赋范线性空间 (NVS, normed vector space) 是一类特殊的度量空间, 其具有线性空间的结构, 且每个元素 `x in X` 被赋予一个范数 `||x||`, 表示到原点的距离. 我们常常研究无穷维的赋范线性空间, 它在许多性质上区别于有限维线性空间. 这部分知识也被戏称为 "无穷维线性代数".

本章所提到的线性空间, 如不做特殊说明, 均是指实数域或复数域上的.

范数与半范数

    设 `X` 是域 `K` 上的线性空间, `K = RR` 或 `CC`. 考虑实函数 `p: X to RR` 的若干性质:
  1. 次可加性 (三角不等式): `(AA x, y in X)`, `p(x + y) le p(x) + p(y)`;
  2. 非负性: `(AA x in X)`, `p(x) ge 0`;
  3. 正定性: 在满足非负性的前提下, 等号成立当且仅当 `x = 0`;
  4. 正齐次性: `(AA x in X, AA a gt 0)` `p(a x) = a p(x)`;
  5. 齐次性: `(AA x in X, AA a in K)` `p(a x) = |a| p(x)`;
  6. 对称性: `(AA x in X)` `p(-x) = p(x)`;
  7. 数乘连续性: `(AA x in X, AA a in K)` `lim_(a_n to 0) p(a_n x)` `= lim_(p(x_n) to 0) p(a x_n) = 0`.
范数的性质
    `p(x)` 的假定同上,
  1. 称 `p` 是一个次线性泛函, 若它满足次可加性与正齐次性.
  2. 称 `p` 是一个半范数 (半模), 若它满足次可加性、齐次性 (与非负性).
  3. 称 `p` 是一个范数 (模), 若它满足次可加性、齐次性与正定性.
  4. * 称 `p` 是一个准范数, 若它满足次可加性、对称性、数乘连续性与正定性.
    5. 半范数与范数的区别在于, 后者只在原点处取零. 可以类比于半正定矩阵与正定矩阵的关系.

设 `p` 是半范数, 可以导出三角不等式的另一边: `(AA x, y in X)` `|p(x) - p(y)| le p(x - y)`.

令 `z = x - y`, 则 `p(x) = p(y + z)` `le p(y) + p(z)`, 从而 `p(x) - p(y) le p(z)` `= p(x-y)`. 另一方面, 由齐次性 `p(z) = p(-z) = p(y-x)`, 交换字母 `x, y` 就得到 `p(y) - p(x) le p(x - y)`.

半范数的非负性可以由其它两个性质推出.

任取 `x in X`, 由于 `K` 的特征不为 2, 可设 `x = 2 y`. 于是 `p(2 y - y) le p(2 y) + p(-y)` `= p(2y) + p(y)`. 这推出 `p(x) = p(2y) ge 0`.

赋范线性空间

定义

  1. 设实函数 `||*||: X to RR` 是线性空间 `X` 上的范数. `(X, ||*||)` 构成赋范线性空间, 简记为 `X`.
  2. 赋范线性空间上有一个天然的度量: `d(x, y) = ||x - y||`, 称为由范数诱导的度量; 因此它是度量空间.
  3. 设 `x_n to x` 是 `X` 中的收敛点列, 则 `lim_(n to oo) d(x_n, x) = lim_(n to oo) ||x_n - x|| = 0`, 我们也称 `{x_n}` 依范数收敛于 `x`.
  4. 完备的赋范线性空间称为 Banach 空间.
  5. * 如果 `||*||` 是准范数, 则 `(X, ||*||)` 称为赋准范数的线性空间. 若它还是完备的, 则称为 Frechet 空间.

Banach 空间正是香蕉空间名字的由来.

线性空间 `X` 上范数诱导出的度量与 `X` 的线性结构相容, 即当 `alpha_n to alpha`, `beta_n to beta`, `x_n to x`, `y_n to y` 时, `alpha_n x_n + beta_n y_n to alpha x + beta y`. 其中 `alpha_n, alpha, beta_n, beta in K`, `x_n, x, y_n, y in X`.

