曲面的内蕴几何学

设 `S` 和 `bar S` 是 `E^3` 的两张曲面, 称双射 `sigma: S |-> bar S` 为 `S` 到 `bar S` 的一个等距变换, 如果 `S` 上的任意曲线 `C` 与 `bar S` 上对应的曲线 `bar C = sigma(C)` 长度相等. 例如, 将一张纸卷成圆筒, 圆筒与铺平的纸之间就可以建立等距变换. 显然, 合同变换是等距变换.

特殊螺旋面 `(u cos v, u sin v, v)`, `u gt 0, 0 lt v lt 2 pi` 与悬链面 `(rho cos theta, rho sin theta, cosh^-1 rho)`, `rho gt 1, 0 lt theta lt 2 pi` 的第一基本形式分别为 `"I"(u, v) = "d"u"d"u + (1+u^2)"d"v"d"v`,
`"I"(rho, theta) = rho^2/(rho^2-1) "d"rho"d"rho + rho^2 "d"theta"d"theta`. 映射 `(rho, theta) = sigma(u, v) = (sqrt(1+u^2), v)` 是两个曲面间的一个等距变换. 事实上, 由 `"d"rho = (u"d"u)/sqrt(1+u^2)`, `"d"theta = "d"v` 有 `"I"(rho, theta) = (1+u^2)/(1+u^2-1) (u^2"d"u^2)/(1+u^2) + (1+u^2)"d"v^2 = "I"(u, v)`. 以上计算表明, 看似完全不同的这两个曲面, 可以在不发生拉伸或撕裂的情形下相互转换.

设 `sigma` 是曲面 `S` 到 `bar S` 的双射. 则 `sigma` 为保角变换当且仅当存在正函数 `lambda` 使得在参数区域 `D` 上恒成立 `bar "I" = lambda^2 "I"`.

(陈省身) 任意曲面都可以在局部和欧氏平面建立保角变换. 由于欧氏平面的度量 (第一基本形式) 为 `"d"u"d"u + "d"v"d"v`, 因此上述定理等价地说, 对曲面上任一点, 存在一邻域和定义在其上的正函数 `lambda` 使曲面的第一基本形式在参数 `(u, v)` 下为 `"I" = lambda^2(u, v) ("d"u"d"u+"d"v"d"v)`. 这时称 `(u, v)` 为等温参数 (isothermal parameters).

曲面的协变微分

回顾正交标架下的五个一阶微分形式 `omega_1, omega_2, omega_12, omega_13, omega_23`, 其中前三个满足结构方程式 `"d"omega_1 = omega_12 ^^ omega_2`,
`"d"omega_2 = omega_21 ^^ omega_1` (5-1) 和 Gauss 方程 `"d"omega_12 = -K omega_1 ^^ omega_2`. 称 `omega_12` 为曲面关于正交标架的联络形式, 它由方程 (5-1) 唯一确定, 事实上, ` omega_12 = -omega_21 = ("d"omega_1)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_1 + ("d"omega_2)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_2`. 于是联络形式只由 `omega_1, omega_2`, 换言之, 只由第一基本形式 `omega_1 omega_1 + omega_2 omega_2` 决定.

Gauss 绝妙定理 (Theorema Egregium) 曲面的 Gauss 曲率 `K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)` 由第一基本形式完全决定.

这就是说, Gauss 曲率是内蕴的, 它只与曲面的度量有关, 和曲面的具体嵌入 (如三维欧氏空间 `E^3`) 无关. 在等距变换下, Gauss 曲率保持不变.

曲面在等温参数 `(u, v)` 下的 Gauss 曲率 `K = -(laplace ln lambda)/lambda^2`, 其中 `"I" = lambda^2 ("d"u"d"u + "d"v"d"v)`, `laplace` 是 Laplace 算子.

