复导数

本节总假定 `D sube CC` 为一域, `f: D to CC` 为一复变函数, `z, z_0 in D`, `Delta z = z - z_0`.

复导数的定义

如果极限 `lim_(z to z_0) (f(z) - f(z_0))/(z-z_0)` `= lim_(Delta z to 0) (f(z_0+Delta z)-f(z_0))/(Delta z)` 存在, 则称 `f` 在 `z_0` 处(复) 可微, 该极限称为 `f` 在 `z_0` 处的导数或微商, 记为 `f'(z_0)`.

1. 若 `f` 在 `D` 中处处可微, 则称 `f` 是 `D` 上的全纯函数 (holomorphic function)或解析函数. `D` 上全纯函数的全体记为 `H(D)`.
2. 如果 `f` 在 `D` 上能表示成两个全纯函数的商, 则称 `f` 为 `D` 上的亚纯函数 (meromorphic function)或半纯函数, 详见下一章.
3. 如果 `f` 在 `z_0` 的某个邻域中全纯, 则称 `f` 在 `z_0` 处全纯.
4. 如果 `f` 在 `CC` 上全纯, 则称 `f` 为整函数 (entire function).

全纯函数又叫解析函数, 是因为它能在定义域内任一点附近展开成 Taylor 级数, 详见下一章.

若 `f` 在 `z_0` 处可微, 由定义有 `f(z_0+Delta z)-f(z_0) = f'(z_0) Delta z + o(|Delta z|)`. 上式也可以作为可微的定义.

由于复导数的定义形式上和实函数的导数定义一致, 许多数学分析中的经典结论在复变函数中也同样成立, 如导数的四则运算, 复合函数的求导法则等. 例如在 两边令 `Delta z to 0` 就得到: 可微必连续: 若 `f` 在 `z_0` 处可微, 则它在 `z_0` 处连续. 其余类似结论不再赘述.

`f(z) = bar z` 在 `CC` 中处处连续但处处不可微.

`AA z in CC`, `|f(z+Delta z) - f(z)|` `= |bar(z+Delta z) - bar z|` `= |bar(Delta z)|` `= O(|Delta z|)`. 因此 `f` 在 `CC` 中处处连续; 另一方面 `(f(z+Delta z)-f(z))/(Delta z)` `= (bar(Delta z))/(Delta z)`. 当 `Delta z` 取实数时, 上式等于 `1`; 当 `Delta z` 取纯虚数时, 上式等于 `-1`. 从而 `Delta z to 0` 时, 上式的极限不存在, 即 `f` 在 `CC` 中处处不可微.

在实函数中找到一个处处连续而处处不可微的例子并不容易, 但在复变函数中这样的例子很多. 事实上, 复可微比数学分析中可导的要求强得多, 下文会看到, 由此得到的结论也强得多.

复导数的几何意义 熟知一元实函数导数的几何意义是切线的斜率, 现在讨论复导数 `f'(z_0)` 的几何意义.
1. `|f'(z_0)|` 的几何意义. 在 `z_0` 的邻域中取一点 `z`, 记 `omega = f(z)`, `omega_0 = f(z_0)`. 则 `f'(z_0) = lim_(z to z_0) (omega - omega_0)/(z - z_0)`, 上式取模得到 `|f'(z_0)| = lim_(z to z_0) |omega - omega_0|/|z - z_0|`, 即, 在 `z_0` 附近, 像点之间的距离与原像之间的距离之比只和 `|f'(z_0)|` 有关, 称为 `f` 在 `z_0` 处的伸缩率.
2. `"Arg"f'(z_0)` 的几何意义. 在 `z_0` 的邻域中取一条过 `z_0` 的正则曲线 `gamma(t)`, 其中 `gamma(0) = z_0` (正则曲线 `gamma: [a, b] to CC` 是指连续可微, 且导数处处不为零的函数). 则 `gamma'(0) = lim_(t to 0) (gamma(t) - gamma(0))/t` 表示曲线在 `z_0` 处切线的方向.
   现在函数 `f` 将 `gamma` 映为 `f @ gamma`, 由复合函数求导法则, `(f @ gamma)'(0) = f'(z_0) gamma'(0)`, 设 `f'(z_0) != 0`, 两边取辐角得 `"Arg"(f @ gamma)'(0) = "Arg"f'(z_0) + "Arg"gamma'(0)`. 即, 曲线 `f @ gamma` 与原曲线 `gamma` 在 `z_0` 处的切线夹角等于 `"Arg"f'(z_0)`. 这个夹角与曲线 `gamma` 的选取无关, 换言之, 任取过 `z_0` 的两条正则曲线 `gamma_1, gamma_2`, 只要 `f'(z_0) != 0`, 在 `f` 的作用下, 两条曲线之间的夹角就保持不变: `"Arg"gamma_1'(0) - "Arg"gamma_2'(0) = "Arg"(f @ gamma_1)'(0) - "Arg"(f @ gamma_2)'(0)`. 即 `f` 在导数不为零的点处是保角的. 导数处处不为零的全纯函数确定了复平面上的保角变换.

