函数空间

函数空间举例

本章使用微分指标记号 `alpha = (alpha_1, cdots, alpha_n)`.

    连续可微函数空间 设 `Omega sube RR^n` 是有界连通开区域, 考虑
  1. `m` 阶连续可微函数空间 `C^m(bar Omega)`. 紧集 `bar Omega` 上全体 `m` 阶连续可微函数按范数 `||u|| = max_(|alpha| le m) max_(x in bar Omega) |del^alpha u(x)|` 构成 Banach 空间. 在这空间中, `u_n to u` 当且仅当 `u_n` 的各阶导数一致收敛到 `u` 的对应导数.
  2. Sobolev 空间 `H^(m, p)(Omega)` (`1 le p lt oo`). 日常使用中, 一致收敛的要求还是太高了. 如果降低门槛, 只要求 `u_n` 的各阶导数以 `L^p` 收敛到 `u` 的对应导数, 可以引入范数 `||u||_(m,p)`
    `= u` 的不超过 `m` 阶导数的 `L^p` 模的 `p` 方平均
    `= (sum_(|alpha| le m) ||del^alpha u||_p^p)^(1//p)`
    `= (sum_(|alpha| le m) int_Omega |del^alpha u(x)|^p dx)^(1//p)`.     然而空间 `C^m(bar Omega)` 按此范数并不完备. 为得到 Banach 空间, 将集合 (注意 `Omega` 未取闭包) `S := { u in C^m(Omega): ||u||_(m, p) lt oo }` 按范数 `||*||_(m, p)` 完备化, 得到的空间称为 Sobolev 空间 `H^(m,p)(Omega)`. Sobolev 空间在偏微分方程论中占有重要地位.
    边值为零的函数空间 有时我们希望函数值在定义域的边界处等于零. 这将大大简化分部积分 (一元) 或 Green 公式 (多元) 的计算. 例如 `f, g in C^1[0, 1]`, `g(0) = g(1) = 0`, 则 `int_0^1 f'(x) g(x) dx` `= f(x) g(x)|_0^1 - int_0^1 f(x) g'(x) dx` `= -int_0^1 f(x) g'(x) dx`. 对于这类函数, 分部积分的效果正好将求导运算从 `f` 转移到 `g` 上面, 并改变积分的正负号. 一般地, 设 `Omega sube RR^n` 是有界连通开区域, 定义
  1. `C_0^m(Omega)` 是 `Omega` 上一切 `m` 次连续可微, 并在边界 `del Omega` 的某邻域内为 `0` 的函数的集合: `C_0^m(Omega) = {u in C^m(bar Omega) : u(x) = 0, "当" x in del Omega "的某邻域}`. 其中下标 `0` 表示该空间中的函数在边界附近取零. 定义范数 `||u||_(m,2) = (sum_(|alpha| color(red)(le) m) int_Omega |del^alpha u(x)|^2 dx)^(1//2)`,
    `||u||_m = (sum_(|alpha| color(red)(=) m) int_Omega |del^alpha u(x)|^2 dx)^(1//2)`,     根据下文的 Poincaré 不等式, 低阶导数的模平方积分可以被高阶导数的模平方积分 (称为能量积分) 所控制, 因此它们是一对等价模.
  2. `H_0^m(Omega)` 是将 `C_0^m(Omega)` 按 `||*||_m` 完备化得到的空间. 它是一个 Hilbert 空间, 也是 Sobolev 空间 `H^m(Omega) := H^(m,2)(Omega)` 的闭子空间. `H_0^m(Omega)` 的内积定义为 `(u, v)_m = sum_(alpha=m) int_Omega del^alpha u(x) bar(del^alpha v(x)) dx`.

Poincaré 不等式 设 `Omega` 有界, `m` 为给定的正整数, 则存在常数 `C gt 0`, 使得 `AA u in C_0^m(Omega)`, `||u||_(m,2) le C ||u||_m`.

