函数空间举例
设 `Omega sube RR^n` 是有界连通开区域, 考虑
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`k` 阶连续可微函数空间 `C^k(bar Omega)`.
集合 `bar Omega` 上全体 `k` 阶连续可微函数按范数
`||u|| = max_(|alpha| le k) max_(x in bar Omega) |del^alpha u(x)|`
构成 Banach 空间.
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Sobolev 空间 `H^(m, p)(Omega)` (`1 le p lt oo`).
空间 `C^m(bar Omega)` 按另一个范数
`||u||_(m,p)`
`= (sum_(|alpha| le m) ||del^alpha u||_p^p)^(1//p)`
`= (sum_(|alpha| le m) int_Omega |del^alpha u(x)|^p dx)^(1//p)`
并不完备.
为得到 Banach 空间, 将集合
`S := { u in C^m(Omega): ||u||_(m, p) lt oo }`
按范数 `||*||_(m, p)` 完备化, 得到的空间称为 Sobolev 空间 `H^(m,p)(Omega)`
(注意 `Omega` 未取闭包).
Sobolev 空间在偏微分方程论中占有重要地位.
边值为零的函数空间
有时我们希望函数值在定义域的边界处等于零. 这将大大简化分部积分 (一元) 或 Green 公式 (多元) 的计算.
例如 `f, g in C^1[0, 1]`, `f(0) = f(1) = 0`, 则
`int_0^1 f(x) g'(x) dx`
`= f(x) g'(x)|_0^1 - int_0^1 f'(x) g(x) dx`
`= -int_0^1 f'(x) g(x) dx`.
对于这类函数, 分部积分的效果正好将求导运算从 `g` 转移到 `f` 上面, 并改变积分的正负号.
一般地, 设 `Omega sube RR^n` 是有界连通开区域, 定义
- `C_0^m(Omega)` 是 `Omega` 上一切 `m` 次连续可微, 并在边界 `del Omega`
的某邻域内为 `0` 的函数的集合:
`C_0^m(Omega) = {u in C^m(bar Omega) : u(x) = 0, "当" x in del Omega "的某邻域}`.
其中下标 `0` 表示该空间中的函数在边界附近取零.
定义范数
`||u|| = (sum_(|alpha| le m) int_Omega |del^alpha u(x)|^2 dx)^(1//2)`,
`||u||_m = (sum_(|alpha| = m) int_Omega |del^alpha u(x)|^2 dx)^(1//2)`,
根据下文的 Poincaré 不等式, 低阶导数的模平方积分可以被高阶导数的模平方积分 (称为能量积分)
所控制, 因此它们是一对等价模.
- `H_0^m(Omega)` 是将 `C_0^m(Omega)` 按 `||*||_m` 完备化得到的空间.
它是一个 Hilbert 空间, 也是 Sobolev 空间 `H^m(Omega) := H^(m,2)(Omega)` 的闭子空间.
`H_0^m(Omega)` 的内积定义为
`(u, v)_m = sum_(alpha=m) int_Omega del^alpha u(x) bar(del^alpha v(x)) dx`.
Poincaré 不等式
存在常数 `C gt 0`, 使得 `AA u in C_0^m(Omega)`,
`||u|| le C ||u||_m`.
只需证明一阶导数的情形
`int_Omega |u(x)|^2 dx`
`le C int_Omega |grad u(x)|^2 dx`,
更高阶的通过归纳证明.
由于定义域 `Omega` 有界, 可以取充分大的 `a gt 0`, 通过平移使得 `Omega sube [0, a]^n`.
在 `[0, a]^n \\ Omega` 上补充定义 `u = 0`, 则 `u` 在立方体 `[0, a]^n` 上 `m` 次连续可微,
且在边界上等于 `0`. `AA x = (x_1, cdots, x_n) in [0, a]^n`, 由 Newton-Leibniz 公式
`u(x) = int_0^(x_1) del_1 u(x) "d"x_1`.
利用 Cauchy 不等式,
`|u(x)|^2`
`le (int_0^a 1^2 "d"x_1)(int_0^a |del_1 u(x)|^2 "d"x_1)`
`= a int_0^a |del_1 u(x)|^2 "d"x_1`.
上式两边在 `[0, a]^n` 上积分, 得到
`int_Omega |u(x)|^2 dx`
`le a int_0^a (int_Omega |del_1 u(x)|^2 dx) "d"x_1`
`= a^2 int_Omega |del_1 u(x)|^2 dx`
`le a^2 int_Omega |grad u(x)|^2 dx`.
广义函数