Cauchy-Riemann 方程

将复变函数视为两个实函数的线性组合, 即 `z = x + "i"y`, `z_0 = x_0 + "i"y_0`, `f(z) = u(x,y) + "i"v(x,y)`. 如果二元实函数 `u, v` 都在 `(x_0, y_0)` 可微, 则称 `f` 在 `z_0` 处实可微.

`f` 在 `z_0` 处实可微的充要条件是 `f(z_0+Delta z)-f(z_0)` `= (del f)/(del z)(z_0) Delta z + (del f)/(del bar z)(z_0) bar(Delta z) + o(|Delta z|)`, 其中 `del/(del z) = 1/2(del/(del x)-"i"del/(del y))`, `del/(del bar z) = 1/2(del/(del x)+"i"del/(del y))`, 两个微分算子互为共轭.

记 `Delta x = x-x_0`, `Delta y = y-y_0`, 我们有 `Delta z = Delta x + "i"Delta y`, `quad |Delta z| = sqrt(Delta x^2 + Delta y^2)`,
`Delta x = (Delta z+bar(Delta z))/2`, `quad Delta y = (Delta z-bar(Delta z))/(2"i")`. 由实可微的定义, `u(x,y)-u(x_0,y_0)` `= (del u)/(del x) (x_0,y_0) Delta x + (del u)/(del y) (x_0,y_0) Delta y + o(|Delta z|)`,
`v(x,y)-v(x_0,y_0)` `= (del v)/(del x) (x_0,y_0) Delta x + (del v)/(del y) (x_0,y_0) Delta y + o(|Delta z|)`. 第二式乘以 `"i"`, 再与第一式相加得 `{:,f(z)-f(z_0); =, ((del u)/(del x)(x_0,y_0)+"i"(del v)/(del x)(x_0,y_0))Delta x + ((del u)/(del y)(x_0,y_0)+"i"(del v)/(del y)(x_0,y_0))Delta y + o(|Delta z|); =, (del f)/(del x)(x_0,y_0)Delta x + (del f)/(del y)(x_0,y_0)Delta y + o(|Delta z|); =, 1/2 (del f)/(del x)(x_0,y_0)(Delta z+bar(Delta z)) - "i"/2 (del f)/(del y)(x_0,y_0)(Delta z-bar(Delta z)) + o(|Delta z|); =, 1/2(del/(del x)-"i"del/(del y)) f(x_0,y_0) Delta z + 1/2(del/(del x)+"i"del/(del y)) f(x_0,y_0) bar(Delta z) + o(|Delta z|).:}` 即得到最终结论.

算子 `del/(del z)` 和 `del/(del bar z)` 可以这样记忆: 由 `f(x,y) = f((z+bar z)/2, -"i"(z-bar z)/2)` 分别对独立变量 `z, bar z` 求偏导数, 有 `(del f)/(del z) = 1/2((del f)/(del x)-"i"(del f)/(del y))`, `quad (del f)/(del bar z) = 1/2((del f)/(del x)+"i"(del f)/(del y))`. 上述命题告诉我们, 在 `f` 实可微的条件下, 可以将 `z, bar z` 视为独立变量, 进行微分运算.

