赋范线性空间 (NVS, normed vector space) 是一类特殊的度量空间, 其具有线性空间的结构, 且每个元素 `x in X` 被赋予一个范数 `||x||`, 表示到原点的距离.

本章所提到的线性空间, 如不做特殊说明, 均是指实数域或复数域上的.

范数与半范数

    设 `X` 是域 `K` 上的线性空间, `K = RR` 或 `CC`. 考虑实函数 `p: X to RR` 的若干性质:
  1. 次可加性 (三角不等式): `(AA x, y in X)`, `p(x + y) le p(x) + p(y)`;
  2. 非负性: `(AA x in X)`, `p(x) ge 0`;
  3. 正定性: 在满足非负性的前提下, 等号成立当且仅当 `x = 0`;
  4. 正齐次性: `(AA x in X, AA a gt 0)` `p(a x) = a p(x)`;
  5. 齐次性: `(AA x in X, AA a in K)` `p(a x) = |a| p(x)`;
  6. 对称性: `(AA x in X)` `p(-x) = p(x)`;
  7. 数乘连续性: `(AA x in X, AA a in K)` `lim_(a_n to 0) p(a_n x) = 0`, `quad lim_(p(x_n) = 0) p(a x_n) = 0`.
范数的性质
    `p(x)` 的假定同上,
  1. 称 `p` 是一个次线性泛函, 若它满足次可加性与正齐次性.
  2. 称 `p` 是一个半范数 (半模), 若它满足次可加性、齐次性与非负性.
  3. 称 `p` 是一个范数 (模), 若它满足次可加性、齐次性与正定性.
  4. 称 `p` 是一个准范数, 若它满足次可加性、对称性、数乘连续性与正定性.
    5. 半范数与范数的区别在于, 后者只在原点处取零.

设 `p` 是半范数, 可以导出三角不等式的另一边: `(AA x, y in X)` `|p(x) - p(y)| le p(x - y)`.

令 `z = x - y`, 则 `p(x) = p(y + z)` `le p(y) + p(z)`, 从而 `p(x) - p(y) le p(z)` `= p(x-y)`. 另一方面, 由齐次性 `p(z) = p(-z) = p(y-x)`, 交换字母 `x, y` 就得到 `p(y) - p(x) le p(x - y)`.

半范数的非负性可以由其它两个性质推出.

任取 `x in X`, 由于 `K` 的特征不为 2, 可设 `x = 2 y`. 于是 `p(2 y - y) le p(2 y) + p(-y)` `= p(2y) + p(y)`. 这推出 `p(x) = p(2y) ge 0`.

赋范线性空间

  1. 设实函数 `||*||: X to RR` 是线性空间 `X` 上的范数. `(X, ||*||)` 构成赋范线性空间, 简记为 `X`.
  2. 赋范线性空间上有一个天然的度量: `d(x, y) = ||x - y||`, 称为由范数诱导的度量; 因此它是度量空间.
  3. 设 `{x_n}` 是 `X` 上的点列, 若存在 `x in X` 使得 `lim_(n to oo) ||x_n - x|| = 0`, 则称 `{x_n}` 依范数收敛于 `x`.
  4. 完备的赋范线性空间称为 Banach 空间.
  5. 如果 `||*||` 是准范数, 则 `(X, ||*||)` 称为赋准范数的线性空间. 若它还是完备的, 则称为 Frechet 空间.

Banach 空间正是香蕉空间名字的由来.

线性空间 `X` 上范数诱导出的度量与 `X` 的线性结构相容, 即当 `alpha_n to alpha`, `beta_n to beta`, `x_n to x`, `y_n to y` 时, `alpha_n x_n + beta_n y_n to alpha x + beta y`. 其中 `alpha_n, alpha, beta_n, beta in K`, `x_n, x, y_n, y in X`.

  1. Euclid 空间 `RR^n` 按范数 `||x|| = sqrt(sum_(i=1)^n |x_i|^2)` 构成 Banach 空间.
  2. 连续函数空间 `C[a, b]` 按范数 `||f|| = max_(x in [a, b]) |f(x)|` 构成 Banach 空间. 推广到紧集 `M` 上的连续函数空间 `C(M)` 仍是 Banach 空间.
  3. 序列空间 `cc S` 按范数 `||x|| = sum_(k ge 1) 2^-k |x_k|/(1+|x_k|)` 构成 Frechet 空间.
  4. `RR^n` 上一切连续函数 `C(RR^n)` 按范数 `||f|| = sum_(k ge 1) 2^-k (max_(|x| le k) |f(x)|)/(1+max_(|x| le k) |f(x)|)` 构成 Frechet 空间.
  5. `l^p` 空间 `(1 le p lt oo)`. 全体满足 `sum_(n ge 1) |u_n|^p lt oo` 的序列构成线性空间, 并且按范数 `||u||_p = (sum_(n ge 1) |u_n|^p)^(1//p)` 构成 Banach 空间.
  6. `l^oo` 空间. 全体有界序列构成线性空间, 并且按范数 `||u|| = Sup_(n ge 1) |u_n|` 构成 Banach 空间.
  7. `L^p(Omega)` 空间 `(1 le p lt oo)`. 设 `Omega sube RR` 是 Lebesgue 可测集, 若可测函数 `f` 满足 `|f|^p` 在 `Omega` 上 Lebesgue 可积, 则称 `f` 是 `p` 方可积的. 全体 `Omega` 上 `p` 方可积函数构成线性空间 (把几乎处处相等的函数视作同一个向量), 并且按范数 `||f||_p = (int_Omega |f(x)|^p dx)^(1//p)` 构成 Banach 空间.
  8. `L^oo(Omega)` 空间. 如果 `Omega` 上的函数 `f` 与一个有界函数几乎处处相等, 则称 `f` 是本性有界的. `Omega` 上全体本性有界的可测函数构成线性空间 (把几乎处处相等的函数视作同一个向量), 并且按范数 `||f||_oo = underset(零测集 Z sube Omega)inf underset(x in Omega - Z)Sup |f(x)|` 构成 Banach 空间. 上式右端也可以写为 `underset(x in Omega)"ess sup"|f(x)|`, 称为 `|f|` 的本性上确界. 从 `f` 的定义域挖掉各种零测集, 再求 `|f|` 的上确界, 取其最小者即是.
  9. `k` 阶连续可微函数空间 `C^k(bar Omega)`.
  10. Sobolev 空间 `H^(m,p)(Omega)`.

`p lt oo` 时, `l^p` 与 `L^p` 空间是可分的; 但 `l^oo` 与 `L^oo` 不可分.

范数等价与有限维赋范线性空间

凸集与 Minkowski 泛函