[《射影几何入门》]

射影空间

无穷远点

我们的讨论将在射影平面 `P(RR^2)` 和射影空间 `P(RR^3)` 中进行. 射影平面和欧氏平面 `RR^2` 的区别在于, 它比 `RR^2` 多了无穷远点和无穷远直线的概念.

在 `RR^2` 上任取直线 `l` 和直线外一点 `P`, 考虑过 `P` 点的全体直线组成的直线束. 任取 `Q in l`, 则点 `Q` 完全决定了直线束中的一条直线 `PQ`. 然而直线束中有一条直线在 `l` 上找不到对应的点, 那就是与 `l` 平行的那条直线. 为弥补这个缺憾, 我们规定这条直线与 `l` 上的无穷远点对应, 从而在直线 `l` 与线束 `P` 之间建立了双射, 这个双射就称为直线与线束间的透视对应, 我们称这样的直线与线束是相互透视的.

注意, 要使双射成立, 我们引入的直线 `l` 的无穷远点必须唯一, 即不论向直线的哪个方向走到「尽头」, 最终都会到达同一个无穷远点. 为 `RR^2` 上的每条直线都引入一个无穷远点, 最后, 再规定所有这些无穷远点组成一条无穷远直线. 这样一来, 我们可以说, 射影平面上任意两条不同直线有唯一的交点; 特别地, 两条平行直线相交于无穷远点, 直线与无穷远直线的交点是它的无穷远点.

再看射影空间 `P(RR^3)`. 我们为 `RR^3` 的每条直线都引入一个无穷远点, 这些无穷远点全体组成一个无穷远平面. 无穷远平面和另一个平面的交点组成后者的无穷远直线. 于是, `P(RR^3)` 中任意两个不同平面有唯一的交线; 特别地, 两平行平面相交于无穷远直线. `P(RR^3)` 中直线与平面有唯一的交点; 当直线与平面平行时, 它们相交于直线的无穷远点. `P(RR^3)` 中两条不同直线有 0 或 1 个交点; 两平行直线相交于无穷远点, 两异面直线的无穷远点不相同, 因而没有交点.

基本形与射影对应

三种 (一阶) 基本形分别是点列、线束和轴束.
1. 射影平面或射影空间中的直线又称为点列, 这个名字强调了直线是点的集合.
2. 射影平面上, 通过同一点的所有直线称为直线束或线束. 射影空间中通过同一点的所有直线也称为线束. 两者分别称作平面线束与空间线束, 以示区别.
3. 射影空间中, 通过同一直线的所有平面称为平面束或轴束.

六种透视对应 前面已经介绍点列与线束之间的透视对应. 三大基本形之间的透视对应总结如下:
1. 点列与线束: 射影平面上, 将线束的每条直线对应到它与点列的交点.
2. 点列与点列: 射影平面上, 两个点列都与同一线束 (称为透视中心) 相互透视. (两线截一束)
3. 线束与线束: 射影平面上, 两个线束都与同一点列 (称为透视轴) 相互透视. (两束照一线)
4. 点列与轴束: 将轴束的每个平面对应到它与点列的交点.
5. 平面线束与轴束: 要求平面线束的中心位于轴束的轴线 (称为透视轴) 上, 此时将线束的每条直线对应到它所属的轴束的平面上.
6. 轴束与轴束: 是指两个轴束中对应平面的交线都位于同一平面 (称为透视平面) 上.

射影对应是有限个透视对应的复合. 比如有 `n` 个基本形 `S_1, cdots, S_n`, 其中 `S_1` 与 `S_2` 透视, `S_2` 与 `S_3` 透视..., 那么所有这些基本形都是相互射影的. 由于每一种透视对应都是连续双射, 射影对应显然也是连续双射, 且射影对应的复合、射影对应的逆映射都是射影对应.

射影空间的可视化

我们专门讨论 `P(RR^2)` 的四种可视化.

线束模型

在 `RR^3` 中, 将 `xOy` 平面上一点 `P(x, y, 0)` 抬升到 `P_1(x, y, 1)`, 它唯一确定了空间线束 `O` (即, 通过原点的全体直线) 中的一条直线 `l = OP_1`: `RR^2 to 线束 O`
`(x, y) mapsto l: OP_1`. 与平面上的无穷远点对应的, 是线束 `O` 中位于平面 `xOy` 上的那些直线, 这些直线与平面 `z = 1` 平行, 无法用刚才的几何方法得到. 在线束模型中, 线束 `O` 代表射影空间 `P(RR^2)`, 线束 `O` 中的一条直线代表 `P(RR^2)` 中的一点.

球面模型

在线束模型中, 取线束 `O` 中直线 `l` 与单位球面 `S^1` 的交点 `A_1, B_1`, 得到映射 `RR^2 to S^1`
`(x, y) mapsto +-(x, y, 1) // sqrt(x^2 + y^2 + 1)`. 每条直线与 `S^1` 有两个交点, 它们位于一条直径的两端, 称为一组对径点. 我们把这两点等同起来, 代表射影空间 `P(RR^2)` 中的同一点. 与无穷远点对应的, 是 `S^1` 赤道 (即它与 `xOy` 平面相交的部分, 平面 `xOy` 上的单位圆) 上的点, 在球面模型中, 单位球面上的全体对径点代表射影空间 `P(RR^2)`, 每组对径点代表 `P(RR^2)` 中的一点.