记 `f = u + "i"v`, 有
1. `(del f)/(del z) = 1/2((del u)/(del x)+(del v)/(del y)) + "i"/2((del v)/(del x)-(del u)/(del y))`;
2. `(del f)/(del bar z) = 1/2((del u)/(del x)-(del v)/(del y)) + "i"/2((del v)/(del x)+(del u)/(del y))`;
3. `(del bar f)/(del z) = bar((del f)/(del bar z))`;
4. `(del bar f)/(del bar z) = bar((del f)/(del z))`.
其中 3, 4 形式上与商的共轭运算相同.

以 2. 为例: `(del f)/(del bar z)` `= (del u)/(del bar z) + "i"(del v)/(del bar z)` `= 1/2 ((del u)/(del x) + "i"(del u)/(del y)) + "i"/2 ((del v)/(del x) + "i"(del v)/(del y))` `= 1/2 ((del u)/(del x) - (del v)/(del y)) + "i"/2 ((del u)/(del y) + (del v)/(del x))`.

通过比较 和 , 得到:

1. 复可微的充要条件 `f = u + "i"v` 在 `z_0` 处可微当且仅当它在 `z_0` 处实可微, 且满足 Cauchy-Riemann 方程 `(del f)/(del bar z)(z_0) = 0`; 由, 此方程等价于 `{ (del u)/(del x) = (del v)/(del y); (del u)/(del y) = -(del v)/(del x) :}`
2. 计算复导数 如果 `f` 在 `z_0` 处可微, 那么 `f'(z_0) = (del f)/(del z)(z_0)` `= del/(del x) (u + "i" v)(x_0, y_0)`.

1. `"e"^z` 是整函数, 且 `("e"^z)' = "e"^z`;
2. `sin z`, `cos z` 是整函数的线性组合, 因此也是整函数, 且 `(sin z)' = cos z`, `quad (cos z)' = -sin z`.

只证 1. 任取 `z = x+"i"y in CC`, 则 `"e"^z = "e"^x(cos y + "i"sin y)`. 它的实部和虚部 `u(x,y) = "e"^x cos y`, `quad v(x,y) = "e"^x sin y` 都是可微函数, 且满足 Cauchy-Riemann 方程: `(del u)/(del x) = "e"^x cos y = (del v)/(del y)`,
`(del u)/(del y) = -"e"^x sin y = -(del v)/(del x)`. 所以 `"e"^z` 是 `CC` 上的全纯函数, 且 `("e"^z)'` `= (del u)/(del x) + "i"(del v)/(del x)` `= "e"^x(cos y + "i"sin y)` `= "e"^z`.

若 `f` 在域 `D` 上满足 `f'(z) -= 0`, 则 `f` 在 `D` 上是常数.

设 `f = u+"i"v`, 由知 `u, v` 作为二元实函数, 其偏导数 `u_x, u_y, v_x, v_y` 都等于零. 由数学分析的结论知道, `u, v` 均为常数, 所以 `f` 也是常数.

调和函数

设实值函数 `u in C^2(D)`, 定义 Laplace 算子 `laplace` 如下: `laplace u = (del^2 u)/(del x^2) + (del^2 u)/(del y^2)`. 若 Laplace 方程 `laplace u = 0` 在 `D` 上恒成立, 则称 `u` 是 `D` 上的调和函数.

`u in C^2(D)` 是指 `u` 在 `D` 上二阶连续可微, 即 `u` 在 `D` 上存在直到二阶的各种偏导数, 且各个偏导数连续. 在偏导数连续时, 混合偏导数 `u_(x y) = u_(y x)`, 这带来很大的便利.

用算子的运算可以验证: `laplace = 4 del^2/(del z del bar z)`.

若调和函数 `u, v` 满足 Cauchy-Riemann 方程 , 则称 `v` 为 `u` 的共轭调和函数. 注意此时不能说 `u` 为 `v` 的共轭调和函数.

若实函数 `u, v in C^2(D)` 满足 Cauchy-Riemann 方程, 无需验证 Laplace 方程成立, 它们就是一对共轭调和函数.

`u_(x x) = v_(y x) = v_(x y) = -u_(y y)`,
`v_(x x) = -u_(y x) = -u_(x y) = -v_(y y)`.

