半范数与范数

在本章, 我们总是讨论 `RR` 上或 `CC` 上的线性空间, 简便起见, 用记号 `bbb P` 表示实数域或复数域.

设 `X` 是 `bbb P` 上的线性空间, 称实函数 `p: X to RR` 为 `X` 上的半范数, 如果它满足:
1. 次可加性. `(AA x, y in X)` `p(x+y) le p(x) + p(y)`;
2. 齐次性. `(AA x in X)` `(AA alpha in bbb P)` `p(alpha x) = |alpha| p(x)`.

线性空间 `X` 上的半范数 `p(x)` 满足:
1. `p(0) = 0`;
2. `(AA x in X)` `p(x) ge 0`;
3. `(AA x, y in X)` `|p(x) - p(y)| le p(x - y)`.

称线性空间 `X` 上的半范数 `p(x)` 为范数, 如果 `p(x) = 0 iff x = 0`, 记为 `||*||`. 称 `(X, ||*||)` 为线性赋范空间, 简记为 `X`.

设 `(X, ||*||)` 是线性赋范空间, 定义 `d(x, y) = ||x-y||`, 则 `d` 是 `X` 上的度量函数, 称为由范数诱导的度量. 从而线性赋范空间都是度量空间. 设 `{x_n}` 是 `X` 上的点列, 若存在 `x in X` 使得 `lim_(n to oo) ||x_n - x|| = 0`, 则称 `{x_n}` 依范数收敛于 `x`.

线性空间 `X` 上范数诱导出的度量与 `X` 的线性结构相容, 即当 `alpha_n to alpha`, `beta_n to beta`, `x_n to x`, `y_n to y` 时, `alpha_n x_n + beta_n y_n to alpha x + beta y`. 其中 `alpha_n, alpha, beta_n, beta in bbb P`, `x_n, x, y_n, y in X`.

Minkowski 泛函

设 `p(x)` 是线性空间 `X` 上的半范数. 则 `X` 上的单位球 `M = {x in X: p(x) le 1}` 满足:
1. `0 in M`;
2. `M` 是 `X` 中的凸子集: `(AA x, y in M)` `(AA alpha in [0, 1])` `alpha x + (1-alpha) y in M`;
3. `M` 是平衡的: `(AA x in M)` `(AA alpha in bbb P, |alpha| le 1)` `alpha x in M`;
4. `M` 是吸收的: `(AA x in M)` `(EE delta gt 0)` `(AA alpha in [0, delta])`, `alpha x in M`;
5. `p(x) = inf{alpha: alpha gt 0, alpha^-1 x in M} = Sup{alpha: alpha gt 0, alpha x in M}`.

设 `M` 是线性空间 `X` 中吸收的凸子集, 令 `p_M(x) = inf{alpha: alpha gt 0, alpha^-1 x in M}`, 称为由 `M` 诱导出的 Minkowski 泛函.

设 `M` 是线性空间 `X` 中吸收的凸子集, 则由 `M` 诱导出的 Minkowski 泛函 `p_M(x)` 满足:
1. 次可加性.
2. 正齐次性. `(AA x in X)` `(AA t gt 0)`, `p_M(t x) = t p_M(x)`;
进一步, 如果 `M` 还是平衡的, 则 `p_M(x)` 是 `X` 上的半范数. 这表明线性空间 `X` 上的半范数与 `X` 上平衡且吸收的凸子集一一对应.

设 `M` 是线性空间 `X` 上平衡且吸收的凸子集, 且满足对任意 `x in X\\{0}`, 存在 `alpha gt 0` 使得 `alpha^-1 x !in M`, 则由 `M` 诱导出的 Minkowski 泛函是 `X` 上的范数.

有限维线性赋范空间, Riesz 引理

称线性空间 `X` 上的两个范数 `||*||_1`, `||*||_2` 等价, 如果存在常数 `C_1, C_2 gt 0`, 使 `C_1 ||x||_1 le ||x||_2 le C_2 ||x||_1`.

设 `X` 是 `n` 维线性赋范空间, `bm e_1, bm e_2, cdots, bm e_n` 是一组基, 则存在 `C_1, C_2 gt 0`, 使对任意 `bm x = sum_(i=1)^n x_i bm e_i in X`, 有 `C_1 sqrt( sum_(i=1)^n |x_i|^2 ) le ||x|| le C_2 sqrt( sum_(i=1)^n |x_i|^2 )`.

`n` 维实 (复) 线性赋范空间与 `RR^n` (`CC^n`) 同构且同胚.

有限维线性赋范空间上的任何两个范数都是等价的.

