简单回顾 Euclid 的五条几何公设:
  1. 两点确定唯一一条直线;
  2. 直线可以向两端无限延伸;
  3. 以一点为心, 以定长为半径可作一圆;
  4. 任意两直角相等;
  5. 平面上, 如果一直线交两直线, 在某一侧同旁内角之和小于两直角, 则延长这两条直线, 它们将在这一侧相交.

Euclid 的 "几何原本" 开公理化之先河, 然而以今天的眼光来看, Euclid 的理论有许多不严谨的, 且依赖直观的地方. Hilbert 的 "几何基础" 则建立了几何学上首个严谨的公理化体系.

设想我们讨论的对象为一集合, 称为空间. 空间中的元素称为点, 用 `A, B, C, cdots` 表示; 直线是空间的一类子集, 用 `a, b, c, cdots` 表示; 平面是有别于直线的空间的另一类子集, 用 `alpha, beta, gamma, cdots` 表示. 点也叫做直线几何的元素; 点和直线叫做平面几何的元素; 点, 直线和平面叫做空间几何的元素.

点, 直线和平面之间有一定的相互关系 (二元关系, 三元关系), 用 "关联" ("在…之上", "属于"), "介于" ("在…之间"), "合同于" ("全合于", "相等于") 等词来表示. 下面的几何公理将精确刻画这些关系:

  1. 1 ~ 8. 关联公理 (结合公理, 从属公理)
  2. 1 ~ 4. 顺序公理 (次序公理)
  3. 1 ~ 5. 合同公理
  4. 1 ~ ?. 平行公理
  5. 1 ~ 2. 连续公理

第一组公理: 关联公理

我们约定, 此后说两, 三, … 点、直线或平面时, 都是指互不相同的点、直线或平面.

I1. 对任意两点, 存在一直线与这两点的每一点相关联;

I2. 对任意两点, 至多有一直线与这两点的每一点相关联;

关联是点与直线间的二元关系, 它是相互的. 即如果点 `A` 与直线 `a` 关联, 则直线 `a` 与点 `A` 关联, 反之亦然. 点 `A` 和直线 `a` 关联, 也可用别的说法, 如, `A` 是 `a` 的点, `a` 通过 `A`, `A` 在 `a` 上, `a` 含有 `A` 等等, 记为 `A in a`. 如果点 `A, B` 的每一点和直线 `a` 关联, 就称 `a` 连接 `A, B`. I2 指出这条直线唯一, 记它为 `l_(AB)`. 如果至少三点 `A_1, A_2, cdots, A_n` 和同一条直线关联, 就称这些点共线. 如果 `A` 既在直线 `a` 上, 又在另一直线 `b` 上, 就称直线 `a, b` 相交于 `A`, `A` 是 `a, b` 的公共点, 记为 `a nn b = {A}`, 或简记为 `a nn b = A`. 把 I1 和 I2 合起来, 就是说: 过任意两点的直线存在唯一.

I3. 一直线上至少存在两点; 至少存在三点不在同一直线上;

I4. 对任意不在同一直线上的三点, 存在一平面同这三点的每一点相关联; 对任一平面, 存在一点同这平面相关联;

把点与平面之间的二元关系也称为关联. 点 `A` 同平面 `alpha` 相关联, 也可以说 `A` 是 `alpha` 的点, `A` 在 `alpha` 上, `alpha` 过 `A`等, 记为 `A in alpha`; 类似点与直线的关联, 也有平面的公共点和共面的点的概念.

I5. 对任意不在同一直线上的三点, 至多有一平面同这三点的每一点相关联;

I4, I5 合起来就是说: 过任意不共线三点的平面存在唯一.

I6. 若一直线上有两点在一平面上, 则该直线的每一点都在该平面上;

直线 `a` 的每一点都在平面 `alpha` 上, 我们也说 `a` 在 `alpha` 上, `alpha` 过 `a`等, 记为 `a sub alpha`. 类似有共面的直线的概念.

I7. 若两平面有一公共点, 则它们至少还有另一公共点;

设这两个公共点是 `A` 和 `B`. 由 I6 立即得知 `l_(AB)` 同时在这两平面上. I7 表明空间的维数 `le 3`. 从坐标的角度理解: 4 维空间的平面 `(x, y, 0, 0)` 与 `(0, 0, z, t)` 仅有一个公共点.

I8. 至少存在四点不在同一平面上.

I8 表明空间的维数 `ge 3`.

I1~3称为关联公理中的平面公理, I4~8称为关联公理中的空间公理.

运用已经引入的符号, 8 条公理简洁地概括如下:

I1 `(AA A != B)` `(EE a)` `A, B in a`;

I2 `(AA A != B)` `|{a: A,B in a}| le 1`;

I3 `(AA a)` `(EE A, B in a)` `A != B`; `(EE A, B, C)` `A, B, C` 不共线;

I4 `(AA A, B, C" 不共线 ")` `(EE alpha)` `A,B,C in alpha`; `(AA alpha)` `(EE A)` `A in alpha`;

I5 `(AA A, B, C" 不共线 ")` `|{alpha: A,B,C in alpha}| le 1`;

I6 `A, B in alpha, A != B rArr l_(AB) sub alpha`;

I7 `A in alpha nn beta rArr EE B != A, B in alpha nn beta`;

I8 `(EE A,B,C,D)` `A,B,C,D` 不共面.

同一平面上的两直线或无公共点, 或有一个公共点; 两平面或无公共点, 或有一公共直线; 一平面和不在其上的一直线或无公共点, 或有一个公共点.

称两条直线相交, 如果它们恰有一个公共点.

过一直线和不在这直线上的一点的平面存在唯一; 过两条相交直线的平面存在唯一.