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• 梅加强《流形与几何初步》, 难度较高
• Loring Tu《An Introduction to Manifolds》, 适合初学
• 知乎@Silence

本章起我们离开古典微分几何, 进入现代微分几何的领域. 第一个重要概念就是流形: 它是曲线、曲面等概念的高维推广. 定义上, 流形是加上了一些限定条件的拓扑空间, 从而方便我们应用微积分的工具.

流形

1. 流形 (manifold) `M` 是指第二可数 (具有可数拓扑基) 的 Hausdorff 空间 (任意两点有不相交开邻域), 且与欧氏空间 `RR^n` 局部同胚.
2. 所谓局部同胚是指, 存在流形 `M` 的开覆盖 `{U_alpha}_(alpha in Gamma)` 以及一族连续映射 `varphi_alpha: U_alpha to RR^n`, 满足每个像集 `varphi_alpha(U_alpha)` 都是 `RR^n` 中的开集, 且 `varphi_alpha` 到它的像上是同胚.
   我们称 `(U_alpha, varphi_alpha)` 为一个局部坐标系 (又称坐标卡, coordinate chart), `U_alpha` 为局部坐标邻域, `varphi_alpha` 为局部坐标映射, `{(U_alpha, varphi_alpha)}` 为 `M` 的局部坐标覆盖 (又称地图册, atlas).

可以证明, 在 `M` 的每个连通分量上, `n` 是一个确定的正整数, 即不会存在另一个正整数 `m != n` 使得 `M` 与 `RR^m` 局部同胚. 如果在每个连通分量上的 `n` 值都相等, 则称 `n` 为 `M` 的维数, `M` 是 `n` 维流形.

Hausdorff 和第二可数都是可继承的拓扑性质, 在子拓扑空间中自动成立. 此外, 可数个第二可数空间的乘积第二可数, 任意多个 Hausdorff 空间的乘积 Hausdorff.

地图册 把流形类比成地球, 每个局部坐标系类比成各地区的地图. 映射 `varphi_alpha` 把地区 `U_alpha` 映射到平面的地图 (欧氏空间) 中. `{(U_alpha, varphi_alpha)}` 就相当于一本世界地图册.
在这本地图册中, 相邻两幅地图可以有交集. 设 `U_alpha nn U_beta != O/`, 则从地图 `alpha` 的一点 `p_alpha = (x_alpha, y_alpha)`, 可以确定世界上的一点 `p = varphi_alpha^-1(p_alpha)`, 从而确定地图 `beta` 的一点 `p_beta = varphi_beta(p) = (varphi_beta @ varphi_alpha^-1)(p_alpha)`. 我们称映射 `varphi_beta @ varphi_alpha^-1` 为转换映射. 由于 `varphi_alpha`, `varphi_beta` 都是同胚, 转换映射一定连续.

1. `C^r` 流形 如果进一步要求对任意 `U_alpha nn U_beta != O/`, 转换映射 `varphi_beta @ varphi_alpha^-1: varphi_alpha(U_alpha nn U_beta) to varphi_beta(U_alpha nn U_beta)` 为 `C^r` 映射, 则称 `M` 为 `C^r` 流形. 当 `r = 0` 时, 称为拓扑流形; `r ge 1` 时, 称为微分流形; `r = oo` 时, 称为光滑流形. 当转换映射都是实解析 (可以展开成幂级数) 时, 称为实解析 (`C^omega`) 流形.
2. 相容性与微分结构 通常, 流形 `M` 的地图册 `cc A = {(U_alpha, varphi_alpha)}` 不是极大的, 可以向它添加更多的地图. 设 `(U, varphi)` 是 `M` 的局部地图, 即: `U` 是 `M` 的开集, 且 `varphi: U to varphi(U) sube RR^n` 是同胚. 如果任意 `varphi_alpha` 与 `varphi` 的转换映射都是 `C^r` 的, 则 `(U, varphi)` 可以被添加到地图册当中, 我们称 `(U, varphi)` 与 `cc A` 是 `C^r` 相容的. 可以证明, 与 `cc A` 相容的所有局部坐标系组成包含 `cc A` 的极大地图册 `cc D`, 使得与 `cc D` 相容的局部坐标系 `(U, varphi)` 都含于 `cc D`. 换言之, 地图册 `cc D` 已经不能加入任何与之相容的新地图. 我们称这种极大地图册 `cc D` 为 `M` 上的一个微分结构.