半球模型

在球面模型中, 我们只取对径点 `A_1, B_1` 中 `z ge 0` 的那一个 (`A_1`), 得到映射 `RR^2 to S^1_(z ge 0)`
`(x, y) mapsto (x, y, 1) // sqrt(x^2 + y^2 + 1)`. 这样除了赤道外, `RR^2` 中的点与上半球面的点一一对应. 而赤道上和球面模型相同: 每组对径点对应一个无穷远点.

圆盘模型

把半球模型「拍平」到单位圆盘 `D^2` 中, 得到映射 `RR^2 to D^2`
`(x, y) mapsto (x, y) // sqrt(x^2 + y^2 + 1)`. `RR^2` 中的点与 `D^2` 的内点一一对应. 而 `D^2` 边界上的每组对径点对应一个无穷远点.

本节对射影空间的四种可视化仅用于说明射影空间定义的合理性, 并帮助理解射影空间的结构. 在以下的叙述与插图中, 为直观起见, 我们通常仍使用 `RR^2` 的视角来描绘射影空间, 并想象它在无穷远处有一条直线.

四调和点

射影性质: Desargues 定理

Desargues (笛沙格) 定理 对两个三角形 `ABC` 和 `A'B'C'`, 设 `A B nn A'B' = P`, `B C nn B'C' = Q`, `C A nn C'A' = R`, 则有 `A A'`, `B B'`, `C C'` 三线共点 `iff` `P, Q, R` 三点共线.

采用「升维法」.
1. `rArr`. 把上图想象为一个三维立体图形, `M` 是三棱锥的顶点, 三角形 `ABC` 和 `A'B'C'` 是三棱锥的两个截面. 直线 `AB`, `A'B'` 位于三棱锥的同一侧面 `MAB` 上, 因而它们必有交点 `P`. 由立体几何知道, `P` 点位于平面 `ABC` 和 `A'B'C'` 的交线上. 同理 `Q, R` 也位于同一直线上, 即三点共线. 现在把三维图形投影到平面上, `P, Q, R` 共线的关系不变, 这证明了定理的一半.
2. `lArr`. 把 `Q` 看作三棱锥的顶点, 对三角形 `PBB'` 和 `RC C'` 应用定理的前半部分, 可知 `BB'`, `C C'` 的交点与 `A A'` 共线, 即三线共点.

定理对无穷远点或无穷远直线也成立. 例如 `A A', B B', C C'` 三直线平行时, 它们的交点为无穷远点. 或者 `BC || B'C'` 时, `Q` 为无穷远点. 特别当 `AB || A'B'`, `BC || B'C'`, `CA || C'A'` 时, `P, Q, R` 均为无穷远点, 它们仍是共线的 (无穷远直线).

直尺作图: 远处的交点 平面上有两直线 `l, l'` 在远处相交于点 `M`. 给定另一点 `A`, 在不延长 `l, l'` 的情况下, 仅用直尺作图, 画出直线 `AM`. 特别当 `l, l'` 平行时, 我们得到过 `A` 点的平行线.

参考 Desargues 定理插图. 在直线 `l` 上任取 `B, B'`, 在 `l'` 上任取 `C, C'`, 设 `BC nn B'C' = Q`. 任取 `P in AB`, 设 `PQ nn AC = R`, `RC' nn PB' = A'`. 由 `P, Q, R` 三点共线知, `A A', B B', C C'` 三线共点, 所以 `A A'` 即为所求的直线.

简化的作图法. 过 `A` 点任意作两直线 `BP`, `CR`, 其中 `B, R in l`, `C, P in l'`. 设 `BC nn PR = Q`. 过 `Q` 作直线 `B'C'`, 其中 `B' in l`, `C' in l'`. 记 `RC' nn PB' = A'`, 则 `A A'` 为所求的直线.

完全四边形 在平面上, 连接四边形的两条对角线, 这两条直线连同原来的四条边一共 6 条直线, 组成的图形称为完全四边形. 或者, 将平面上四点两两连接得到的图形就叫做完全四边形. 完全四边形共有三组对边: 除了原四边形的两组对边外, 我们把两条对角线也看作一组对边.

四调和点定理 在直线 `l` 上给定 `A, B, C` 三点, 则存在完全四边形 `KLMN` 满足:
1. 对边 `KL`, `MN` 交于点 `A`;
2. 对边 `LM`, `NK` 交于点 `C`;
考查剩下一组对边 `LN` 与 `KM`. 若 `LN` 与直线 `l` 交于 `B`, 则 `KM` 与直线 `l` 的交点 `D` 完全由 `A, B, C` 的位置决定, 不依赖于完全四边形 `KLMN` 的形状.

1. 完全四边形的作法如下: 在直线外任取点 `L`, 连接 `AL`, `BL`, `CL`;
   在 `CL` 上任取点 `M`, 连接 `AM`, 交 `BL` 于 `N`;
   连接 `CN` 交 `AL` 于 `K`. 由于点 `L, M` 的任意性, 这样的完全四边形有无穷多个.
2. 设 `KLMN`, `K'L'M'N'` 是两个满足题意的完全四边形: 其中 两组对边 `KL`, `K'L'`, `MN`, `M'N'` 交于同一点 `A`; 另外两组对边 `LM`, `L'M'`, `NK`, `N'K'` 交于同一点 `C`; `LN`, `L'N'` 交于 `B`. 我们要证 `KM`, `K'M'` 与直线 `l` 的交点是同一点, 可设 `KM`, `K'M'` 的交点是 `D`, 下证 `A, B, C, D` 四点共线.
3. 考察三角形 `KLN` 和 `K'L'N'`, 因为 `A, B, C` 共线, 由 Desargues 定理逆定理知道 `K K'`, `L L'`, `N N'` 三线共点, 设交点为 `S` (图中未画出). 同理 `L L'`, `M M'`, `N N'` 三线也交于同一点 `S`, 于是 `K K'`, `L L'`, `M M'` 三线也交于 `S`. 由 Desargues 定理知道 `A, C, D` 三点共线.

