曲面的概念
曲面的定义及参数变换
曲面是平面区域 `D` 到 `E^3` 的映射
`bm r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))`, 满足
- `x, y, z in C^oo(D)`;
- `bm r_u = ((del x)/(del u), (del y)/(del u), (del z)/(del u))`
与
`bm r_v = ((del x)/(del v), (del y)/(del v), (del z)/(del v))`
线性无关, 即 `bm r_u ^^ bm r_v != bb 0`.
曲面的参数变换
设 `bm r(u, v): D |-> E^3`,
`sigma: bar D |-> D`
`(bar u, bar v) |-> (u, v)`,
若 `sigma` 一阶连续可微,
则切向量微元具有变换
`["d"u; "d"v] = J ["d"bar u; "d"bar v]`,
`quad J = (del(u,v))/(del(bar u, bar v))`
`= [u_(bar u), u_(bar v); v_(bar u), v_(bar v)]`.
`|J| != 0` 时, `bm r` 有新参数表示
`bm r(u(bar u, bar v), v(bar u, bar v))`.
如果存在满足上述条件的参数变换使两个曲面的表达式相同,
则视它们为相同的曲面.
在上述变换下, 坐标切向量 `bm r_u` 和 `bm r_v` 的变换公式为
`[bm r_(bar u), bm r_(bar v)] = [bm r_u, bm r_v] J`,
`bm r_(bar u) ^^ bm r_(bar v) = bm r_u ^^ bm r_v |J|`.
球面 `x^2 + y^2 + z^2 = a^2` 有球坐标表示
`{
x = a cos u cos v;
y = a cos u sin v;
z = a sin u;
:}`,
`quad u in [-pi/2, pi/2]`, `v in [0, 2pi]`.
和球极投影坐标表示:
`{
x = 2a^2 u // d^2;
y = 2a^2 v // d^2;
z = a delta^2 // d^2;
:}`, `quad u, v in RR`.
其中 `P(u, v, 0)` 是赤道平面上的一点,
`(x, y, z)` 是 `P` 到北极 `N(0, 0, a)` 的连线与球面的交点.
`d = sqrt(u^2 + v^2 + a^2)` 是 `P` 到 `N` 的距离,
`delta = sqrt(u^2 + v^2 - a^2)` 是 `P` 到球面的切线长.
旋转面
`xz` 平面上与 `z` 轴无交的曲线 `{x = x(u); z = z(u) :}`
绕 `z` 轴旋转得到
`{x = x(u) cos v; y = x(u) sin v; z = z(u) :}`.
特别当 `x(u) = a cos u`, `z(u) = a sin u` 时, 得到球面.
柱面
`xy` 平面上的曲线 `{x = x(u); y = y(u) :}` 沿 `z` 轴平移得到
`{x = x(u); y = y(u); z = v :}`.
直纹面
称直线沿空间曲线 `bm r = bm a(u)` 滑动扫过的曲面
`bm r(u,v) = bm a(u) + v bm b(u)`
为直纹面. 其中 `bm a` 表示直线与曲线的交点, `bm b` 表示直线在该点的方向.
方程中取定一个 `u`, 就确定一条直母线. 当 `bm a` 为常向量时, 为锥面;
当 `bm b` 方向不变时, 为柱面. 当 `bm b` 始终沿曲线切向时, 方程形如
`bm r(u,v) = bm a(u) + v bm a'(u)`,
称为曲线 `bm r(u)` 的切线面, 它包含了 `bm r(u)` 的全体切线.
切向量, 切平面, 法向量
称 `bm r_u`, `bm r_v` 为坐标切向量. 它们线性无关,
从而确定了曲面 `S` 在点 `P_0 = (u, v)` 处的切平面 `T_0`.
`S` 上过 `P_0` 的任一曲线在 `P_0` 的切向量落在切平面 `T_0` 上;
反之, 对切平面 `T_0` 上的任一向量 `bm t`,
存在曲面上过 `P_0` 的一曲线, 它在 `P_0` 的切向量与 `bm t` 同向.