  1. Euclid 空间 `RR^n` 按范数 `||x|| = sqrt(sum_(i=1)^n |x_i|^2)` 构成 Banach 空间.
  2. 连续函数空间 `C[a, b]` 按范数 `||f|| = max_(x in [a, b]) |f(x)|` 构成 Banach 空间. 推广到紧集 `M` 上的连续函数空间 `C(M)` 仍是 Banach 空间.
  3. 序列空间 `cc S` 按准范数 `||x|| = sum_(k ge 1) 2^-k |x_k|/(1+|x_k|)` 构成 Frechet 空间.
  4. `RR^n` 上一切连续函数 `C(RR^n)` 按准范数 `||f|| = sum_(k ge 1) 2^-k (max_(|x| le k) |f(x)|)/(1+max_(|x| le k) |f(x)|)` 构成 Frechet 空间.

`l^p` 与 `L^p(Omega)` 空间

  1. `l^p` 空间 `(1 le p lt oo)`. 全体满足 `sum_(n ge 1) |u_n|^p lt oo` 的序列构成线性空间, 并且按范数 `||u||_p = (sum_(n ge 1) |u_n|^p)^(1//p)` 构成 Banach 空间.
  2. `l^oo` 空间. 全体有界序列构成线性空间, 并且按范数 `||u|| = Sup_(n ge 1) |u_n|` 构成 Banach 空间. 注: `l^oo` 的名字来自于下面的极限 `lim_(p to oo) (sum_(k=1)^n |u_n|^p)^(1//p) = max_(1 le k le n) |u_k|`.
  3. `L^p(Omega)` 空间 `(1 le p lt oo)`. 设 `Omega sube RR` 是 Lebesgue 可测集, 若可测函数 `f` 满足 `|f|^p` 在 `Omega` 上 Lebesgue 可积, 则称 `f` 是 `p` 方可积的. 全体 `Omega` 上 `p` 方可积函数构成线性空间 (把几乎处处相等的函数视作同一个向量), 并且按范数 `||f||_p = (int_Omega |f(x)|^p dx)^(1//p)` 构成 Banach 空间.
  4. `L^oo(Omega)` 空间. 如果 `Omega` 上的函数 `f` 与一个有界函数几乎处处相等, 则称 `f` 是本性有界的. `Omega` 上全体本性有界的可测函数构成线性空间 (把几乎处处相等的函数视作同一个向量), 并且按范数 `||f||_oo = inf_(Z sube Omega) Sup_(x in Omega - Z) |f(x)|`, `quad Z` 为零测集. 构成 Banach 空间. 上式右端也可以写为 `underset(x in Omega)"ess sup"|f(x)|`, 称为 `|f|` 的本性上确界. 从 `f` 的定义域挖掉各种零测集, 再求 `|f|` 的上确界, 取其最小者即是.
  5. `k` 阶连续可微函数空间 `C^k(bar Omega)`.
  6. Sobolev 空间 `H^(m,p)(Omega)`.

`p lt oo` 时, `l^p` 与 `L^p(Omega)` 空间是可分的; 但 `l^oo` 与 `L^oo(Omega)` 不可分 (假设 `Omega` 具有正测度).

证明 `l^p` 与 `L^p` 空间的性质, 需要用到下面的不等式:

    设 `1 lt p, q lt oo`, `1//p + 1//q = 1`.
  1. Hölder 不等式 设 `f in L^p(Omega)`, `g in L^q(Omega)`, 则 `||f g||_1 le ||f||_p ||g||_q`. 在 Hölder 不等式中取 `p = q = 2` 就得到 Cauchy 不等式.
  2. Minkowski 不等式 设 `f, g in L^p(Omega)`, 则 `||f+g||_p le ||f||_p + ||g||_p`.

有限维赋范线性空间

范数等价 称线性空间 `X` 上的两个范数 `||*||_1`, `||*||_2` 等价, 如果存在常数 `C_1, C_2 gt 0`, 使 `C_1 ||x||_1 le ||x||_2 le C_2 ||x||_1`, `quad AA x in X`. 可以验证这是一个等价关系 (自反性、对称性、传递性).

有限维赋范线性空间上的任意两个范数都等价 设 `(X, ||*||)` 是 `n` 维赋范线性空间, `e_1, e_2, cdots, e_n` 是一组基, 则存在 `C_1, C_2 gt 0`, 使对任意 `x = sum_(i=1)^n x_i e_i in X`, 有 `C_1 ||x||_2 le ||x|| le C_2 ||x||_2`, 其中 `||x||_2 = sqrt( sum_(i=1)^n |x_i|^2 )`.