取 `omega_1 = lambda "d"u`, `omega_2 = lambda "d"v`, 有 `omega_1 ^^ omega_2 = lambda^2 "d"u ^^ "d"v`,
`"d"lambda = lambda_u "d"u + lambda_v "d"v`,
`"d"omega_1 = "d"lambda ^^ "d"u = -lambda_v "d"u ^^ "d"v`,
`"d"omega_2 = "d"lambda ^^ "d"v = lambda_u "d"u ^^ "d"v`,
`omega_12 = -lambda_v/lambda "d"u + lambda_u/lambda "d"v = -(ln lambda)_v "d"u + (ln lambda)_u "d"v`. 所以 ` K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)` `= -(((ln lambda)_(u u) + (ln lambda)_(v v)) "d"u ^^ "d"v) / (lambda^2 "d"u ^^ "d"v)` `= -(laplace ln lambda)/lambda^2`. 若引入复坐标 `z = u + iv` 和 `del/(del z) = 1/2 (del/(del u) - i del/(del v))`, `del/(del bar z) = 1/2 (del/(del u) + i del/(del v))`, 则 `K = - 4/lambda^2 del^2/(del z del bar z) ln lambda`.

内蕴几何的观点是只考虑标架微分在切平面内的部分, 为此引入协变微分, 它是平面普通微分在曲面上的推广.

称标架微分落在切平面内的部分为标架的协变微分, 即 `"D" bm e_1 = omega_12 bm e_2`, `quad "D" bm e_2 = omega_21 bm e_1`. 一般的切向量场 `bm v = f_1 bm e_1 + f_2 bm e_2` 的协变微分定义为 `"d"bm v` 在切平面内的投影 ` "D"bm v = (:"d"bm v, bm e_1:) bm e_1 + (:"d"bm v, bm e_2:) bm e_2` `= ("d"f_1 + f_2 omega_21) bm e_1 + ("d"f_2 + f_1 omega_12) bm e_2`. 由于 `"d"bm v` 与正交标架 `{bm e_1, bm e_2}` 的选取无关, 所以协变微分也与正交标架的选取无关.

Levi-Civita 平行 设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是曲面上的一曲线, `bm v(t)` 是定义在该曲线上的切向量场 (曲面的切向量). 如果 `("D"bm v)/dt = bb 0`, 则称 `bm v` 沿 `gamma` 平行.

设 `gamma(t)`, `t in [a, b]` 是曲面上的一曲线, 起点为 `gamma(a) = P`. 则曲面在 `P` 点处的任一切向量 `bm v_0` 都可以沿 `gamma` 平移. 换言之, 沿 `gamma` 平行, 且满足初值条件 `bm v(a) = bm v_0` 的切向量场 `bm v` 存在且唯一.

条件 `("D"bm v)/dt = bb 0` 等价于 `{ ("d"f_1)/dt + f_2 omega_21/dt = 0; ("d"f_2)/dt + f_1 omega_12/dt = 0; :}` 当曲线 `gamma` 给定后, 上式是关于函数 `f_1, f_2` 的一阶常微分方程组. 由一阶常微分方程初值问题解的存在唯一性定理可得结论.

设 `bm v, bm w` 是曲面上沿曲线 `gamma` 的两个平行切向量场, 则 `(:bm v, bm w:)` 为常数.

`("D"bm v)/dt = ("D"bm w)/dt = bb 0` 等价于 `(:"d"bm v, bm e_1:) = (:"d"bm v, bm e_2:)` `= (:"d"bm w, bm e_1:) = (:"d"bm w, bm e_2:) = 0`, 从而对曲线 `gamma` 上任一点处的任一切向量 `bm t = a bm e_1 + b bm e_2` 都有 `(:"d"bm v, bm t:) = (:"d"bm w, bm t:) = 0`. 所以 ` "d"(:bm v, bm w:) = (:"d"bm v, bm w:) + (:bm v, "d" bm w:) = 0`.

曲面上的平行移动保持切向量的长度和两个切向量间的夹角不变.

将 Levi-Civita 平行定义中的协变微分换成普通微分 `"d"`, 曲面换成欧氏平面, 所定义的就是普通欧氏平面上的平移. 这两种平移都保持向量的长度和夹角不变, 但与欧氏平面的平移不同, 曲面上的平移一般与路径选择有关.