`bm r_u ^^ bm r_v` 是曲面的一个法向量.
`bm n = (bm r_u ^^ bm r_v)/|bm r_u ^^ bm r_v|`
是曲面的一个单位法向量. 法向量所在直线称为法线.
当曲面由方程 `F(bm r) = c` 给出时,
方程两边对 `u, v` 分别求导得
`(:grad F, bm r_u:) = (:grad F, bm r_v:) = 0`,
故 `grad F` 是曲面的法向量,
`(:grad F, bm r - bm r_0:) = 0` 是 `bm r_0` 处的切平面.
曲面的切平面, 法线与参数选取无关.
曲面的基本形式
第一基本形式 (The first fundamental form)
`"I" = "d"s^2 = "d" bm r^2`
`= (bm r_u "d"u + bm r_v "d" v)^2`
`= ["d"u, "d"v][bm r_u^T; bm r_v^T][bm r_u, bm r_v]["d"u; "d"v]`
`= ["d"u, "d"v][E, F; F, G]["d"u; "d"v]`
`= E "d"u"d"u + 2F "d"u"d"v + G"d"v"d"v`.
其中
`E = (:bm r_u, bm r_u:)`,
`quad F = (:bm r_u, bm r_v:)`,
`quad G = (:bm r_v, bm r_v:)`.
第一基本形式是正定的二次型, 是曲面上的度量.
它在合同变换下不变, 与参数选取无关.
将参数变换
`["d"u; "d"v] = J ["d"bar u; "d"bar v]`,
`quad [bm r_(bar u), bm r_(bar v)] = [bm r_u, bm r_v] J`
代入得
`"I" = ["d"bar u, "d"bar v][bm r_(bar u)^T; bm r_(bar v)^T]
[bm r_(bar u), bm r_(bar v)]["d"bar u; "d"bar v]`,
第一基本形式不变.
`F = 0` 当且仅当 `(u, v)` 是正交参数.
平面 `bm r(u,v) = (u, v, 0)` 的第一基本形式
`"I" = "d"u"d"u + "d"v"d"v`.
柱面 `bm r(u,v) = (x(u), y(u), v)` 的第一基本形式
`"I" = ({:x':}^2 + {:y':}^2)"d"u"d"u + "d"v"d"v`.
取 `u` 是弧长参数时, `"I" = "d"u"d"u + "d"v"d"v`.
球面 `bm r(theta, varphi) = (a cos theta cos varphi, a cos theta sin
varphi, a sin varphi)` 的第一基本形式
`"I" = a^2 "d"theta"d"theta + a^2 cos^2 theta "d"varphi"d"varphi`.
球面 `bm r(u,v) = (2a^2u//d^2, 2a^2v//d^2, a(d^2-2a^2)//d^2)` `(d^2 =
u^2 + v^2 + a^2)` 的第一基本形式
`"I" = ((2a^2)/d^2)^2 ("d"u"d"u + "d"v"d"v)`.
第二基本形式 (The second fundamental form)
`"II" = -(:"d"bm r, "d"bm n:)`
`= - ["d"u, "d"v][bm r_u^T; bm r_v^T][bm n_u, bm n_v]["d"u; "d"v]`
`= ["d"u, "d"v][L, M; M, N]["d"u; "d"v]`
`= L"d"u"d"u + 2M"d"u"d"v + N"d"v"d"v`.
其中 (通过分部积分)
`L = -(:bm r_u"," bm n_u:) = (:bm r_(u u)"," bm n:)`,
`M = -(:bm r_v"," bm n_u:)`
`= -(:bm r_u"," bm n_v:)`
`= (:bm r_(uv)"," bm n:)`,
`N = -(:bm r_v"," bm n_v:) = (:bm r_(v v)"," bm n:)`.