全纯函数与共轭调和函数的联系
1. 全纯函数的实部与虚部构成一对共轭调和函数.
2. 反之, 设 `u` 是单连通域 `S` 上的调和函数, 则存在 `u` 的共轭调和函数 `v`, 使得 `u + "i"v` 在 `S` 上全纯.

1. 设 `f = u + "i"v in H(D)`, 由 Cauchy-Riemann 方程, `(del f)/(del bar z) = 0`, `quad (del bar f)/(del z) = bar ((del f)/(del bar z)) = 0`. 继续求导得 `(del^2 f)/(del z del bar z) = (del^2 bar f)/(del z del bar z) = 0`. 这就是说 `laplace f = laplace bar f = 0`. 而 `u = (f+bar f)/2`, `v = (f-bar f)/(2"i")`, 故 `u, v in C^2(D)`, 且 `laplace u = laplace v = 0`.
2. 令 `P = -(del u)/(del y)`, `Q = (del u)/(del x)`, 由 `u` 是调和函数知 `(del Q)/(del x)` `= (del^2 u)/(del x^2)` `= -(del^2 u)/(del y^2)` `= (del P)/(del y)`. 所以 `P dx + Q dy` 是全微分, 在单连通域 `S` 上的积分 `int_((x_0,y_0))^((x,y)) P dx + Q dy` 与路径无关. 记上述积分为 `v(x,y)`, 容易验证 `u, v` 满足 Cauchy-Riemann 方程, 又显然 `u, v` 都是可微函数, 所以 `u+"i"v` 是全纯函数.

复积分

复积分的定义

设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是复平面上一条可求长曲线 (??), `f` 在 `gamma` 上有定义, 沿 `gamma` 正方向任取分点 `gamma(a) = z_0, z_1, cdots, z_n = gamma(b)` 再于每一弧段上任取介点 `zeta_k in arc(z_(k-1) z_k)`, `quad k = 1, cdots, n`. 记 `lambda` 是各弧段长度的最大值, `Delta z = z_k - z_(k-1)`, 如果 Riemann 和的极限 `lim_(lambda to 0) sum_(k=1)^n f(zeta_k) Delta z_k` 总是存在, 且与分点和介点的选取方式无关, 就称 `f` 在 `gamma` 上可积, 此极限称为 `f` 沿曲线 `gamma` 的积分, 记为 `int_gamma f(z) dz`. 若 `gamma` 是闭曲线, 上述积分也记为 `oint_gamma f(z) dz`.

由定义得到
1. `int_(gamma^-) f(z) dz = -int_gamma f(z) dz`, `gamma^-` 表示与 `gamma` 方向相反的曲线;
2. `int_gamma (k f(z) + l g(z)) dz = k int_gamma f(z) dz + l int_gamma g(z) dz`, `k, l in CC`;
3. `int_gamma f(z) dz = int_(gamma_1) f(z) dz + int_(gamma_2) f(z) dz`, `gamma` 是由 `gamma_1`, `gamma_2` 拼接成的曲线.

计算复积分
1. 若 `f = u + "i"v` 在 `gamma` 上连续, 则 `f` 在 `gamma` 上可积, 且 `int_gamma f(z) dz` `= int_gamma u dx - v dy + "i"int_gamma v dx + u dy`. 形式化记忆: `f(z) dz` `= (u+"i"v)(dx+"i"dy)` `= u dx - v dy + "i"(v dx + u dy)`.
2. 进一步若 `gamma` 分段光滑, 且 `f` 在 `gamma` 上连续可微 (即, 具有连续的导数), 则可以通过参数方程计算积分: `int_gamma f(z) dz = int_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt`.