只需证明一阶导数的情形 `int_Omega |u(x)|^2 dx` `le C int_Omega |grad u(x)|^2 dx`, 更高阶的通过归纳证明. 由于定义域 `Omega` 有界, 可以取充分大的 `a gt 0`, 通过平移使得 `Omega sube [0, a]^n`. 在 `[0, a]^n \\ Omega` 上补充定义 `u = 0`, 则 `u` 在立方体 `[0, a]^n` 上 `m` 次连续可微, 且在边界上等于 `0`. `AA x = (x_1, cdots, x_n) in [0, a]^n`, 由 Newton-Leibniz 公式 `u(x) = int_0^(x_1) del_1 u(x) "d"x_1`. 利用 Cauchy 不等式, `|u(x)|^2` `le (int_0^a 1^2 "d"x_1)(int_0^a |del_1 u(x)|^2 "d"x_1)` `= a int_0^a |del_1 u(x)|^2 "d"x_1`. 上式两边在 `[0, a]^n` 上积分, 得到 `int_Omega |u(x)|^2 dx`
`le a int_0^a (int_Omega |del_1 u(x)|^2 dx) "d"x_1`
`= a^2 int_Omega |del_1 u(x)|^2 dx`
`le a^2 int_Omega |grad u(x)|^2 dx`.

    光滑函数空间 设 `Omega sube RR^n` 是开集 (未必有界), `u` 是 `Omega` 上的函数, 它的支集定义为 `"supp" u := bar({x in Omega: u(x) != 0})`. 换言之函数 `u` 在支集外恒等于 `0`, 且 `"supp" u` 是满足这一性质的最小闭集.
  1. `C^oo(Omega)` 表示在 `Omega` 上具有任意阶导数的函数全体.
  2. `C_0^oo(Omega)` 是 `C^oo(Omega)` 中满足支集相对于 `Omega` 紧的函数的集合. 这些函数在 `Omega` 的边界附近等于 `0`.
  3. `C_K^oo(Omega)` 是 `C^oo(Omega)` 中满足支集含于 `K` 的函数的集合, 其中 `K` 相对于 `Omega` 紧.

可数模空间

我们希望在 `C_0^oo(Omega)`, `C_K^oo(Omega)` 等光滑函数空间中引入范数. 当然, 此范数应当导出我们想要的收敛性. 例如在 `C_K^oo(Omega)` 中, `varphi_j to varphi` 是指 `varphi_j` 的各阶导数一致收敛到 `varphi` 的相应导数: `AA alpha`, `max_(x in K) |del^alpha (varphi_j - varphi)(x)| to 0`, `quad j to oo`. 然而 `varphi` 的导数有可数多个, 上述收敛性不能用一个范数描述, 考虑引入可数个范数 `||varphi||_m = sum_(|alpha|le m) max_(x in K) |del^alpha varphi(x)|`, `quad m = 1, 2, cdots`. 于是 `varphi_j to varphi` `iff AA m, ||varphi_j - varphi||_m to 0`. 引出可数模的概念:

可数模空间 设 `X` 是线性空间, 如果存在可数个半范数 `||*||_m` `(m = 1, 2, cdots)` 满足 `AA x in X`, `x = 0` `iff AA m, ||x||_m = 0`, 则称这些半范数是 `X` 上的一组可数模, 称 `X` 为可数模空间. 如果令 `||x||_m' = max(||x||_1, cdots, ||x||_m)`, `quad AA x in X`. 则 `||*||_m'` `(m = 1, 2, cdots)` 也是 `X` 上的一组可数模, 且满足 `||x||_1' le ||x||_2' le cdots`, `quad AA x in X`.

可数模等价 如果 `X` 上的两组可数模 `||*||_m` 与 `||*||_m'` 导出相同的收敛性, 则称它们等价. 事实上, 这两组可数模等价当且仅当 `AA m in NN`, `EE n_1, n_2 in NN` 和 `C_1, C_2 gt 0` 使得 `C_1 ||x||_(n_1)' le ||x||_m le C_2 ||x||_(n_2)'`.