定理表明, 在直线上任取 `A, B, C` 三点, 可以作出一点 `D`, 其位置完全由 `A, B, C` 的位置决定. 注意到 `A, C` 两点地位对等, `B, D` 两点地位对等, 我们称 `B, D` 关于 `A, C` 调和共轭, 或者称线段 `BD` 调和分割线段 `AC`. 当点的次序不至于引起混淆时, 我们也笼统地说 "`A, B, C, D` 为四调和点".

直尺作图: 中点与平行线
1. 设 `BD, AC` 调和共轭, 则当 `D` 为无穷远点时, `B` 是 `AC` 的中点. 利用这一性质, 已知线段中点, 仅用直尺就能作出它的平行线; 反之已知线段的平行线, 仅用直尺就能作出中点; 进而, 可以作出任意其它的平行线.
2. 已知线段的平行线, 可以作出线段的任意 `n` 等分点.

1. 参考四调和点定理的插图. 点 `D` 为无穷远点时, `KM || AC`, 此时过 `N` 作 `PQ || AC`, 交 `AL` 于 `P`, 交 `CL` 于 `Q`. 根据三角形相似得到 `(KM)/(PN) = (AM)/(AN) = (CK)/(CN) = (KM)/(QN)`. 于是 `PN = QN`, 再由三角形相似立即得到 `AB = CB`.
2. 记原线段为 `AB`, 在它的平行线上任取一线段, 按 1. 的方法将该线段分成 `2^k ge n` 等分. 取出其中的 `n` 小段, 把它的首尾分别记为 `C, D`, 于是线段 `CD` 被 `n` 等分. 现在设 `AC nn BD = E`, 将 `E` 与 `CD` 的每个 `n` 等分点连接, 就得到 `AB` 的 `n` 等分点. 下图演示了 3 等分点的作法.

调和共轭的对称性 若 `BD` 调和分割 `AC`, 则 `AC` 也调和分割 `BD`.

设 `BD` 调和分割 `AC`, 相应的完全四边形是 `KLMN`. 记对边 `KM`, `LN` 的交点为 `O`, 连接 `AO`, `CO`, 这两条直线把四边形 `KLMN` 分为四个四边形. 我们看其中的一个 `KPOQ`, 它的一组对边 `PK`, `OQ` 通过点 `A`, 另一组对边 `PO`, `KQ` 通过点 `C`, 又 `KO` 通过点 `D`, 于是由 `BD` 调和分割 `AC` 知, `PQ` 过点 `B`. 考察其它三个小四边形, 同理得 `SR` 过点 `B`, `PS`, `QR` 过点 `D`. 现在, 完全四边形 `PQRS` 的一组对边过点 `B`, 另一组对边过点 `D`, 其剩下的一组对边分别过 `A, C`. 这说明 `AC` 调和分割 `BD`.

四调和点的射影不变性 设直线 `l` 上 `BD` 调和分割 `AC`. 将 `l` 射影对应到直线 `l'`, 相应有 `B'D'` 调和分割 `A'C'`.

设 `BD` 调和分割 `AC`, 相应的完全四边形为 `KLMN`. 任取平面上一点 `S` 与直线 `l'`, 将 `SA, SB, SC, SD` 与 `l'` 的交点记为 `A', B', C', D'`. 下证它们是四调和点.
事实上, 使用升维法, 将 `S` 视为平面 `KLMN` 外的空间中一点, 它与平面上的 7 条直线 (完全四边形 `KLMN` 的 3 组对边, 以及直线 `l`) 形成 7 个平面. 例如, `S` 与直线 `l` 形成平面 `SAD`.
现在, 直线 `l'` 可以看作空间中另一平面 `p` 与平面 `SAD` 的交线. 平面 `p` 与其余 6 个平面相交, 在空间中形成新的完全四边形 `K'L'M'N'`. 点 `A', B', C', D'` 正是关于完全四边形 `K'L'M'N'` 的四调和点.
最后将 `K'L'M'N'` 以及 `A', B', C', D'` 投影回原来的平面, 虽然位置改变, 但四调和点的关系不变.

众所周知不变量是几何学的灵魂. 四调和点就是第一个重要的射影不变量.

设 `A, B, C, D` 是直线 `l` 上的四调和点.
1. 四调和线 任取直线 `l` 外一点 `S`, 则直线 `SA, SB, SC, SD` 称为四调和线. 当线束中心 `S` 为无穷远点时, 四调和线相互平行.
2. 四调和平面 任取与 `l` 异面的直线 `s`, 则 `s` 与四点 `A, B, C, D` 构成的平面束称为四调和平面. 当轴线 `s` 为无穷远直线时, 四调和平面相互平行.

由射影不变性知道, 四调和线被不通过线束中心的任意直线所截, 必得到四调和点. 此外还有

1. 四调和平面被不通过轴线的任意平面所截, 必得到四调和线;
2. 四调和平面被与轴线异面的任意直线所截, 必得到四调和点.

取轴线 `s` 与四调和点 `A, B, C, D` 确定的四调和平面, 设 `A, B, C, D` 所在直线为 `l`.