由 `RR^n` 与 `CC^n` 的相关性质可得,
1. 有限维线性赋范空间是完备可分的;
2. 线性赋范空间的有限维子空间是闭子空间;
3. 有限维线性赋范空间的任意有界子集都是列紧的.

(Riesz 引理, 1918) 设 `M` 是线性赋范空间 `X` 的闭子空间, 且 `M != X`, 则对任意 `epsi gt 0`, 存在单位球面上的一点 `x_epsi in X`, `||x_epsi|| = 1`, 使得 `"dist"(x_epsi, M) = inf_(x in M) ||x - x_epsi|| ge 1-epsi`. 换言之, 记 `S = {x in X: ||x|| = 1}`, 有 `Sup_(x in S) inf_(y in M) ||x - y|| ge 1`.

取 `x_0 in X \\ M`. 由 `M` 为闭集知 `"dist"(x_0, M) = d gt 0`, 且存在 `y_0 in M` 使得 `d le ||x_0 - y_0|| lt d/(1-epsi)`. 令 `x_epsi = (x_0 - y_0)/||x_0 - y_0||`, 则 `x_epsi in S`, 对任意 `x in M`, 有 ` ||x_epsi - x|| = 1/||x_0 - y_0|| || x_0 - (y_0 + ||x_0 - y_0||x) ||`. 注意到 `x, y_0 in M`, 故 `y_0 + ||x_0 - y_0|| x in M`. 从而 `||x_epsi - x|| ge d/||x_0 - y_0|| gt 1-epsi`.

无穷维线性赋范空间的单位球不是列紧的.

`L^p(Omega)` 空间与 `l^p` 空间

Hölder 不等式 设 `1 lt p, q lt oo`, `1/p + 1/q = 1`, `{x_i} in l^p`, `{y_i} in l^q`, 则 ` sum_(i=1)^oo |x_i y_i| le (sum_(i=1)^oo x_i^p)^(1/p) (sum_(i=1)^oo y_i^q)^(1/q)`. 设 `f in L^p[a, b]`, `g in L^q[a, b]`, 则 ` int_a^b |f(x) g(x)| dx le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p) (int_a^b |g(x)|^q dx)^(1/q)`. 在 Hölder 不等式中取 `p = q = 2` 就得到 Cauchy 不等式.

Minkowski 不等式 设 `1 lt p lt oo`, `f, g in L^p[a, b]`, 则 ` (int_a^b |f(x) + g(x)|^p dx)^(1/p) le (int_a^b |f(x)|^p dx)^(1/p) + (int_a^b |g(x)|^p dx)^(1/p)`.

`L^p(Omega)` 空间

设 `Omega sube RR^n` 是一个区域, `1 le p lt oo`. 记全体在 `Omega` 上 Lebesgue 可测且 `p` 方可积, 即 `int_Omega |f(x)|^p dx lt oo` 的函数构成 `L^p(Omega)` 空间. 对任意 `f, g in L^p(Omega)` 及任意 `alpha in RR`, 令 `(f+g)(x) = f(x) + g(x)`,
`(alpha f)(x) = alpha f(x)`, 则 `L^p(Omega)` 是线性空间. 引入范数 `||f|| = (int_Omega |f(x)|^p dx)^(1/p)`, 在 `L^p(Omega)` 中, 如果对两个几乎处处相等的函数不加区别, 则利用 Minkowski 不等式容易证明 `||f||` 满足范数的性质. 因此 `L^p(Omega)` 是线性赋范空间.

称完备的线性赋范空间为 Banach 空间.

`L^p(Omega)` 是完备可分的. 亦即: `L^p(Omega)` 是可分的 Banach 空间.

`L^oo(Omega)` 空间

设 `Omega sube RR^n` 是一个区域, `f` 是 `Omega` 上的可测函数. 称 `f` 在 `Omega` 上本性有界, 如果 `f` 在 `Omega` 上几乎处处有限, 即存在零测集 `E sube Omega`, 使 `f` 在 `Omega \\ E` 上有界. 记 `Omega` 上本性有界函数的全体为 `L^oo(Omega)` 空间. 由于有限多个零测集的并仍为零测集, 因此有限多个本性有界函数的线性组合还是本性有界的, 从而 `L^oo(Omega)` 按通常函数的线性运算构成线性空间. 称 ` underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)| = inf_(E sube Omega; m(E) = 0) Sup_(x in Omega \\ E) |f(x)|` 为 `f` 在 `Omega` 上的本性上确界. 显然若 `f` 有界, 则 `underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)| = Sup_(x in Omega) |f(x)|`. 现在引入范数 `||f||_oo = underset (x in Omega) "ess sup" |f(x)|`, 容易验证它满足范数的条件. 因此 `L^oo(Omega)` 是线性赋范空间.

