由度量函数的对称性与三角不等式容易得到 `|d(x, z) - d(z, y)| le d(x, y)`.
度量函数意义下的极限 设 `(X, d)` 是度量空间. 称 `X` 中的点列 `{x_n}` 收敛, 如果存在 `x in X`, 使 `lim_(n to oo) d(x_n, x) = 0`. 这时称 `{x_n}` 按度量 `d` 收敛于 `x`, 或称 `x` 为 `{x_n}` 的极限, 记为 `lim_(n to oo) x_n = x` 或 `x_n to x`.
度量空间中的收敛点列极限必唯一.
设 `(X, d)` 为度量空间, `{x_n}`, `{y_n}` 为其上的收敛点列, `x_n to x_0`, `y_n to y_0`. 则 `d(x_n, y_n) to d(x_0, y_0)`. 这表明度量函数是度量空间上的二元连续函数.
设 `(X, d)` 为度量空间. 则 `d_1(x, y) = (d(x, y))/(1+d(x,y))` 也是 `X` 上的度量函数.
`d(x, y) = sqrt( sum_(i=1)^n |x_i-y_i|^2 )` 构成 `n` 维 Euclid 空间 `RR^n` 上的度量函数.
记全体有界数列 `x = {x_i}` 为有界数列空间 `(m)`, 则 `d(x, y) = Sup_i |x_i - y_i|` 构成 `(m)` 上的度量函数.
记全体数列 `x = {x_i}` 为序列空间 `(s)`, 则 `d(x, y) = sum_(i=1)^oo 2^-i |x_i-y_i|/(1+|x_i-y_i|)` 构成 `(s)` 上的度量函数.
设 `(X, d)` 是度量空间, `x_0 in X`, `delta gt 0`. 称 `B(x_0, delta) = {x in X: d(x, x_0) lt delta}` 为以 `x_0` 为心, `delta` 为半径的开球, 或 `x_0` 的 `delta` 邻域.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `x_0 in A` 为 `A` 的内点, 如果存在 `delta gt 0` 使得 `B(x_0, delta) sube A`. 称 `A` 的内点的全体为 `A` 的内部, 记为 `overset @ A` 或 `"Int"A`. 称 `A` 是 `X` 中的开集, 如果 `A = overset @ A`.
由内点的定义知, 开集是相对于全空间 `X` 及其上的度量 `d` 的. 在没有指定度量空间时, 讨论开集是没有意义的. 后面的闭集与闭包的概念也是类似.
任意度量空间中的开球是开集.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `x in X` 为 `A` 的极限点, 如果对任意 `delta gt 0`, `A nn B(x_0, delta) \\ {x_0} != O/`. 称 `A` 的极限点的全体为 `A` 的导集, 记为 `A'`. 称 `bar A = A' uu A` 为 `A` 的闭包. 称 `A` 是 `X` 中的闭集, 如果 `A = bar A`.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `x in bar A` 当且仅当存在 `A` 中的点列 `{x_n}` 使得 `x_n to x`.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `A` 为闭集当且仅当 `A` 中任意收敛点列的极限含于 `A`.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 则 `A` 为闭集当且仅当 `A^C = X \\ A` 为开集.
设 `X, Y` 是两个度量空间, `f: X to Y` 为一映射, 它把 `X` 中的点 `x_0` 映到 `y_0`. 称 `f` 在 `x_0` 点连续, 如果对 `y_0` 的任意 `epsi` 邻域, `B_Y(y_0, epsi)`, 都存在 `x_0` 的 `delta` 邻域 `B_X(x_0, delta)`, 使得 `f(B_X(x_0, delta)) sube B_Y(y_0, epsi)`. 称 `f` 是从 `X` 到 `Y` 的连续映射, 如果 `f` 在 `X` 中的每一点连续.
如果 `f: X to Y` 是双射, 且 `f`, `f^-1` 都连续, 则称 `f` 是从 `X` 到 `Y` 的同胚映射. 此时称 `X` 与 `Y` 同胚.
设 `X, Y` 是两个度量空间, 则 `f: X to Y` 为一连续映射当且仅当对于任意 `Y` 中的开集 `V`, `f^-1(V) = {x in X: f(x) in V}` 是 `X` 中的开集.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `A` 在 `X` 中稠密, 如果 `bar A = X`. 称 `(X, d)` 为可分的, 如果 `X` 中存在可数的稠密子集, 即存在 `X` 中的点列 `{x_n}` 在 `X` 中稠密.
