[来自张恭庆《泛函分析讲义》等]

基本概念

由度量函数的对称性与三角不等式容易得到 `|d(x, z) - d(z, y)| le d(x, y)`.

度量空间的点列极限 设 `(X, d)` 是度量空间. 称 `X` 中的点列 `{x_n}` 收敛, 如果存在 `x in X`, 使 `lim_(n to oo) d(x_n, x) = 0`. 这时称 `{x_n}` 按度量 `d` 收敛于 `x`, 或称 `x` 为 `{x_n}` 的极限, 记为 `lim_(n to oo) x_n = x` 或 `x_n to x`.

度量空间中的收敛点列极限必唯一.

设 `(X, d)` 为度量空间, `{x_n}`, `{y_n}` 为其上的收敛点列, `x_n to x_0`, `y_n to y_0`. 则 `d(x_n, y_n) to d(x_0, y_0)`. 这表明度量函数是度量空间上的二元连续函数.

1. 设 `(X, d)` 为度量空间. 则 `d_1(x, y) = (d(x, y))/(1+d(x,y))` 也是 `X` 上的度量函数.
2. `n` 维 Euclid 空间 `RR^n` 上的度量为 `d(x, y) = sqrt( sum_(i=1)^n |x_i-y_i|^2 )`
3. 全体有界数列组成的有界数列空间 `l^oo` 上的度量为 `d(x, y) = Sup_i |x_i - y_i|`
4. 全体数列组成的序列空间 `cc S` 上的度量为 `d(x, y) = sum_(i=1)^oo 2^-i |x_i-y_i|/(1+|x_i-y_i|)`
5. 离散度量空间 `(X, d)` 的距离函数为 `d(x, y) = {1, if x != y; 0, if x = y:}`.

开集、闭集与连续映射

开集

设 `(X, d)` 是度量空间, `x_0 in X`, `delta gt 0`. 称 `B(x_0, delta) = {x in X: d(x, x_0) lt delta}` 为以 `x_0` 为心, `delta` 为半径的开球, 或 `x_0` 的 `delta` 邻域.

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `x_0 in A` 为 `A` 的内点, 如果存在 `delta gt 0` 使得 `B(x_0, delta) sube A`. 称 `A` 的内点的全体为 `A` 的内部, 记为 `overset @ A` 或 `"Int"A`. 称 `A` 是 `X` 中的开集, 如果 `A = overset @ A`.

由内点的定义知, 开集是相对于全空间 `X` 及其上的度量 `d` 的. 在没有指定度量空间时, 讨论开集是没有意义的. 后面的闭集与闭包的概念也是类似.

任意度量空间中的开球是开集.

开集的性质 设 `(X, d)` 为度量空间, 则
1. 空集 `O/` 与全空间 `X` 是开集;
2. 任意一族开集的并是开集;
3. 任意有限多个开集的交是开集.

闭集

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `x in X` 为 `A` 的极限点, 如果对任意 `delta gt 0`, `A nn B(x_0, delta) \\ {x_0} != O/`. 称 `A` 的极限点的全体为 `A` 的导集, 记为 `A'`. 称 `bar A = A' uu A` 为 `A` 的闭包. 称 `A` 是 `X` 中的闭集, 如果 `A = bar A`.

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `x in bar A` 当且仅当存在 `A` 中的点列 `{x_n}` 使得 `x_n to x`.

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `A` 为闭集当且仅当 `A` 中任意收敛点列的极限含于 `A`.

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `A` 为闭集当且仅当 `A^C = X \\ A` 为开集.

闭集的性质 设 `(X, d)` 为度量空间, 则
1. 空集 `O/` 与全空间 `X` 是闭集;
2. 任意一族闭集的交是闭集;
3. 任意有限多个闭集的并是闭集.

连续映射

设 `X, Y` 是两个度量空间, `f: X to Y` 为一映射, 它把 `X` 中的点 `x_0` 映到 `y_0`. 称 `f` 在 `x_0` 点连续, 如果对 `y_0` 的任意 `epsi` 邻域, `B_Y(y_0, epsi)`, 都存在 `x_0` 的 `delta` 邻域 `B_X(x_0, delta)`, 使得 `f(B_X(x_0, delta)) sube B_Y(y_0, epsi)`. 称 `f` 是从 `X` 到 `Y` 的连续映射, 如果 `f` 在 `X` 中的每一点连续.

如果 `f: X to Y` 是双射, 且 `f`, `f^-1` 都连续, 则称 `f` 是从 `X` 到 `Y` 的同胚映射. 此时称 `X` 与 `Y` 同胚.