1. 记 `z_k = x_k + "i"y_k`, `zeta_k = xi_k + "i"eta_k`, `u(xi_k,eta_k) = u_k`, `v(xi_k,eta_k) = v_k`, `Delta x_k = x_k-x_(k-1)`, `Delta y_k = y_k-y_(k-1)`, 从而 `sum_(k=1)^n f(zeta_k) Delta z_k` `= sum_(k=1)^n (u_k+"i"v_k)(Delta x_k+"i"Delta y_k)`
   `= sum_(k=1)^n (u_k Delta x_k-v_k Delta y_k)` `+ "i"sum_(k=1)^n(v_k Delta x_k+u_k Delta y_k)`. 由 `u, v` 在 `gamma` 上连续知, 上述和式当 `lambda to 0` 时趋于曲线积分 `int_gamma u dx - v dy + "i"int_gamma v dx + u dy`.
2. 记 `gamma(t) = x(t) + "i"y(t)`, `dot x = x'(t)`, `dot y = y'(t)`. 利用积分换元有 `int_gamma u dx - v dy` `= int_a^b (u dot x - v dot y) dt`,
   `int_gamma v dx + u dy` `= int_a^b (v dot x + u dot y) dt`. 第二式乘以 `"i"`, 再与第一式相加得 `int_gamma f(z) dz` `= int_a^b (u+"i"v)(dot x+"i"dot y) dt` `= int_a^b f(gamma(t)) gamma'(t) dt`.

长 (cháng) 大不等式 以 `L` 记 `gamma` 的长度, `M` 记 `|f(z)|` 在 `gamma` 的上界, 则 `|int_gamma f(z) dz| le L M`. 即积分的模可以用 "长度" `L` 和 "大小" `M` 来估计.

`|sum_(k=1)^n f(zeta_k) Delta z_k|` `le sum_(k=1)^n |f(zeta_k)| |Delta z_k|` `le M sum_(k=1)^n |Delta z_k|` `le M L`, 再令 `lambda to 0` 取极限, 即获证.

设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是可求长曲线, `alpha = gamma(a)`, `beta = gamma(b)`, 则
1. `int_gamma dz = beta - alpha`;
2. `int_gamma z dz = 1/2(beta^2-alpha^2)`.

设 `a in CC`, `gamma` 是以 `a` 为心, `r` 为半径的圆周, `n in ZZ`, 则 `oint_gamma (z-a)^n dz = { 2pi"i", if n = -1; 0, otherwise :}` 这个答案与半径 `r` 无关. 今后, `2pi"i"` 这个常数将在复积分的各种公式中频繁出现.

`gamma` 的参数方程为 `z = a + r"e"^("i"t)`, `t in [0, 2pi]`. 原式等于 `int_0^(2pi) (r"e"^("i"t))^n "i" r"e"^("i"t) dt` `= "i" int_0^(2pi) (r"e"^("i"t))^(n+1) dt`. 上式当 `n = -1` 时等于 `2pi"i"`; `n != -1` 时, 利用 Euler 公式化为三角函数在一个周期上的积分, 结果是零.

Cauchy 积分定理

若 `f in C(D)`, 且对 `D` 中任意可求长闭曲线 `gamma` 都有 `oint_gamma f(z) dz = 0`, 则称 `f` 在 `D` 上的积分与路径无关. 这是因为, 设 `gamma_1`, `gamma_2` 是连接 `z_0`, `z_1` 的两条可求长曲线, 则 `int_(gamma_1) f(z) dz` `= int_(gamma_1) f(z) dz + int_(gamma_2 uu gamma_1^(-)) f(z) dz` `= int_(gamma_2) f(z) dz`.

Cauchy 积分定理 (1825) 设 `S sube CC` 是单连通域, `f in H(S) nn C^1(S)`, 则 `f` 在 `S` 上的积分与路径无关.

设 `gamma` 是 `S` 中的可求长闭曲线, 其围成的域记为 `G`. 因为 `f in C^1(S)`, 可用 Green 公式; 又 `f in H(S)`, Cauchy-Riemann 方程成立: `oint_gamma u dx - v dy` `= -iint_G ((del u)/(del y) + (del v)/(del x)) dx dy = 0`,
`oint_gamma v dx + u dy` `= iint_G ((del u)/(del x) - (del v)/(del y)) dx dy = 0`. 第二式乘以 `"i"`, 再加上第一式就得到 `oint_gamma f(z) dz = 0`.