如果度量空间 `(X, d)` 中存在不可数子集 `B` 以及常数 `epsi_0 gt 0`, 使得 `d(x, y) ge epsi_0`, `x, y in B`, `x != y`, 则 `X` 不可分.
`RR^n` 是可分的.
`(s)` 空间是可分的.
`(m)` 空间是不可分的.
如果 `X` 不可数, 那么离散度量空间 `(X, d)` 不可分, 其中 `d(x, y) = {1, if x != y; 0, if x = y :}`.
称度量空间 `(X, d)` 中的点列 `{x_n}` 为 Cauchy 列, 如果对任意 `epsi gt 0`, 存在 `N in ZZ^+`, 使对任意 `m, n gt N`, 有 `d(x_n, x_m) lt epsi`. 称 `(X, d)` 是完备的, 如果其中的任意 Cauchy 列都在 `X` 中收敛.
收敛点列是 Cauchy 列, Cauchy 列是有界列.
`RR^n` 是完备的.
`(s)` 空间是完备的.
`(m)` 空间是完备的.
设 `(X, d)` 是度量空间, 称 `A sube X` 为列紧的, 如果 `A` 是任意点列都含有在 `X` 中收敛的子列. 称 `A` 为紧的 (自列紧的), 如果 `A` 是列紧的, 且为 `X` 中的闭集.
若 `A` 中存在点列 `{x_n}` 与 `epsi_0 gt 0`, 使得当 `m != n` 时, 有 `d(x_m, x_n) ge epsi_0`, 则 `{x_n}` 不是 Cauchy 列, 从而 `A` 不是列紧的.
`RR^n` 中的有界集是列紧的.
设 `(X, d)` 是度量空间, `A sube X`. 称 `A` 具有有限的 `epsi`-网, 如果对任意 `epsi gt 0`, 都存在 `A` 中的有限个点 `{x_1, cdots, x_n}` (其中 `n` 依赖于 `epsi`), 使得 `A sube uuu_(i=1)^n B(x_i, epsi)`.
有限开覆盖定理 `A` 是度量空间 `(X, d)` 的紧子集 (即列紧的闭集) 当且仅当 `A` 的任意一族开覆盖都存在有限的子覆盖.
用 `C([a, b]";" RR^n)` 表示全体连续映射 `x: [a, b] to RR^n`,
定义其上的标准化度量函数
`d(x, y) = max_(t in [a, b]) ||x(t) - y(t)||`,
其中 `||*||` 是 `RR^n` 中的标准化度量 (Euclid 距离).
`RR^n` 空间的线性结构可以自然诱导出 `C([a, b]";" RR^n)` 上的线性结构,
即
`(x+y)(t) = x(t) + y(t)`,
`(alpha x)(t) = alpha x(t)`.
当 `n = 1` 时, `C([a, b]";" RR^n)` 简单记为 `C[a, b]`.
`C([a, b]";" RR^n)` 是可分的, 也是完备的.
称 `[a, b]` 上的一族连续函数 `A sube C[a, b]` 等度连续, 如果对任意 `epsi gt 0`, 存在 `delta gt 0`, 使对任意 `t_1, t_2 in [a, b]`, `|t_1 - t_2| lt delta`, 有 `|x(t_1) - x(t_2)| lt epsi`, `AA x in A`.
等度连续的函数族中, 每个函数都一致连续, 且保证它们一致连续的 `delta` 是同一个. 形象地说, 它们是 "一致一致连续" 的.
(Arzela-Ascoli, 1889) `C[a, b]` 中的子集 `A` 是列紧的当且仅当 `A` 是有界集, 且等度连续.
