三大定理

  1. 记号 `X, Y` 等表示赋范线性空间; 如果它们还是 Banach 空间, 则用角标注明, 如 `X^"完备"`.
  2. `cc L(X, Y)` 表示 `X` 到 `Y` 的全体连续线性算子.

开映像定理

    设 `T in cc L(X^"完备", Y^"完备")`:
  1. 开映像定理 若 `T` 是满射, 则 `T` 是开映射, 它把任意开集映为开集.
  2. Banach 逆算子定理 若 `T` 是双射, 则 `T^-1` 连续, 即 `T^-1 in cc L(Y, X)`. 此时 `T` 是一个同胚映射.
    由拓扑学中开映射的相关性质知道, 2. 是 1. 的直接推论. 下面证明 1. 的等价命题: `EE delta gt 0`, 使得 `U(0, delta) sube T B(0, 1)`, `(ast)` 其中 `B`, `U` 分别表示 `X`, `Y` 中的开球.
  1. 等价性的证明. 任取开集 `W in X` 和一点 `y = T x in T(W)`, 由于 `W` 是开集, 存在 `B(x, r) sube W` 由线性性和 `(ast)` 式有 `U(T x, r delta) sube T B(x, r)` `sube T(W)`, 于是 `y` 是 `T(W)` 的内点, `T(W)` 为开集.
  2. 由于 `T` 是满射, `Y = uuu_(n ge 1) T B(0, n)`. 根据 Baire 纲定理, 完备度量空间是第二纲集, 这意味上式至少有一项 `T B(0, n)` 不是稀疏集, 即它的闭包有内点. 从而可以取开球 `U(y_0, r) sube bar(T B(0, n))`. 注意 `bar(T B(0, n))` 的对称性: `y = T x in T B(0, n)`
    `rArr x in B(0, n)`
    `rArr -x in B(0, n)`
    `rArr -y = T(-x) in T B(0, n)`.     从而 `U(-y_0, r) sube bar(T B(0, n))`. 又 `bar(T B(0, n))` 是凸集, 对两个集合 `U(y_0, r)`, `U(-y_0, r)` 取平均得到 `U(0, r) sube bar(T B(0, n))`,
    即 `U(0, delta) sube bar(T B(0, 1//3))`, 其中 `delta = r//3n`.     这离要证的式子 `U(0, delta) sube T B(0, 1)` 只有一步之遥: 我们还需应对这个闭包运算.
  3. 使用逐次逼近法: 任取 `y_0 in U(0, delta)`, 下证存在 `x_0 in B(0, 1)`, 使得 `y_0 = T x_0`. 换言之, 方程在 `B(0, 1)` 内有解. 由 2. 知, 对 `y_0 in U(0, delta)`, `EE x_1 in B(0, 1//3)` 使得 `y_1 := y_0 - T x_1 in U(0, delta//3)`. 一般地, 对于 `y_n := y_(n-1) - T x_n in U(0, delta//3^n)`, `EE x_(n+1) in B(0, 1//3^(n+1))`, 使得 `y_(n+1) := y_n - T x_(n+1) in U(0, delta//3^(n+1))`. 从而得到点列 `{x_n}` 和 `{y_n}`. 记 `S_n = sum_(i=1)^n x_i`, 由 `sum_(n ge 1) ||x_n||` `le sum_(n ge 1) 1/3^n` `= 1/2` 知道, `S_n` 是 Cauchy 列. 由 `X` 空间的完备性, 可以令 `x_0 := lim_(n to oo) S_n` `= sum_(n ge 1) x_n`. 容易知道 `x_n in B(0, 1)`, 而且 `||y_0 - T S_n||` `= ||y_0 - T(x_1 + cdots + x_n)||` `= ||y_n||` `lt delta//3^n`. 这意味着 `lim_(n to oo) T S_n = y_0`. 由 `T` 的连续性, `y_0 = lim_(n to oo) T S_n` `= T lim_(n to oo) S_n` `= T x_0`.

在开映像定理的证明中, `T` 的连续性条件用于保证极限的交换: `lim_(n to oo) T S_n = T lim_(n to oo) S_n`. 事实上, 这个条件可以减弱为 `T` 是闭线性算子, 见下节.

若逆算子 `T^-1` 连续, 则由拓扑学对连续的定义, `T` 是开映射, 也是闭映射. 特别 `T` 把闭集 `X` 映为闭集, 即 `"Im"T` 是 `Y` 的闭线性子空间. 我们得到: 逆算子连续 `rArr` 闭值域.

等价范数定理 设 `X` 关于两个范数 `||*||_1`, `||*||_2` 都完备, 而且其中一个范数比另一个强, 则两个范数实际上等价.

设 `||x||_2 le C ||x||_1`, `quad AA x in X`. 定义恒等算子 `I: (X, ||*||_1) to (X, ||*||_2)`
`x mapsto x`. 显然它是双射, 且有界: `||I x||_2 = ||x||_2 le C ||x||_1`, `quad AA x in X`. 由逆算子定理, `I^-1` 连续, 即存在 `M gt 0` 使得 `||x||_1 = ||I^-1 x||_1 le M||x||_2`, `quad AA x in X`. 于是两范数等价.