Cauchy 积分定理的变式:
1. (Goursat, 1900) 原版的条件 `f in C^1(S)` 可以去掉.
2. `S sube CC` 是单连通域, `f in H(S) nn C(bar S)`, 则 `f` 在 `gamma = del S` 上的积分等于零.
3. 设 `gamma_0, gamma_1, cdots, gamma_n` 是 `n+1` 条可求长简单闭曲线, 后 `n` 条曲线 `gamma_1, cdots, gamma_n` 都在 `gamma_0` 的内部, 且每一条都在其它 `n-1` 条的外部. `D` 是由这 `n+1` 条曲线围成的, 具有 `n` 个 "洞" 的多连通域, `f in H(D) nn C(bar D)`, 则 `f` 在 `gamma_0` 上的积分等于其在 `uuu_(k=1)^n gamma_k` 上的积分.

Cauchy 积分公式

Cauchy 积分公式是全纯函数的积分表示, 由此可以证明全纯函数有任意阶导数等重要性质, 说它是单复变函数理论中最重要, 最基本的公式也不为过.

连续函数的积分可用折线近似 设 `f in C(D)`, `gamma` 是 `D` 中的可求长曲线. 对任意 `epsi gt 0`, 存在 `D` 中的折线 `P`, 满足:
1. `P` 的每个顶点都在 `gamma` 上, 特别, `P` 和 `gamma` 有相同的起点和终点;
2. `|int_gamma f(z) dz - int_P f(z) dz| lt epsi`.

Cauchy 积分公式 设 `gamma` 是可求长简单闭曲线, `S` 是 `gamma` 围成的单连通域, `f in H(S) nn C(bar S)`, 则 `f(z) = 1/(2pi"i") oint_gamma (f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta`, `quad AA z in S`. 注意到 `f` 在曲线 `gamma` 上的值已经完全决定了它在 `S` 内的取值.

任取 `z in S`, 我们将积分路径从 `gamma` 转化到圆周上: 取 `B(z, r) sube S`, 并记圆周 `gamma_r = del B(z, r)`, `S'` 为 `gamma` 和 `gamma_r` 围成的二连通域. 于是, 函数 `f(zeta)/(zeta-z)` 在 `S'` 中全纯, 在 `bar S'` 上连续. 由 Cauchy 积分定理, `oint_gamma (f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta = oint_(gamma_r) (f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta`. 另一方面由, `f(z) = 1/(2pi"i") oint_(gamma_r) (f(z))/(zeta-z) "d"zeta`. `AA epsi gt 0`, 由 `f` 在 `z` 点连续, 存在 `delta gt 0`, 当 `|zeta - z| lt delta` 时有 `|f(zeta)-f(z)| lt epsi`. 于是只需让 `r lt delta`, 有 `|f(z) - 1/(2pi"i") oint_gamma (f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta|` `= 1/|2pi"i"| |oint_(gamma_r) (f(z)-f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta|` `le 1/(2pi) * 2pi r * epsi/r = epsi`. 由 `epsi` 的任意性即得证.

类似于 Cauchy 积分定理的变式 3, 可以将这一结论推广到多连通域的情形.

令 `f(z) -= 1`, 由 Cauchy 积分公式 `1/(2pi"i") oint_gamma ("d"zeta)/(zeta-z) = 1`. 这是 的自然推广. 进一步, 若 `gamma` 不是简单曲线, 设它绕 `z` 点的圈数为 `n`, 则上式积分结果也是 `n`, 称为 `gamma` 绕 `z` 点的环绕数.

Cauchy 积分的几何级数展开 设 `eta = (z-a)/(zeta-a)`, `|eta| le r lt 1`, 则 Cauchy 积分的分母可以展开为 `1/(zeta - z)` `= 1/((zeta - a) - (z-a))` `= 1/(zeta-a) 1/(1-eta)` `= 1/(zeta-a) sum_(k ge 0) eta^k`.

`n` 阶导数公式 设 `gamma` 是可求长曲线 (不一定是闭曲线), `f in C(gamma)`, 则 Cauchy 型积分 `F(z) = 1/(2pi"i") int_gamma (f(zeta))/(zeta-z) "d"zeta`, `quad z in CC\\gamma` 可在积分号下求任意阶导数: `F^((n))(z) = (n!)/(2pi"i") int_gamma (f(zeta))/(zeta-z)^(n+1) "d"zeta`.