测地曲率与测地线

测地曲率

此前已经研究过曲率向量 `("d"^2 bm r)/("d"s^2)` 在法方向上的分量, 即法曲率 `k_n = (:("d"^2 bm r)/("d"s^2), bm n:)`. 现在, 用协变微分研究其切向部分, 即测地曲率.

设 `S: bm r(u, v)` 是 `E^3` 的曲面, `bm r(s) = bm r(u(s), v(s))` 是曲面上一条弧长参数曲线. 沿该曲线取曲面的正交标架 `{bm e_1, bm e_2, bm e_3}`, 使得 `bm e_1 = ("d"bm r)/("d"s)`, `bm e_3 = bm n`, `bm e_2 = bm e_3 ^^ bm e_1`. 定义 `bm r(s)` 的测地曲率为 `k_g := (:("d"^2 bm r)/("d"s^2), bm e_2:)` `= (:("d"bm e_1)/("d"s), bm e_2:)` `= (:("D"bm e_1)/("d"s), bm e_2:)` `= omega_12/("d"s)`. 称 `bm k_g = ("D"bm e_1)/("d"s) = k_g bm e_2` 为曲线的测地曲率向量. 它是曲率向量在切平面的投影.

测地曲率是平面曲线曲率在曲面的推广, 它只依赖于曲线的选取和曲面的联络形式, 是内蕴的几何量.

易知曲率向量有如下分解 `("d"^2 bm r)/("d"s^2) = k_g bm e_2 + k_n bm e_3`. 因此 `kappa^2 = k_g^2 + k_n^2`.

Liouville 公式 设 `(u, v)` 是曲面的正交参数, `"I" = E"d"u"d"u + G"d"v"d"v`, `bm r(s) = bm r(u(s), v(s))` 是曲面上的弧长参数曲线, 它与 `u` 线的夹角为 `theta`, 则它的测地曲率 `k_g` 满足 `k_g "d"s = "d"theta + omega_12`,
`k_g = ("d"theta)/("d"s) - (ln E)_v/(2sqrt G) cos theta + (ln G)_u/(2sqrt E) sin theta`.

取 `omega_1 = sqrt E "d"u`, `omega_2 = sqrt G "d" v`, 回忆 (4-13): `omega_12 = -(sqrt E)_v/sqrt G "d"u + (sqrt G)_u/sqrt E "d"v`. 沿曲线 `bm r(s)` 取正交标架 `{bar bm e_1, bar bm e_2, bar bm e_3}`, 由于曲线与 `u` 线的夹角为 `theta`, 有 `[bar bm e_1; bar bm e_2] = [cos theta, -sin theta; sin theta, cos theta] [bm e_1; bm e_2]`. 于是 `k_g = bar omega_12/("d"s) = ("d"theta)/("d"s) + omega_12/("d"s)`. 利用 ` sqrt E ("d"u)/("d"s)` `= omega_1/("d"s)` `= (:("d"bm r)/("d"s), bm e_1:)` `= cos theta`,
` sqrt G ("d"v)/("d"s)` `= omega_2/("d"s)` `= (:("d"bm r)/("d"s), bm e_2:)` `= sin theta` 得 `k_g = ("d"theta)/("d"s) - (sqrt E)_v/sqrt(E G) cos theta + (sqrt G)_u/sqrt(E G) sin theta`, 即得结论.

测地线

设 `bm r(s)` 是曲面上的弧长参数曲线, 由曲率向量的分解式 `("d"^2 bm r)/("d"s^2) = bm k_g + k_n bm n` 知道, `bm r(s)` 是测地线当且仅当 `bm k_g -= bb 0`, 也当且仅当曲率向量 `("d"^2 bm r)/("d"s^2)` 平行于法向量 `bm n`. 特别地, 任何曲面上的直线都是测地线, 因为它满足 `("d"bm r^2)/("d"s^2) = bb 0`.