闭图像定理

闭线性算子 设 `T: D(T) sube X to Y` 是线性算子. 称 `T` 是闭的, 如果对任意点列 `x_n in D(T)`, 只要下式中极限 `lim_(n to oo) x_n` 与 `lim_(n to oo) T x_n` 均存在, 就有 `lim_(n to oo) x_n in D(T)`, 且下式的等号成立: `lim_(n to oo) T x_n = T lim_(n to oo) x_n`. 如果 `T` 连续且定义域 `D(T)` 闭, 显然 `T` 是闭线性算子. 如果 `D(T)` 不是闭的呢? 需要下面引理:

连续线性算子延拓定理 设 `T in cc L(D(T), Y^"完备")`, 则存在唯一的 `T_1 in cc L(bar(D(T)), Y)`, 使得 `T_1|_(D(T)) = T`, `quad ||T_1|| = ||T||`.

任取 `x in bar(D(T))`, 则存在点列 `x_n in D(T)` 趋于 `x`. 由已知 `T` 是 `D(T)` 上的有界线性算子, 则它把基本列 `{x_n}` 映为基本列 `{T x_n}`. 由于 `Y` 完备, `T x_n` 存在极限, 容易说明极限与 `x_n` 的选取无关. 定义 `T_1: bar(D(T)) to Y`
`x mapsto lim T x_n`. 显然 `T_1|_(D(T)) = T`, 并且 `T_1` 是线性的, 且是有界的: `AA x in bar(D(T))`, `AA epsi gt 0`, 取 `x_n` 使得 `||x_n - x|| lt epsi` 及 `||T_1 x - T x_n|| lt epsi`, 则 `||T_1 x||` `le ||T_1 x - T x_n|| + ||T x_n - T x|| + ||T x||` `le epsi + ||T|| epsi + ||T x||`. 于是 `||T_1|| le ||T||`. 但 `T_1` 是 `T` 的延拓, 所以 `||T_1|| ge ||T||`, 即它们的范数相等.

延拓定理告诉我们, 只要 `Y` 完备, 每个连续线性算子都能延拓到 `bar(D(T))` 上, 使其成为闭线性算子. 反之, 若闭线性算子的定义域闭, 则它必连续, 这就是下文的闭图像定理.

闭图像定理 设 `T: D(T) sube X^"完备" to Y^"完备"` 是闭线性算子, 且定义域 `D(T)` 是闭集, 则 `T` 连续.

  1. 集合 `G(T) := {(x, T x) | x in D(T)}` 称为算子 `T` 的图像. `AA x in D(T)`, 定义 `x` 关于算子 `T` 的图模如下: `||x||_G := ||x|| + ||T x||`. 容易验证这是一个范数, 且强于 `||*||`.
  2. `D(T)` 作为完备空间的闭子空间, 仍是完备的. 下证 `D(T)` 关于 `||*||_G` 仍完备. 事实上, 当 `m, n to oo` 时, 由 `||x_m - x_n||_G to 0` 可知 `||x_m - x_n|| to 0`, `||T x_m - T x_n|| to 0`. 再由 `D(T), Y` 的完备性, 存在 `x in D(T)` 和 `y in Y` 使得 `x_n to x`, `quad T x_n to y`. 但 `T` 是闭算子, 于是 `y = T x`, `T x_n to T x`, 从而 `||x_n - x||_G` `= ||x_n - x|| + ||T x_n - T x||` `to 0`.
  3. 根据等价范数定理, `||*||_G` 与 `||*||` 等价. 从而存在 `M gt 0`, 使得 `||T x|| le ||x||_G le M ||x||`, `AA x in D(T)`.

一致有界定理

一致有界定理 (共鸣定理) 考虑算子族 `{T_alpha} sube cc L(X^"完备", Y)`, 我们有: `(AA x in X)` `Sup_alpha ||T_alpha x|| lt oo` `=> Sup_alpha ||T_alpha|| lt oo`. 换言之, 如果算子族在 `X` 上逐点有界: `(AA x in X)` `(EE M_x gt 0)` `(AA alpha)` `quad ||T_alpha x|| le M_x||x||`, 那么它们其实一致有界: `(EE M gt 0)` `(AA x in X)` `(AA alpha)` `quad ||T_alpha x|| le M||x||`, 即 `||T_alpha||` 有界.

  1. 定义新的范数如下: `AA x`, `||x||_W := ||x|| + Sup_alpha ||T_alpha x||`. 容易验证 `||x||_W` 是一个范数, 且强于 `||*||`.
  2. 下证 `X` 关于 `||*||_W` 完备. 事实上, 如果 `||x_m - x_n||_W to 0`, 则 `||x_m - x_n|| to 0`,
    `Sup_alpha ||T_alpha x_m - T_alpha x_n|| to 0`.     一方面由 `X` 的完备性, 存在 `x in X` 使得 `x_n to x`. 另一方面, `AA epsi gt 0`, `EE N in NN` 使得 `m, n gt N` 时 `||T_alpha x_m - T_alpha x_n|| le epsi`, `quad AA alpha`. 从而对 `AA alpha`, `AA m, n gt N`, `||T_alpha x_n - T_alpha x||`
    `le ||T_alpha x_n - T_alpha x_m||` `+ ||T_alpha (x_m - x)||`
    `le epsi + ||T_alpha|| ||x_m - x||`.     令 `m to oo` 得到 `||T_alpha x_n - T_alpha x|| le epsi`, `quad AA alpha`, `AA n gt N`. 于是 `||x_n - x||_W to 0`.
  3. 根据等价范数定理, `||*||_W` 与 `||*||` 等价, 于是存在 `C gt 0` 使得 `Sup_alpha ||T_alpha x|| le C ||x||`, `quad AA x in X`. 即 `Sup_alpha ||T_alpha|| le C`.

若 `EE x_0` 使得 `Sup_alpha ||T_alpha x_0|| = oo`, 则称该 `x_0` 为共鸣点. 于是这个定理的逆否命题叙述为: 若 `Sup_alpha ||T_alpha|| = oo`, 则算子族 `{T_alpha}` 存在共鸣点.