    现在我们给出常见光滑函数空间上的可数模.
  1. `cc D_K(Omega)`: 如前讨论, 即 `C_K^oo(Omega)` 空间, 附带可数模 `||varphi||_m = sum_(|alpha|le m) max_(x in K) |del^alpha varphi(x)|`, `quad m = 1, 2, cdots`. 于是 `varphi_j to varphi` `iff AA alpha`, `del^alpha varphi_j ⇉ del^alpha varphi`.
  2. `cc E(Omega)`: 即 `C^oo(Omega)` 空间, 取紧集套 `K_1 sube K_2 sube cdots sube Omega`, `quad uuu_(m ge 1) K_m = Omega`. 定义可数模 `||varphi||_m = sum_(|alpha|le m) max_(x in K_m) |del^alpha varphi(x)|`, `quad m = 1, 2, cdots`. 于是 `varphi_j to varphi` `iff AA m`, `AA |alpha| le m`, 在 `K_m` 上有 `del^alpha varphi_j ⇉ del^alpha varphi`. 可以证明 `cc E(Omega)` 的收敛性与 `{K_m}` 的选取无关, 换言之任意两个紧集套导出的可数模等价.
  3. 基本空间 `cc D(Omega)`: 即 `C_0^oo(Omega)` 空间, 我们不定义可数模, 只定义它的收敛性: `varphi_j to varphi` 当且仅当
    (1) 函数列 `{varphi_j}` 有公共的紧支集, 即存在紧集 `K` 满足 `AA j`, `"supp"varphi_j sube K sube Omega`.
    (2) 在 `K` 上 `varphi_j` 的各阶导数一致收敛到 `varphi` 的相应导数: `AA alpha`, `max_(x in K) |del^alpha (varphi_j - varphi)(x)| to 0`, `quad j to oo`. `cc D(Omega)` 也是完备空间, 尽管我们并未定义它的拓扑.

在 `cc D(Omega)` 中, 由于紧集 `K` 的取法随函数列 `{varphi_j}` 的不同而不同, 收敛性无法用一组可数模描述. 但固定 `K` 以后, 可以用 `cc D_K(Omega)` 上的收敛性描述: 事实上, `varphi_j to varphi (cc D(Omega))` 当且仅当存在紧集 `K` 使得 `varphi_j, varphi in cc D_K(Omega)`, 且 `varphi_j to varphi (cc D_K(Omega))`.

广义函数

定义及性质

在物理学中, 遇到不可导的函数, 如何“无视”条件继续导下去? 在偏微分方程中, 遇到不甚良好的初边值条件, 如何“姑且”先求出一个解, 再说明这个解的合理性? 这需要我们将求导的概念加以推广, 从而引出广义导数:
考虑连续函数 `f in C(RR)`, 它可以视为 `C_0^oo(RR)` 上的线性泛函: `(:f, varphi:) = int_RR f(x) varphi(x) dx`, `quad AA varphi in C_0^oo(RR)`. 若 `f in C^1(RR)`, 由于 `varphi` 在边界处为 `0`, 根据分部积分有 `(:f', varphi:) = -(:f, varphi':)`. 上式实际可以推广到任意 `f in C(RR)`, 这表明 `f'` 也是 `C_0^oo(RR)` 上的线性泛函, 且上式给出 `f'` 的定义. 由于 `varphi` 无穷可导, 我们可以将 `f` 的任意阶导数转移到 `varphi` 上面, 得到 `(:f^((n)), varphi:) = (-1)^n (:f, varphi^((n)):)`. 正式定义如下:

    广义函数 是指基本空间 `cc D(Omega)` 上的一个连续线性泛函 `f: cc D(Omega) to RR`, 它满足:
  1. 线性. `AA alpha, beta in RR`, `AA varphi, psi in cc D(Omega)`, `(:f, alpha varphi + beta psi:)` `= alpha (:f, varphi:) + beta (:f, psi:)`.
  2. 连续. 只要 `varphi_j to varphi (cc D(Omega))`, 就有 `(:f, varphi_j:) to (:f, varphi:)`, `quad j to oo`.
    3. 全体广义函数记作 `cc D(Omega)^ast`, 即 `cc D(Omega)` 的共轭空间.