设 `0 lt alpha le 1`, 称 `[a, b]` 上的实函数 `x(t)` 为 `alpha` 次 Hölder 连续的, 如果存在 `C gt 0` 使对任意 `t_1, t_2 in [a, b]`, 有 `|x(t_1) - x(t_2)| le C|t_1 - t_2|`. 特别当 `alpha = 1` 时, 称 `x` 为 Lipschitz 连续的. 显然 Lipschitz 连续 `rArr` Hölder 连续 `rArr` 一致连续 `rArr` 连续. 称 `[a, b]` 上全体 `alpha` 次 Hölder 连续的函数为 `alpha` 次 Hölder 空间, 记为 `C^alpha [a, b]`. 定义 `C^alpha[a, b]` 的度量为 `d(x, y) = max_(t in [a, b]) |x(t) - y(t)|` `+ Sup_(t"," t' in [a, b]; t != t') |x(t) - y(t) - x(t') + y(t')|/|t - t'|^alpha`. 可以证明, `C^alpha[a, b]` 在此度量下是完备的. 进一步, 显然 `C^alpha[a, b] sube C[a, b]`, 可以证明 `C^alpha[a, b]` 中任意有界集 `A` 在 `C[a, b]` 中是列紧的.
设 `(X, d)` 是度量空间, `T: X to X`. 称 `x in X` 为映射 `T` 的不动点, 如果 `T x = x`.
设 `(X, d)` 是度量空间. 称映射 `T: X to X` 为压缩映射, 如果存在常数 `0 le alpha lt 1`, 使得 `d(T x, T y) le alpha d(x, y)`, `AA x, y in X`. 称 `alpha` 为 `T` 的压缩系数.
压缩映射是 Lipschitz 连续的.
Banach 压缩映象原理 设 `(X, d)` 是完备的度量空间, `T` 为 `X` 上压缩系数为 `alpha` 的压缩映射, 则 `T` 有唯一不动点 `x^** in X`. 进一步, 任取初始点 `x_0 in X`, 令 `x_(n+1) = T x_n`, `n = 0, 1, 2, cdots`, 则 `{x_n}` 收敛到 `x^**`, 且有估计 `d(x_n, x^**) le alpha/(1-alpha) d(x_n, x_(n-1)) le alpha^n/(1-alpha) d(x_1, x_0)`.
(Picard, 1893) 设常微分方程初值问题 `{ ("d" bm x)/dt = f(bm x(t), t); bm x(t_0) = bm x_0; :}` 满足 `f: RR^n xx [t_0 - delta, t_0 + delta] to RR^n` 连续, 且关于变元 `bm x` 适合 Lipschitz 条件, 即存在 `L gt 0`, 对任意 `t in (t_0-delta, t_0+delta)` 有 `||f(bm x, t) - f(bm y, t)|| le L||bm x - bm y||`, `AA bm x, bm y in RR^n` 则问题在 `[t_0 - beta, t_0 + beta]` 上存在唯一的连续解, 其中 `0 lt beta lt min{delta, 1//L}`.
设 `f in C[a, b]`, `K in C([a, b] xx [a, b])`, 且存在 `C gt 0`, 使 `int_a^b |K(x, y)| dy le C`, `AA x in [a, b]`, 则当 `|lambda| lt 1//C` 时, 必存在唯一的 `u in C[a, b]`, 满足如下积分方程: `u(x) = f(x) + lambda int_a^b K(x, y) u(y) dy`.
设半线性二阶常微分方程两点边值问题 `{ -("d"^2 u)/dx^2 = g(u(x), x)"," x in (0, 1); u(0) = u(1) = 0; :}` 满足 `g: RR xx [0, 1] to RR` 连续, 且关于变元 `x` 满足 Lipschitz 条件 `|g(x_1, y) - g(x_2, y)| le L |x_1 - x_2|`, 则 `L lt 8` 时, 问题存在解 `u in C^2[0, 1]`.
设 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 是两个度量空间. 称映射 `T: X to Y` 是等距的, 如果 `d_1(Tx, Ty) = d(x, y)`, `AA x, y in X`. 进一步, 如果 `T` 还是同胚的, 则称 `T` 是等距同构映射, 度量空间 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 为等距同构的.
设 `(X, d)`, `(Y, d_1)` 是两个度量空间. 称 `Y` 是 `X` 的完备化空间, 如果 `Y` 是完备的, 且存在 `Y` 的稠密子空间 `(Y_1, d_1)` 与 `(X, d)` 等距同构.
任意度量空间都可以进行完备化, 而且在等距同构的意义下, 完备化后的度量空间是唯一的.