逐点收敛蕴含一致有界 设 `T_n, T in cc L(X^"完备", Y)`. 如果 `T_n` 逐点收敛到 `T`, 即 `AA x in X`, `lim T_n x = T x`, 则 `T_n` 显然逐点有界, 于是它一致有界.

Banach-Steinhaus 定理 设 `T_n, T in cc L(X^"完备", Y)`, 则 `T_n` 逐点收敛到 `T` 的充要条件是 `||T_n||` 有界, 且 `T_n` 在 `X` 的某个稠密子集上逐点收敛到 `T`.

只需证充分性. 设 `||T_n|| le C`. 对 `AA x in X` 和 `AA epsi gt 0`, 在稠密子集中取一点 `y`, 使得 `||x - y|| le epsi`. 再取 `N in NN` 使得 `AA n gt N`, `||T_n y - T y|| le epsi`. 于是 `||T_n x - T x||`
`le ||T_n x - T_n y||` `+ ||T_n y - T y||` `+ ||T y - T x||`
`le C epsi + epsi + ||T|| epsi`.

    Lax 等价定理 在数值分析中, 为求方程 `T x = y` 的解, 我们求解一系列近似方程 `T_n x_n = y`, 这里 `x_n, x in X^"完备"`, `y in Y^"完备"`, `T_n, T in cc L(X, Y)`. 我们假设原方程与近似方程的解都是存在唯一的, 则由逆算子定理, `T_n^-1, T^-1 in cc L(Y, X)`.
  1. 如果 `T_n` 逐点收敛到 `T`, 则称近似格式 `T_n` 具有相容性.
  2. 如果 `||T_n^-1||` 有界, 则称近似格式 `T_n` 具有稳定性.
  3. 给定 `y in Y`, 令 `x = T^-1 y`, `x_n = T_n^-1 y`, 如果 `x_n to x`, 则称方程的解收敛.
    4. Lax 等价定理指出: 如果相容性成立, 则 方程的解对任意 `y in Y` 收敛 `iff` 稳定性成立.
  1. `lArr`: 设 `||T_n^-1|| le C`, 则 `||x_n - x||`
    `= ||T_n^-1 T x - T_n^-1 T_n x||`
    `le C ||T x - T_n x|| to 0`
  2. `rArr`: `AA y in Y`, 由 `x_n to x` 知道 `T_n^-1 y to T^-1 y`, 即 `T_n^-1` 逐点收敛到 `T^-1`. 于是 `||T_n^-1||` 有界.

对偶空间

常见的对偶空间

回顾: 设 `X` 是 `K = RR` 或 `CC` 上的赋范线性空间, 则 `X^ast := cc L(X, K)` 称为 `X` 的对偶空间或共轭空间. 由于 `K` 完备, `X^ast` 也完备.

(Banach) `X^ast` 可分 `rArr` `X` 可分.

  1. 取 `X^ast` 的单位球面 `S^ast`, 它由 `X` 上全体满足 `||f|| = 1` 的线性泛函 `f` 组成. 显然 `S^ast` 可分 (将 `X^ast` 的可数稠密子集投影到 `S^ast` 上即可), 我们取它的一个可数稠密子集 `{g_n}`.
  2. 对 `AA n`, 由于 `||g_n|| = 1`, 这意味着它将 `X` 的单位球面 `S` 最远映到离原点等于 1 处. 我们取 `x_n in S`, 使得 `|g_n(x_n)| ge 1/2`. 又记 `X_0 = bar("span"{x_n})`, 这是 `X` 的闭线性子空间. 注意到 `{x_n}` 的有理系数的线性组合在 `X_0` 中稠密, 所以 `X_0` 可分.
  3. 下证 `X_0 = X`. 如若不然, 存在 `x_0 in X\\{X_0}`. 不妨设 `||x_0|| = 1`, 由于点 `x_0` 与闭线性子空间 `X_0` 分离, 根据 Hahn-Banach 定理的推论, 存在 `f in X^ast`, `f|_(X_0) = 0`, 且 `f(x_0) = ||x_0|| = 1`. 于是 `AA n`, `||f - g_n||` `= Sup_(|x|=1) |f(x) - g_n(x)|` `ge |f(x_n) - g_n(x_n)|` `= |g_n(x_n)| ge 1/2`. 这与 `g_n` 在 `S^ast` 中稠密矛盾.

`L^p` 空间的对偶 设 `1 le p lt oo`, `1//p + 1//q = 1`, 则 `L^p(RR)^ast ~= L^q(RR)`. 但 `L^oo(RR)` 的共轭空间不是 `L^1(RR)`, 这从 `L^1(RR)` 可分而 `L^oo(RR)` 不可分就能看出.

Riesz 表示定理*

粗略地讲, Riesz 表示定理将一些函数空间上的抽象泛函 `f in X^ast` 表示为具体的积分 `(:f, varphi:) = int varphi "d"mu`.

二次对偶

设 `X` 是赋范线性空间, `X^ast` 是它的对偶空间, 称 `X^ast` 的对偶空间 `X**` 为 `X` 的二次对偶空间. 下面的映射称为典型映射或自然嵌入: `tau: X to X**`
`tau(x) mapsto x**`,
 其中 `x**(f) := f(x)`, `quad AA f in X^ast`. 上式也可以写为 `(:x**, f:) = (:f, x:)`, `quad AA f in X^ast`.

典型映射 `tau` 是保范的连续线性嵌入. 换言之, 存在 `X**` 的一个闭子空间, 它与 `X` 在代数上是线性同构, 拓扑上是同胚, 度量上是等距的. 有时我们对 `x` 与 `x**` 不加区分, 直接写成 `X sube X**`.