1. 先证明 `n = 1` 的情形. 任取 `a in CC\\gamma`, 下证 `F'(a) = 1/(2pi"i") int_gamma f(zeta)/(zeta-a)^2 "d"zeta`. 记 `rho = d(a, gamma) = inf_(zeta in gamma) |zeta-a| gt 0`, 对任意 `zeta in gamma`, `z in B(a, rho/2)`, 记 `eta = (z-a)/(zeta-a)`, 有 `|eta| = |(z-a)/(zeta-a)| le 1/2`. 于是 `|sum_(k ge 2) eta^k|` `le |(z-a)/(zeta-a)|^2 sum_(k ge 0) |eta|^k` `le |z-a|^2/rho^2 sum_(k ge 0) 2^-k` `= O(|z-a|^2)`. 所以 `1/(zeta-z)` `= 1/(zeta-a) sum_(k ge 0) eta^k` `= 1/(zeta-a) (1 + (z-a)/(zeta-a) + O(|z-a|^2))`. 代入导数定义式, `(F(z) - F(a))/(z-a)` `= 1/(2pi"i") 1/(z-a) int_gamma f(zeta)(1/(zeta-z)-1/(zeta-a)) "d"zeta` `= 1/(2pi"i") 1/(z-a) int_gamma f(zeta)/(zeta-a) ((z-a)/(zeta-a) + O(|z-a|^2)) "d"zeta`, 于是 `|(F(z) - F(a))/(z-a) - 1/(2pi"i") int_gamma (f(zeta))/(zeta-a)^2 "d"zeta|` `= O(|z-a|) |1/(2pi"i")int_gamma (f(zeta))/(zeta-a) "d"zeta|` `= O(|z-a|) |F(a)|`. 上式令 `z to a` 即得结论.
2. 假设结论对正整数 `n-1` 已经成立, 现考虑 `n` 的情形. 式两边取 `n` 次方得 `1/(zeta-z)^n = 1/(zeta-a)^n (1 + n(z-a)/(zeta-a) + O(|z-a|^2))`, 代入导数定义式, `(F^((n-1))(z) - F^((n-1))(a))/(z-a)` `= ((n-1)!)/(2pi"i") 1/(z-a) int_gamma f(zeta) (1/(zeta-z)^n - 1/(zeta-a)^n) "d"zeta` `= ((n-1)!)/(2pi"i") 1/(z-a) int_gamma (f(zeta))/(zeta-a)^n(n(z-a)/(zeta-a) + O(|z-a|^2))"d"zeta`, 于是 `|(F^((n-1))(z)-F^((n-1))(a))/(z-a) - (n!)/(2pi"i") int_gamma (f(zeta))/(zeta-a)^(n+1) "d"zeta|` `= O(|z-a|) |((n-1)!)/(2pi"i") int_gamma f(zeta)/(zeta-a)^n "d"zeta|` `= O(|z-a|) |F^((n-1))(a)|`. 上式令 `z to a` 可知结论对 `n` 成立.

可以用 `F^((s))(z) = (Gamma(s+1))/(2pi"i") int_gamma (f(zeta))/(zeta-z)^(s+1) "d"zeta`, `quad s in CC\\{-1, -2, -3, cdots}` 来定义一个复变函数的 `s` 阶导数, 从而将导数的阶的概念推广到复数.

全纯函数在定义域 `D` 内有任意阶导数, 它的各阶导数也是全纯函数. 此外, 若把 `f` 看作两个实函数的线性组合, 则 `f in C^oo(D)`, 可见全纯是多么强的条件!

设 `f in H(D)`. 对任意 `z in D`, 取充分小的邻域 `G = B(z, delta)` 使得 `bar G sube D`, 则 `f in H(G) nn C(bar G)`. 由 Cauchy 积分公式, `f` 在 `G` 上可以写成 Cauchy 型积分, 因此在 `G` 上有任意阶导数. 特别地, `f` 在 `z` 处有任意阶导数.

Cauchy 不等式
1. 设 `f` 在开圆盘 `B(a, r)` 上全纯且有界, 则 `f` 在 `a` 点的各阶导数的模有上界: `|f^((n))(a)| le (n!)/r^n underset(z in B(a,r))"sup"|f(z)|`, `quad n in ZZ^+`.
2. 设 `f in H(D)`, `K sube G sube D`, 其中 `G` 是开集, `K, bar G` 是紧集. 则 `f` 在 `K` 上的导数模可以被 `f` 在 `K` 的邻域 `G` 上的值控制: `underset(z in K)"sup" |f^((n))(z)| le (n!)/r^n underset(z in G)"sup" |f(z)|`, 其中 `r = d(K, del G) gt 0`.