    有限维赋范线性空间的拓扑 `n` 维实 (复) 赋范线性空间与 `RR^n` (`CC^n`) 同构且同胚. 从而由 `RR^n` 与 `CC^n` 的相关性质可得:
  1. 有限维赋范线性空间是完备可分的;
  2. 赋范线性空间的有限维子空间是闭子空间;
  3. 有限维赋范线性空间的任意有界子集都是列紧的.

(Riesz 引理, 1918) 单位球面到闭子空间的最大距离 在赋范线性空间 `X` 中, `S` 为单位球面 `{x in X: ||x||=1}`, 则对任意的闭子空间 `M subne X`, 都成立 `Sup_(x in S) d(x, M) = 1`. 换言之, 对任意 `epsi gt 0`, 都存在 `x in S`, 使得 `d(x, M)` `= inf_(y in M) ||x-y||` `ge 1-epsi`.

取 `x_0 in X \\ M`. 由 `M` 为闭集知 `d := d(x_0, M) gt 0`, 且存在 `y_0 in M` 使得 `d le ||x_0 - y_0|| lt d/(1-epsi)`. 令 `x_epsi = (x_0 - y_0)/(||x_0 - y_0||)`, 则 `x_epsi in S`, 对任意 `x in M`, 有 ` ||x_epsi - x|| = 1/(||x_0 - y_0||) || x_0 - (y_0 + ||x_0 - y_0||x) ||`. 注意到 `x, y_0 in M`, 故 `y_0 + ||x_0 - y_0|| x in M`. 从而 `||x_epsi - x|| ge d/(||x_0 - y_0||) gt 1-epsi`.

想象单位球面 `S` 和闭子空间 (过原点的超平面) `M` 上各有一动点 `x, y`. 点 `y` 想要靠近 `x`, 而 `x` 则尽可能远离 `y`. Riesz 引理告诉我们, 最终 `x, y` 的距离可以任意地接近 1.

无穷维赋范线性空间的单位球面不是列紧的.

我们构造单位球面 `S` 上的点列, 使得它没有收敛子列: 只需保证任意两项之间的距离足够大即可. 事实上, 任取 `x_1 in S`. 假设已经选取 `x_1, cdots, x_n in S`, 则 `M_n := "span"{x_1, cdots, x_n}` 是有限维子空间, 其是闭的; 根据 Riesz 引理, 存在 `x_(n+1) in S`, 使得 `d(x_(n+1), M_n) ge 1//2`, 换言之 `x_(n+1)` 与前面每一项的距离都不小于 `1//2`. 如此即得到所需的点列.

赋范线性空间 `X` 是有限维 `iff` `X` 的单位球面列紧 `iff` `X` 的任意有界集列紧.

只证后半部分. 设 `X` 的单位球面列紧, `M` 是有界集, 下证 `M` 列紧. 对 `M` 中的任意点列 `{x_n}`, 若它只有有限项不为 0, 则它已然收敛. 否则, 去掉那些等于 0 的项, 将剩下的点列投影到单位球面, 得到点列 `{y_n}`. 由列紧性, `{y_n}` 有收敛子列 `{z_n}`. 我们找到 `{z_n}` 在 `{x_n}` 中对应项的模长 `{c_n}`. 由于 `M` 有界, `{c_n}` 是有界实数列, 有收敛子列 `{d_n}`. 将 `{d_n}` 与 `{z_n}` 中对应项相乘, 就得到 `{x_n}` 的收敛子列.

凸集与 Minkowski 泛函

    设 `p(x)` 是线性空间 `X` 上的半范数. `M` 是 `X` 上的单位闭球 `M := {x in X: p(x) le 1}` 观察到:
  1. `0 in M`;
  2. `M` 是 `X` 中的凸子集: `(AA x, y in M)` `(AA alpha in [0, 1])` `alpha x + (1-alpha) y in M`;
  3. `M` 是平衡的: `(AA x in M)` `(AA |alpha| le 1)` `alpha x in M`;
  4. `M` 是吸收的: `(AA x in M)` `(EE delta gt 0)` `(AA alpha in [0, delta])`, `alpha x in M`;
  5. 用 `M` 来定义 `p`: `p(x) = inf{k^-1: k gt 0, k x in M}`.