  1. 线性: 验证 `AA f in X^ast`, `(:(a x + b y)**, f:)` `= (:a x** + b y**, f)` 即可.
  2. 连续: 由 `|x**(f)| = |f(x)| le ||f|| ||x||` 推出 `||x**|| le ||x||`, 即 `||tau(x)|| le ||x||`, 于是 `tau` 为连续线性算子, `||tau|| le 1`.
  3. 保范: 由 Hahn-Banach 定理, `AA x in X`, `EE f in X^ast` 使得 `||f|| = 1`, 且 `f(x) = ||x||`. 换言之 `||x|| = ||x**(f)|| le ||x**|| ||f|| = ||x**||`. 结合 2. 知道 `||x|| = ||x**||`.
  4. 嵌入: 即验证 `tau` 为单射. `AA x, y in X`, 若 `x** = y**`, 则 `(x-y)** = 0`, 从而 `||x-y|| = ||(x-y)**|| = 0`. 这推出 `x = y`.

如果典型映射 `tau: X to X**` 是满的, 则称 `X` 是自反空间, 此时 `tau` 是保范同构. 反之即使 `X` 与 `X**` 存在保范同构, `tau` 也不一定为满射, `X` 不一定是自反的.

    自反空间的例子
  1. 有限维赋范线性空间是自反的.
  2. `L^p(Omega)`, `(1 lt p lt oo)` 是自反的, 但 `L^1` 和 `L^oo` 不是.

共轭算子 (伴随算子)的概念是有限维矩阵转置的推广. 设 `A` 为 `m xx n` 阶矩阵, `x, y` 分别是 `n, m` 维向量, 则 `(:y, A x:) = (:A^(sf T) y, x:)`. 回到赋范线性空间, 设 `T in cc L(X, Y)`, 则存在唯一的 `T^ast in cc L(Y^ast, X^ast)` 满足 `(:f, color(red)T x:) = (:color(red)(T^ast) f, x:)`, `quad AA x in X`, `AA f in Y^ast`. `T^ast` 称为 `T` 的共轭算子 (或伴随算子).

记等式左边为 `g(x) := (:f, T x:)`, 则 `g` 是线性的, 且有界: `|g(x)| le ||f|| ||T|| ||x||`, `quad AA x in X`. 因此 `g in X^ast`, 且 `||g|| le ||f|| ||T||`. 由等式知道 `g = T^ast f`, 容易验证 `T^ast: f mapsto g` 是线性的, 且有界: `||T^ast f||` `= ||g||` `le ||f|| ||T||`, `quad AA f in Y^ast`. 因此 `T^ast in cc L(Y^ast, X^ast)`, 且 `||T^ast|| le ||T||`.
最后说明唯一性. 若存在另一个 `T': Y^ast to X^ast` 满足等式, 则 `T'` 也把 `f` 映为 `g`, 由 `f` 的任意性知道 `T' = T^ast`.

(Pettis) `X` 自反 `rArr` 闭子空间 `X_0` 自反.

    我们要证: `AA z_0 in X_0**`, `EE x_0 in X_0`, `AA g_0 in X_0^ast`, `(:z_0, g_0:) = (:g_0, x_0:)`.
  1. 引入“限制”算子. 任取 `f in X^ast`, 考查 `f` 在 `X_0` 上的限制 `T f = f_0 in X_0`. 由于 `||f_0|| le ||f||`, 所以 `T in cc L(X^ast, X_0^ast)`.
  2. 考虑 `T` 的共轭算子 `T^ast in cc L(X_0**, X**)`. 对任给的 `z_0 in X_0**`, 记 `z := T^ast z_0 in X**`. 由于 `X` 自反, `EE x in X` 使得 `x** = z`, 即 `(:z, f:) = (:f, x:)`, `quad AA f in X^ast`. 又根据共轭算子的定义, `AA f in X^ast`, `(:z, f:)` `= (:T^ast z_0, f:)` `= (:z_0, T f:)` `= (:z_0, f_0:)`.
  3. 下证 `x in X_0`. 如若不然, `x` 与闭子空间 `X_0` 有正的距离. 由 Hahn-Banach 定理, 存在 `f in X^ast` 满足 `||f|| = 1`, `f|_(X_0) = f_0 = 0` 且 `f(x) = ||x|| != 0`. 然而我们有 `f(x) = (:f, x:)` `= (:z, f:) = (:z_0, f_0:) = 0`, 矛盾.
  4. 现在记 `x_0 := x in X_0`. 对任意 `g_0 in X_0^ast`, 用 Hahn-Banach 定理将它延拓到 `g in X^ast`, 根据前面已证明的等式, `(:g_0, x_0:)` `= (:g, x_0:)` `= (:z, g:)` `= (:z_0, g_0:)`.