设 `X, Y` 是两个度量空间, 则 `f: X to Y` 为一连续映射当且仅当对于任意 `Y` 中的开集 `V`, `f^-1(V) = {x in X: f(x) in V}` 是 `X` 中的开集.

设 `X, Y` 是度量空间, `f: X to Y` 连续当且仅当对任意点列 `x_n in X`, `x_n to x` 蕴含 `f(x_n) to f(x)`.

可分性、完备性、列紧性

可分性

设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `A` 在 `X` 中稠密, 如果 `bar A = X`. 称 `(X, d)` 为可分的, 如果 `X` 中存在可数的稠密子集, 即存在 `X` 中的点列 `{x_n}` 在 `X` 中稠密.

如果度量空间 `(X, d)` 中存在不可数子集 `B` 以及常数 `epsi_0 gt 0`, 使得 `d(x, y) ge epsi_0`, `quad AA x, y in B`, `x != y`, 则 `X` 不可分.

`RR^n` 和序列空间 `cc S` 空间是可分的; 有界数列空间 `l^oo` 空间不可分; 若 `X` 不可数, 那么离散度量空间 `(X, d)` 不可分.

完备性

称度量空间 `(X, d)` 中的点列 `{x_n}` 为 Cauchy 列或基本列, 如果对任意 `epsi gt 0`, 存在 `N in ZZ^+`, 使得 `d(x_n, x_m) lt epsi`, `quad AA m, n gt N`. 称 `(X, d)` 是完备的, 如果其中的任意 Cauchy 列都在 `X` 中收敛.

收敛点列是 Cauchy 列, Cauchy 列是有界列.

`RR^n`, `cc S`, `l^oo` 都是完备的.

列紧性

设 `(X, d)` 是度量空间,
1. 称 `A sube X` 为列紧的, 如果 `A` 的任意点列都含有在 `X` 中收敛的子列.
2. 称 `A` 为自列紧的, 如果 `A` 是列紧的, 且存在一个子列收敛到 `A` 中.
3. 如果空间 `X` 本身是列紧的, 称它为列紧空间.
4. 称 `A` 为紧的, 如果它的任意一族开覆盖都存在有限的子覆盖.

若 `A` 中存在点列 `{x_n}` 与 `epsi_0 gt 0`, 使得当 `m != n` 时, 有 `d(x_m, x_n) ge epsi_0`, 则 `{x_n}` 没有收敛子列, 从而 `A` 不是列紧的.

列紧空间必完备.

1. 有限维空间, 如 `RR^n` 中的有界集是列紧的, 有界闭集是自列紧的.
2. 我们后面将看到, 无穷维赋范线性空间的单位闭球面不是列紧的. 在泛函分析中我们经常看到无穷维空间与有限维空间的重大区别, 此为一例.

1. 称集合 `N` 是 `A` 的一个 `epsi` 网, 如果 `AA x in A`, `EE y in N`, 使得 `d(x, y) lt epsi`. 换言之 `A sube uuu_(y in N) B(y, epsi)`.
2. 若 `N` 还是一个有限集, 则称它是 `A` 的有限 `epsi` 网.
3. 若对 `AA epsi gt 0`, 都存在 `A` 的有限 `epsi` 网, 则称 `A` 完全有界.

完全有界的度量空间是可分的.

取 `N_n` 为有限 `1//n` 网, 则 `uuu_(n=1)^oo N_n` 是一个可数稠密子集.

(Hausdorff) 度量空间中的子集 `A` 列紧 `rArr` `A` 完全有界. 若度量空间完备, 则 `lArr` 也成立.

度量空间的子集 `A` 是紧的, 当且仅当它是自列紧的.

小结: 对于度量空间:
1. 列紧空间 `rArr` 完备空间.
2. 列紧空间 `rArr` 完全有界空间 `rArr` 可分空间.
3. 列紧子集 `rArr` 完全有界子集; 完备空间中 `lArr` 也成立.
4. 紧子集 `iff` 自列紧子集; 特别紧空间 `iff` 列紧空间.

完备化

设 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 是两个度量空间. 称映射 `T: X to Y` 是等距的, 如果 `d_1(Tx, Ty) = d(x, y)`, `AA x, y in X`. 进一步, 如果 `T` 还是同胚的, 则称 `T` 是等距同构映射, 度量空间 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 为等距同构的.

设 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 是两个度量空间. 称 `Y` 是 `X` 的完备化空间, 如果 `Y` 是完备的, 且存在 `Y` 的稠密子空间 `(Y_1, d_1)` 与 `(X, d)` 等距同构.

任意度量空间都可以进行完备化, 而且在等距同构的意义下, 完备化后的度量空间是唯一的.