设 `M` 是线性空间 `X` 中吸收的凸子集, 令 `p_M(x) := inf{k^-1: k gt 0, k x in M}`. 称为由 `M` 诱导出的 Minkowski 泛函.

直观上, Minkowski 泛函描述了凸集中的一点 `x`, 经过放大正数 `k` 倍, 仍然落在集合中的故事. `p_M(x)` 定义为 `k^-1` 的下确界, 换言之, 我们需要找到 `k` 的上确界:
`x` 的位置 `Sup k` `p_M(x) = inf k^-1`
`0` `oo` `0`
凸集内 `[1, oo]` `[0, 1]`
凸集外 `(0, 1)` `(1, oo)`
边界上的点, 其 Minkowski 泛函取值一般等于 1, 但也可能等于 0, 见下文.

Minkowski 泛函取值为 0 的含义 `p_M(x) = 0` 意味着点 `x` 放大任意正数倍都落在集合内. 反之, `p_M(x) gt 0` 意味着 `x` 放大某个正数倍后可以落在集合外. 除原点以外, 也可以有其它点处的 Minkowski 泛函取值为 0. 比如上半平面是一个凸集, 此时 `x` 轴上所有点的 Minkowski 泛函值都为 0.

    上面定义的 Minkowski 泛函 `p_M(x)`:
  1. 满足次可加性与正齐次性, 因此是一个次线性泛函.
  2. 进一步若 `M` 还是平衡的, 则 `p_M` 满足齐次性, 是一个半范数.
  3. 在 2. 的基础上, 若 `M` 沿射线有界, 则 `p_M` 是一个范数. 这里沿射线有界是指: `AA x != 0`, `p_M(x) gt 0`, 换言之, `x` 放大某个正数倍后可以落在集合外. 特别当 `M` 是有界集时, `p_M` 一定是范数.

单位闭球和 Minkowski 泛函的关系 线性空间上的凸子集与次线性泛函、(半) 范数的一一对应关系如下: 次线性泛函 `harr` 吸收的凸子集
半范数 `harr` 平衡、吸收的凸子集
范数 `harr` 平衡、吸收、沿射线有界的凸子集.

线性泛函与线性算子

    设 `X, Y` 为数域 `K` 上的赋范线性空间, `K = RR` 或 `CC`.
  1. 映射 `f: X to K` 称为泛函. 如果它是线性的, 即 `AA x, y in X`, `AA alpha, beta in K`, `f(alpha x + beta y) = alpha f(x) + beta f(y)`, 则称为线性泛函. 设 `f` 为线性泛函, 我们常把 `f(x)` 写作 `(:f, x:)`.
  2. 映射 `T: X to Y` 称为算子. 如果它是线性的, 即 `AA x, y in X`, `AA alpha, beta in K`, `T(alpha x + beta y) = alpha T(x) + beta T(y)`, 则称为线性算子. 设 `T` 为线性算子, 我们常把 `T(x)` 写作 `T x`.
    3. `RR` 或 `CC` 本身也是赋范线性空间, 因此线性泛函是特殊的线性算子.

线性泛函与线性算子就是线性代数中的线性函数与线性映射, 但我们将它放在赋范线性空间中考虑. 这些空间常常是无穷维的.

有界线性算子 设 `X, Y` 是 `K` 上的赋范线性空间, `T: X to Y` 是线性算子. 若存在 `M gt 0` 使得 `||T x||_Y le M ||x||_X`, `quad AA x in X`, 则称 `T` 为有界线性算子. 全体 `X to Y` 的有界线性算子记作 `cc L(X, Y)`, 特别地, `cc L(X) := cc L(X, X)` 为 `X` 上全体有界线性变换, `X^ast := cc L(X, K)` 为 `X` 上全体有界线性泛函. `X^ast` 又称为 `X` 的对偶空间或共轭空间.

有界线性算子就是连续线性算子 设 `T` 是线性算子, 则 `T` 有界 `iff` 对 `X` 中任意收敛点列 `x_n to x` 有 `T x_n to T x`.

