3. `int_0^1 x^(n-1) ln^2(1-x) dx` `= 2/n sum_(k=1)^n H_k/k` `= (H_n^2 + H_n^((2)))/n`.

1. 分部积分即可.
2. 左边等于 `- int_0^1 x^(n-1) sum_(k ge 1) x^k/k dx` `= -sum_(k ge 1) 1/k int_0^1 x^(n+k-1) dx` `= -sum_(k ge 1) 1/(k(n+k))` `= -1/n sum_(k ge 1) (1/k - 1/(n+k)) = ` 右边. 利用 Beta 函数, 结论可以记为 `del/(del y) B(n, y)|_(y=1) = -H_n/n`.
3. 利用 `ln^2(1-x)` 的展开, 左边等于 `sum_(k ge 2) (2H_(k-1))/k int_0^1 x^(n+k-1) dx` `= sum_(k ge 2) (2H_(k-1))/(k(n+k))` `= 2/n sum_(k ge 2) (1/k - 1/(n+k)) H_(k-1)`. 利用前面的例题, 上式等于 `2/n sum_(k=1)^n H_k/k`, 再利用 `sum_(k=1)^n H_k/k = 1/2 (H_n^2 + H_n^((2)))` 得到第二式.

超越函数的积分

多重对数积分

`n` 阶多重对数积分在单位圆盘上定义为 `"Li"_n(z) = sum_(k ge 1) z^k/k^n`, `quad n in ZZ, |z| lt 1`, 通过解析延拓可以将定义域扩展到整个复平面.

1. `"Li"_(-1)(x) = x/(1-x)^2`, `"Li"_0(x) = x/(1-x)`, `"Li"_1(x) = -ln(1-x)`;
2. `"Li"_n(1) = zeta(n)`, `"Li"_n(-1) = -eta(n)`;
3. `"Li"_n(x) = int_0^x ("Li"_(n-1)(t))/t dt`; 换言之 `"Li"_n'(x) = "Li"_(n-1)(x) // x`.

只证最后一个结论: `"Li"_n(x) = sum_(k ge 1) int_0^x t^(k-1)/k^(n-1) dt` `= int_0^x sum_(k ge 1) t^k/k^(n-1) dt/t` `= int_0^x ("Li"_(n-1)(t))/t dt`.

1. `"Li"_2(x) + "Li"_2(1-x) = pi^2/6 - ln x ln(1-x)`, 特别 `"Li"_2(1/2) = pi^2/12 - (ln^2 2)/2`;
2. `"Li"_3(1/2) = (ln^3 2)/6 - pi^2/12 ln 2 + 7/8 zeta(3)`;
3. `int_0^(pi/2) x ln sin x dx = 7/16 zeta(3) - pi^2/8 ln 2`;

1. 两边求导, `("Li"_1(x))/x - ("Li"_1(1-x))/(1-x)` `= -ln(1-x)/x + ln x/(1-x)` 等号成立; 且 `x to 0^+` 时原式等号成立, 证毕.
3. [来自某数学系 dalao] 利用 Fourier 展开 `ln sin x = -ln 2 - sum_(n ge 1) (cos 2 n x)/n` 逐项积分, 原式等于 `- pi^2/8 ln 2 - sum_(n ge 1) 1/n int_0^(pi/2) x cos 2 n x dx` `= - pi^2/8 ln 2 - sum_(n ge 1) 1/n ((-1)^n - 1)/(4n^2)` `= - pi^2/8 ln 2 + 1/4 (zeta(3) + eta(3))` `= - pi^2/8 ln 2 + 7/16 zeta(3)`.

多重对数积分与 Euler 和*

以下介绍的多重对数积分与 Euler 和最终可以用 `zeta` 函数在整数点的取值表示.