自然对应. 设 `Omega sube RR^n` 为开集. `Omega` 上的局部可积函数 `f` 是指, 对任意紧集 `K sube Omega` 都有 `int_K |f(x)| dx lt oo`, 记作 `f in L_"loc"^1(Omega)`. 不区分几乎处处相等的局部可积函数时, `L_"loc"^1(Omega)` 可以嵌入到 `cc D(Omega)^ast` 中. 具体地说, 每个局部可积函数 `f` 都对应一个广义函数 `(:f, varphi:)` `= int_Omega f(x) varphi(x) dx`, `quad varphi in cc D(Omega)`.

    广义函数的运算
  1. 广义导数. `AA f in cc D(Omega)^ast`, `(: tilde del^alpha, varphi :)` `:= (-1)^|alpha| (:f, del^alpha varphi:)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`. 广义函数可以求任意次导数, 结果还是广义函数.
  2. 广义函数乘以普通函数. `AA f in cc D(Omega)^ast`, `AA psi in C^oo(Omega)`, `(:psi f, varphi:)` `:= (:f, psi varphi:)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`. 一般不能定义两个广义函数的乘积.
  3. 收敛性. 规定广义函数列的收敛为逐点收敛 (或弱*收敛): `f_j to f (cc D(Omega)^ast)` 当且仅当 `AA varphi in cc D(Omega)`, `(:f_j, varphi:) to (:f, varphi:)`, `quad j to oo`.

广义导数与极限运算总是可以交换: `lim tilde del^alpha f_j = tilde del^alpha lim f_j`. 这意味着 `tilde del^alpha` 是连续算子.

    广义函数的几何变换
  1. 平移算子. 对 `AA a in RR^n`, 定义 `(tau_a varphi)(x) := varphi(x - a)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`. 相应定义广义函数的平移算子为 `tilde tau_a := (tau_(-a))^ast`, 即 `AA f in cc D(Omega)^ast`, `(:tilde tau_a f, varphi:)` `= (:f, tau_(-a) varphi:)` `= (:f, varphi(x+a):)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`.
  2. 伸缩算子. 对 `AA k in RR\\{0}`, 定义 `(sigma_k varphi)(x) := varphi(k x)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`. 相应定义广义函数的伸缩算子为 `tilde sigma_k := |k|^-1 (sigma_(k^-1))^ast`, 即 `AA f in cc D(Omega)^ast`, `(:tilde sigma_k f, varphi:)` `= |k|^-1 (:f, sigma_(k^-1) varphi:)` `= |k|^-1 (:f, varphi(x//k):)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`.
  3. 反射算子. 在伸缩算子中取 `k = -1` 就得到反射算子 `sigma := sigma_(-1)`, 恰好有 `tilde sigma = sigma^ast`.

广义函数的平移、伸缩变换可以兼容普通函数: 设 `f in L_"loc"^1(Omega)`, `tilde f` 是相应的广义函数, 则 `tau_a f = tilde tau_a tilde f`, `quad sigma_k f = tilde sigma_k tilde f`.