`L^oo` 是完备的 (即它是 Banach 空间), 但 `m(Omega) gt 0` 时它是不可分的.

设 `1 le p lt oo`. 记全体 `p` 方收敛, 即 `sum_(i=1)^oo |x_i|^p lt oo` 的数列 `x = {x_i}` 构成 `l^p` 空间.

Hahn-Banach 定理

设 `X` 是数域 `bbb P` 上的线性赋范空间. 称映射 `f: X to bbb P` 为线性泛函, 如果它是线性的, 即 `(AA x, y in X)` `(AA alpha, beta in bbb P)` `f(alpha x + beta y) = alpha f(x) + beta f(y)`. 进一步, 如果还存在 `M gt 0`, 使得 `(AA x in X)` `|f(x)| le M ||x||`, 则称 `f` 是 `X` 上的有界线性泛函. 称 `X` 上全体有界线性泛函构成 `X` 的对偶空间或共轭空间, 记为 `X^**`. 对任意 `f, g in X^**`, `alpha, beta in bbb P`, 令 `(alpha f + beta g)(x) = alpha f(x) + beta g(x)`, `AA x in X`, 则 `X^**` 也构成线性空间. 对 `AA f in X^**`, 引入范数 `||f|| = Sup_(||x|| le 1) |f(x)|`, 容易验证它满足范数的性质, 因此 `X^**` 为线性赋范空间.

`X^**` 的范数的一个等价定义为 `||f||_1 = Sup_(||x|| = 1) |f(x)|`. 容易看出对任意 `f in X^**`, `||f||_1 le ||f||`. 反之, 对任意 `x in X`, `||x|| le 1` 有 `|f(x)| = |f(x/||x||)| ||x|| le ||f||_1 ||x|| le ||f||_1`, 于是 `||f|| le ||f||_1`, 综上有 `||f|| = ||f||_1`.

`(AA f in X^**)` `(AA x in X)` `|f(x)| = |f(x/||x||)| ||x|| le ||f|| * ||x||`.

设 `X` 为线性赋范空间, `f in X^**`, 若 `||f|| le M`, 则 `(AA x in X) |f(x)| le ||f|| * ||x|| le M||x||`; 反之, 由 `f` 是 `X` 上的有界线性泛函知存在 `M_1 gt 0`, `(AA x in X)` `|f(x)| le M_1 ||x||`, 限制 `||x|| le 1`, 取上确界得 `||f|| le M_1 ||x|| le M_1`.

有界线性泛函必连续. 这是因为对任意 `x` in `XX` 和 `x_n to x`, `|f(x_n) - f(x)| = |f(x_n - x)| le ||f|| * ||x_n - x||`.

设 `X` 是线性赋范空间, 则 `X^**` 为 Banach 空间.

设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的稠密子空间, `f in Y^**`, 则存在唯一 `F in X^**`, 使得 `F|_Y = f`, 即 `(AA x in Y)` `F(x) = f(x)`.

在 Banach 延拓定理中, 若 `f` 为有界线性泛函, 则 `F` 为 `f` 的有界线性延拓. 事实上取 `p(x) = M ||x||`, 则 `F(x) le M ||x||`,
`-F(x) = F(-x) le M||-x|| = M||x||`. 从而 `|F(x)| le M||x||`.

(Hahn-Banach, 1927) 设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的线性子空间, `f in Y^**`, 则存在 `F in X^**`, 使得 `F|_Y = f`, 且 `||F||_X = ||f||_Y`. 称 `F` 为 `f` 的保范线性延拓.

设 `X` 是线性赋范空间, 则对任意 `x_0 in X \\ {0}`, 存在 `f in X^**`, 满足
1. `||f|| = 1`;
2. `f(x_0) = ||x_0||`.

设 `X` 是线性赋范空间, `Y` 是 `X` 的闭线性子空间, 且 `Y != X`. 则对任意 `x_0 in X \\ Y`, 存在 `f in X^**`, 满足
1. `f|_Y -= 0`;
2. `||f|| = 1`;
3. `f(x_0) = "dist"(x_0, Y) gt 0`.

设 `X` 是线性赋范空间, `f in X^**`, 则 `"Ker" f = {x in X: f(x) = 0}` 是 `X` 的闭子空间. 进一步若 `f !-= 0`, 即 `"Ker" f != X`, 则对任意 `x_0 in X \\ "Ker" f`, 有 `X = "Ker" f + "span"{x_0}`.

(Mazur 凸集隔离性定理, 1933) 设 `K` 是实线性赋范空间 `X` 的闭凸子空间, `x_0 !in K`, 则存在常数 `r` 以及 `f in X^**` 使得 `f(x_0) gt r`,
`f(x) le r`, `x in K`.