先设 `T` 有界. 由 `x_n to x` 和 `||T x_n - T x||` `= ||T(x_n - x)||` `le M ||x_n - x||` 即得 `T x_n to T x`.
反之若 `T` 无界, 则存在点列 `{x_n}` 满足 `||T x_n|| gt n ||x_n||`. 令 `y_n = 1/n * x_n/(||x_n||)`, 则 `y_n to 0`, 但 `||T y_n||` `= 1/n (||T x_n||)/(||x_n||)` `gt 1`, 从而 `T y_n` 不能趋于 0, `T` 不连续.

算子范数 设 `T in cc L(X, Y)`, 规定 `T` 的范数为 `||T|| := Sup_(x != 0) ||T x|| // ||x||` `= Sup_(||x||=1) ||T x||`. 换言之 `||T||` 等于单位球面上的点被映到的离原点的最远距离.

另一个等价定义是 `||T||_1 = Sup_(||x|| le 1) ||T x||`, 即单位闭球内的点被映到的最远距离. 显然 `||T||_1 ge ||T||`, 又任取 `||x|| le 1`, `x != 0`, 有 `||T x||` `= ||T x/(||x||)|| * ||x||` `le ||T|| * ||x||` `le ||T||`, 所以 `||T||_1 le ||T||`, 两定义实际上相等.

`AA x in X`, `||T x|| le ||T|| ||x||`.

设 `delta ge 0`, 则 `||T|| le delta` `iff AA x in X`, `||T x|| le delta ||x||`. 特别当 `delta = 0` 时, 这意味着 `||T|| = 0` `iff AA x in X`, `T x = 0` `iff T = 0`. 此外, 有界线性算子的定义式也可以简记为 `||T|| le M`.

`cc L(X, Y)` 在上述算子范数下构成赋范线性空间. 当 `Y` 是 Banach 空间时, `cc L(X, Y)` 也是 Banach 空间. 特别地, `X^ast` 是 Banach 空间.

  1. 连续线性算子的线性组合仍然连续, 故 `cc L(X, Y)` 是线性空间.
  2. 下证 `||T||` 是范数: 正定性: 见上一个推论.
    次可加性: `||T_1 + T_2||` `= Sup_(||x||=1) ||T_1 x + T_2 x||` `le Sup ||T_1 x|| + Sup ||T_2 x||` `= ||T_1|| + ||T_2||`. 齐次性: `||a T||` `= Sup_(||x||=1) ||a T x||` `= |a| Sup ||T x||` `= |a| ||T||`.
  3. 最后, 设 `Y` 完备, 证明 `cc L(X, Y)` 也完备. 取基本列 `{T_n}`, 则 `AA epsi gt 0`, `EE N in NN`, 使得 `AA m, n gt N` 有 `||T_m - T_n|| lt epsi`. 这等价于 `||T_m x - T_n x|| le epsi ||x||`, `quad AA x in X`. 固定 `x in X`, 可以看到 `{T_n x}` 是 `Y` 中的基本列, 记极限为 `y := lim_(n to oo) T_n x`. 映射 `T: x mapsto y` 正是我们所找的有界线性算子. 首先它线性: `T(k_1 x_1 + k_2 x_2)`
    `= lim T_n(k_1 x_1 + k_2 x_2)`
    `= lim (k_1 T_n x_1 + k_2 T_n x_2)`
    `= k_1 T x_1 + k_2 T x_2`.     其次它有界: `AA ||x|| = 1`, 取 `epsi = 1`, 则存在 `N`, 对 `AA n gt N` 有 `||T x||` `le ||T_n x|| + 1` `le (||T_n|| + 1)||x||`, 即 `||T|| le ||T_n|| + 1`.
    最后, 我们证明 `lim ||T_n - T|| = 0`. 任取 `||x|| = 1` 和 `epsi gt 0`, 由于 `T x = lim T_n x`, 存在 `N in NN`, 当 `n gt N` 时有 `||T_n x - T x|| lt epsi`. 上式关于单位球面上的 `x` 取上确界即得 `||T_n - T|| le epsi`.

Hahn-Banach 定理

定理的证明

稠密延拓 设 `X` 是赋范线性空间, `Y` 是 `X` 的稠密子空间, `f in Y^**`, 则存在唯一 `F in X^**`, 使得 `F|_Y = f`.