[来自 知乎@卷心汪汪队] 定义 `f(x";" a, b, c) = ln^a(1-x) ln^b x ln^c(1+x)`,
`bb(i a b c 0) = int_0^1 (f(x";"a,b,c))/(1-x) dx`,
`bb(i a b c 1) = int_0^1 (f(x";"a,b,c))/x dx`,
`bb(i a b c 2) = int_0^1 (f(x";"a,b,c))/(1+x) dx`. 其中 `a + b + c + 1 := n` 称为这个积分的权 (weight). 权为 `n` 的多重对数积分的值可以用 `"Li"_k(1) = zeta(k)`, `"Li"_k(-1) = -eta(k)` 和 `"Li"_k(1//2)` 表示, 其中 `k le n`.
例如 `bb(i a b 0 0)` `==^(x mapsto 1-x) bb(i b a 0 1)`, (鉴于这个公式, 下表中不收纳编号以 00 结尾的积分). 又如 `bb(i n 001)` `==^(x mapsto 1-x) bb(i0n00)` `==^(x mapsto "e"^-x) (-1)^n Gamma(n+1)zeta(n+1)`.

[来自 (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series]
1. `int_0^x (ln^2(1-t))/t dt`;
2. `int_0^x (ln^2(1+t))/t dt`.

1. 分部积分, 原式等于 `ln x ln^2(1-x) + 2 int_0^x (ln t ln(1-t))/(1-t) dt` 其中 `int_0^x (ln t ln(1-t))/(1-t) dt` `= int_(1-x)^1 (ln t ln (1-t))/t dt` `= int_0^1 - int_0^(1-x)`. 第一项 `int_0^1 (ln t ln(1-t))/t dt` `= int_0^1 ln t ( ln t/(1-t) - ln(1-t)/t ) dt` `= - I + int_0^1 (ln^2 t)/(1-t) dt` `= 1/2 int_0^oo x^2/("e"^x - 1) dx` `= 1/2 Gamma(3) zeta(3)` `= zeta(3)`. 第二项分部积分 `int_0^x (ln t ln(1-t))/t dt` `= "Li"_3(x) - ln x "Li"_2(x)`. 综上 `int_0^x (ln^2(1-t))/t dt` `= ln x ln^2(1-x)` `+ 2 zeta(3) - 2 "Li"_3(1-x) + 2 ln(1-x) "Li"_2(1-x)`.
2. 方法和上题类似, 分部积分后, 使用换元 `s = 1/(1+t)`. 结果为 `ln x ln^2(1+x) - 2 "Li"_3(1/(1+x)) - 2 ln(1+x)"Li"_2(1/(1+x))` `- 2/3 ln(1+x) + 2 zeta(3)`.

对正整数 `a ge 1, b ge 2`, Euler 和定义为 `s_n(a, b) = sum_(n ge 1) (H_n^a)/(n+1)^b`,
`sigma_n(a, b) = sum_(n ge 1) H_n^((a))/(n+1)^b`, 其中 `H_n^((a)) = sum_(k=1)^n 1/k^a` 是广义调和数.

`sum_(n ge 1) H_n^((a))/n^b = sigma_h(a, b) + zeta(a + b)`,
`sum_(n ge 1) H_n^2/n^b = s_h(2, n) + 2s_h(1, n+1) + zeta(n+2)`.

>>> sum(1/n**3 for n in range(1, 10000))
1.202056898159098
>>> sum(sum(1/(m*n*(m+n)) for m in range(1, 100)) for n in range(1, 100))
2.293828375511741