有理数域的完备化

Cantor 实数理论

从 `QQ` 上 Cauchy 列的等价类出发

`L^p[a, b]`, `l^p` 的对偶空间表示

设 `1 lt p lt oo`, `1/p + 1/q = 1`, `f` 是 `L^p[a, b]` 上的有界线性泛函, 则存在唯一的函数 `y in L^q[a, b]`, 使对任意 `x in L^p[a, b]`, `f(x)` 可以表为 `f(x) = int_a^b x(t) y(t) dt`,
`||f|| = ||y||_(L^q[a, b])`. 即存在 `(L^p[a, b])^**` 到 `L^q[a, b]` 的保范映射. 反过来, 对任意固定的 `y in L^q[a, b]`, `f(x) = int_a^b x(t) y(t) dt` 定义了 `L^p[a, b]` 上的有界线性泛函. 因此, 存在从 `(L^p[a, b])^**` 到 `L^q[a, b]` 的保范同构.

设 `X` 是线性赋范空间. 若 `X^**` 可分, 则 `X` 也可分.

因为 `L^oo[a, b]` 不可分, 而 `L^1[a, b]` 可分, 故 `L^oo[a, b]` 的对偶空间不可能保范同构于 `L^1[a, b]`. 同理 `l^oo` 不可能保范同构于 `l^1`.

Banach 空间的自反性

设 `X` 是线性赋范空间, `X^**` 是 `X` 的对偶空间. 称 `X^**` 的对偶空间 `(X^**)^**` 为 `X` 的二次对偶空间, 记为 `X^(** **)`. 类似可以定义更高次的对偶空间.

设 `X` 是线性赋范空间, 称映射 `tau: X to X^(** **)`, `tau(x) = x^(** **)` 为 `X` 到 `X^(** **)` 的典型映射, 其中 `x^(** **)(f) = f(x)`, `f in X^**`.

典型映射是保范线性映射, 因而是单射, 也是连续映射. 若典型映射还是满射, 可以证明它是同胚映射, 从而是 `X` 到 `X^(** **)` 的保范同构.

设 `X` 是 Banach 空间. 称 `X` 为自反的, 如果 `X` 到 `X^(** **)` 的典型映射为一满射, 即 `tau(X) = X^(** **)`.

存在这样的 Banach 空间 `X`, 它与 `X^(** **)` 保范同构, 但 `tau(x)` 不为满射, 即 `X` 不是自反的.

有限维线性赋范空间是自反的.

设 `1 lt p lt oo`, 则 `L^p[a, b]` 是自反的.

自反的 Banach 空间的闭子空间也是自反的.

序列弱收敛与弱*收敛

设 `X` 是 Banach 空间, `{x_n} sube X`. 如果存在 `x in X`, 使 `lim_(n to oo) f(x_n) = f(x)`, `AA f in X^**`, 则称 `{x_n}` 弱收敛于 `x`, 记为 `x_n ⇀ x` 或 `x_n overset w to x`.

由于有界线性泛函必连续, 所以 `x_n to x` 蕴含 `x_n ⇀ x`, 但反之不然.

设 `{x_n}` 为线性空间上的点列, `N in ZZ^+`, `0 le lambda_n le 1`, `n = 1, 2, cdots, N` 且 `sum_(n=1)^N lambda_n = 1`, 则称 `sum_(n=1)^N lambda_n x_n` 为 `{x_n}` 的一个凸组合. 用 `"Co"{x_n}` 表示 `{x_n}` 的全体凸组合, 其中的 `N` 不必相同.

设 `X` 是 Banach 空间. 如果序列 `{x_n} sube X` 弱收敛于 `x in X`, 则 `x in bar("Co"{x_n})`.

设 `X` 是 Banach 空间, `{f_n} sube X^**`. 如果存在 `f in X^**`, 使 `lim_(n to oo) f_n(x) = f(x)`, `AA x in X`, 则称 `{f_n}` 弱*收敛于 `f`, 记为 `f_n overset ** to f`.

当 `X` 是自反的 Banach 空间时, `X` 到 `X^(** **)` 存在保范同构, 从而 `{x_n} sube X` 的弱收敛与 `{x^(** **)} sube X^(** **)` 的弱*收敛是等价的.

称 Banach 空间 `X` 的子集 `A` 为弱列紧的, 如果 `A` 中任意点列都有弱收敛的子列; 称 Banach 空间 `X` 的对偶空间 `X^**` 的子集 `A` 为弱*列紧的, 如果 `A` 中任意点列都有弱*收敛的子列.

设 `X` 是可分的 Banach 空间, 则 `X^**` 的有界集是弱*列紧的.

(Pettis, 1938) 自反的 Banach 空间中的有界集是弱列紧的.