测地线方程 根据自然标架的运动方程 ` ("d"^2 bm r)/("d"s^2) = "d"/("d"s) (bm r_alpha ("d"u^alpha)/("d"s))`
`= ("d"bm r_beta)/("d"s) ("d"u^beta)/("d"s) + bm r_alpha ("d"^2 u^alpha)/("d"s^2)`
`= (("d"^2 u^alpha)/("d"s^2) + Gamma_(beta gamma)^alpha ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s)) bm r_alpha + b_(alpha beta) ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s) bm n`, 故 `bm r(s)` 是测地线当且仅当 ` ("d"^2 u^alpha)/("d"s^2) + Gamma_(beta gamma)^alpha ("d"u^beta)/("d"s) ("d"u^gamma)/("d"s) = 0`, `quad alpha = 1,2`.

借助测地线方程, 我们将导出一系列测地线的性质, 可以类比平面上直线的性质.

测地线的存在唯一性 曲面上过任意一点, 沿任意切向 (局部) 存在唯一一条测地线. 这可以由测地线方程在初值条件下解的存在唯一性推出.

等距变换下, 测地线仍变为测地线. 这是因为测地曲率由第一基本形式决定.

球面上的测地线 取球面上的点 `P` 与 `P` 点的切向量 `bm v`, 向量 `vec(OP)` 和 `bm v` 张成的平面与球面交于一个圆 `Gamma`, `bm v` 也是 `Gamma` 的切向量. 容易看出, `Gamma` 的主法向和球面的法向重合, 所以 `Gamma` 是球面的测地线. 由测地线的唯一性, 球面的测地线就是过球心的平面与球面所交的圆, 这类圆称为球面的大圆.

圆柱面上的测地线 平面的测地线是直线. 利用等距变换, 圆柱面的测地线就是: 将平面卷成圆柱面时, 由平面直线变成的曲线. 容易发现它们是平行圆与圆柱螺线. 自然界的攀缘植物沿螺线生长, 是测地线的一个例子.

我们用变分法来证明. 设弧长参数曲线 `bm r(s) = bm r(u^1(s), u^2(s))`, `s in [0, l]`, `bm r(0) = P`, `bm r(l) = Q` 是曲面上联结 `P, Q` 的最短曲线. 沿着 `bm r(s)` 取曲面的正交标架 `{bm e_1 = ("d"bm r)/("d"s), bm e_2 = bm n ^^ bm e_1, bm e_3 = bm n}`. 设沿着 `bm r(s)`, `bm e_2 = a^1(s) (del bm r)/(del u^1) + a^2(s) (del bm r)/(del u^2)` `= a^1 bm r_1 + a^2 bm r_2`, 又设 `f in C[0, l]`, `f(0) = f(l) = 0`. 考虑曲面上一族曲线 `bm r^lambda(s) = bm r(u^1 + lambda a^1 f, u^2 + lambda a^2 f)`, `quad lambda in (-epsi, epsi)`. 可以验证 `bm r^lambda` 满足

`bm r^0(s) = bm r(s)`;
`bm r^lambda(0) = P`, `bm r^lambda(l) = Q`, `AA lambda in (-epsi, epsi)`;
`(del bm r^lambda)/(del lambda)|_(lambda=0) = (a^1 bm r_1 + a^2 bm r_2) f = f bm e_2`.