1. (左图) 任取一点 `S in s`, 则 `SA, SB, SC, SD` 为四调和线, 并且 `S` 与 `l` 确定了一个平面 `pi`.
   现在用任意不通过轴线 `s` 的平面 `pi'` 去截四调和平面, 记 `pi' nn s = S'`. 若 `pi = pi'`, 则 `pi'` 与四调和平面的交线就是四调和线 `SA, SB, SC, SD`. 否则, 设 `pi'` 与四调和线 `SA, SB, SC, SD` 的交点分别为 `A', B', C', D'`, 它们是四调和点. 于是平面 `pi'` 与四调和平面的交线 `S'A', S'B', S'C', S'D'` 是四调和线.
2. (右图) 用与轴线 `s` 异面的直线 `m` 去截四调和平面, 设交点为 `A', B', C', D'`. 任取一点 `S in s`, 它与直线 `m` 确定了一个平面 `pi`. 由 1. 知 `pi` 与四调和平面的交线 `SA', SB', SC', SD'` 为四调和线, 因此 `A', B', C', D'` 是四调和点.

小结: 调和元素 (指四调和点、四调和线、四调和平面) 在射影对应下仍保持调和性质.

度量性质: 交比

考虑紧化复平面 `CC uu {oo}` 上的四点 `A, B, C, D`, 规定 `oo//oo = 1`, 又用 `AB := B-A` 表示有向线段. 分别将点 `C, D` 视为线段 `AB` 的定比分点, 相应的比例为 `AC//BC`, `AD//BD`. 线段 `AB` 与 `CD` 的交比 (cross ratio) 定义为这两个比例的比: `(AB, CD) = (AC//BC)/(AD//BD)`. 易知 `(AB, CD) = (CD, AB)`, 因此 `AB` 与 `CD` 的地位对称.

交比记忆: 左 `A` 右 `B`, 上 `C` 下 `D`.

交比为实数当且仅当四点共圆或共线.

由已知 `(AB, CD) in RR` `iff "arg"(AC//BC)/(AD//BD) = k pi` `iff /_BCA - /_BDA = k pi`. 若 `/_BCA`, `/_BDA` 都是 `pi` 的整数倍, 显然四点共线. 否则设 `/_BDA = theta`. 若 `k = 0`, 有 `/_BCA = /_BDA = theta`, 由圆周角定理知四点共圆. 若 `k = 1`, 有 `/_BCA = theta + pi`, `/_ACB = 2pi - /_BCA = pi - theta`, 于是 `/_ACB` 与 `/_BDA` 互补, 从而四点共圆.

`(AB, CD) = -1` `iff AC * BD = AD * CB`.

计算 `(AB, CD) = -1` `iff AC//BC + AD//BD = 0` `overset"通分"iff AC * BD + AD * BC = 0`. 然后注意 `BC = -CB` 即可.

取单位圆上的四点 `A = 1`, `B = -1`, `C = "i"`, `D = -"i"`, 则 `(AB, CD)` `= (("i"-1)//("i"+1))/((-"i"-1)//(-"i"+1))` `= "i"//(-"i")` `= -1`.

四调和点 设 `A, B, C, D` 四点共线且交比 `(AB, CD) = -1`, 由于 `AB`, `CD` 两线段的地位对称, 我们称 `AB` 调和分割 `CD`, `CD` 调和分割 `AB`, 或 `AB, CD` 调和共轭. 位置关系上, `C, D` 恰有一点位于 `A, B` 之间, 于是只有四种可能: `A —— C —— B —— D`,
`A —— D —— B —— C`,
`D —— A —— C —— B`,
`C —— A —— D —— B`. 于是等式 `AC * BD = AD * CB` 可以记忆为: 第一段 * 第三段 = 第二段 * 整段.

设 `AB` 调和分割 `CD`, 则
1. `AB` 是 `AC`, `AD` 的调和平均: `1/(AB) = 1/2(1/(AC) + 1/(AD))`.
2. 设 `M` 为 `AB` 中点, 有 `CA * CB = CM * CD`. 特别当 `C` 是 `AB` 中点时, 有 `D = oo`.
3. `AC * BD = AD * CB = AB * CD //2`.

1. 由 `AC * BD = AD * CB` 得到 `AC * (BA+AD) = AD * (CA+AB)` 整理得 `2 AC * AD = (AC+AD)*AB`.
2. 由 1. 知 `CD` 是 `CA`, `CB` 的调和平均: `CD = (2 CA * CB)/(CA + CB)` 再由 `CM = (CA+CB)//2` 即得结论.
3. 由于交比为实数, Ptolemy 不等式 `AC * BD + AD * CB ge AB * CD` 取得等号, 且左边两项是相等的.

注意区分调和平均与几何平均: 比如线段 `AB` 的阿氏圆 `O` 交 `AB` 于 `P`, 则 `A, B` 关于圆 `O` 互为反演, `OP^2 = OA * OB`. 这意味着 `OP` 是 `OA, OB` 的几何平均.

对偶完全四边形 上文的完全四边形是从四个点出发定义的. 我们也可以从四条直线出发, 考虑平面四边形 `RAQO`, 延长四边所在的直线, 一共交于 6 个点. 这样的图形称为对偶完全四边形. 6 个点中, 只有 3 对点 `AO`, `RQ`, `BC` 未被直线连接, 称为对偶完全四边形的 3 条对角线. 完全四边形及其对偶比较如下:

下面的定理表明, 四调和点的两种定义等价:

对偶完全四边形的每条对角线被另外两条对角线调和分割. 如图, 在交比的意义下, `BC, PT` 调和共轭, `AO, SP` 调和共轭, `RQ, ST` 调和共轭.