1. 存在拓扑流形的例子, 它仅是 `C^0` 的, 其上不存在任何相容的 `C^r (r ge 1)` 微分结构.
2. 可以证明, 给定一个 `C^r (r ge 1)` 的微分结构, 一定存在一个相容的 `C^oo` 微分结构. 故以下我们默认微分流形都是光滑 (`C^oo`) 的.
3. 已知每个小于 4 维的拓扑流形上都有唯一的微分结构, 并且每个大于 4 维的紧拓扑流形都存在有限个不同的微分结构. 而 4 维是个谜, 我们有如下猜想:
   光滑 Poincaré 猜想 `S^4` 具有唯一的微分结构.

1. `C^k` 映射 设 `f: M to N` 是两个 `C^r` 微分流形间的连续映射, 如果对任意 `p in M`, `f(p) in N` 以及 `f(p)` 附近的局部坐标系 `(V, psi)`, 均存在 `p` 附近的局部坐标系 `(U, varphi)`, 使得 `f(U) sube V`, 且转换映射 `psi @ f @ varphi^-1: varphi(U) (sube RR^n) to psi(V) (sube RR^n)` 为 `C^k (k le r)` 映射, 则称 `f` 是 `M, N` 之间的 `C^k` 映射, 记作 `f in C^k(M, N)`.
2. 微分同胚 若上述 `f` 是同胚, 且 `f, f^-1` 均为 `C^r` 映射, 则称 `f` 是 `M, N` 之间的 `C^r` 微分同胚. 我们把微分同胚的两个流形视作等同的. 又如果在同一个拓扑流形上定义两个微分结构, 所作出的两个微分流形是微分同胚的, 则称两个微分结构等价.

良定义 由于流形定义中的局部坐标系只要求存在性, 不要求唯一性, 因此用局部坐标系定义新概念时, 需要验证这是个良定义, 即新概念与局部坐标系的选取无关. 以 `C^k` 映射为例, 它的定义中虽然用到局部坐标系, 但由于任意两个坐标映射 `varphi_alpha`, `varphi_beta` 之间的转换映射都是 `C^r` 的, 所以 `C^k` 映射不依赖于局部坐标系选取.

每个坐标映射 `varphi: U to varphi(U)` 都是 `C^oo` 同胚.

把 `varphi(U) sube RR^n` 看作流形, 坐标映射为恒等映射 `"id"`, 则转换映射 `"id" @ varphi @ varphi^-1 = "id"` 是光滑映射.

若两个坐标卡 `(V, psi)`, `(W, sigma)` 都与地图册 `{(U_alpha, phi_alpha)}` `C^oo` 相容, 则这两个坐标卡也 `C^oo` 相容.

极大地图册的存在唯一性 对任意地图册 `cc U = {(U_alpha, phi_alpha)}`, 都存在唯一的 (`C^oo` 的) 极大地图册 `cc D` 使 `cc U sube cc D`. 事实上 `cc D` 由一切与 `cc U` `C^oo` 相容的坐标卡组成.

乘积流形 设 `M`, `N` 是光滑流形, 则 `M xx N` 也是光滑流形, 它的一个地图册为 `{(U_alpha xx V_beta, phi_alpha xx psi_beta)}`. 因此 `M xx N` 的维数是 `M, N` 之和.