弱收敛与弱列紧

弱收敛与弱*收敛

    点列的收敛性 设 `X` 是赋范线性空间,
  1. 考虑点列 `{x_n} sube X`. 如果存在 `x in X`, 使 `f(x_n) to f(x)`, `quad AA f in X^ast`, 则称 `{x_n}` 弱收敛于 `x`, 记为 `x_n ⇀ x` 或 `x_n overset w to x`.
  2. 考虑泛函列 `{f_n} sube X^ast`. 如果存在 `f in X^ast` 使 `f_n(x) to f(x)`, `quad AA x in X`, 则称 `{f_n}` 弱*收敛或逐点收敛于 `f`, 记为 `f_n overset ast ⇀ f`.
    3. 相对应地, 一般的点列收敛 `x_n to x` 也称为强收敛
  1. 强极限若存在必是弱极限.
  2. 弱极限与弱*极限若存在必唯一.
  1. 从下式即可看出: `||f(x_n) - f(x)|| le ||f|| ||x - x_n||`, `quad AA f in X^ast`.
  2. 弱*极限是逐点极限, 唯一性显然. 又设 `x_n` 有两个弱极限 `x` 和 `y`, 则对 `AA f in X^ast`, `f(x) = lim_(n to oo) f(x_n) = f(y)`. 由 Hahn-Banach 定理, `x, y` 不能被线性泛函区分, 它们必相等.
  1. 对于 `X^ast` 中序列, 弱收敛 `rArr` 弱*收敛. 特别当 `X` 自反时, 两者等价.
  2. `X` 中序列的弱收敛等价于 `X**` 中相应序列的弱*收敛.
  3. 有限维空间中, 三种收敛性都等价.
  1. 根据定义, `X^ast` 中序列 `f_n` 的弱收敛是指 `x** f_n to x** f`, `quad AA x** in X**`. 考虑到自然嵌入 `X to X**`, 这蕴含 `f_n(x) to f(x)`, `quad AA x in X`. 即弱收敛蕴含弱*收敛.
  2. `X` 中序列的弱收敛是指 `f(x_n) to f(x)`, `quad AA f in X^ast`. 即 `x_n**(f) to x**(f)`, `quad AA f in X^ast`.
  3. 取 `X` 的基底 `e_1, cdots, e_m`, 以及 `X^ast` 的对偶基 `f_1, cdots, f_m`, 使得 `f_i(e_j) = delta_(i j)`. 则对任意 `x = sum k_i e_i in X`, `f_i(x)` 的作用正是取出 `x` 的第 `i` 个分量, 即 `f_i(x) = k_i`. 假设 `x_n ⇀ x`, 由定义, 对任意 `f in X^ast` 有 `f(x_n) to f(x)`, 特别取 `f = f_i` 就知道 `x_n` 的第 `i` 个分量收敛到 `x` 的第 `i` 个分量, `i = 1, cdots, m`. 于是 `x_n` 强收敛到 `x`. 此外有限维空间是自反的, 故弱收敛与弱*收敛也等价.
    应用 Banach-Steinhaus 定理:
  1. 设 `X` 完备, `f_n, f in X^ast`, 则 `f_n overset ast ⇀ f` 当且仅当 `||f_n||` 有界, 且在 `X` 的稠密子集中成立 `AA x`, `f_n(x) to f(x)`.
  2. 设 `x_n, x in X`, 把它们看作 `X**` 空间的元素, 则 `x_n ⇀ x` 当且仅当 `||x_n||` 有界, 且在 `X^ast` 的稠密子集中成立 `AA f`, `f(x_n) to f(x)`.

(Mazur) 赋范线性空间 `X` 中, 若 `x_n ⇀ x_0`, 则 `x_0 in bar("Co"{x_n})`. 其中 `"Co"{x_n}` 表示 `{x_n}` 的全体凸组合, 即 `"Co"{x_n} := { "有限和" sum lambda_n x_n | sum lambda_n = 1 }`. 定理告诉我们, 弱极限可以被点列的凸组合逼近.

由已知 `M := bar("Co"{x_n})` 是 `X` 中的闭凸集. 若 `x_0 !in M`, 应用 Ascoli 的凸集严格分离定理, 存在 `f in X^ast` 和 `a in RR` 使得 `f(x) lt a lt f(x_0)`, `quad AA x in M`. 从而 `f(x_n) lt a lt f(x_0)`, `quad AA n in NN`, 这与 `x_n ⇀ x_0` 矛盾.

算子的收敛性

    算子的收敛性 设 `X, Y` 为赋范线性空间, `{T_n}` 和 `T` 均属于 `cc L(X, Y)`.
  1. 一致收敛 `T_n ⇉ T` 是指: `||T_n - T|| to 0`.
  2. 逐点收敛 `T_n to T` 是指: `(AA x in X)` `||T_n x - T x|| to 0`.
  3. 弱收敛 `T_n ⇀ T` 是指: `(AA x in X)` `(AA f in Y^ast)`, `lim_(n to oo) (:f, T_n x:) = (:f, T x:)`.

一致收敛 `rArr` 逐点收敛 `rArr` 弱收敛.

弱列紧

称赋范线性空间 `X` 的子集 `A` 为弱列紧的, 如果 `A` 中任意点列都有弱收敛的子列. 同理可以定义弱*列紧的概念.

`X` 可分 `rArr X^ast` 中的有界集是弱*列紧的. 特别当 `X^ast` 自身可分时结论亦成立.