    单位脉冲函数 `delta` 是一个广义函数, 其效果是取出 `varphi(0)` 的值: `(:delta, varphi:) := varphi(0)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`.
  1. `delta` 的 `alpha` 阶广义导数为 `(:delta^((alpha)), varphi:)` `= (-1)^|alpha| del^alpha varphi(0)`, `quad AA varphi in cc D(Omega)`.
  2. `delta in cc D(RR)^ast` 的 `-1` 阶广义导数为 `Y(x) = [x gt 0]` `= {0, if x le 0; 1, if x gt 0:}`. 换言之 `tilde del Y = delta`. 直觉上, `int_(-oo)^oo delta(x) dx = Y(oo) - Y(-oo) = 1`, 且对任意不含原点的区间 `[a, b]` 有 `int_a^b delta(x) dx = Y(a) - Y(b) = 0`. 假如 `delta` 对应一个普通函数, 则它必须在原点以外处处为 `0`, 且在 `RR` 上积分值为 `1`, 从而整个积分值都集中在原点处, 这显然不可能.
  3. `x^n/n! delta^((m))(x)` `= (-1)^n (m;n) delta^((m-n))(x)`. `m lt n` 时, 根据组合数定义, 等式右边为 `0`.
  4. `RR^n` 上的广义 Laplace 算子 `tilde Delta := tilde del_1^2 + cdots + tilde del_n^2`. 我们知道, `RR^n` 中的径向调和函数 (满足 `Delta f = 0`) 是 `f(x) = { ln|x|, if n = 2; |x|^(2-n), if n ge 3 :}` 通常意义下, 这些函数在原点不可导, 但使用广义导数我们有: `tilde Delta f(x) = { Omega_n delta(x), if n = 2; (2-n) Omega_n delta(x), if n ge 3 :}` 其中 `Omega_n` 是 `n` 维单位球面 `S^n` 的面积 `Omega_n = (n pi^(n//2))/(Gamma(n//2+1))`.

`cc S^ast` 上的 Fourier 变换

速降函数空间 `cc S(RR^n)` 是 `C^oo(Omega)` 中满足任意阶导数在无穷远处快速下降的函数的集合. 这里的快速是指, 对任意正整数 `m` 和任意指标 `alpha`, `del^alpha varphi(x) = o(|x|^-m)`, `quad |x| to oo`. 为了避免原点处的奇点, 用 `(1+|x|^2)^(-m//2)` 代替 `|x|^-m` 得到 `cc S(RR^n) = { varphi in C^oo(RR^n): AA m in NN, AA alpha,:}` `{:Sup_(x in RR^n) (1+|x|^2)^(m//2) |del^alpha varphi(x)| lt oo }`. 定义可数模 `||varphi||_m = Sup_(|alpha| le m) Sup_(x in RR^n) (1+|x|^2)^(m//2) |del^alpha varphi(x)|`, `quad m = 1, 2, cdots`. 于是 `varphi_j to varphi` `iff AA m`, `AA |alpha| le m`, `del^alpha(varphi_j - varphi) = o(|x|^-m)`, `|x| to oo`. `cc S(RR^n)` 是完备空间.

`Omega = RR^n` 时, `cc D(RR^n)`, `cc D_K(RR^n)`, `cc E(RR^n)`, `cc S(RR^n)` 分别简记为 `cc D`, `cc D_K`, `cc E` 和 `cc S`. 其中 `cc D` 的函数都有紧支集, 在无穷远处等于 `0`, 显然是速降函数. 另一方面速降函数都是 `C^oo` 的, 故从集合的包含关系上有 `cc D_K sube cc D sube cc S sube cc E`. 它们的对偶空间满足 `cc E^ast sube cc S^ast sube cc D^ast sube cc D_K^ast`.

Fourier 变换 引入速降函数的目的在于, `cc S` 对 Fourier 变换封闭. 事实上, `varphi in cc S` 的 Fourier 变换定义为 `(cc F varphi)(xi)` `= int_(RR^n) varphi(x) exp(-2pi"i" x * xi) dx`, 其中 `x * xi` 为向量点乘 `x_1 xi_1 + cdots + x_n xi_n`. (问题: 实函数的 Fourier 变换仍是实函数吗??) Fourier 逆变换定义类似, 仅差一个负号: `(cc F^-1 varphi)(xi)` `= int_(RR^n) varphi(x) exp(2pi"i" x * xi) dx`, Fourier 变换的一大特色是将求导运算转化为乘积运算, 即 `cc F @ del^alpha = (2pi"i"xi)^alpha @ cc F`,
`del^alpha @ cc F = cc F @ (-2pi"i"x)^alpha`. 此外, Fourier 变换的平移、伸缩公式为 `cc F @ tau_a = exp(-2pi"i"a * xi) @ cc F`,
`tau_a @ cc F = cc F @ exp(2pi"i"a * x)`,
`cc F @ sigma_k = |k|^-1 sigma_(k^-1) @ cc F`,
特别 `cc F @ sigma = sigma @ cc F = cc F^-1`. 最后, 卷积的 Fourier 变换等于 Fourier 变换的乘积: `cc F(f ast g) = cc F(f) cc F(g)`.