曲线族 `{bm r^lambda}` 称为 `bm r^0(s) = bm r(s)` 的一个变分. 记 `L(lambda) = int_0^l |(del bm r^lambda)/(del s)| "d"s` 为 `bm r^lambda` 的长度 (注意 `s` 仅是曲线 `bm r^0` 的弧长参数), 利用公式 `("d"r)/dt = "d"/dt sqrt((:bm r, bm r:))` `= (:bm r, ("d"bm r)/dt:)/sqrt(:bm r, bm r:)` `= 1/r (:bm r, ("d"bm r)/dt:)`, 有 ` {:del/(del lambda) |(del bm r^lambda)/(del s)| |_(lambda=0)` `= {:|(del bm r^lambda)/(del s)|^-1 (:(del bm r^lambda)/(del s), del/(del lambda) (del bm r^lambda)/(del s):)|_(lambda=0)`
`= {:(:(del bm r^lambda)/(del s), del/(del s)(del bm r^lambda)/(del lambda):)|_(lambda=0)`
`= (:bm e_1, "d"/("d"s) (f bm e_2) :)`
`= (:bm e_1, ("d"f)/("d"s) bm e_2:) + (:bm e_1, f{::} ("d"bm e_2)/("d"s):)`
`= 0 + f omega_21/("d"s)` `= -f k_g`. 这里 `k_g` 是曲线 `bm r(s)` 的测地曲率. 由最短假设, ` 0 = {:("d"L)/("d"lambda)|_(lambda=0)` `= int_0^l{:del/(del lambda)|(del bm r^lambda)/(del s)| |_(lambda=0) "d"s` `= -int_0^l f k_g "d"s`. 容易推出 `k_g -= 0`, 即 `bm r(s)` 是测地线.

此定理的逆不成立, 比如在球面上取两点, 它们的连线不过球心, 则过这两点有唯一一个大圆. 在圆上联结它们的劣弧是最短测地线, 联结它们的优弧也是测地线, 但不是最短的.

Gauss-Bonnet 公式

Gauss-Bonnet 公式 设 `S` 是 `E^3` 的曲面, `D` 是曲面上一块单连通区域, `del D` 分段光滑. 设 `theta_i` 是 `del D` 的顶点的外角, 则 `iint_D K "d"A + oint_(del D) k_g "d"s + sum theta_i = 2 pi`.

取 `S` 的正交标架 `bm e_1, bm e_2`, 在 `D` 上对 Gauss 方程 `"d"omega_12 = -K omega_1 ^^ omega_2 = -K "d"A` 两边积分, 应用 Green 公式就有 `iint_D K "d"A = -iint_D "d"omega_12 = -oint_(del D) omega_12`. 设 `del D` 与 `bm e_1` 的夹角为 `theta`, 在每一光滑的小段上由 Liouville 公式有 `k_g "d"s = "d"theta + omega_12`. 于是 ` iint_D K "d"A + oint_(del D) k_g "d"s` `= -oint_(del D) omega_12 + oint_(del D) ("d"theta + omega_12)` `= oint_(del D) "d" theta`. 余下的证明是直观的.

曲面上向量沿光滑闭曲线平移产生的角度差 设 `alpha(s)` 是沿曲线平行向量场 `bm v(s)` 与 `bm e_1` 的夹角, 则由 `bm v` 的平行性, `bb 0 = "D"bm v`
`= "D" (bm e_1 cos alpha + bm e_2 sin alpha)`
`= (-bm e_1 sin alpha + bm e_2 cos alpha) "d"alpha` `+ omega_12 bm e_2 cos alpha + omega_21 bm e_1 sin alpha`
`= (bm e_2 cos alpha - bm e_1 sin alpha)("d"alpha + omega_12)`. 因此 `"d"alpha = -omega_12`. 积分得角度差 `oint_(del D) "d"alpha` `= -oint_(del D) omega_12` `= iint_D K "d"A`. 可以看出, 平移的角度差是由曲面弯曲 (`K`) 引起的.

测地坐标系

测地平行坐标系

法坐标系和测地极坐标系

指数映射 设 `bm v` 是曲面上 `P` 点处的一个单位切向量, `gamma(bm v, s)` 是从 `P` 点出发, 与 `bm v` 相切, 以 `s ge 0` 为弧长参数的测地线, 又称测地射线. `s` 的定义范围可能很小, 且与 `bm v` 有关, 但 `bm v` 的全体是单位圆周, 这是一个紧致集合. 记 `P` 点处的切平面为 `T_P S`, 利用常微分方程解对初值的连续性可以证明: 存在 `epsi gt 0`, 使得对任意单位切向量 `bm v in T_P S`, `gamma(bm v, s)` 都在 `[0, epsi)` 上有定义. 据此, 对任意非零切向量 `rho bm v` (`rho gt 0`, `bm v` 是单位切向量), 定义指数映射 `exp_P: T_P S |-> S` 如下: `exp_P(rho bm v) = gamma(bm v, rho)`, `quad rho in [0, epsi)`. 指数映射将切平面原点的一个小邻域映到曲面上, 它将切平面上过原点的直线映为曲面上过 `P` 点的测地线, 将切平面上以原点为心的圆映为曲面上的测地圆.