  1. 任给 `X^ast` 中的有界点列 `{f_n}`, `||f_n|| le C`. 取 `X` 的可数稠密子集 `{x_m}`, 则对任意固定的 `m`, 下面的集合有界: `{ f_n(x_m) }_(n ge 1)`.
  2. 运用对角线法则抽取子列 `{f_(n_k)}`, 使得对于任意固定的 `m`, 下面的数列收敛: `{ f_(n_k)(x_m) }_(k ge 1)`. 事实上, 先对 `m=1` 取出 `{f_n(x_1)}` 的收敛子列, 将它首项的下标记作 `n_1`. 然后去掉首项, 把 `x_1` 换成 `x_2`, 又可取出 `{f_n(x_2)}` 的收敛子列, 其首项下标记作 `n_2`. 重复以上步骤得到子列 `{f_(n_k)}`.
  3. 现在任取 `x in X`, 下证数列 `{f_(n_k)(x)}_(k ge 1)` 收敛. `AA epsi gt 0`, 由于 `{x_m}` 稠密, `EE m in NN` 使得 `||x_m - x|| le epsi`. 再考虑收敛数列 `{f_(n_k)(x_m)}_(k ge 1)`. `EE a in RR`, `EE N in NN`, `AA k gt N`, `||f_(n_k)(x_m) - a|| le epsi`. 于是 `||f_(n_k)(x) - a||` `le ||f_(n_k)(x) - f_(n_k)(x_m)|| + ||f_(n_k)(x_m) - a||` `le C epsi + epsi`.
  4. 记 `f(x) := lim_(k to oo) f_(n_k)(x)`, 则 `f` 线性, 且 `|f(x)| le sup_n ||f_n|| ||x||`, `quad AA x in X`. 从而 `f in X^ast`. 由 `f` 的定义知道 `f_(n_k) overset ast ⇀ f`.
    5. 乍看之下, 这个例子满足 Banach-Steinhaus 定理几个使用条件: `||f_n||` 有界, 而且也有一个稠密子集. 但请注意 `X` 可能不是完备的! 推理的难点是在收敛子列的寻找与 `f` 的定义上: 当 `f` 的定义给出后, 已经不需要用到 Banach-Steinhaus 定理.

我们曾提到, 无穷维空间中的有界集未必列紧. 如果退一步, 只要求弱列紧的话, 我们有:

(Eberlein-Шмулян, 1938) 自反空间中的有界集是弱列紧的.

  1. 任取自反空间 `X` 中的有界点列 `{x_n}`. 构造闭子空间 `X_0 = bar("span"{x_n})`, 则 `X_0` 也自反. 又 `X_0` 是可分的 (考虑 `{x_n}` 的有理系数线性组合), 可知 `X_0** ~= X_0` 也可分. 进而 `X_0^ast` 也可分.
  2. 令 `{g_n} := {x_n**}`, 则 `||g_n||` 有界. 由于 `X_0^ast` 可分, 根据前一定理, `{g_n}` 有弱*收敛的子列 `{g_(n_k)}`, 即 `EE g in X_0**` 使得 `(:g_(n_k), f_0:) to (:g, f_0:)`, `quad AA f_0 in X_0^ast`. 由 `X_0` 自反, 存在 `x_0 in X_0` 使得 `g = x_0**`. 上式写为 `(:f_0, x_(n_k):) to (:f_0, x_0:)`, `quad AA f_0 in X_0^ast`.
  3. 现在对 `AA f in X^ast`, 记 `f_0 := f|_(X_0)`, 则有 `lim (:f, x_(n_k):)`
    `= lim (:f_0, x_(n_k):)`, 因为 `x_(n_k) in X_0`
    `= (:f_0, x_0:)`,
    `= (:f, x_0:)`, 因为 `x_0 in X_0`.     即 `{x_(n_k)}` 弱收敛到 `x_0`. 这证明了自反空间中有界集是弱列紧的.

自反空间中单位闭球是弱自列紧的.

设 `x_(n_k) ⇀ x_0`, `||x_(n_k)|| le 1`, 只需证明极限 `x_0` 落在单位闭球中. 由 Hahn-Banach 定理, `EE f in X^ast` 满足 `||f|| = 1`, `quad f(x_0) = ||x_0||`. 从而 `||x_0|| = f(x_0)` `= lim f(x_(n_k))` `le ||f|| sup_k ||x_(n_k)||` `le 1`.

Alaoglu 还证明了, 任意赋范线性空间中单位闭球是*弱紧的.

有界线性算子的谱

本节总假定 `X` 是维数 `ge 1` 的复 Banach 空间.

定义

    设 `A: D(A) sube X to X` 是闭线性算子. 对任意 `lambda in CC`, 考虑线性算子 `lambda I - A: D(A) to X`, 有以下四种情形:
  1. 正则值 `lambda in rho(A)`: `lambda I - A` 是 `D(A) to X` 的双射. 由逆算子定理, `(lambda I - A)^-1 in cc L(X)`. 此时称 `lambda` 是 `A` 的正则值 (regular value), 全体正则值 `rho(A)` 称为 `A` 的预解集.
  2. 本征值 `lambda in sigma_p(A)`: `lambda I - A` 不是单射. 这等价于 `"Ker"(lambda I - A) != {0}`, 也等价于存在 `x in D(A) \\ {0}`, 使得 `A x = lambda x`. 此时称 `lambda` 是 `A` 的本征值或特征值或点谱 (point spectrum).
  3. 连续谱 `lambda in sigma_c(A)` `lambda I - A` 是单射, 不是满射, 但像在 `X` 中稠密: `bar("Im"(lambda I - A)) = X`. 此时称 `lambda` 是 `A` 的连续谱 (continuous spectrum). 在物理学中, 连续谱是一种连续分布的频率或能量, 如光谱、声谱等.
  4. 剩余谱 `lambda in sigma_r(A)` `lambda I - A` 是单射, 但 `bar("Im"(lambda I - A)) != X`. 此时称 `lambda` 是 `A` 的剩余谱 (residual spectrum).
    5. 点谱、连续谱、剩余谱统称为线性算子 `A` 的谱 (spectrum), 记为 `sigma(A)` 或 `"spec"(A)`: `sigma(A) := sigma_p(A) uu sigma_c(A) uu sigma_r(A)` `= {lambda in CC | (lambda I - A)^-1 "不存在或" !in cc L(X) }`.
线性算子的谱
`lambda` 的集合 `lambda I - A`
正则值 `rho(A)` 双射, 逆算子 `in cc L(X)`
本征值 (点谱) `sigma_p(A)` 不是单射, 逆算子不存在
连续谱 `sigma_c(A)` 单而不满, 有稠密像
剩余谱 `sigma_r(A)` 单而不满, 无稠密像
谱 `sigma(A) = CC - rho(A)` 逆算子不存在或 `!in cc L(X)`

对于有限维线性变换, 单射等价于双射, 所以不存在单而不满的中间情况: `lambda` 要么是正则值, 要么是本征值. 而无穷维空间中则会出现更复杂的连续谱与剩余谱.

