平面与空间正则曲线

正则曲线与弧长参数

1. 曲线 可以用参数 `t` 的一元向量函数 `bm r(t)` 来刻画. 它可以看作一个运动粒子在时刻 `t` 的位置矢量 (简称位矢).
2. `bm v = ("d"bm r)/dt` 是曲线的切向量 (或速度). `v = |bm v|` 是切向量的长度 (或速率). 计算速度时, 只需将 `bm r(t)` 的每个分量都对 `t` 求导.
3. 如果曲线无穷可微, 且速率处处大于零, 则称它是正则曲线. 今后我们默认曲线都是正则的.

正则曲线在 `(0, T)` 上的弧长为 `s = int_0^T "d"s = int_0^T |"d"bm r| = int_0^T v dt`. 由于 `v gt 0`, 上式确定了时间 `T` 关于 `s` 的隐函数. 故可令曲线以 `s` 为参数, 有 `("d"bm r)/("d"s)` `= dt/("d"s) ("d"bm r)/dt` `= (bm v)/v`. 即曲线在弧长参数下, 速率恒为 1. 这一性质对今后的讨论很有帮助.

约定:
1. 用未加粗的字母表示向量的模, 如 `v = |bm v|`;
2. 用字母右上角的撇表示对 `s` 求导, 如 `bm r' = ("d"bm r)/("d"s)`;
3. 用字母上的点表示对 `t` 求导, 如 `dot bm r = ("d"bm r)/dt`;
4. 用帽子表示单位向量, 如 `hat bm v = (bm v)/v`.
对向量函数 `bm w(t)`, 一个简单的关系是 `dot bm w = v bm w'`.

极坐标下的矢量分析 我们在 `E^3` 中求 `dot r` 和 `dot hat bm r`. 它们分别代表 `bm r` 在长度和方向上的变化.
1. `dot r = (:bm r, dot bm r:)//r`;
2. `dot hat bm r = (bm r ^^ dot bm r) ^^ bm r // r^3`.

1. 因为 `(:bm r, dot bm r:)` `= 1/2 "d"/dt (:bm r, bm r:)` `= "d"/dt (r^2/2)` `= r dot r`, 所以 `dot r = (:bm r, dot bm r:)//r`.
2. 记 `bm theta = dot hat bm r`, 则 `bm theta` `= "d"/dt(bm r/r)` `= (r dot bm r - dot r bm r) / r^2` `= (dot bm r (:bm r, bm r:) - bm r (:bm r, dot bm r:)) / r^3` `= ((bm r ^^ dot bm r) ^^ bm r) / r^3` `= (bm h ^^ bm r)/r^3`. 其中 `bm h = bm r ^^ dot bm r` 称为角动量, 它垂直于 `bm r, dot bm r` 所在的平面. 我们从长度和方向两方面来看上式: 长度上, 两边取模得 `h = r^2 theta`; 方向上, `bm r, bm theta, bm h` 两两垂直成右手系.

1. `bm r` 的长度不变, 即 `r` 为常数当且仅当 `(:bm r, dot bm r:) = 0`, 即 `bm r` 与 `dot bm r` 垂直;
2. `bm r` 的方向不变, 即 `hat bm r` 为常向量当且仅当 `bm r ^^ dot bm r = bb 0`, 即 `bm r` 与 `dot bm r` 平行 (同向或反向).

平面曲线的曲率

对于平面曲线上的任意一点 `P`, 定义 `P` 点处的曲率 (curvature)为 `kappa := dd varphi s`. 其中 `"d"s` 是运动粒子经过的弧长, `"d"varphi` 是这期间切向量转动的角度. 规定逆时针为正向, 因此曲率为正意味曲线沿逆时针绕行.
直观上, 在 `P` 点, 可以作一个圆贴合曲线的形状, 称为曲率圆, 其弧长近似 `"d"s`, 圆心角近似 `"d"varphi`, 因此曲率圆的半径 `r` 刻画了 `P` 点处曲线的弯曲程度, 即曲率 `kappa = 1//r`. 曲率圆心可以这样作出: 在 `P` 附近取一点 `Q`, 然后取 `P, Q` 处法线的交点. 当 `Q` 趋近 `P` 时, 圆心趋于一个确定的点 `O`.

