本章起我们离开古典微分几何, 进入现代微分几何的领域. 第一个重要概念就是流形: 它是加上了一些限定条件的拓扑空间, 从而方便我们应用微积分的工具.

流形

流形的定义

  1. 流形 (manifold) `M` 是指第二可数 (具有可数拓扑基) 的 Hausdorff 空间 (任意两点有不相交开邻域), 且与欧氏空间 `RR^n` 局部同胚.
  2. 所谓局部同胚是指, 存在流形 `M` 的开覆盖 `{U_alpha}_(alpha in Gamma)` 以及一族连续映射 `varphi_alpha: U_alpha to RR^n`, 满足每个像集 `varphi_alpha(U_alpha)` 都是 `RR^n` 中的开集, 且 `varphi_alpha` 是同胚.
    我们称 `(U_alpha, varphi_alpha)` 为一个局部坐标系 (又称坐标卡, coordinate chart), `U_alpha` 为局部坐标邻域, `varphi_alpha` 为局部坐标映射, `{(U_alpha, varphi_alpha)}` 为 `M` 的局部坐标覆盖 (又称地图册, atlas).

可以证明这里的 `n` 是一个确定的正整数, 即不会存在另一个正整数 `m != n` 使得 `M` 与 `RR^m` 局部同胚. `n` 称为 `M` 的维数.

Hausdorff 和第二可数都是可继承的拓扑性质, 在子拓扑空间中自动成立.

地图册 把流形类比成地球, 每个局部坐标系类比成各地区的地图. 映射 `varphi_alpha` 把地区 `U_alpha` 映射到平面的地图 (欧氏空间) 中. `{(U_alpha, varphi_alpha)}` 就相当于一本世界地图册.
在这本地图册中, 相邻两幅地图可以有交集. 设 `U_alpha nn U_beta != O/`, 则从地图 `alpha` 的一点 `p_alpha = (x_alpha, y_alpha)`, 可以确定世界上的一点 `p = varphi_alpha^-1(p_alpha)`, 从而确定地图 `beta` 的一点 `p_beta = varphi_beta(p) = (varphi_beta @ varphi_alpha^-1)(p_alpha)`. 我们称映射 `varphi_beta @ varphi_alpha^-1` 为转换映射. 由于 `varphi_alpha`, `varphi_beta` 都是同胚, 转换映射一定连续.

  1. `C^r` 流形 如果进一步要求对任意 `U_alpha nn U_beta != O/`, 转换映射 `varphi_beta @ varphi_alpha^-1: varphi_alpha(U_alpha nn U_beta) to varphi_beta(U_alpha nn U_beta)` 为 `C^r` 映射, 则称 `M` 为 `C^r` 流形. 当 `r = 0` 时, 称为拓扑流形; `r ge 1` 时, 称为微分流形; `r = oo` 时, 称为光滑流形. 当转换映射都是实解析 (可以展开成幂级数) 时, 称为实解析 (`C^omega`) 流形.
  2. 相容性与微分结构 通常, 流形 `M` 的地图册 `cc A = {(U_alpha, varphi_alpha)}` 不是极大的, 可以向它添加更多的地图. 设 `(U, varphi)` 是 `M` 的局部地图, 即: `U` 是 `M` 的开集, 且 `varphi: U to varphi(U) sube RR^n` 是同胚. 如果任意 `varphi_alpha` 与 `varphi` 的转换映射都是 `C^r` 的, 则 `(U, varphi)` 可以被添加到地图册当中, 我们称 `(U, varphi)` 与 `cc A` 是 `C^r` 相容的. 可以证明, 与 `cc A` 相容的所有局部坐标系组成包含 `cc A` 的极大地图册 `cc D`, 使得与 `cc D` 相容的局部坐标系 `(U, varphi)` 都含于 `cc D`. 换言之, 地图册 `cc D` 已经不能加入任何与之相容的新地图. 我们称这种极大地图册 `cc D` 为 `M` 上的一个微分结构.
  1. 存在拓扑流形的例子, 它仅是 `C^0` 的, 其上不存在任何相容的 `C^r (r ge 1)` 微分结构.
  2. 可以证明, 给定一个 `C^r (r ge 1)` 的微分结构, 一定存在一个相容的 `C^oo` 微分结构. 故以下我们默认微分流形都是光滑 (`C^oo`) 的.
  1. `C^k` 映射 设 `f: M to N` 是两个 `C^r` 微分流形间的连续映射, 如果对任意 `p in M`, `f(p) in N` 以及 `f(p)` 附近的局部坐标系 `(V, psi)`, 均存在 `p` 附近的局部坐标系 `(U, varphi)`, 使得 `f(U) sube V`, 且转换映射 `psi @ f @ varphi^-1: varphi(U) (sube RR^n) to psi(V) (sube RR^n)` 为 `C^k (k le r)` 映射, 则称 `f` 是 `M, N` 之间的 `C^k` 映射, 记作 `f in C^k(M, N)`.
  2. 微分同胚 若上述 `f` 是同胚, 且 `f, f^-1` 均为 `C^r` 映射, 则称 `f` 是 `M, N` 之间的 `C^r` 微分同胚. 我们把微分同胚的两个流形视作等同的. 又如果在同一个拓扑流形上定义两个微分结构, 所作出的两个微分流形是微分同胚的, 则称两个微分结构等价.