设 `X` 是赋范线性空间, 常常我们要寻找一个合适的线性泛函 `f in X^ast`. Hahn-Banach 定理就是这样一个存在性定理, 它体现了数学中延拓的思想: 先在 `X` 的子空间中寻找线性泛函 `f_0`, 由于子空间较小, 这是相对容易的. 例如任取 `x_0 != 0`, 规定 `f_0(x_0) = a`, 于是 `f_0(k x_0) = k a`, `k in K`. 这就得到一维子空间上的线性泛函. 然后, 运用 Hahn-Banach 定理将 `f_0` 延拓至整个空间 `X`, 并保持它的性质: 确切说它保持 `f_0` 的范数不变, 称为保范线性延拓. 根据数域 `K = RR` 或 `CC`, 我们需要两个前置的延拓定理:

实延拓定理 (Banach, 1929) 设 `X` 为实线性空间, `p` 是 `X` 上的次线性泛函 (次可加性、正齐次性). 若存在子空间 `X_0` 上的实线性泛函 `f_0` 满足 `f_0(x) le p(x)`, `quad AA x in X_0`, 则存在 `X` 上的实线性泛函 `f`, 满足 `f|_(X_0) = f_0`, 且 `f(x) le p(x)`, `quad AA x in X`.

  1. 不妨设 `X_0 != X`. 取 `x_1 in X \\ {X_0}`, 则 `x_1` 和子空间 `X_0` 张成更大的子空间 `X_1 := { x_0 + a x_1 | x_0 in X_0, a in RR }`. 我们先将 `f_0` 延拓到 `X_1`. 记延拓后的线性泛函为 `f_1`, 则 `f_1(x_0+a x_1)` `= f_0(x_0) + a f_1(x_1)`.
  2. 下面决定 `f_1(x_1)` 的值. 它需要满足受控条件 `f_1(x_0+a x_1) le p(x_0 + a x_1)`, `quad AA x_0 in X_0, a in RR`. `a = 0` 时上式已然成立, 下设 `a != 0`, 两边同除以 `|a|`, 利用 `f_1` 的线性和 `p` 的正齐次性得到 `{ f_1(y + x_1) le p(y + x_1), AA y in X_0; f_1(z - x_1) le p(z - x_1), AA z in X_0 :}` 整理得 `f_1(z) - p(z - x_1) le f_1(x_1) le p(y + x_1) - f_1(y)`, `quad AA y, z in X_0`. 这样的 `f_1(x_1)` 是存在的, 只需证明上式的左端总是不大于右端: `f_1(z) + f_1(y)` `= f_0(z + y)` `le p(z + y)` `le p(z - x_1) + p(x_1 + y)`. 我们任取一个合适的 `f_1(x_1)` 值即可. 这个值通常不唯一, 最终得到的延拓也不唯一.
  3. 接下来运用 Zorn 引理, 把 `f_0` 逐步延拓到整个 `X` 上去. 为此, 考虑所有满足 `X_0 le X_Delta le X` 的子空间 `X_Delta`, 以及定义在 `X_Delta` 上的线性泛函 `f_Delta`, 其满足 `f_Delta|_(X_0) = f_0`, `quad f_Delta le p|_(X_Delta)`. 在所有这样的 `F := {(X_Delta, f_Delta)}` 之间建立序关系如下: `(X_1, f_1) lt (X_2, f_2)` `iff X_1 sube X_2 and f_2|_(X_1) = f_1`. 从而 `F` 是偏序集.
  4. Zorn 引理表明, 若 `F` 的每一链都有上界, 则 `F` 有极大元. 任取一链 `M`, 我们来证明 `M` 有上界. 事实上, 取 `X_M` 为 `M` 中所有子空间之并. 则对任意 `x in X_M`, 存在某个 `M` 中的二元组 `(X_Delta, f_Delta)` 使得 `x in X_Delta`. 于是定义 `f_M(x) := f_Delta(x)`. 容易验证: `X_0 le X_M le X`,
    `f_M|_(X_0) = f_0`,
    `f_M le p|_(X_M)`.     于是 `(X_M, f_M) in F`, 且为 `M` 的上界. 由 Zorn 引理, `F` 有极大元, 记为 `(X_A, f_A)`.
  5. 最后我们证明 `X_A = X`. 如若不然, 按照第一段的证明, 可以构造出 `(X_B, f_B) in F`, 满足 `X_A subne X_B`. 于是 `(X_A, f_A) lt (X_B, f_B)`, 这与 `(X_A, f_A)` 的极大性矛盾.