曲率的计算 设 `bm r(s)` 为平面曲线, `s` 是弧长参数. 在曲线上一点处, `bm v` 是单位切向量. 另取一个单位向量 `bm n` 使得 `bm v _|_ bm n` 且 `bm v, bm n` 成右手系. 称 `{bm r"; " bm v, bm n}` 为点 `P` 处的 Frenet 标架. 此时曲率的公式为: `bm v' = bm r'' = kappa bm n`. 即曲率的大小等于向量 `bm v'` 的长度, 曲率的符号取决于 `bm v'` 和 `bm n` 是否同向. 我们称 `bm v'` 为这一点的曲率向量, 又称为向心力.

弧长参数下切向量 `bm v = bm r'` 恰为单位向量. 由 `|"d"bm v| ~ |"d"varphi|` 两边同除以 `"d"s` 即得到 `|bm v'| = |kappa|`. 由 `bm v` 的长度不变知道 `bm v' _|_ bm v`. 由上图看出, `bm v'` 是 `P` 点处的法向量, 方向指向曲率圆心 `O`.

Frenet 标架是局部的, 曲线上每一点都有自己的标架. 这与全局标架 (如平面直角坐标系) 不同.

取平面直角坐标系 `bm r = (x, y)`, 则 `"d"bm r = (dx, dy)`, `quad "d"s = |"d"bm r| = sqrt(dx^2+dy^2)`,
`quad bm n = (-dy/("d"s), dx/("d"s))`, `quad |kappa| = |("d"^2 bm r)/("d"s^2)|`.

`bm n` 的推导: `bm n = [cos pi//2, -sin pi//2; sin pi//2, cos pi//2] bm v` `= [0, -1; 1, 0] ("d"bm r)/("d"s)`.

空间曲线的曲率与挠率

三维空间曲线一般不能放进一个平面内, 然而在每个点的局部, 仍可以近似位于一个平面内, 它是在这一点处与曲线最贴近的平面, 称为这个点的密切平面. 在密切平面的内部, 我们依然可以按二维的思路定义它的曲率 `kappa`. 注意与二维不同, 三维曲线的曲率总是非负的.
与此同时, 粒子在曲线上运动时, 密切平面也随之旋转, 它旋转的速率定义为曲线的挠率náo lǜ (torsion). 挠率可以为负. 等价地说, 挠率是曲线在垂直于前进方向 `bm v` 的平面上 (称为法平面) 扭动的速率. 以上概念的具体定义如下:

考虑三维曲线 `bm r(s)`, `s` 为弧长参数, 对于曲线上的一点, `bm v = bm r'` 是单位切向量, `bm v' = bm r''` 是曲率向量. 和二维的情形相同, 我们有 `bm v' _|_ bm v`. 定义
• 主法向量 (normal) `bm n := hat(bm v')`, 它是垂直于 `bm v` 的单位向量, 指向曲率圆心.
• 副法向量 (binormal) `bm b := bm v ^^ bm n`, 因此 `bm v, bm n, bm b` 是相互垂直的单位向量, 且成右手系.
`{bm r"; "bm v, bm n, bm b}` 称为曲线在这一点的 Frenet 标架, 以这三个向量为法向量的平面分别称为法平面, 从切平面和密切平面.
想象你驾驶飞机沿曲线飞行, `bm v` 指向正前方, `bm n` 指向你在水平面内拐弯的方向, `bm b` 由前两个向量根据右手法则确定. 现在可以定义:
• 曲率 `kappa := |bm v'|`, 它等于曲率向量的长度, 总是非负的;
• 挠率 `tau := ("d"theta)/("d"s)`, 其中 `"d"theta` 表示粒子经过 `"d"s` 的弧长时, 向量 `bm b` 绕向量 `bm v` 转过的角度. 使用右手法则规定角度的正方向: 拇指指向 `bm v` 时, 四指弯曲的方向为正.

曲率和挠率的计算 在 Frenet 标架下, `bm v' = kappa bm n`, `quad bm b' = -tau bm n`.

第一个等式由主法向量的定义即可得知. 下证第二式. 在 `|"d"bm b| ~ |"d"theta|` 两边同除以 `"d"s` 得到 `|bm b'| = |tau|`. 由上图知道 `bm b` 变化的方向与 `bm n` 相反, 从而 `bm b' = -tau bm n`.