第二基本形式在同向参数变换 (`|J| gt 0`) 下不变,
反向则变号; 在同向刚体运动 (`|T| = 1`) 下不变, 反向则变号.
根据第二基本形式行列式符号的不同, 将曲面上的点作如下分类:
- `LN-M^2 gt 0`, 正定或负定, 凸或凹, 椭圆点;
- `LN-M^2 lt 0`, 不定, 马鞍型, 双曲点;
- `LN-M^2 = 0`, 退化, 抛物点; 若 `L = M = N = 0`, 为平点.
记 `bm r = bm r(u,v)`, `bm r_0 = bm r(u_0, v_0)`,
`bm n_0 = bm n(u_0, v_0)`, 定义曲面高度函数
`f(u, v) = (:bm r - bm r_0, bm n_0:)`,
则 `f_u = (:bm r_u, bm n_0:)`, `f_v = (:bm r_v, bm n_0:)`,
`"II" = ["d"u, "d"v]
[{:f_(u u):}, {:f_(uv):}; {:f_(vu):}, {:f_(v v):}]["d"u; "d"v]`.
平面 `bm r(u,v) = (u, v, 0)`. 注意 `bm n` 为常向量, 故
`"II" = -(:"d"bm r, "d"bm n:) = 0`.
柱面 `bm r(u,v) = (x(u), y(u), v)`. 记 `kappa = |x_u, y_u; x_(u u),
y_(u u)|`, 有 `"II" = -kappa "d"u"d"u`.
球面 `bm r(theta, varphi) = (a cos theta cos varphi, a cos theta sin
varphi, a sin theta)`.
`"II" = a "d"theta"d"theta + a cos^2 theta "d"varphi"d"varphi`.
法曲率与 Weingarten 变换
法曲率
设曲面上有一曲线 `bm r`, `s` 是其弧长参数.
`bm r` 在一点的单位切向量为 `("d"bm r)/("d"s)`,
曲率向量为 `("d"^2 bm r)/{:"d"s:}^2`.
利用分部积分计算曲率向量与法向量的内积:
` (: ("d"^2 bm r)/{:"d"s:}^2, bm n :)
= -(:("d"bm r)/("d"s), ("d"bm n)/("d"s):)
= L(("d"u)/("d"s))^2 + 2M("d"u)/("d"s)("d"v)/("d"s)
+ N(("d"v)/("d"s))^2`.
上式只与曲线在一点处的单位切向量
`("d"bm r)/("d"s) = (("d"u)/("d"s), ("d"v)/("d"s))`
以及曲面的第二基本形式有关, 而与曲线选取无关.
这启发我们作出如下定义:
已知曲面上一点处的单位切向量 `bm v = xi bm r_u + eta bm r_v`, 定义
`k_n(bm v) = L xi^2 + 2M xi eta + N eta^2`,
称为曲面在该点处沿给定方向的法曲率.
若 `bm v` 是任意非零切向量, 则沿 `bm v` 方向的法曲率等于
`k_n(bm v) = k_n(bm v/v) = 1/v^2 (L xi^2 + 2M xi eta + N
eta^2) = (L xi^2 + 2M xi eta + N eta^2)/(E xi^2 + 2F xi eta + G
eta^2)`.
法曲率反映了曲面沿给定方向的弯曲程度. 将曲面沿 `bm v, bm n` 所在平面
"切开", 则剖面边缘 (视为平面曲线) 的曲率就是 `k_n`.
法曲率在同向参数变换/刚体运动下不变, 反向则变号.
- 半径为 `a` 的球面: `k_n = 1/a`.
- 平面: `k_n = 0`.
- 柱面 `bm r(u,v) = (x(u), y(u), v)`, 其中 `u` 为弧长参数.
此时 `bm r_u, bm r_v` 是正交的单位向量,
取单位切向量 `bm w = cos theta bm r_u + sin theta bm r_v` 得
`k_n(bm w) = -kappa cos^2 theta`
(`kappa` 的定义参见).