切空间

切空间是对流形的局部线性近似. 尽管流形一般不是线性空间, 但切空间是. ——从而线性代数有了用武之地.

设 `M` 是 `n` 维光滑流形, `p in M`.
1. 光滑函数族 考虑全体在 `p` 的某邻域上有定义的 `C^oo` 函数 `f: U_f to RR`, `quad U_f` 是 `p` 的邻域. 它们之间可以建立等价关系 `~`: 其中 `f ~ g iff EE p` 的邻域 `V`, `AA x in V`, `f(x) = g(x)`. 所有的这些等价类记作 `C_p^oo(M)`, 称为 `p` 处的光滑函数族. 在函数的加法与乘法下, `C_p^oo(M)` 成为一个环; 再加以实数的数乘, 它成为一个 `RR` 上的代数.
2. 导子 (切向量, 或方向导数) 线性映射 `D: C_p^oo(M) to RR` 称为 `M` 在 `p` 处的一个导子, 如果它满足 Leibniz 法则: `AA f, g in C_p^oo(M)`, `D(f g) = {:D(f) g + f D(g)|_p`. `p` 处的全体导子构成线性空间, 记作 `T_p(M)`, 称为 `M` 在 `p` 处的切空间 (tangent space). 因此又把导子称为切向量.
   可以验证, 在 `M = RR^n` 时, `p` 处的全体导子恰为 `p` 处的全体方向导数, 因此又把导子称为方向导数.

   在 `RR^n` 中, `p` 处沿 `v = (v^1, cdots, v^n)` 方向的导数定义为 `(del f)/(del v) := lim_(t to 0) (f(p + t v) - f(p)) / t` `= sum v_i (del f)/(del x^i)|_p`.

3. 偏导数 (或对坐标微分) 取 `p` 的坐标卡 `(U, phi) = (U, x^1, cdots, x^n)`, 其中 `phi: U to RR^n`, `x^1, cdots, x^n` 是 `phi` 的坐标分量. 记 `r^1, cdots, r^n` 是 `RR^n` 是标准坐标函数, 即, `r^i: RR^n to RR` 的作用是取出向量的第 `i` 个分量. 那么 `x^i` 可以写成 `x^i = r^i @ phi`: `U to RR`. 对任意 `f in C_p^oo(M)`, 定义 `f` 对 `x^i` 在 `p` 点的偏导数为 `{: pp f x^i |_p` `:= {: pp (f@phi^-1) r^i |_(phi(p))`. 该定义将流形上的偏导数与实函数 `f @ phi^-1: RR^n to RR` 的偏导数联系在一起. 可以验证偏导数与坐标卡的选取无关.
   由坐标函数 `phi` 的光滑性知道 `x^i in C_p^oo(M)`, 因此可以计算 `{: pp x^i x^j |_p` `= {: pp (r^i@phi@phi^-1) r^j |_(phi(p))` `= delta_j^i`. 可以验证 `{:del//del x^i|_p: C_p^oo(M) to RR` 满足 Leibniz 律, 因此是导子.
4. 微分 设 `F: N to M` 是流形间的 `C^oo` 映射. `F` 在 `p in N` 处的微分 `F_ast` 定义为切空间之间的线性映射, 它将 `p` 处的导子映为 `F(p)` 处的导子. `F_ast: T_p N to T_(F(p)) M`,
   `(F_ast D) f = D(f @ F)`, `quad AA D in T_p N`, `f in C_(F(p))^oo(M)`. 可以验证 `F_ast D` 满足 Leibniz 律, 且 `F_ast` 是线性的. 特别当 `F` 是微分同胚时, `F_ast` 是线性空间的同构.

   微分的定义可以类比于泛函分析中的伴随算子, 也可以写成 `(:F_ast D, f:) = (:D, f @ F:)`.