`cc F in cc L(cc S)`, `cc F^-1 = sigma cc F in cc L(cc S)`.

    广义 Fourier 变换
  1. 若 `varphi, psi in cc S`, 则有 `(:cc F varphi, psi:) = (:varphi, cc F psi:)`, `(:cc F^-1 varphi, psi:) = (:varphi, cc F^-1 psi:)`.
  2. 基于此, 在 `cc S^ast` 上我们定义 `tilde cc F = cc F^ast`, `tilde cc F^-1 = (cc F^-1)^ast`, 称为广义 Fourier 变换. 我们有 `tilde cc F, tilde cc F^-1 in cc L(cc S^ast)`.
  3. `cc S^ast` 上的广义 Fourier 变换可以兼容 `cc S` 上的 Fourier 变换. 不引起混淆时, `~` 号可以省略.
  1. `f(x) = exp(-pi|x|^2)` 在 Fourier 变换下不变. 换言之 `cc F(f) = f`.
  2. `cc F delta = cc F^-1 delta = 1`.

Plancherel 定理 Fourier 变换保持 `L^2` 函数的范数不变, 从而根据极化恒等式, 也保持 `L^2` 内积不变.

Sobolev 空间

我们曾把 Sobolev 空间定义为 `C^m(Omega)` 的子集 `S := { u in C^m(Omega): ||u||_(m, p) lt oo }` `= { u in C^m(Omega): AA |alpha| le m, del^alpha u in L^p(Omega) }` 完备化得到的空间. 但这个空间中的元素究竟是什么? 本节指出, Sobolev 空间是 `L^p(Omega)` 的子空间, 其元素的广义导数也是 `L^p` 函数.

`W^(m,p)(Omega)` 空间. 设 `Omega` 是 `RR^n` 中的开集, `m` 是非负整数, `1 le p lt oo`. 定义 `W^(m,p)(Omega) := { u in L^p(Omega) : AA |alpha| le m, tilde del^alpha u in L^p(Omega) }`. 该空间的范数定义与 `||*||_(m,p)` 相同, 但是把普通导数改为广义导数. 由定义 `S sube W^(m,p)(Omega)`.

`W^(m,p)(Omega)` 是完备的.

特别取 `Omega = RR^n` 有: `W^(m,p)(RR^n)` 是 `C_0^oo(RR^n)` 按 `||*||_(m,p)` 模的完备化. 此定理对一般开集 `Omega` 未必成立.

只需证 `C_0^oo(RR^n)` 在 `W^(m,p)(RR^n)` 中稠密. 🚧

(Meyers-Serrin) `W^(m,p)(Omega)` 也是 `S` 的完备化. 根据完备化空间的唯一性, `H^(m,p)(Omega) ~= W^(m,p)(Omega)`.

只需证 `S` 在 `W^(m,p)(Omega)` 中稠密. 🚧

称开区域 `Omega sube RR^n` 是可扩张的, 如果对任意 Sobolev 空间 `W^(m,p)(Omega)`, 存在 `T in cc L(W^(m,p)(Omega), W^(m,p)(RR^n))`, 且 `T u|_Omega = u`, 换言之, 可以将每个函数 `u` 的定义域延拓到 `RR^n` 上, 且对应 `u mapsto T u` 是连续线性的.

Sobolev 嵌入 若开区域 `Omega sube RR^n` 可扩张, 则 `W^(m,p)(Omega) ↪ { L^q(Omega) (1//q = 1//p - m//n), if m//n le 1//p; C(bar Omega), if m//n gt 1//p :}` 记号 `↪ ` 表示一个连续的单射.