Weingarten 变换
Gauss 映射 将曲面上的一点映为该点处的法向量 (`S_2` 为单位球面):
`bm g: S |-> S^2`
`bm r(u, v) |-> bm n(u, v)`.
Weingarten 变换 `cc W` 是 Gauss 映射的导映射 (符号取反),
它是切平面上切向量间的线性变换. 我们定义 `cc W(bm r_u) = -bm n_u`,
`cc W(bm r_v) = -bm n_v`; 一般地,
`cc W: T_0 |-> T_0`
`a bm r_u + b bm r_v |-> -a bm n_u - b bm n_v`.
Weingarten 变换也可以用于微分形式:
`cc W("d"bm r)`
`= cc W(bm r_u "d"u + bm r_v "d"v)`
`= -bm n_u "d"u - bm n_v "d"v`
`= -"d"bm n`.
Weingarten 变换与曲面的参数选取无关.
在参数替换 `["d"u; "d"v] = J ["d"bar u; "d"bar v]` 下,
`a bm r_u + b bm r_v`
`= [bm r_u, bm r_v] [a; b]`
`= [bm r_(bar u), bm r_(bar v)] J^-1 [a; b]`,
`-a bm n_u - b bm n_v`
`= -[bm n_u, bm n_v] [a; b]`
`= -[bm n_(bar u), bm n_(bar v)] J^-1 [a; b]`,
替换后的两向量仍满足 Weingarten 变换的定义.
曲面沿单位切向量 `bm t` 的法曲率可用 Weingarten 变换刻画:
`k_n(bm t) = (:cc W(bm t), bm t:)`.
设 `bm t = a bm r_u + b bm r_v`, 则 `cc W(bm t) = -a bm n_u -b bm n_v`,
`(:cc W(bm t), bm t:)`
`= a^2 L + 2 a b M + b^2 N`
`= k_n(bm t)`.
Weingarten 变换是自共轭变换: `AA bm v, bm w in T_0`,
`(:cc W(bm v), bm w:) = (:cc W(bm w), bm v:)`.
特别取两个向量为切平面的单位正交基底 `bm e_1, bm e_2` 时, 由上式知
Weingarten 变换在正交基底下的矩阵为二阶实对称阵.
设 `bm v = a bm r_u + b bm r_v`, `bm w = c bm r_u + d bm r_v`,
则 `cc W(bm v) = -a bm n_u -b bm n_v`, `cc W(bm w) = -c bm n_u - d bm
n_v`,
`(:cc W(bm v), bm w:)`
`= a c L + (a d + b c) M + b d N`
`= (:cc W(bm w), bm v:)`.
由线性代数中实对称矩阵的结论知,
Weingarten 变换的两个特征值是实数. 它们不相等时,
有两个相互正交的特征向量; 相等时, 任一切向量都是特征向量.
主曲率
称 Weingarten 变换的两个特征值 `k_1, k_2` 为主曲率,
相应的特征向量为主方向.
由 知道,
主曲率就是主方向上的法曲率.
Euler 公式 设 `k_1, k_2` 为主曲率,
`bm e_1, bm e_2` 为相应主方向的单位向量,
利用 计算知,
法曲率可用主曲率表达:
` k_n(bm e_1 cos theta + bm e_2 sin theta)
= k_1 cos^2 theta + k_2 sin^2 theta`.
可以看出, 当 `k_1 != k_2` 时, `k_n` 在主方向上取得极值;
`k_1 = k_2` 时, 各方向上的法曲率相等.
计算 Gauss 曲率 `K = k_1 k_2` 与平均曲率
`H = (k_1 + k_2)/2`.
由定义, Gauss 曲率等于 Weingarten 变换 `cc W` 的行列式,
平均曲率等于 `cc W` 的迹的一半.