由于复数不能比较大小, 相应的延拓定理必须作修改. 具体来说, 将 `p` 从次线性泛函加强为半范数, 再给约束不等式两边取模长, 得到:

复延拓定理 (Bohnenblust-Sobczyk, 1938) 设 `X` 为复线性空间, `p` 为 `X` 上的半范数 (次可加性、齐次性). 若存在子空间 `X_0` 上的复线性泛函 `f_0`, 满足 `|f_0(x)| le p(x)`, `quad AA x in X_0`, 则存在 `X` 上的复线性泛函 `f`, 满足 `f|_(X_0) = f_0`, 且 `|f(x)| le p(x)`, `quad AA x in X`.

  1. 把 `X`, `X_0` 分别看作 (两倍维数的) 实线性空间, 在子空间 `X_0` 中, 令 `g_0 := "Re" f_0`, 则 `g_0 le |f_0| le p`. 应用实延拓定理, 存在 `X` 上的实线性泛函 `g`, 满足 `g|_(X_0) = g_0`, `quad g le p`. 令 `f(x) := g(x) - "i"g("i"x)`, 下面验证 `f` 的性质.
  2. 验证 `f|_(X_0) = f_0`: `AA x in X_0`, `f(x) = g_0(x) - "i" g_0("i"x)`
    `= "Re" f_0(x) - "i" "Re"f_0("i"x)`
    `= "Re" f_0(x) - "i" "Re"("i" f_0(x))`
    `= "Re" f_0(x) + "i" "Im" f_0(x)`
    `= f_0(x)`.
  3. 验证 `f` 线性: 只需验证 `AA x in X`, `f("i"x) = g("i"x) - "i"g(-x)` `= "i"(g(x) - "i"g("i"x))` `= "i" f(x)`.
  4. 不等式约束: 不妨设 `f(x) != 0`, 取幅角 `theta := "arg" f(x)`, 于是 `|f(x)|` `= "e"^(-"i"theta) f(x)` `= f("e"^(-"i"theta) x)`. 上式两边取实部得到 `|f(x)|` `= g("e"^(-"i"theta) x)` `le p("e"^(-"i"theta) x)` `= p("e"^(-"i"theta) x)`, 再应用 `p` 的齐次性即得 `|f(x)| le p(x)`.

赋范线性空间上的延拓定理 (Hahn-Banach) 在实或复的赋范线性空间中, 任意子空间上的有界线性泛函都可以保范延拓到整个空间. 换言之, 设 `f_0` 是 `X_0 le X` 上的有界线性泛函, 则存在 `X` 上的有界线性泛函 `f`, 满足 `f|_(X_0) = f_0`, `quad ||f||_X = ||f_0||_(X_0)`.

在 `X` 上定义 `p(x) := ||f_0||_(X_0) * ||x||`, 则 `p` 是半范数. 由引理, 存在 `X` 上的线性泛函 `f`, 满足 `f|_(X_0) = f_0`, 且 `|f(x)| le p(x) = ||f_0||_(X_0) * ||x||`, `quad x in X`. 按算子范数定义, `||f|| le ||f_0||_(X_0)`. 然而 `f` 是 `f_0` 的延拓, 这意味着 `f` 只会把单位球面上的点映得更远, 即 `||f|| ge ||f_0||_(X_0)`. 因此 `||f|| = ||f_0||_(X_0)`.

定理的应用

Hahn-Banach 定理的重要应用, 就是找到一个线性泛函, 来分离空间中的对象, 这些对象包括点、面、凸集等等.