5. 微分的链式法则 设 `F: N to M`, `G: M to P` 是流形间的 `C^oo` 映射. 取 `p in N`, 考虑 `F` 和 `G` 的微分的复合运算: `T_p N overset(F_ast) --> T_(F(p)) M overset(G_ast) --> T_(G(F(p))) P`, 我们有链式法则: `(G @ F)_ast = G_ast @ F_ast`.
6. 切空间的基 取 `p` 的坐标卡 `(U, phi) = (U, x^1, cdots, x^n)`, 视 `phi` 为流形 `M` 到 `RR^n` 的 `C^oo` 映射, 求微分可得: `AA f in C_(phi(p))^oo(RR^n)`, `phi_ast ({:del/(del x^i)|_p) f` `==^"微分定义" {:del/(del x^i)|_p (f @ phi)` `==^"偏导数定义" {: pp f r^i |_(phi(p))`. 因此 `phi_ast ({:del/(del x^i)|_p)` `= {: del/(del r^i) |_(phi(p))`. 由于 `phi` 是微分同胚, `phi_ast` 是线性同构. 但 `(del//del r^i)_(i=1)^n` 是 `T_(phi(p))(RR^n)` 的基, 所以 `(del//del x^i)_(i=1)^n` 是 `T_p M` 的基 (线性同构将基底映为基底). 从而 `dim T_p M = dim M`.
7. 维数不变量 由于切空间维数等于流形维数, 且切空间在微分同胚下保持线性同构, 我们推出: 光滑流形的维数在微分同胚下不变.

外代数

张量积与楔积

1. 多重线性函数 设 `V` 是 `RR` 上的线性空间, `f: V^n to RR` 称为 `n` 线性函数, 如果它对每个输入参数都线性, 记作 `f in L_n(V)`. 如果任意交换两个参数不改变函数的值, 则称 `f` 是对称的, 记作 `f in S_n(V)`; 如果任意交换两个参数恰好改变函数的正负号, 则称 `f` 是交错的, 记作 `f in A_n(V)`. 例如, 把矩阵的行列式视为 `n` 个列向量到 `RR` 的映射 `det: (RR^n)^n to RR` 时, 它是一个交错的多重线性函数.
2. 置换作用 设 `f` 是 `n` 线性函数, `sigma` 是一个 `n` 置换, 用 `sigma f` 表示 `f` 参数的置换, 即 `sigma f(x_1, cdots, x_n) := f(x_(sigma(1)), cdots, x_(sigma(n)))`. 又用 `sgn sigma` 表示置换的奇偶性, 即 `sgn sigma := {+1, if sigma "是偶置换"; -1, if sigma "是奇置换":}`. 于是 `f` 对称 `iff AA sigma in S_n`, `sigma f = f`;
   `f` 交错 `iff AA sigma in S_n`, `sigma f = sgn(sigma) f`.
   • `sgn(sigma tau) = sgn(sigma) sgn(tau)`.
   • `sigma(tau f) = (sigma tau) f`; 事实上 `sigma` 对 `f` 是群作用.
3. 置换求和 设 `f` 是 `n` 线性函数, 定义 `S f = sum_(sigma in S_n) sigma f`,
   `A f = sum_(sigma in S_n) (sgn sigma) sigma f`. 可以验证 `S f` 是对称的, `A f` 是交错的. 若 `f` 本身对称, 则 `S f = n! f`; 同理若 `f` 本身交错, 则 `A f = n! f`.
4. 张量积 多重线性函数的另一个名字叫张量. 设 `f, g` 分别是 `k, l` 线性函数, 它们的张量积定义为一个 `k+l` 线性函数: `(f ox g)(v_1, cdots, v_k, w_1, cdots, w_l)` `:= f(v_1, cdots, v_k) g(w_1, cdots, w_l)`. 换言之, `k` 阶张量与 `l` 阶张量的张量积是一个 `k+l` 阶张量. 张量积满足结合律: `(f ox g) ox h = f ox (g ox h)`.
5. 楔xiē积 (wedge product) 设 `f, g` 分别是 `k, l` 阶交错线性函数, 定义它们的楔积为 `f ^^ g = 1/(k! l!) A(f ox g)`,
   立即知道 `f ^^ g` 是 `k+l` 阶交错线性函数. 展开定义有 `f(v_1, cdots, v_(k+l))` `= 1/(k! l!) sum_(sigma in S_(k+l)) sgn(sigma) sigma(f ox g)`
   `= 1/(k! l!) sum_(sigma in S_(k+l)) sgn(sigma)` `f(v_(sigma(1)), cdots, v_(sigma(k)))` `g(v_(sigma(k+1)), cdots, v_(sigma(k+l)))`.