在 `triangle ABC` 中使用 Menelaus 定理得 `(BT)/(TC) (CQ)/(QA) (AR)/(RB) = -1`, 使用 Ceva 定理得 `(BP)/(PC) (CQ)/(QA) (AR)/(RB) = 1`. 两式相除得到 `(BT//TC)/(BP//PC) = -1`, 即 `BC, PT` 调和共轭. 类似地, 在 `triangle AOB` 中和 `triangle ARQ` 中可证明后两个结论.

设直线上依次有 `A, C, B, D` 四点, 则 `AB, CD` 调和共轭 `iff` 平面上存在一点 `O`, 使 `OC` 平分 `/_AOB`, 且 `OD` 平分 `/_AOB` 的补角.

设 `OC` 平分 `/_AOB`, 且 `OD` 平分 `/_AOB` 的补角, 于是 `OC _|_ OD`. 过 `A` 作直线 `AD' _|_ OB`, 记 `AD'` 分别与 `OB, OC, OD` 交于点 `B', C', D'`. 现在记 `/_ B'OC' = alpha`, `AC' = x`, `C'B' = 1`, `B'D' = y`, 因此 `OB' = sqrt y`, `tan alpha = 1//sqrt y`, `tan 2 alpha = tan /_AOB' = (x+1)//sqrt y`. 另一方面, 利用二倍角公式 `tan 2 alpha = (2//sqrt y)/(1-1//y)`. 化简得 `x y = x + y + 1`, 因此 `AB', C'D'` 调和共轭. 由射影不变性知道 `AB, CD` 也调和共轭. 反向的结论用同一法即可.

交比是射影不变量 设 `l` 上依次有 `A, C, B, D` 四点, 将 `l` 射影对应到 `l'`, 四点的交比不变, 即 `(AB, CD) = (A'B',C'D')`.

取直线 `l` 外一点 `O`, 应用正弦定理将线段比转化为角度的正弦比: `(AC)/(sin /_AOC) = (OA)/(sin /_ACO)`, `quad (CB)/(sin /_BOC) = (OB)/(sin (pi - /_ACO))`, 因此 `(AC)/(CB) = (OA * sin /_AOC)/(OB * sin /_BOC)`. 同理 `(AD)/(DB) = -(OA * sin /_AOD)/(OB * sin /_BOD)`. 两式相除可知, 交比由线束之间夹角唯一确定, 与截线的选取无关.

在计算机视觉中, 应用交比的射影不变性, 可以进行摄像机标定.

射影对应基本定理

回忆定义: 射影对应是若干透视对应的复合. 先考虑点列之间的射影对应, 我们要问: 至多需要几个点, 可以完全确定两个点列间的射影对应? 设这两个点列为 `l, l'`, 任取两个射影对应 `f, g: l to l'`. 注意 `f, g` 都是双射, 因此对任意 `P in l`, `f(P) = g(P)` 当且仅当 `(g^-1 @ f)(P) = P`, 即 `P` 为 `l` 到自身的射影对应 `g^-1 @ f` 的一个不动点. 于是问题的另一种提法为: 至多需要几个不动点, 可以使点列到自身的射影对应成为恒等映射?

点列与自身的一个射影对应 在平面中, 设 `S_1, S_2` 是两个透视对应的线束, 透视轴为 `u`. 考虑另一条直线 `l`, 分别建立透视对应 `l harr S_1` 和 `l harr S_2`. 从而 `l` 与自身建立了射影对应, 记为 `f`. 容易验证, `l` 与 `u` 的交点, 以及 `l` 与直线 `S_1 S_2` 的交点, 是映射 `f` 的两个不动点 (当两点重合时 `f` 只有一个不动点).

提示: 选取一点 `P in l`, 将它打到 `S_1`, 再经过 `u` 打到 `S_2`, 最后打回 `l` 上.

射影对应基本定理 如果直线 `l` 到自身的射影对应 `f` 有三个不动点, 那么 `f` 为恒等映射.

1. 任取 `P in l`, 注意到射影对应的连续性, 我们可以通过证明 `P` 是一列不动点的极限, 来证明 `P` 也是不动点.
2. 假设 `f` 的三个不动点为 `A, B, C`, 先设 `A, C` 为有限远点, `B` 为无穷远点. 则由四调和点的射影不变性, `B` 关于 `AC` 的调和共轭点 `D` 也是一个不动点. 又由 `B` 是无穷远点知道, `D` 正是 `AC` 的中点. 于是线段 `AC` 上的每个点都可以通过二分法来逼近, 这证明了 `AC` 上的每个点都是不动点.
3. 然而, 当 `P` 跑遍线段 `AC` 上的每个点时, 它关于 `AC` 的调和共轭点 `Q` 正好跑遍直线 `l` 除 `AC` 之外的每个点. 这便证明了 `l` 的每个点都是不动点.
4. 最后, 射影直线上的无穷远点其实只是普通的一点, 和有限远点没有本质的区别. 所以上述证明对任意三个不动点都有效.

上述定理中的直线换成线束或平面束也是对的. 这是因为可以用一条直线去截取线束或平面束, 从而转化为直线到自身的射影对应. 同样地, 下面几个命题中的直线也都可以换成线束与平面束, 不再赘述.