上式记为 (1) = (2) = (3) = (4).
1. 令 `t = m + n` 得 `(2) = sum_(t ge 2) 1/t^2 sum_(n=1)^(t-1) (1/n + 1/(t-n))` `= sum_(t ge 2) sum_(n=1)^(t-1) 1/(t n (t-n))` `= (3)`.
2. 利用积分 `int_0^oo "e"^(-lambda x) dx = 1/lambda` 得 `(3) = sum_(m, n ge 1) 1/(m n) int_0^oo "e"^(-(m+n)x) dx` `= int_0^oo (sum_(n ge 1) "e"^(-n x)/n)^2 dx` `= int_0^oo ln^2 (1-"e"^-x) dx` `= -int_(-oo)^0 t^2 "d"ln (1-"e"^t)` `= int_(-oo)^0 t^2 "e"^t/(1-"e"^t) dt` `= int_0^oo t^2 "e"^-t/(1-"e"^-t) dt` `= zeta(3) Gamma(3) = (4)`.
3. 最后 `(1) - zeta(3)` `= sum_(n ge 1) (H_n - 1//n)/n^2` `= sum_(n ge 2) H_(n-1)/n^2 = (2)//2`. 于是 (1) = (2).

Au-Yeung 级数 `sum_(n ge 1) H_n^2/n^2 = 17/4 zeta(4) = 17/360 pi^4`.

多重指数积分

设 `n` 为非负整数, (Schlömilch's) `n` 阶指数积分定义为 `E_n(x) = int_1^oo "e"^(-x t)/t^n dt`, `quad x gt 0`. 特别 `E_0(x) = "e"^-x/x`, `E_n(x) = x^(n-1) int_x^oo "e"^-u/u "d"u` (`n ge 1`).

分部积分可证, `n E_(n+1)(z) = "e"^-z - z E_n(z)`.

设 `x gt 0`, `n ge 1`, 则 `1/(x+n) lt "e"^x E_n(x) lt 1/(x+n-1)`. 此外 `n = 0` 时左边的等号成立.

对任意 `t gt 1` 有 `t-1 gt ln t`, 因此 `-x(t-1) lt -x ln t`, 取指数, `"e"^(x(1-t)) lt t^-x`, 积分 `"e"^x E_n(x) = int_1^oo "e"^(x(1-t))/t^n dt` `lt int_1^oo t^(-n-x) dt` `= 1/(n+x-1)`. 利用已证得的 `E_(n+1)(x) lt ("e"^-x)/(x+n)`, `n ge 1`, 有 `E_n(x) = ("e"^-x - n E_(n+1)(x))/x` `gt "e"^-x/x (1 - n/(x+n))` `= "e"^-x/(x+n)`, `quad n ge 1`.

指数积分与对数积分

1. 指数积分 `"Ei"(x) = -E_1(-x) = int_(-oo)^x "e"^t/t dt`. `x gt 0` 时, 取 Cauchy 主值 `lim_(epsi to 0+) int_(-oo)^-epsi + int_epsi^x`. 在复平面上, `"Ei"(z)` 有唯一极点 `z = 0`.
2. 对数积分 `"li"(x) = int_0^x dt/(ln t)`. `x gt 1` 时, 取 Cauchy 主值 `lim_(epsi to 0^+) int_0^(1-epsi) + int_(1+epsi)^x`. 在复平面上, `"li"(z)` 有唯一极点 `z = 1`.
3. 正弦积分 `"Si"(x) = int_0^x (sin t)/t dt`.
4. 余弦积分 `"Ci"(x) = gamma + ln x + int_0^x (cos t - 1)/t dt`.

1. `"li"(x) = "Ei"(ln x)`;
2. `"Ei"("i"x) = "Ci"(x) + "i"(pi/2 + "Si"(x))`;

`"Ei"(z) = gamma + ln z + sum_(k ge 1) z^k/(k * k!)`.

`"Ei"(z) = int_(-oo)^x "e"^t/t dt` `= int_(-oo)^x sum_(n ge 0) t^(n-1)/(n!) dt` `overset ? = sum_(n ge 0) int_(-oo)^x t^(n-1)/(n!) dt` `= ln x - ln (-oo) + sum_(n ge 1) x^n(n*n!)` ??

素数定理 记 `pi(x)` 为不超过 `x` 的素数个数, 则 `x to oo` 时 `pi(x) ~ "li"(x) ~ x/(ln x)`.