    无穷维空间中的谱
  1. 剩余谱 设 `X = C[0, 1]`, `A: u(t) mapsto t * u(t)`. 则 `A` 是有界线性算子, 且 `sigma(A) = sigma_r(A) = [0, 1]`.
  2. 连续谱 将上例的 `X` 换成 `L^2[0, 1]`, 则 `sigma(A) = sigma_c(A) = [0, 1]`.
  3. 点谱 设 `X = L^2[0,1]`, `A = -"d"^2/dt^2`, 其中 `D(A) = {u in C^2[0, 1] | u(0) = u(1), u'(0) = u'(1)}`. 则 `A` 是闭线性算子, 且 `sigma(A) = sigma_p(A) = {(2n pi)^2 | n = 0, 1, 2, cdots}`.

谱的存在性

von Neumann 引理 设 `X` 是 Banach 空间, `T in cc L(X)`, `||T|| lt 1`, 则 `(I-T)^-1 in cc L(X)`, 且 `||(I-T)^-1|| le 1/(1-||T||)`.

`AA y in X`, 令 `S(x) = y + T x` (`x in X`), 则 `S` 是压缩映像: `||S x - S x'||` `= ||T x - T x'||` `le ||T|| ||x - x'||`, `quad AA x, x' in X`. (`ast`) 由于 `X` 完备, 应用压缩映像定理, 存在唯一 `x in X`, 使得 `S(x) = x`, 即 `y + T x = x`, 换言之 `(I - T) x = y`. 这指出 `(I-T)` 是 `X to X` 的双射, 由逆算子定理, `(I-T)^-1 in cc L(X)`. 又利用 (`ast`) 式, `||x|| - ||y||` `le ||x - y||` `= ||S x - S 0||` `le ||T|| ||x||`. 于是 `(1-||T||)||x|| le ||y||`, 即 `||(I-T)^-1 y|| le (||y||)/(1-||T||)`, `quad AA y in X`.

证法二. 首先证明 Neumann 级数: `(I-T)^-1 = sum_(k=0)^oo T^k`. 事实上, 由于 `X` 完备, `cc L(X)` 也完备. 令 `S_n = sum_(k=0)^n T^k`, 它是 `cc L(X)` 中的 Cauchy 列, 记极限为 `S`. 于是 `(I-T) S` `= (I-T) lim S_n` `= lim (I-T)S_n` `= lim (I-T^(n+1))` `= I`, 即 `S = (I-T)^-1`. 另一方面, 对 `AA epsi gt 0`, 取 `n` 充分大就有 `||(I-T)^-1||` `le ||S_n|| + epsi` `le sum_(k=0)^n ||T||^k + epsi` `le 1/(1-||T||) + epsi`.

  1. 对 `lambda in rho(A)`, 定义预解式 `R_lambda(A) := (lambda I - A)^-1 in cc L(X)`.
  2. 定义 `A` 的谱半径为 `sigma(A)` 的最大模 `r_sigma(A) := Sup_(lambda in sigma(A)) |lambda|` `= inf_(lambda in rho(A)) |lambda|`

谱半径的简单上界 `|lambda| gt ||A||` 时, 由 von Neumann 引理 `R_lambda(A) = sum_(k=0)^oo 1/lambda^(n+1) A^n`,
`||R_lambda(A)|| le 1/(|lambda|-||A||)`. 故 `R_lambda(A) in cc L(X)`, `lambda in rho(A)`. 这推出 `r_sigma(A) le ||A||`.

第一预解公式 设 `lambda, mu in rho(A)`, 则 `R_lambda(A) - R_mu(A) = -(lambda - mu) R_lambda(A) R_mu(A)`.

直接计算: `(lambda I - A)^-1`
`= (lambda I - A)^-1 (mu I - A) (mu I - A)^-1`
`= (lambda I - A)^-1 ((mu - lambda) I + lambda I - A) (mu I - A)^-1`
`= (mu - lambda) (lambda I - A)^-1 (mu I - A)^-1 + (mu I - A)^-1`.

    设 `A` 是 Banach 空间上的闭线性算子, 则
  1. `rho(A)` 是开集, 故 `sigma(A)` 是闭集, 又 `r_sigma(A) le ||A||`, 推出 `sigma(A)` 是紧集.
  2. `R_lambda(A)` 在 `rho(A)` 上解析.
  1. 任取 `mu in rho(A)`, 则对 `AA lambda in CC`, 有 `lambda I - A`
    `= (lambda - mu) I + mu I - A`
    `= (mu I - A) (I + (lambda - mu) (mu I - A)^-1)`
    `:= (mu I - A) B`.     由 von Neumann 引理, 当 `|lambda - mu| lt ||(mu I - A)^-1||^-1`,
    即 `||(lambda - mu)(mu I - A)^-1|| lt 1`     时, `B` 可逆, 且 `B^-1 in cc L(X)`. 从而 `lambda I - A` 也可逆, 且 `(lambda I - A)^-1 = B^-1 (mu I - A)^-1 in cc L(X)`. 这意味着 `lambda in rho(A)`.
  2. 先证 `R_lambda(A)` 连续. 任取 `lambda, mu in rho(A)`, 利用 1. 中的公式以及 von Neumann 引理, `||R_lambda(A)||`
    `le ||B^-1|| ||R_mu(A)||`
    `le (||R_mu(A)||)/(1 - |lambda - mu| ||R_mu(A)||)`
    `le 2||R_mu(A)||`, 当 `|lambda - mu| ||R_mu(A)|| lt 1//2`.     由第一预解公式, `||R_lambda(A) - R_mu(A)||` `le |lambda - mu| ||R_lambda(A)|| ||R_mu(A)||` `le 2|lambda - mu| ||R_mu(A)||^2`.
  3. 最后用第一预解公式计算导数: `lim_(lambda to mu) (R_lambda(A) - R_mu(A))/(lambda - mu)` `= - lim_(lambda to mu) R_lambda(A) R_mu(A)` `= -R_mu(A)^2`.