若 `l, l'` 是两个点列, 任给 `A, B, C in l` 和 `A', B', C' in l'`, 则两个点列间存在唯一的射影对应, 分别将 `A, B, C` 对应到 `A', B', C'`.
特别当 `l, l'` 的交点对应到自己时, 两个点列实际处于透视对应.

唯一性已经由射影对应基本定理所保证, 下证存在性. 分两种情况讨论:
1. 若 `A, B, C` 中的一点是两直线交点, 不妨设 `A = A'`. 设 `B B' nn C C' = S`, 再连接 `SA`. 三直线 `SA, SB, SC` 唯一确定了线束 `S` 到直线 `l` 的透视对应 `f`. 同理 `SA', SB', SC'` 唯一确定了 `S` 到 `l'` 的透视对应 `g`. 但 `SA = SA'`, `SB = SB'`, `SC = SC'`, 所以 `g @ f^-1` 就是直线 `l` 到 `l'` 的透视对应, 且将 `A, B, C` 对应到 `A', B', C'`.
2. 若 `A, B, C` 均不是两直线交点, 过 `A'` 另作一条直线 `u`, 与 `l'` 不重合, 直线 `u` 起到过渡的作用. 接下来在直线 `A A'` 上任取一点 `S`, 然后将 `B, C` 透视投影到 `u` 上 (取 `SB, SC` 与 `u` 的交点), 得到 `B'', C''` 两点. 于是 `u` 与 `l` 是透视对应. 又 `u` 与 `l'` 之间有对应点 `B'' harr B'`, `C'' harr C'`, 以及交点 `A'`, 由 1. 知道 `u` 与 `l'` 也是透视对应.

熟知调和元素在射影对应下仍变为调和元素, 这个性质反过来也对, 这就是:

如果一个连续双射使四调和点变为四调和点, 那么它一定是射影对应.

任取直线 `l` 上的四调和点 `A, B, C, D`, 设它对应到直线 `l'` 上的四调和点 `A', B', C', D'`, 下证这个对应 `f` 为射影对应. 事实上, 由前一个推论, 存在唯一的射影对应 `g`, 使得三点 `A, B, C` 分别对应于 `A', B', C'`. 下证 `f = g`, 这只需说明 `g^-1 @ f` 为恒等映射. 这里的 `g^-1 @ f` 是连续双射, 满足将任意四调和点变为四调和点, 且有三个不动点 `A, B, C`. 根据射影对应基本定理的证明, `g^-1 @ f` 为恒等映射.

1. 线束通过绕中心转动与自身对应, 这个对应是射影对应.
2. 存在直线到自身的射影对应, 其有 0 个不动点.

1. 四条直线是否调和, 只与它们的夹角有关, 而与位置无关, 故四调和线转动后仍保持调和. 因此线束绕中心的转动将任意四调和线映为四调和线, 它是射影对应.
2. 先将直线透视对应到线束, 然后转动这个线束, 再透视对应到直线. 由于线束发生转动, 这个射影对应没有不动点.

小结: 点列到自身的射影对应, 其不动点的数量可以是 0, 1, 2. 如果有 3 个不动点, 则这个射影对应是恒等映射.

二阶点列

五点确定一条圆锥曲线

我们已经知道, 两个相互透视的线束, 其公共点的轨迹是两直线 (一条是透视轴, 另一条是两线束的重合直线). 如果两个线束相互射影, 但不相互透视, 则轨迹与平面上任意直线 `l` 至多有两个交点 (若它有三个交点, 则两线束与直线 `l` 的射影对应已经完全确定, 即以 `l` 为透视轴的透视对应). 因此我们称它为二阶点列, 又叫圆锥曲线.

五点确定一条圆锥曲线 若 `S, S'` 是两个线束, 任给 `a, b, c in S` 和 `a', b', c' in S'`, 则两个线束间存在唯一的射影对应, 分别将 `a, b, c` 对应到 `a', b', c'`.

我们记 `a nn a' = A`, `b nn b' = B`, `c nn c' = C`, 然后记 `AB = l`, `AC = l'`. 分别将直线 `l, l'` 透视对应到线束 `S, S'`, 这样就建立了两直线的射影对应. 但 `l, l'` 还有一个公共点 `A` 对应到自己, 所以它们实际处于透视对应. 而 `SC, S'B` 正好连接了另外两组对应点, 所以 `M = SC nn S'B` 就是透视中心. `l, l'` 共有 3 组对应点, 所以它们之间的射影对应是唯一的, 进而线束 `S, S'` 之间的射影对应也是唯一的.
现在任给直线 `d in S`, 我们寻找对应的 `d' in S'` 如下: 作出 `d nn l = D`, 然后 `DM nn l' = D'`, 最后 `S'D' = d'`. 记 `d nn d' = P`, 让 `d` 绕 `S` 转动, 在这过程中, 点 `P` 的轨迹是一圆锥曲线.

1. 如上图, `S, S', A, B, C` 都位于 `P` 的轨迹上. 因此, 五点可以确定一条圆锥曲线.
2. 线束中心 `S, S'` 和 `A, B, C` 三点没有本质区别: 任取 2 点为线束中心, 再从剩下 3 点中任意连接两条直线建立透视对应, 照此方法也可以得到同一条曲线.