Frenet 方程

设 `bm e_1, bm e_2, cdots, bm e_m` 是参数 `t` 的向量函数, 且不论 `t` 取何值, 它们始终都是两两正交的单位向量, 即 `(:bm e_i, bm e_j:) = delta_(i j)` `= {1, if i = j; 0, if i != j:}`. 记 `omega_(i j) = (:dot bm e_i, bm e_j:)`, 则
1. `omega_(i j) + omega_(j i) = 0`; 特别地 `omega_(i i) = 0`.
2. `"d"/dt [bm e_1; vdots; bm e_m]` `= (omega_(i j)) [bm e_1; vdots; bm e_m]`.
此定理表明, 微分算子 `"d"` 在正交基底下的矩阵是反对称矩阵.

1. 由 `(:bm e_i, bm e_j:) = 0` 求导即得;
2. 设 `dot bm e_i = sum_(k=1)^m c_k bm e_k`, 两边与 `bm e_j` 作内积, `omega_(i j) = sum_(k=1)^m c_k delta_(k j)` `= c_j`. 即得证.

现在可以导出二维和三维的 Frenet 方程, 由引理知道, 它们的系数矩阵是反对称的:
1. 二维情形: 我们有 `bm v' = kappa bm n` `= 0 bm v + kappa bm n`, 借助引理得 `"d"/("d"s) [bm v; bm n] = [0, kappa; -kappa, 0][bm v; bm n]`.
2. 三维情形: 由 `bm v' = kappa bm n` 和 `bm b' = -tau bm n` 得到 `"d"/("d"s) [bm v; bm n; bm b] = [ 0, kappa, 0; -kappa, 0, tau; 0, -tau, 0; ][bm v; bm n; bm b]`.
Frenet 方程描绘了粒子沿曲线运动时, 标架旋转的速率与曲率、挠率之间的关系.

杂例

`E^3` 的正则曲线 `bm r(t)` 的曲率和挠率分别为 `kappa(t) = |bm v ^^ dot bm v|/v^3`, `quad` `tau(t) = {:(bm v, dot bm v, ddot bm v):}/|bm v ^^ dot bm v|^2`. 其中 `bm v = dot bm r`.

1. 记 `bm beta = bm v ^^ dot bm v`. 由 `dot hat bm v` 的公式 (来自例题 极坐标下的矢量分析) 知道, `kappa bm n` `= (hat bm v)'` `= dot hat bm v // v` `= bm beta ^^ bm v // v^4`, 注意 `(:bm v, bm beta:) = 0`, 两边取模即得结论.
2. 将 单位化, 得 `bm n = hat bm beta ^^ hat bm v`. 由 Frenet 标架知道 `bm n = bm b ^^ hat bm v`, 下证 `bm b = hat bm beta`: `bm b = hat bm v ^^ bm n` `= hat bm v ^^ (hat bm beta ^^ hat bm v)` `= (:hat bm v, hat bm v:) hat bm beta - (:hat bm v, hat bm beta:) hat bm v` `= hat bm beta`. 进一步, `dot bm beta = bm v ^^ ddot bm v`,
   `bm beta ^^ dot bm beta` `= bm beta ^^ (bm v ^^ ddot bm v)` `= (:bm beta, ddot bm v:) bm v - (:bm beta, bm v:)ddot bm v` `= (:bm beta, ddot bm v:) bm v` `= (bm v, dot bm v, ddot bm v) bm v`. 记 `gamma = (bm v, dot bm v, ddot bm v)`, 有 `dot bm b` `= dot hat bm beta` `= (bm beta ^^ dot bm beta) ^^ bm beta // beta^3` `= gamma/beta^3 bm v ^^ bm beta` `= -(gamma v)/beta^2 bm n`. 与 `dot bm b = v bm b'`, `bm b' = -tau bm n` 比较得 `tau = gamma//beta^2`.

`E^2` 的正则曲线 `bm r(t) = (x(t), y(t))` 的曲率 `kappa(t) = (dot x ddot y - ddot x dot y)/ ({:dot x:}^2 + {:dot y:}^2)^(3//2)`. 特别当 `t` 为弧长参数时, `kappa = (ddot y)/(dot x) = -(ddot x)/(dot y)`.