   不同资料中楔积的系数 `1//k!l!` 有所不同. 这里的系数是为了消除求和中重复的项: 比如 `S_(k+l)` 的子群 `S_k` 只涉及 `f` 的参数的置换, 而保持 `g` 的参数不变. 考察一般项 `sgn(sigma) sigma(f ox g)`, 利用 `f` 的交错性有 `sgn(sigma) sigma(f ox g)` `= sgn(sigma)(sigma f) ox g` `= f ox g`, `quad AA sigma in S_k`. 这说明在子群 `S_k` 上, 求和的一般项与 `sigma` 的选取无关. 事实上在 `S_k` 的每个陪集上都是如此, 对任意 `tau in S_(k+l)` 有 `sgn(tau sigma) tau sigma(f ox g)` `= sgn(tau) tau sgn(sigma)(sigma f) ox g` `= sgn(tau) tau(f ox g)`, `quad AA sigma in S_k`. 因此我们除以 `k!`, 来商掉子群 `S_k` 带来的重复项. 同理对于那些只涉及 `g` 的参数而保持 `f` 参数不变的置换, 我们除以 `l!` 来消除重复项.

6. 楔积的等价定义 楔积求和的重复项实际来自于 `f, g` 的交错性. 如果我们规定一般项 `sigma(f ox g)` 中的下标满足 `sigma(1) lt cdots lt sigma(k)`,
   `sigma(k+1) lt cdots lt sigma(k+l)`, 则称这样的 `sigma` 是一个 `k,l` 重排, 记作 `sigma in S_(k,l). 于是 `f ^^ g = sum_(sigma in S_(k,l)) sgn(sigma) sigma(f ox g)`. 显然, 要确定一个 `k, l` 重排, 只需把集合 `{1, ..., k+l}` 划分成大小为 `k, l` 的两部分, 因此上式求和共有 `(k+l;k)` 项.

楔积的性质 设 `f, g, h` 分别是 `k, l, m` 阶交错多重线性函数, 则有
1. 反交换律: `f ^^ g = (-1)^(k l) g ^^ f`.
2. `k` 是奇数时, `f ^^ f = 0`.
3. 结合律: `(f ^^ g) ^^ h = f ^^ (g ^^ h)` `= 1/(k!l!m!) A(f ox g ox h)`.

1. 设 `c in RR`, `f in A_n(V)`, 则楔积等同于实数与函数的数乘: `c ^^ f = c f`.
2. 设 `f, g in A_1(V)`, 则 `(f ^^ g)(v_1, v_2) = f(v_1) g(v_2) - f(v_2) g(v_1)`.
3. 设 `(alpha^i)_(i=1)^n in A_1(V)`, 则 `(alpha^1 ^^ cdots ^^ alpha^n)(v_1, cdots, v_n)` `= det(alpha^i(v_j))`.