设 `cc W` 在基 `(bm r_u, bm r_v)` 下的矩阵为
`bm A = [a, b; c, d]` (未必对称), 即
`cc W(bm r_u) = -bm n_u = a bm r_u + b bm r_v`,
`cc W(bm r_v) = -bm n_v = c bm r_u + d bm r_v`.
以上两式分别与 `bm r_u, bm r_v` 作内积, 得
`[L, M; M, N] = [a, b; c, d][E, F; F, G]`,
即
`[a, b; c, d] = [L, M; M, N][E, F; F, G]^-1`.
易知 Gauss 曲率
`K = |a,b; c,d| = |L,M; M,N|//|E,F; F,G|`.
平均曲率 `H = (a+d)//2`.
即证
`(:("d"bm n)/("d"s), ("d"bm n)/("d"s):) + 2H(:("d"bm r)/("d"s), ("d"bm
n)/("d"s):) + K = 0`.
记 `("d"bm r)/("d"s) = bm e_1 cos theta + bm e_2 sin theta`,
则上式左边等于
`k_1^2 cos^2 theta + k_2^2 sin^2 theta - (k_1 + k_2)(k_1 cos^2 theta
+ k_2 sin^2 theta) + k_1 k_2`
`= 0`.
主曲率的几何意义
曲面举例
[曲面绘制工具]
旋转曲面
`bm r(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u))`, `f gt 0`.
直接计算
`bm r_u = (f'(u)cos v, f'(u)sin v, g'(u))`,
`bm r_v = (-f(u)sin v, f(u)cos v, 0)`,
`E = {:f':}^2+{:g':}^2`, `quad F = 0`, `quad G = f^2`,
`L = (f' g'' - f'' g')/sqrt E`, `quad M = 0`,
`quad N = (fg')/sqrt E`,
`k_1 = L/E`, `quad k_2 = N/G`,
`quad K = k_1 k_2`, `quad H = (k_1 + k_2)/2`.
若取 `u` 为 `xz` 平面上曲线 `(f(u), g(u))` 的弧长参数, 则
`{:f':}^2 + {:g':}^2 = 1`, `f'f'' + g'g'' = 0`, 由此推出
` f'g'' - f''g' = -(f'')/(g')`.
上面各式有比较简单的表达式
`E = 1`, `quad F = 0`, `quad G = f^2`,
`L = -(f'')/(g')`, `quad M = 0`, `quad N = fg'`,
`k_1 = -(f'')/(g')`, `quad k_2 = (g')/f`,
`quad K = -(f'')/f`, `quad H = 1/2 ((g')/f - (f'')/(g'))`.
wgs84 标准假设地球是一个椭球体, 方程为
`(x^2+y^2)/a^2 + z^2/b^2 = 1`.
其中 `a = 6378137"m"`, `b = 6356752.31424518"m"`,
已知地球上一点 `P` 的经纬度和高度 `(theta, varphi, h)`, 求这点的坐标.
-
这个问题的重点是得到 `P` 点处的「卯酉圈」曲率半径
`n = a^2/sqrt(a^2 cos^2 varphi + b^2 sin^2 varphi)`.
`(**)`
于是这点的坐标是
`x = (n + h) cos varphi cos theta`,
`y = (n + h) cos varphi sin theta`,
`z = (n * b^2/a^2 + h) sin varphi`.
`z` 的求法是, 先假设 `h = 0`, 再把 `x, y` 代入椭球面方程求解.
-
我们来导出 `P` 点处的曲率半径公式 `(**)`.
取定椭球面的参数方程
`bm r = (a cos u cos v, a cos u sin v, b sin u)`,
`bm r_u = (-a sin u cos v, -a sin u sin v, b cos u),
`bm r_v = (-a cos u sin v, a cos u cos v, 0)`.
使用旋转曲面的公式得到
`E = a^2 sin^2 u + b^2 cos^2 u`,
`quad L = a b//sqrt E`,
`quad N = a b cos^2 u // sqrt E`.