谱的存在性定理 设 `A` 是 Banach 空间上的有界线性算子, 则 `sigma(A) != O/`.

  1. 反设 `rho(A) = CC`, 则 `R_lambda(A)` 在 `CC` 上解析. 任取线性泛函 `f in cc L(X)^ast`, 定义 `u_(f)(lambda) := f(R_lambda(A))`, 则 `u_f` 在 `CC` 上解析. 下证它有界: 事实上它作为解析函数, 在 `|lambda| le 2||A||` 时有界; 又 `|lambda| gt 2 ||A||` 时, 由不等式 `||R_lambda(A)||` `le 1/(|lambda| - ||A||)` `le ||A||^-1` 有 `|u_(f)(lambda)| le ||f|| ||A||^-1`.
  2. 根据复分析的 Liouville 定理, 每个 `u_(f)(lambda)` 是仅依赖于 `f` 的常函数, 与 `lambda` 无关. 换言之, 对 `AA lambda, mu in CC` 和 `AA f in cc L(X)^ast` 都有 `f(R_lambda(A)) = f(R_mu(A))`. 根据 Hahn-Banach 定理, `R_lambda(A) = R_mu(A)`. 而这是不可能的: 只需观察第一预解公式, 当 `lambda != mu` 时, 公式右边的两个算子均可逆, 乘积不可能为 0.

Gelfand 定理 设 `A` 是 Banach 空间 `X` 上的有界线性算子, 则 `r_sigma(A) = lim_(n to oo) ||A^n||^(1//n)`.

    记 `r := r_sigma(A)`.
  1. 先证 `underset (n to oo) (bar lim) ||A^n||^(1//n) le r`. 任取 `f in cc L(X)^ast`, 令 `u_(f)(lambda) := f(R_lambda(A))`. 则 `u_f` 在 `|lambda| gt r` 解析. 将它写为 Laurent 级数 `u_(f)(lambda) = sum_(n=0)^oo 1/lambda^(n+1) f(A^n)`, 可知 `AA epsi gt 0`, 有 `sum_(n=0)^oo u_n` `:= sum_(n=0)^oo 1/(r+epsi)^(n+1) |f(A^n)| lt oo`. 从而通项 `u_n` 有界. 考虑算子列 `T_n := A^n/(r+epsi)^(n+1)`, 对任意固定的 `f in cc L(X)^ast`, `||(:T_n^(ast ast), f:)|| = |f(T_n)| = |u_n|` 有界, 由共鸣定理, 存在 `M gt 0` 使得 `||T_n|| le M`, 即 `||A^n||^(1//n) le (r+epsi)^((n+1)/n) M^(1//n)`. 两边取上极限得 `underset (n to oo) (bar lim) ||A^n||^(1//n) le r + epsi`, 再由 `epsi` 的任意性得到结论.
  2. 再证 `r le underset (n to oo) (ul lim) ||A^n||^(1//n)`. 对 `AA lambda in CC` 和 `AA n in ZZ^+`, 由 `n` 次方差公式 `lambda^n I - A^n` `= (lambda I - A) P_lambda(A) = P_lambda(A)(lambda I - A)` 其中 `P_lambda(A) in cc L(X)`. 这表明 `lambda^n I - A^n in cc L(X) rArr lambda I - A in cc L(X)`, 于是 `lambda in sigma(A) rArr lambda^n in sigma(A^n)` `rArr |lambda^n| le ||A^n||` `rArr |lambda| le ||A^n||^(1//n)`. 关于 `lambda in sigma(A)` 取上确界得 `r le ||A^n||^(1//n)`, 然后两边同取下极限即得结论.

共轭算子的谱 设 `T in cc L(X)`, 则 `T^-1 in cc L(X)` `iff (T^ast)^-1 in cc L(X^ast)`. 特别取 `T = lambda I - A` 得到 `sigma(A) = sigma(A^ast)`.

`rArr`: 这是因为 `(T^ast)^-1 = (T^-1)^ast`.
`lArr`: 由前半结论知道 `(T**)^-1 in cc L(X**)`. 但 `T**` 是 `T` 的延拓: `T**|_X = T`, 所以 `T` 是单射, 且 `T^-1` 连续. 根据逆算子定理后面的 知道, `"Im"T` 在 `X` 中闭. 下证 `T` 是满射, 如若不然, 根据 Hahn-Banach 定理的推论 (点与线性子空间的分离), `EE f in X^ast`, `f != 0`, 且 `f("Im"T) = 0`. 从而 `AA x in X`, `(:T^ast f,x:)` `= (:f, T x:)` `= 0`. 这推出 `T^ast f = 0`. 这与 `T^ast` 是单射矛盾.