法坐标系和测地极坐标系 取 `P` 点的正交标架 `bm e_1, bm e_2`, 建立切平面 `T_P S` 的直角坐标系. 则曲面 `S` 在 `P` 附近有参数表示 `bm r(x^1, x^2) = exp_P(x^1 bm e_1 + x^2 bm e_2)`. 利用参数变换 `{ x^1 = rho cos theta; x^2 = rho sin theta :}`, 则曲面 `S` 在 `P` 附近也有参数表示 `bm r(rho, theta) = exp_P(rho cos theta bm e_1 + rho sin theta bm e_2)`. `(x^1, x^2)` 与 `(rho, theta)` 分别称为曲面的法坐标系和测地极坐标系. 测地极坐标系下, `theta` 为常数的线称为 `rho` 线, 它是过 `P` 点的测地线. `rho` 为常数的线称为 `theta` 线, 它是以 `rho` 的半径的测地圆.

法坐标系 `(x^1, x^2)` 在原点处满足 `g_(alpha beta) = delta_(alpha beta)`, `quad Gamma_(beta gamma)^alpha = (del g_(alpha beta))/(del x^gamma) = 0`, `quad alpha, beta, gamma = 1, 2`.

在测地极坐标系 `(rho, theta)` 中, `"I" = "d"rho^2 + G "d"theta^2`,
`lim_(rho to 0) sqrt G = 0`, `quad lim_(rho to 0) (sqrt G)_rho = 1`.

常 Gauss 曲率曲面的第一基本形式 `"I" = { "d"rho^2 + rho^2 "d"theta^2, if K = 0; "d"rho^2 + (sin^2 a rho)/a^2 "d"theta^2, if K = a^2; "d"rho^2 + (sinh^2 a rho)/a^2 "d"theta^2, if K = -a^2; :}` 因为 `K` 为常数时, 第一基本形式由 `K` 完全决定. 所以相同常 Gauss 曲率的曲面, 局部间可以建立等距变换.

先计算 Gauss 曲率. `omega_1 = "d"rho`, `quad omega_2 = sqrt G "d"theta`,
`omega_12 = ("d"omega_1)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_1 + ("d"omega_2)/(omega_1 ^^ omega_2) omega_2` `= ("d"sqrt G ^^ "d"theta)/(sqrt G "d"rho ^^ "d"theta) sqrt G "d"theta` `= (sqrt G)_rho "d"theta`,
`K = -("d"omega_12)/(omega_1 ^^ omega_2)` `= -("d"((sqrt G)_rho) ^^ "d"theta)/(sqrt G "d"rho ^^ "d"theta)` `= -((sqrt G)_(rho rho))/sqrt G`. 当 `K` 为常数时, 得到关于 `sqrt G` 的二阶常系数常微分方程 `(sqrt G)_(rho rho) + K sqrt G = 0`. 根据 `K` 的正负讨论如下. 其中系数 `f(theta)` 和 `g(theta)` 可以由确定.

`K`	`sqrt G`	`f(theta)`	`g(theta)`
`0`	`f(theta) rho + g(theta)`	`1`	`0`
`a^2 gt 0`	`f(theta) cos a rho + g(theta) sin a rho`	`0`	`1/a`
`-a^2 lt 0`	`f(theta) cosh a rho + g(theta) sinh a rho`	`0`	`1/a`

再应用即得结论.

测地线的极小性质 对曲面上任意一点 `P`, 存在邻域 `U`, 使得对任意 `Q in U`, 在 `U` 内联结 `P, Q` 两点的测地线是所有在 `U` 内联结 `P, Q` 两点的曲线中最短的.

曲面的等距变换