由对称性, 我们可以任取一个子午面 (椭球过 z 轴的截面), 如 `xOz` 平面, 考虑椭球面上一点
`P(x_0, 0, z_0)`.
注意, 椭球面上过 `P` 点有无数个单位切向量, 每一个切向量都确定了 `P` 处的一个曲率.
我们要求的曲率是「卯酉圈」在 `P` 处的曲率, 即 `P` 点处垂直于子午面的单位切向量所确定的曲率.
显然, 在我们的假定下, 这个切向量就是 `bm v = (0, 1, 0)`.
在 `P` 处, 参数 `v = 0`, 参数 `u` 满足 `a cos u = x_0`, 于是切向量 `bm r_u, bm r_v` 等于
`bm r_u = (-a sin u, 0, b cos u)`,
`quad bm r_v = (0, x_0, 0)`.
将 `v` 分解为 `bm r_u, bm r_v` 的线性组合:
`bm v = 0 bm r_u + 1/x_0 bm r_v`.
则 `P` 处沿 `bm v` 的法曲率等于
`k_n(bm v) = 0^2 L + 1/x_0^2 N`
`= b/a 1/sqrt(a^2 sin^2 u + b^2 cos^2 u)`
`= 1/(a/b sqrt(a^2/b^2 z_0^2 + b^2/a^2 x_0^2))`
`= 1/sqrt(x_0^2 + a^4/b^4 z_0^2)`
而曲率半径 `n = 1//k_n(bm v) = sqrt(x_0^2 + a^4/b^4 z_0^2)`.
-
现在我们用纬度 (纬度是指法线 `PQ` 与 `x` 轴的夹角, 而不是 `/_ POx` 😭) 表示曲率半径.
假定 `P` 的纬度为 `varphi`, 联立法线斜率 `tan varphi = z_0/x_0 a^2/b^2` 和子午圈方程
`x_0^2/a^2 + z_0^2/b^2 = 1` 可得
`x_0 = a/sqrt(1 + b^2/a^2 tan^2 varphi)`.
于是
`n = sqrt(x_0^2 + a^4/b^4 z_0^2)`
`= x_0 sqrt(1 + tan^2 varphi)`
`= x_0 // cos varphi`
`= a/sqrt(1 + b^2/a^2 tan^2 varphi) 1/(cos varphi)`
`= a^2/sqrt(a^2 cos^2 varphi + b^2 sin^2 varphi)`.
- 最后, 反向延长 `P` 处的法线, 交 `z` 轴于 `Q` 点, 交 `x` 轴于 `R` 点,
则 `|PQ|` 正好等于前文所求的曲率半径 `n`, `|RQ| = (1-b^2/a^2)|PQ| = e^2 n`.
验证如下: `P` 处的法线方程为
`(z_0 x)/b^2 - (x_0 z)/a^2 = x_0 z_0(1/b^2 - 1/a^2)`.
即
`x/(x_0(1 - b^2/a^2)) - z/(z_0(a^2/b^2 - 1)) = 1`.
于是 `x_R = x_0 (1 - b^2/a^2)`, `z_Q = -z_0(a^2/b^2 - 1)`,
`|PQ| = sqrt(x_0^2 + (z_0 - z_Q)^2)`
`= sqrt(x_0^2 + a^4/b^4 z_0^2) = n`.
`|RQ|/|PQ| = x_R/x_0 = 1-b^2/a^2 = e^2`.
运用以上几何性质不难推出 `P` 点的坐标为
`x = n cos varphi cos theta`,
`y = n cos varphi sin theta`,
`z = n * b^2/a^2 sin varphi`.
常 Gauss 曲率旋转曲面
常平均曲率旋转曲面
直纹面与可展曲面
全脐点曲面
曲面上两个主曲率相等的点称为脐点.