良定义 由于流形定义中的局部坐标系只要求存在性, 不要求唯一性, 因此用局部坐标系定义新概念时, 需要验证这是个良定义, 即新概念与局部坐标系的选取无关. 以 `C^k` 映射为例, 它的定义中虽然用到局部坐标系, 但由于任意两个坐标映射 `varphi_alpha`, `varphi_beta` 之间的转换映射都是 `C^r` 的, 所以 `C^k` 映射不依赖于局部坐标系选取.

光滑流形

不加说明的情况下, 我们接下来涉及的流形都指光滑流形, 即 `C^oo` 流形.

切空间

    设 `M` 是 `n` 维光滑流形, `p in M`.
  1. 光滑函数族 考虑全体在 `p` 的某邻域上有定义的 `C^oo` 函数 `f: U_f to RR`, `quad U_f` 是 `p` 的邻域. 它们之间可以建立等价关系 `~`: 其中 `f ~ g iff EE p 的邻域 V`, `AA x in V`, `f(x) = g(x)`. 所有的这些等价类记作 `C_p^oo(M)`, 称为 `p` 处的光滑函数族. 在函数的加法与乘法下, `C_p^oo(M)` 成为一个环; 再加以实数的数乘, 它成为一个 `RR` 上的代数.
  2. 导子 (或方向导数, 切向量) 线性映射 `D: C_p^oo(M) to RR` 称为 `M` 在 `p` 处的一个导子, 如果它满足 Leibniz 法则: `AA f, g in C_p^oo(M)`, `D(f g) = {:D(f) g + f D(g)|_p`. 可以验证, 在 `M = RR^n` 时, `p` 处的全体导子恰为 `p` 处的全体方向导数, 因此又把导子称为方向导数.
    可以验证, 导子经过加法、数乘运算仍满足 Leibniz 法则, 故 `p` 处的全体导子构成线性空间, 记作 `T_p(M)`, 称为 `M` 在 `p` 处的切空间. 因此又把导子称为切向量.
  3. 偏导数 (或对坐标微分) 取 `p` 的坐标卡 `(U, phi) = (U, x^1, cdots, x^n)`, 其中 `phi: U to RR^n`, `x^1, cdots, x^n` 是 `phi` 的坐标分量. 记 `r^1, cdots, r^n` 是 `RR^n` 是标准坐标函数, 即, `r^i: RR^n to RR` 的作用是取出向量的第 `i` 个分量. 那么 `x^i` 可以写成 `x^i = r^i @ phi`: `U to RR`. 对任意 `f in C_p^oo(M)`, 定义 `f` 对 `x^i` 在 `p` 点的偏导数为 `{: pp f x^i |_p` `:= {: pp (f@phi^-1) r^i |_(phi(p))`. 该定义将流形上的偏导数与实函数 `f @ phi^-1: RR^n to RR` 的偏导数联系在一起.
    由坐标函数 `phi` 的光滑性知道 `x^i in C_p^oo(M)`, 因此可以计算 `{: pp x^i x^j |_p` `= {: pp (r^i@phi@phi^-1) r^j |_(phi(p))` `= delta_j^i`. 可以验证 `{:del//del x^i|_p: C_p^oo(M) to RR` 满足 Leibniz 律, 因此是导子.
  4. 微分 设 `F: N to M` 是流形间的 `C^oo` 映射. `F` 在 `p in N` 处的微分 `F_ast` 定义为切空间之间的线性映射, 它将 `p` 处的导子映为 `F(p)` 处的导子. `F_ast: T_p N to T_(F(p)) M`,
    `(F_ast D) f = D(f @ F)`, `quad AA D in T_p N`, `f in C_(F(p))^oo(M)`.     可以验证 `F_ast D` 满足 Leibniz 律, 且 `F_ast` 是线性的. 特别当 `F` 是微分同胚时, `F_ast` 是线性空间的同构.
  5. 微分的链式法则 设 `F: N to M`, `G: M to P` 是流形间的 `C^oo` 映射. 取 `p in N`, 考虑 `F` 和 `G` 的微分的复合运算: `T_p N overset(F_(ast, p)) --> T_(F(p)) M overset(G_(ast, F(p))) --> T_(G(F(p))) P`, 其中 `(G @ F)_ast = G_ast @ F_ast`.
  6. 切空间的基 取 `p` 的坐标卡 `(U, phi) = (U, x^1, cdots, x^n)`, 求 `phi` 的微分可得: `AA f in C_(phi(p))^oo(RR^n)`, `phi_ast ({:del/(del x^i)|_p) f` `==^"微分定义" {:del/(del x^i)|_p (f @ phi)` `==^"偏导数定义" {:pp (f@phi@phi^-1) r^i |_(phi(p))` `= {: pp f r^i |_(phi(p))`. 因此 `phi_ast ({:del/(del x^i)|_p)` `= {: del/(del r^i) |_(phi(p))`. 由于 `phi` 是微分同胚, `phi_ast` 是线性同构. 但 `(del//del r^i)_(i=1)^n` 是 `T_(phi(p))(RR^n)` 的基, 所以 `(del//del x^i)_(i=1)^n` 是 `T_p M` 的基 (线性同构将基底映为基底). 从而 `dim T_p M = dim M`.
  7. 维数不变量 由于切空间维数等于流形维数, 且切空间在微分同胚下保持线性同构, 我们推出: 光滑流形的维数在微分同胚下不变.