对偶空间

`A_1(V) = L_1(V)` 是重要的空间, 称为对偶空间. 其中的元素 (一阶张量) 称为对偶向量 (covector), 定义如下:

对偶空间 设 `V` 是 `RR` 上的线性空间, 它的对偶空间 `V^ast` 定义为全体 `V to RR` 的线性映射. 若 `(e_i)_(i=1)^n` 是 `V` 的基, 按照 `alpha^i(e_j) := delta_j^i` 可以定义 `V^ast` 的基 `(alpha^i)_(i=1)^n`, 称为 `(e_i)_(i=1)^n` 的对偶基. 对偶基 `alpha^i` 的作用是取出向量 `v in V` 的第 `i` 分量, 事实上设 `v = sum v^j e_j`, 则 `alpha^i(v)` `= sum v^j alpha^i(e_j)` `= sum v^j delta_j^i` `= v^i`.

对偶基 `alpha^i` 的楔积构成了 `A_k(V)` 的基底. 具体来说, 引入多重指标记号 `alpha^I = alpha^(i_1) ^^ cdots ^^ alpha^(i_k)`, `quad I = (i_1, cdots, i_k)`. 则 `{alpha^I: I = (i_1 lt cdots lt i_k)}` 是 `A_k(V)` 的基, 它有 `(n;k)` 个成员, `n = dim V`.

`k gt dim V` 时, `A_k(V) = 0`. 这是因为基向量 `alpha^I` 至少有两项相等: `alpha^i = alpha^j`, 从而 `alpha^i ^^ alpha^j = 0`.