1. 记 `M = underset(z in B(a, r))"sup"|f(z)|`, 在以 `a` 为心, `0 lt rho lt r` 为半径的开圆盘上应用 Cauchy 积分公式, `|f^((n))(a)|` `= |(n!)/(2pi"i") int_(gamma_rho) (f(zeta))/(zeta-a)^(n+1) "d"zeta|` `le (n!)/(2pi) * 2pi rho * M/rho^(n+1)` `= n! M/rho^n`, `quad n in ZZ^+`. 上式令 `rho to r` 即得结论.
2. 对任意 `a in K`, 在圆盘 `B(a, r) sube G` 上应用 Cauchy 不等式, `|f^((n))(a)| le (n!)/r^n underset(z in B(a, r))"sup"|f(z)|` `le (n!)/r^n underset(z in G)"sup"|f(z)|`.

Liouville 定理 有界整函数是常数.

设在 `CC` 上有 `|f(z)| le M`. 以任意 `a in CC` 为心, 任意大的半径 `r` 作圆盘, 由 Cauchy 不等式都有 `|f'(a)| le M/r`, 令 `r to oo` 知 `f'(a) = 0`. 由 `a` 的任意性知 `f` 的导数处处为零, 于是 `f` 为一常数.

代数学基本定理 任意 `n` 次复系数多项式 `P(z) = a_n z^n + a_(n-1) z^(n-1) + cdots + a_1 z + a_0`, `quad a_n != 0`, `n ge 1` 在 `CC` 中必有零点.

若 `P(z)` 在 `CC` 中无零点, 则 `1/(P(z))` 是整函数. 而由 `lim_(z to oo) P(z) = oo` 知 `1/(P(z))` 有界. 由 Liouville 定理, `1/(P(z))` 是常数, 矛盾.

原函数

设 `f` 是域 `D` 上的函数, 若存在 `F in H(D)`, 使得 `F'(z) = f(z)`, `quad AA z in D`, 则称 `F` 是 `f` 的一个原函数.

原函数的存在性 设 `f in C(D)`, 且在 `D` 上的积分与路径无关, 则任取 `z_0 in D`, 由变上限积分确定的函数 `F(z) = int_(z_0)^z f(zeta) "d"zeta` 就是 `f` 的一个原函数. 由 Cauchy 积分定理知道, 单连通域上的全纯函数都有原函数.

由 `f` 在 `D` 上的积分与路径无关知 `F` 是单值函数. 任取 `a in D`, 下证 `F'(a) = f(a)`. `AA epsi gt 0`, 因为 `f` 在 `a` 点连续, 存在 `delta gt 0`, 当 `|zeta-a| lt delta` 时, 有 `|f(zeta) - f(a)| lt epsi`. 取 `z in B(a, delta)`, 在 `a` 到 `z` 的线段上积分, 有 `|(F(z) - F(a))/(z-a) - f(a)|` `= |1/(z-a) int_a^z f(zeta) "d"zeta - 1/(z-a) int_a^z f(a) "d"zeta|` `= 1/|z-a| |int_a^z (f(zeta) - f(a)) "d"zeta|` `le epsi`. 于是 `F'(a) = f(a)`.

原函数的唯一性 由 立即得知, `f` 的原函数若存在则必有无穷多个, 且不同的原函数之间相差一个常数.
特别当 `f` 是单连通域上的全纯函数时, 有 Newton-Leibniz 公式 `int_a^b f(zeta) "d"zeta = F(b) - F(a)`, 其中 `F` 是 `f` 的任一原函数.

Morera 定理 (Cauchy 积分定理的逆定理) 设 `f in C(D)`, 且 `f` 在 `D` 上的积分与路径无关, 则 `f in H(D)`.

由条件知道 `f` 在 `D` 上存在原函数 `F`. 由定义 `F in H(D)`, 于是 `f` 作为 `F` 的导数也是全纯函数.