基本概念

设 `H` 是数域 `bbb P` 上的线性空间, 如果存在 `H xx H` 到 `bbb P` 的映射 `(*,*)`, 满足:
1. 正定性: `(AA x in H)`, `(x, x) ge 0`, 且 `(x, x) = 0 iff x = 0`;
2. 共轭对称性: `(AA x, y in H)`, `(x, y) = bar ((y, x))`;
3. 关于第一变元的线性性: `(AA x, y, z in H)` `(AA alpha, beta in bbb P)` `(alpha x + beta y, z) = alpha(x, z) + beta(y, z)`.
则称 `(*,*)` 为 `H` 中的内积, 称 `H` 为内积空间. 容易推出内积关于第二个变元是共轭线性的, 即 `(z, alpha x + beta y) = bar alpha (z, x) + bar beta (z, y)`. 通过内积可以引入范数 `||x||` `= sqrt((x"," x))`, 故内积空间是线性赋范空间.

完备的内积空间称为 Hilbert 空间. Hilbert 空间是 Banach 空间.

内积空间中的标准直交系

投影定理与直交系

投影定理

投影定理 设 `M` 是 Hilbert 空间的闭子空间, 则任意 `x in H` 可以唯一表示成 `x = y + z`, `y in M`, `z in M^_|_`. 称 `y` 为 `x` 在 `M` 上的直交投影, 记为 `P(x)`.

因为 `M` 是 `H` 的闭子空间, 所以 `M` 也是 Hilbert 空间. 存在 `M` 的正规直交基 `{bm e_alpha}_(alpha in I)`, 且对任意 `x in H`, 对应的 Fourier 系数 `(x, bm e_alpha)` 至多只有可数多个不为零, 并且 `sum_(alpha in I) (x, bm e_alpha) bm e_alpha` 在 `M` 中收敛, 记它收敛到 `y in M`, 则对任意 `alpha in I`, ` (x - y, bm e_alpha) = (x, bm e_alpha) - (y, bm e_alpha) = (x, bm e_alpha) - (x, bm e_alpha) = 0`. 令 `z = x - y`, 由上式知 `z _|_ M`. 由极限的唯一性知 `y, z` 是唯一的. 当然, 唯一性也可由 `M nn M^_|_ = {0}` 推得.

Riesz 表示定理, Lax-Milgram 定理

Riesz 表示定理 设 `H` 是 Hilbert 空间, 则对任意 `f in H^**`, 存在唯一 `y in H`, 使得 `f(x) = (x, y)`, `AA x in H`,
`||f|| = ||y||`.

1. 如果 `f = 0`, 取 `y = 0` 即可. 下设 `f != 0`, 则 `"Ker" f` 是 `H` 的闭子空间, 且 `"Ker" f != H`. 取 `x_0 in "Ker" f^_|_`, 且 `f(x_0) = 1`, 对 `AA x in H`, 有 `f(x - f(x) x_0) = f(x) - f(x) f(x_0) = 0`, 于是 `x - f(x) x_0 in "Ker" f`. 取 `y = x_0/||x_0||^2`, 则 ` (x, y) = ((x"," x_0))/((x_0"," x_0)) = ((x - f(x) x_0, x_0) + f(x) (x_0, x_0)) / ((x_0","x_0)) = f(x)`, `AA x in H`.

`H_0^1` 空间

共轭算子