由法曲率的定义知, 脐点处第二基本形式与第一基本形式的系数成比例, 即
`L/E = M/F = N/G = a`,
`a != 0` 时, 这一点称为圆点, `a = 0` 时称为平点.
例如球面上各点均为圆点, 平面各点均为平点.
极小曲面 (平均曲率为零的曲面)
[来自 Riemann Geometry an Introduction]
The catenoid (Euler, 1740) `sqrt(x^2+y^2) = cosh z`.
此为旋转曲面, 取参数
`bm r = (u cos v, u sin v, "arch "u)`
`= (u cos v, u sin v, ln(u + sqrt(u^2-1)))`,
令 `f(u) = u`, `g(u) = ln(u + sqrt(u^2-1))`, 则
`E = {:f':}^2+{:g':}^2`
`= 1 + 1/(u^2-1) = u^2/(u^2-1)`,
`quad F = 0`, `quad G = f^2 = u^2`,
`L = (f' g'' - f'' g')/sqrt E`
`= -u/(u^2-1)^(3//2) * sqrt(u^2-1)/u = 1/(1-u^2)`,
`quad M = 0`,
`quad N = (fg')/sqrt E = u/sqrt(u^2-1) * sqrt(u^2-1)/u = 1`,
`k_1 = L/E = 1/(1-u^2) * (u^2-1)/u^2` `= -1/u^2`,
`quad k_2 = N/G = 1/u^2`,
`quad K = k_1 k_2 = -1/u^4`, `quad H = (k_1 + k_2)/2 = 0`.
The helicoid (Meusnier, 1776) `tan z = x//y`.
取参数 `bm r = (u v, v, arctan u)`, 则
`bm r_u = (v, 0, 1/(1+u^2))`,
`bm r_v = (u, 1, 0)`,
`bm r_u ^^ bm r_v = (-1/(1+u^2), u/(1+u^2) v)`,
`bm r_(u u) = (0, 0, (-2u)/(1+u^2)^2)`,
`bm r_(u v) = (1, 0, 0)`,
`bm r_(v v) = (0, 0, 0)`.
记 `|bm r_u ^^ bm r_v| = n`, `|E, F; F, G| = Delta`, 有
`E = v^2 + 1/(1+u^2)^2`, `F = u v`, `G = u^2 + 1`,
`L = 1/n (-2u v)/(1+u^2)^2`, `M = -1/n 1/(1+u^2)`, `N = 0`.
最终
`[a, b; c, d]`
`= 1/n 1/Delta [(-2 u v)/(1+u^2)^2, -1/(1+u^2); -1/(1+u^2), 0]`
`[u^2+1, -u v; -u v, v^2+1/(1+u^2)^2]`,
`H = 1/n 1/Delta ((-u v)/(1+u^2) + (u v)/(1+u^2)) = 0`.
Scherk's surface, 1835 `"e"^z = (cos x)/(cos y)`,
即 `z = ln cos x - ln cos y`
`= int_y^x tan t dt`.
取参数 `bm r = (u, v, ln cos u - ln cos v)`, 则
`bm r_u = (1, 0, -tan u)`,
`bm r_v = (0, 1, tan v)`.
`bm r_u ^^ bm r_v = (tan u, -tan v, 1)`,
`bm r_(u u) = (0, 0, -sec^2 u)`,
`bm r_(u v) = (0, 0, 0)`
`bm r_(v v) = (0, 0, sec^2 v)`.
于是
`E = 1 + tan^2 u = sec^2 u`,
`F = -tan u tan v`,
`G = 1 + tan^2 v = sec^2 v`,
`L = -sec^2 u // n`, `M = 0`, `N = sec^2 v // n`
最终
`[a, b; c, d]`
`= 1/n 1/Delta [sec^2 u, -tan u tan v; -tan u tan v, sec^2 v]`
`[sec^2 v, 0; 0, -sec^2 u]`,
`H = 1/n 1/Delta(sec^2 u sec^2 v - sec^2 u sec^2 v) = 0`.