记 `bm v = ("d"bm r)/("d"s)`, 则 `kappa bm n` `= ("d"bm v)/("d"s)` `= ("d"bm v)/dt dt/("d"s)` `= 1/v "d"/dt((dot bm r)/v)` `= 1/v^3 (ddot bm r v - dot v dot bm r)`. 两边与 `bm n` 作内积, `kappa = 1/v^2(:ddot bm r, bm n:)` 用 `x(t), y(t)` 写出 `bm n = ((-dot y, dot x))/sqrt(dot x^2+dot y^2)`, 结合上面两式即得第一个结论. 现在设 `t` 为弧长参数, 则 `dot x^2 + dot y^2 = 1`, 求导得 `dot x ddot x + dot y ddot y = 0`. 这就是说 `(ddot y)/(dot x) = -(ddot x)/(dot y)`. 于是利用 `dot x ddot x = -dot y ddot y`, `dot x kappa = dot x^2 ddot y - dot x ddot x dot y` `= dot x^2 ddot y + dot y^2 ddot y` `= ddot y`. 这证明了弧长参数的情形.

在极坐标下, 曲线 `r = f(theta)` 的曲率 `kappa(theta) = (r^2 + 2{:r':}^2 - rr'')/(r^2 + {:r':}^2)^(3//2)`. 其中各导数均表示对 `theta` 求导.

圆柱螺旋线 `bm r(t) = (a cos t, a sin t, bt)` (`a gt 0`) 的曲率的挠率分别为 `kappa = a/(a^2+b^2)`, `quad tau = b/(a^2+b^2)`. 有趣的是, 上式的反函数具有相同形式: `a = kappa/(kappa^2+tau^2)`, `quad b = tau/(kappa^2+tau^2)`. 事实上, `f(bm r) = bm r//r^2` 正是关于单位圆的反演变换.

平面曲线的曲率恒等于 0 当且仅当它是直线; 恒等于非零常数当且仅当它是半径为 `1/kappa` 的圆.

设空间曲线 `bm r` 的曲率 `kappa` 和挠率 `tau` 为常数, 则

1. `kappa = 0`, `bm r` 是直线;
2. `kappa gt 0`, `tau = 0`, `bm r` 是半径为 `1/kappa` 的圆;
3. `kappa gt 0`, `tau != 0`, `bm r` 是半径为 `kappa/(kappa^2+tau^2)`, 速率为 `tau/(kappa^2+tau^2)` 圆柱螺旋线.

空间曲线的曲率恒不等于 0 时, 它落在一张平面上当且仅当其挠率恒等于 0.

设曲线 `bm r` 落在以 `bm a` 为单位法向量的平面上, 则 `bm r` 的切向量与 `bm a` 垂直, 即 `(:bm t, bm a:) = 0`. 求导得 `kappa (:bm n, bm a:) = 0`. 由假设 `kappa(s) != 0`, 得到 `(:bm n, bm a:) = 0`. 再求导得 `(:-kappa bm t + tau bm b, bm a:) = 0`, 因此 `tau (:bm b, bm a:) = 0`. 由 `bm a` 与 `bm t, bm n` 垂直知 `bm a` 与 `bm b` 平行, 从而 `(:bm b, bm a:) = +-1`, `tau -= 0`.
反之设 `tau -= 0`, 由 `("d"bm b)/("d"s) = -tau bm n` 知 `bm b` 是常向量. 因为 `bm t` 与 `bm b` 垂直, `bm t` 只能落在同一平面内, 即曲线 `bm r` 落在同一平面内.

常用 "不屈 (曲) 不挠" 形容一个人很顽强.

曲线论基本定理

曲线的弧长, 曲率和挠率在刚体运动 (同向合同变换) 下不变.

平面和空间的 Frenet 方程给出了各自 Frenet 标架的运动方程, 它们是一阶线性常微分方程组. 下面的两个定理说明, 我们可以通过求解此方程组来重建曲线, 且此曲线是唯一的. 换言之, 在相差一个刚体运动下, 曲线由曲率和挠率唯一决定.

设 `E^3` 中有两条弧长参数曲线 `bm r_1(s), bm r_2(s)` 定义在同一参数区间 `(a, b)` 上, 且它们的曲率与挠率在 `(a, b)` 上恒等: `kappa_1(s) = kappa_2(s) gt 0`, `tau_1(s) = tau_2(s)`, `AA s in (a, b)`. 则存在 `E^3` 的一个刚体运动使两条曲线相等.

设 `kappa(s), tau(s) in C^1(a, b)`, `kappa(s) gt 0`. 则存在 `E^3` 的弧长参数曲线, 它以 `s` 为弧长参数, 以 `kappa` 为曲率, `tau` 的挠率.