用切线代替点
1. 如上图, 动直线 `d` 确定了曲线的一条弦 `SP`. 当 `d` 和直线 `l = AB` 趋于平行时, 点 `P` 也趋于点 `S`. 特别当 `D` 为无穷远点时, `P, S` 两点重合, `d` 成为曲线在 `S` 点处的切线. 此时 `d` 的对应直线 `d' = S'P` 与 `S'S` 重合. 我们得到: 两线束中心的连线与其中一个线束中心处的切线相对应, 即 `S'S harr S` 处的切线, `S S' harr S'` 处的切线.
2. 我们不仅能用五点确定一条圆锥曲线, 还能用四点+一点处的切线来确定一条圆锥曲线. 事实上, 将切点取为其中一个线束中心 `S`, 再从剩下三点中任取一点 `S'` 作为另一个线束中心. 剩下的两点 `A, B` 分别确定了线束的两组对应直线 `SA harr S'A`, `SB harr S'B`. 但我们还有一组对应直线, 就是 `S'S harr S` 处的切线. 类似地, 三个点+两点处的切线也可以确定一条圆锥曲线.

圆锥曲线的调和性质 如果圆锥曲线 `c` 上四点 `A_1, A_2, A_3, A_4` 连接到曲线上第五点 `S` 是调和线束, 则这四点连接到曲线上任一点 `S'` 也是调和线束. 我们称这四点是圆锥曲线 `c` 上的四调和点.

参考“五点确定一条圆锥曲线”的插图, 以 `S` 为心画四调和线 `SA_i`, `i = 1, 2, 3, 4`. 由于 `P` 是圆锥曲线上任一点, 我们可以想像 `A_i` 与 `P` 重合. 设 `SA_i` 与 `AB` 的交点是 `D_i`, 然后以 `M` 为透视中心, 将 `D_i` 四点对应到 `AC` 上, 得到 `D_i'`. 于是 `S'A_i = S'D_i'` 为四调和线.

当圆锥曲线为圆时, 由于线束间的夹角为圆周角, 不随线束中心位置的变化而改变, 所以线束保持调和. 在一般的圆锥曲线上, 线束的夹角未必是定值. 但可以在空间中找到一个透视中心 `O`, 建立圆锥曲线与圆的透视对应. 在透视对应下线束保持调和, 所以结论成立.

1. 给定平面上四个点, 若它们连接到平面上动点 `P` 是调和线束, 则 `P` 的轨迹是圆锥曲线.
2. 给定圆锥曲线上任意两点 `S, S'`, 都可以将 `S` 处的四调和线对应到 `S'` 处的四调和线. 这个对应将调和元素变为调和元素, 因此决定了线束 `S` 到 `S'` 的射影对应. 圆锥曲线上的点没有本质区别: 任意两点都可以作为线束中心生成整条曲线.

Pascal 定理

Pascal 定理 平面六边形的三组对边交点共线, 当且仅当它的六个顶点位于一条圆锥曲线上.
设平面上有 `1, 2, 3, 4, 5, 6` 六个点, 其中任意三点不共线. 又设 `12 nn 45 = X`, `23 nn 56 = Y`, `34 nn 61 = Z`, 则 `1, 2, 3, 4, 5, 6` 共圆锥曲线 `iff X, Y, Z` 三点共线. 注意 `X, Y, Z` 三点中可以有无穷远点, 即六边形的三组对边可以是平行的.

参考“五点确定一条圆锥曲线”的插图, 将六点分别取为 `A, B, S', P, S, C`. 于是 `12 nn 45 = D`, `23 nn 56 = M`, `34 nn 61 = D'`.
1. 先设六点在一条圆锥曲线上. 圆锥曲线可以由任意两点处的线束生成, 不妨设为 `3 = S', 5 = S`. 以 `S` 为透视中心, 将其余四点 `1 = A, 2 = B, 4 = P, 6 = C` 透视到直线 `AB` 上, 又以 `S'` 为透视中心, 将 `1, 2, 4, 6` 透视到直线 `AC` 上. 两直线交点 `1 = A` 是对应点, 因此两直线 `AB, AC` 为透视对应, 必存在透视中心, 即为 `SC nn S'B = M`. 又两线束中 `SP` 与 `SP'` 为对应直线, 它们与 `AB, AC` 的交点 `D, D'` 为对应点. 对应点连线必经过透视中心, 即 `D, M, D'` 三点共线.
2. (同一法) 反之设 `D, M, D'` 三点共线, 用 `A, B, S', S, C` 五点确定一条圆锥曲线, 下证 `P` 也在曲线上. 设 `SP` 与圆锥曲线交于 `P'`, 对 `A, B, S', P', S, C` 六点应用 1. 的结论有 `D, M, E := AC nn S'P'` 三点共线. 但 `D, M, D'` 三点也共线, 这说明 `E = AC nn DM = D'`. 于是 `P = P'` 在圆锥曲线上.

Pascal 定理的退化情形
1. 内接五边形 当六点中有两点重合时, 这两点连线是曲线的切线. 因此给定曲线上一点 `S`, 利用 Pascal 定理可以作出 `S` 处的切线: 想像 `S = 1 = 2` 是重合的两点, 在曲线上另取四点 `3, 4, 5, 6`. 记 `23 nn 56 = Y`, `34 nn 61 = Z`, `YZ nn 45 = X`. 则 `12 = XS` 就是所求的切线.
2. 内接四边形 当六点中有两双点分别重合时, 设 `A = 1 = 6`, `C = 3 = 4`, `B = 2`, `D = 5`. 由 Pascal 定理, 以下三点共线: `X = 12 nn 45 = AB nn CD`,
   `Y = 23 nn 56 = BC nn AD`
   `Z = 34 nn 61 = A` 的切线 `nn C` 的切线. 如果重新分配数字, 令 `B = 1 = 6`, `D = 3 = 4`, `A = 2`, `C = 5`, 则同样有 `X = 12 nn 45 = AB nn CD`,
   `Y = 23 nn 56 = AD nn BC`
   `W = 34 nn 61 = D` 的切线 `nn B` 的切线. 于是 `X, Y, Z, W` 四点共线. 我们得到: 圆锥曲线内接四边形的两组对边交点、两组对点切线交点四点共线.
3. 内接三角形 当六点中有三双点分别重合时, Pascal 定理变成: 圆锥曲线内接三角形三个顶点处的切线与对边交点三点共线.
4. 退化圆锥曲线 设 `A, B, C` 三点共线 (记为 `l`), `A', B', C'` 三点共线 (记为 `l'`), 则 `l, l'` 形成退化的圆锥曲线. 应用 Pascal 定理得到 Pappus 定理: `AB' nn A'B`, `BC' nn B'C`, `CA' nn C'A` 三点共线.