微分形式

1. 切向量场 取定流形 `M` 的坐标卡 `(U, phi) = (U, x^1, cdots, x^n)`. 回忆切空间定义, `T_p(M)` 由 `p` 处的全体方向导数 `X_p = sum a^i(p)(del//del x^i)|_p` 组成. `U` 上的切向量场定义为映射 `X: U to uuu_(p in U) T_p(M)`,
   `p mapsto X_p in T_p(M)`. 换言之切向量场 `X` 给 `U` 上的每一点 `p` 都指定了一个切向量 `X_p`. 写成分量就是 `X = sum a^i del/(del x^i)`. 如果每个函数 `a^i: U to RR` 都光滑, 则称 `X` 是 `U` 上的光滑切向量场, 记为 `X in fr X(U)`.
2. 微分 1 形式 (简称 1 形式) 正好是切向量场的对偶概念. 它定义为 `omega: U to uuu_(p in U) T_p^ast(M)`
   `p mapsto omega_p in T_p^ast(M)`. 简言之, 1 形式把点 `p` 映为它的一个对偶切向量 `omega_p`. 如何把 1 形式写成分量呢? 首先要寻找 `(del//del x^i)` 的对偶基.
3. 外微分 我们称光滑函数 `f: U to RR`, `f in C^oo(U)` 为光滑 0 形式. 事实上, 给定 `f`, 可以构造 1 形式 `d f` 如下: `(:d f|_p, X_p:) = (:X_p, f:)`, `quad AA X_p in T_p(M)`. 由定义, 方向导数 `X_p` 已经属于 `V = C_p^oo(U)` 的对偶空间, 而 `d f|_p` 则属于 `V` 的二重对偶空间 `V^(ast ast)`. 我们称 `d f` 为 `f` 的外微分. 由定义, 对任意光滑函数 `f` 与光滑切向量场 `X` 有 `(d f)(X) = X f`.
4. 对偶切空间的基 我们已知 `(del//del x^i|_p)_(i=1)^n` 是切空间 `T_p(M)` 的基. 其中坐标函数 `x^i: U to RR` 是光滑函数, 因此外微分 `d x^i` 有意义. 事实上 `(d x^i|_p)_(i=1)^n` 是对偶切空间 `T_p^ast(M)` 的基, 正是 `(del//del x^i|_p)_(i=1)^n` 的对偶基: `(: d x^i|_p, del/(del x^j)|_p:)` `==^"外微分定义" (:del/(del x^j)|_p, x^i:)` `= delta_j^i`.
5. 微分 1 形式的分量表示 现在设 `omega` 是微分 1 形式, 在基底 `(d x^i|_p)` 下逐点地有 `omega_p = sum a_i(p) d x^i|_p`, `quad a_i(p) in RR`, 因此 `omega = sum a_i d x^i`, `quad a_i: U to RR`. 称 `omega` 是光滑的, 如果每个分量函数 `a_i` 都光滑.
6. 外微分的分量表示 在基底 `(d x^i)` 下有 `d f = sum (del f)/(del x^i) d x^i`. 事实上设 `d f = sum a_j d x^j`, 则 `(del f)/(del x^i)` `= (:del/(del x^i), f:)` `==^"外微分定义" (: d f, del/(del x^i) :)` `= sum a_j (: d x^j, del/(del x^i) :)` `= sum a_j delta_i^j` `= a_i`. 因此, 当 `f` 光滑时, `d f` 也光滑.
   对偶地, 设 `X_p in T_p(M)`, 记 `X_p = sum b^j(X_p) del/(del x^j)|_p`, 则 `(:d x^i|_p, X_p :)` `==^"外微分定义" (: X_p, x^i :)` `= sum b^j(X_p) (: del/(del x^j)|_p, x^i :)` `= sum b^j(X_p) delta_j^i` `= b^i(X_p)`. 因此 `b^i = d x^i`.
7. 微分 `k` 形式 (differential k-forms) 我们知道 0 形式将点 `p` 映为实数, 1 形式将点 `p` 映为对偶切向量 `omega_p in T_p^ast(M) = A_1(T_p M)`. 推而广之, 微分 `k` 形式将点 `p` 映为 `k` 阶交错线性函数, 即 `omega: U to A_k(T_p M)`. 取基底 `{d x^I: I = (i_1 lt cdots lt i_k)}`, 则 `omega = sum a_I d x^I`. 当每个 `a_I: U to RR` 都光滑时, 则称 `omega` 是光滑的. `U` 上的全体光滑 `k` 形式记为 `Omega^k(U)`. 当 `k gt n = dim M` 时, `Omega^k(U) = 0`.
8. 微分形式之间的楔积 是逐点定义的: `(omega ^^ tau)_p = omega_p ^^ tau_p`. 设 `omega = sum_I a_I d x^I`, `tau = sum_J b_J d x^J`, 则 `omega ^^ tau` `= sum_(I, J) a_I b_J d x^I ^^ d x^J`. 因此两个光滑微分形式的楔积仍是光滑的: `^^: Omega^k(U) xx Omega^l(U) to Omega^(k+l)(U)`.
   特别当 `f` 是 0 形式, `omega` 是 `k` 形式时, `f ^^ omega = f omega`.
9. `k` 形式作用于切向量场 在 `U` 上, 设 `omega` 是 `k` 形式, `(X^i)_(i=1)^k` 是 `k` 个切向量场, 逐点定义 `omega(X^1, cdots, X^k)_p` `:= omega_p(X_p^1, cdots, X_p^k)`. 于是 `k` 形式把 `k` 个切向量场映为 1 个函数. 逐点地看, 微分形式就是在 `U` 的每一点定义一个交错线性函数, 接收 `k` 个向量, 返回实数.
   先设 `k = 1`, `omega = sum a_i d x^i`, `X = sum b^j del/(del x^j)`, 则 `omega(X) = sum a_i b^j delta_j^i = sum a_i b^i`. 因此当 `omega`, `X` 都光滑时, `omega(X) in C^oo(U)`. 并且映射 `X mapsto omega(X)` 在环 `C^oo(U)` 上线性, 这是因为逐点有 `omega_p(f(p) X_p + g(p) Y_p)` `= f(p) omega_p(X_p) + g(p) omega_p(Y_p)`. 所以 `omega(f X + g Y) = f omega(X) + g omega(Y)`.

在 `RR^3` 上的 0 形式是全体函数 `f: RR^3 to RR`, 1 形式形如 `f dx + g dy + h dz`, 2 形式形如 `f dx ^^ dy + g dy ^^ dz + h dz ^^ dx`, 3 形式形如 `f dx ^^ dy ^^ dz`. 而 `k gt 3` 的 `k` 形式都等于 0.