    点的分离 在赋范线性空间 `X` 中,
  1. 若 `x_0 != 0`, 则存在 `f in X^ast` 使得 `f(x_0) = ||x_0||`, 且 `||f|| = 1`.
  2. `x = y` `iff AA f in X^ast`, `f(x) = f(y)`.
  1. 令 `X_0 = {k x_0 | k in K}`, 并定义 `f_0(k x_0) = k ||x_0||`, `quad AA k in K`. 我们有 `||f_0||_(X_0) = 1`, 因为 `f_0` 将单位球面上的点仍映到单位球面上. 运用 Hahn-Banach 定理, 将 `f_0` 保范延拓到 `X` 上的线性泛函 `f`. `||f||` 仍为 1. 且 `f(x_0) = f_0(x_0) = ||x_0|| != 0`.
  2. 只需证 `lArr`: 若 `x != y`, 我们需要找到一个有界线性泛函 `f` 使得 `f(x) != f(y)`, 从而将它们区分开. 这只需令 `x_0 := x - y != 0` 并运用 1. 的结论即可.
    点与线性子空间的分离 在赋范线性空间 `X` 中,
  1. 若点 `x_0 in X` 到线性子空间 `M` 的距离为 `d gt 0`, 则存在 `f in X^ast` 满足 `f|_M = 0`, `quad f(x_0) = d`, 且 `||f|| = 1`.
  2. 若 `x_0 != 0`, `A sube X`, 则 `x_0 in bar("span" A)` 的充要条件是 `AA f in X^ast`, `f|_A = 0 rArr f(x_0) = 0`. 特别当 `A` 是一个点列 `{x_n}` 时, 我们得到: `x_0` 能被形如 `sum x_i` 的线性组合逼近的充要条件是: 对任意在 `x_1, x_2, cdots` 取值为 0 的有界线性泛函 `f` 都有 `f(x_0) = 0`.

凸集分离定理

下面介绍凸集分离定理, 大意是实赋范线性空间中的两个不相交凸集可以被超平面分离. 我们将关注点放在 `K = RR` 上面, 引入超平面的概念如下:

  1. 极大线性子空间 是 `n-1` 维子空间的推广. 称 `X_0` 是 `X` 的极大线性子空间, 如果不存在其它子空间 `M` 满足 `X_0 lt M lt X`. 等价地说, 如果存在子空间 `M` 使得 `X_0 lt M`, 则必有 `M = X`.
  2. 超平面或极大线性子流形 是极大线性子空间的平移: `L := x_0 + M`, 其中 `x_0 in X`. 类似地, 线性子流形是线性子空间的平移, 它未必极大.

设 `X` 为实线性空间, `M lt X`, 则 `M` 极大的充要条件是, 对任意 `x_0 in X \\ M` 成立直和分解 `X = M o+ "span"{x_0}`.

    超平面的方程 类比平面直线的方程 `f(x) = r`, 其中 `x in RR^2`, `r in RR`, `f` 为非零线性函数, 超平面也可以用线性泛函表示. 具体为:
  1. 设 `f` 为线性空间 `X` 上的非零线性泛函, `r in RR`, 则 `L := { x | f(x) = r }` 是一个超平面. 反过来, 对任意超平面 `L`, 存在 `X` 上的非零线性泛函 `f` 及 `r in RR` 使得上式成立.
  2. 在赋范线性空间中, 还可以证明: 1. 中的 `f` 连续当且仅当 `L` 是闭的.

两个集合 `E, F` 被超平面 `f(x) = r` 分离, 是指 `AA x in E`, `AA y in F`, `(f(x) - r)(f(y) - r) le 0`. 把上式的 `le` 改成 `lt`, 则称 `E, F` 被超平面严格分离.

    设 `X` 是实赋范线性空间,
  1. 点与开凸集分离 若 `E` 是 `X` 中有内点的真凸子集, 则对任意 `x_0 in X\\E`, 都存在一个闭超平面分离 `x_0` 与 `E`.
  2. 两个凸集分离 若 `E, F` 是两个不相交非空凸集, 且 `E` 有内点, 则存在一个闭超平面分离 `E` 与 `F`.

点与闭凸集严格分离 (Ascoli 定理) 设 `E` 是实赋范线性空间 `X` 中的闭凸集, 则对任意 `x_0 in X\\E`, 都存在一个超平面严格分离 `x_0` 与 `E`.

凸集隔离性定理 (Mazur, 1933) 设 `E` 是实赋范线性空间 `X` 中有内点的凸集, `F` 是 `X` 的线性子流形 (线性子空间的平移). 若 `E^@ nn F = O/`, 则存在闭超平面 `L supe F`, 使得 `E` 在 `L` 的同一侧.

相切概念的推广 凸集 `E` 在点 `x_0` 的承托超平面是指一个超平面 `L`, 满足 `x_0 in L`, 且 `E` 在 `L` 的同一侧. 若 `E` 是实赋范线性空间中含有内点的闭凸集, 则通过 `E` 的每个边界点都可以作出一个承托超平面.