连续函数空间与 Hölder 空间

连续函数空间

用 `C([a, b], RR^n)` 表示全体连续映射 `x: [a, b] to RR^n`, 每个映射可以看作 `RR^n` 中的一条连续曲线. 定义其上的标准化度量函数 `d(x, y) = max_(t in [a, b]) ||x(t) - y(t)||`, 其中 `||*||` 是 `RR^n` 中的标准化度量 (Euclid 距离). `RR^n` 空间的线性结构可以自然诱导出 `C([a, b], RR^n)` 上的线性结构, 即 `(x+y)(t) = x(t) + y(t)`,
`(alpha x)(t) = alpha x(t)`. 当 `n = 1` 时, `C([a, b], RR^n)` 简单记为 `C[a, b]`.

`C([a, b], RR^n)` 是可分的, 也是完备的.

一致有界与等度连续 考虑连续函数空间 `C[a, b]`.
1. 称函数族 `F sube C[a, b]` 一致有界, 如果 `EE M gt 0`, 使得 `|f(x)| le M`, `quad AA f in F`, `AA x in [a, b]`. 即 `M` 是这族函数的共同的界.
2. 称 `F sube C[a, b]` 等度连续, 如果对任意 `epsi gt 0`, 存在 `delta gt 0`, 使对任意 `x, y in [a, b]`, `|x - y| lt delta`, 有 `|f(x) - f(y)| lt epsi`, `quad AA f in F`. 即 `F` 中每个函数都一致连续, 且保证它们一致连续的 `delta` 也是同一个. 这是一致连续的加强版, “一致一致连续”.

(Arzela-Ascoli, 1889) `F sube C[a, b]` 是列紧的当且仅当 `F` 一致有界且等度连续.

Hölder 空间*

设 `0 lt alpha le 1`, 称 `[a, b]` 上的实函数 `f(t)` 为 `alpha` 次 Hölder 连续的, 如果存在 `C gt 0` 使对任意 `x, y in [a, b]`, 有 `|f(x) - f(y)|^alpha le C|x - y|`. 特别当 `alpha = 1` 时, 称 `x` 为 Lipschitz 连续的. 我们有 Lipschitz 连续 `rArr` Hölder 连续 `rArr` 一致连续 `rArr` 连续. 称 `[a, b]` 上全体 `alpha` 次 Hölder 连续的函数为 `alpha` 次 Hölder 空间, 记为 `C^alpha [a, b]`. 定义 `C^alpha[a, b]` 的度量为 `d(x, y) = max_(t in [a, b]) |x(t) - y(t)|` `+ underset(s"," t in [a, b]; s != t)Sup |x(s) - y(s) - x(t) + y(t)|/|s - t|^alpha`. 可以证明, `C^alpha[a, b]` 在此度量下是完备的. 进一步, 显然 `C^alpha[a, b] sube C[a, b]`, 可以证明 `C^alpha[a, b]` 中任意有界集 `A` 在 `C[a, b]` 中是列紧的.

压缩映象与不动点

设 `(X, d)` 是度量空间, `T: X to X`. 称 `x in X` 为映射 `T` 的不动点, 如果 `T x = x`.

设 `(X, d)` 是度量空间. 称映射 `T: X to X` 为压缩映射, 如果存在常数 `0 le alpha lt 1`, 使得 `d(T x, T y) le alpha d(x, y)`, `quad AA x, y in X`. 称 `alpha` 为 `T` 的压缩系数.

压缩映射是 Lipschitz 连续的.

Banach 压缩映象原理 设 `(X, d)` 是完备的度量空间, `T` 为 `X` 上压缩系数为 `alpha` 的压缩映射, 则 `T` 有唯一不动点 `x^** in X`. 进一步, 任取初始点 `x_0 in X`, 令 `x_(n+1) = T x_n`, `n = 0, 1, 2, cdots`, 则 `{x_n}` 收敛到 `x^**`, 且有估计 `d(x_n, x^**) le alpha/(1-alpha) d(x_n, x_(n-1)) le alpha^n/(1-alpha) d(x_1, x_0)`.

压缩映象原理可用于解决一类微分、积分方程解的存在唯一性问题, 还能证明隐函数定理.

(Picard, 1893) 设常微分方程初值问题 `{ dx/dt = f(x(t), t); x(t_0) = x_0; :}` 满足 `f: RR^n xx [t_0 - delta, t_0 + delta] to RR^n` 连续, 且关于变元 `x` 适合 Lipschitz 条件, 即存在 `L gt 0`, 对任意 `t in (t_0-delta, t_0+delta)` 有 `||f(x, t) - f(y, t)|| le L||x - y||`, `quad AA x, y in RR^n` 则问题在 `[t_0 - beta, t_0 + beta]` 上存在唯一的连续解, 其中 `0 lt beta lt min{delta, 1//L}`.