我们用上标编号微分形式, 如 `d x^i`. 用下标编号切向量场, 如 `del//del x^i` (这里的 `i` 出现在分母, 我们视为下标). 换言之, 下标表示切向量, 上标表示对偶向量.
`C^oo` 函数的上下标则取决于它是谁的系数, 例如切向量场 `X = sum a^i e_i` 的系数函数 `a^i` 取上标, 而微分形式 `omega = sum b_j d x^j` 的系数函数 `b_j` 则取下标.
在求和过程中, 对偶向量与切向量相乘输出实数, 其结果就是一对上下标互相抵消, 这称为指标缩并.

外微分

`k` 形式的外微分 由上节知道 0 形式的外微分有分量表示 `d f = sum (del f)/(del x^i) d x^i`. 现在对 `k` 形式 `omega = sum a_I d x^I` 定义 `d omega = sum d a_I ^^ d x^I`. 于是 `d omega` 是 `k+1` 形式.

外微分的性质
1. 反导数性质: `d(omega ^^ tau) = (d omega) ^^ tau + (-1)^("deg" omega) omega ^^ d tau`.
2. 封闭性: `d^2 = 0`.
3. `AA f in C^oo(U)`, `AA X in fr X(U)`, `(d f)(X) = X f`.

外微分的刻画 上述三条性质唯一确定了 `U` 上的外微分. 换言之, 记 `Omega(U) := uuu_(k=0)^n Omega^k(U)`, 若映射 `D: Omega(U) to Omega(U)` 满足上述三性质, 则 `D = d`.

1. 称微分形式 `omega` 是封闭的 (closed), 如果 `d omega = 0`.
2. 称 `omega` 是恰当的 (exact), 如果存在微分形式 `tau` 使得 `omega = d tau`.
由于 `d^2 = 0`, 恰当形式一定是闭形式.

Poincaré 引理 在 `RR^n` 中每个封闭 `k` 形式都是恰当形式 (`k ge 1`).

线性空间 `Omega^k(U)` 在外微分 `d` 的作用下形成 de Rham 复形: `0 to Omega^0(U)` `overset d to Omega^1(U)` `overset d to Omega^2(U)` `to cdots`. 恰当形式构成 `d` 的像, 而闭形式构成 `d` 的核. `U` 上 `k` 阶的闭形式与恰当形式的商线性空间记为 `H^k(U)`, 称为 `U` 上的 `k` 阶 de Rham 上同调; 研究表明 `H^k(U)` 只和 `U` 的拓扑有关. 更多复形的概念参见拓扑同调论及同调代数.

在 `RR^3` 上的 0 到 3 阶光滑形式分别同构于 `C^oo(U)`, `fr X(U)`, `fr X(U)`, `C^oo(U)`. 相应的 de Rham 复形为 `C^oo(U) overset"grad" to fr X(U) overset"curl" to fr X(U) overset"div" to C^oo(U)`. 事实上, 取 `f in C^oo(U)` 则 `d f = pp f x dx + pp f y dy + pp f z dz`
`harr "grad" f = (pp f x , pp f y , pp f z)`. 取 `omega = P dx + Q dy + R dz in Omega^1(U)` 则 `d omega = (R_y - Q_z) dy ^^ dz + (P_z - R_x) dz ^^ dx + (Q_x - P_y) dx ^^ dy`
`harr "curl"(P,Q,R) = (R_y - Q_z, P_z - R_x, Q_x - P_y)`. 取 `tau = P dy ^^ dz + Q dz ^^ dx + R dx ^^ dy in Omega^2(U)` 则 `d tau = (P_x + Q_y + R_z) dx ^^ dy ^^ dz`
`harr "div"(P,Q,R) = P_x + Q_y + R_z`.