二阶线束与 Brianchon 定理

二阶线束 是二阶点列的对偶概念, 它是指两条射影相关 (但不透视相关) 的直线 `l, l'` 的全体对应点连线的集合. 对平面上任一点 `P`, 二阶线束中至多有两条直线通过它. 事实上若有三条直线通过它, 则 `l, l'` 关于 `P` 透视对应.

圆锥曲线的全体切线构成二阶线束, 反之二阶线束的包络是圆锥曲线.

1. 先证圆的全体切线是二阶线束. 任取圆 `O` 的两条切线 `l, l'`, 与第三条切线 `m` 分别交于 `P, P'`. 根据三角形内心的性质, `/_POP'` 只和 `l, l'` 的夹角有关. 让切线 `m` 沿着圆周滑动, 与 `l` 截出四调和点 `P_1, P_2, P_3, P_4`, 则它与 `l'` 截出的四点 `P_1', P_2', P_3', P_4'` 也是四调和点. 这是因为角 `P_i O P_i'` 是定值, `i = 1, 2, 3, 4`. 因此我们建立了直线 `l` 与 `l'` 的射影对应, 且动直线 `m` 连接了 `l, l'` 的对应点, 所以 `m` 的全体构成二阶线束.
   对任意圆锥曲线, 存在空间一点将它射影到另一平面上, 使它成为一圆; 且圆锥曲线的切线对应圆的切线. 从而圆锥曲线的全体切线也构成二阶线束.
2. 任取一个二阶线束, 下证存在圆锥曲线 `c`, 使得 `c` 的切线全体就是该二阶线束. ??

在二阶点列的理论中, 将点线的概念互换, 就平行得到了二阶线束的各种结论. 我们不再详细证明:

五条直线确定一个二阶线束 已知直线 `l, l', a, b, c`, 则 `a, b, c` 给出了 `l, l'` 间的三组对应点, 从而确定了 `l, l'` 间的射影对应. `l, l'` 全体对应点的连线形成二阶线束. 从五条直线中另取两条作为生成元, 也能得到同一个二阶线束.

记 `a, b, c` 分别与 `l` 交于 `A, B, C`, 与 `l'` 交于 `A', B', C'`. 记 `S = A A' nn B B'`, `S' = A A' nn C C'`, 将线束 `S` 透视对应到 `l`, `S'` 透视对应到 `l'`. 由于 `S S'` 是对应直线, 两线束实际上处于透视对应. 注意到点 `C` 和 `B'` 均为两线束对应直线的交点, 所以直线 `m = CB'` 就是它们的透视轴.
确定透视轴后, 按如下步骤确定对应点: 任给 `D in l`, 作 `SD nn m = P`, `S'P nn l' = D'`, 则 `D'` 就是 `D` 在 `l'` 上的对应点.

用切点代替线
1. 设 `l, l'` 是圆锥曲线的两条固定切线, `m` 是第三条动切线. 当 `m` 和 `l` 趋于重合时, `m, l` 的交点趋于 `l` 的切点, 而 `m, l'` 的交点趋于 `l, l'` 的交点.
2. 因此, 已知四条直线+其中一条直线的切点, 或者三条直线+其中两条直线的切点, 也能确定二阶线束. 例如已知四直线和一切点的时候, 将切点所在的切线 `l` 和另一直线 `l'` 作为生成直线. 剩下的两直线 `a, b` 分别确定了 `l, l'` 的两组对应点. 但切点 `C in l` 和 `C' = l nn l'` 也是一组对应点, 所以 `l, l'` 的射影对应是完全确定的.

由的证明过程看出:

调和切线
1. 如果圆锥曲线 `c` 的四条切线 `a_1, a_2, a_3, a_4` 截另一切线 `l` 为四调和点, 则它们截 `c` 的任一切线 `l'` 也为四调和点. 称这四切线是 `c` 的四调和切线.
2. 反之给定平面上的四直线, 若动直线 `m` 与四直线的交点恒为四调和点, 则 `m` 的全体是二阶线束.
3. 二阶线束中的任意两条直线都可以作为生成元.

Brianchon 定理 平面六边形的三组对顶点的连线交于一点, 当且仅当它是某条圆锥曲线的外切六边形. 设平面上有 `1, 2, 3, 4, 5, 6` 六直线, 其中任意三直线不交于一点. 又设三直线 `l = (12, 45)`, `m = (23, 56)`, `n = (34, 61)`, 则 `1, 2, 3, 4, 5, 6` 是某圆锥曲线的六条切线 `iff l, m, n` 三直线交于一点.

Brianchon 定理的退化情形
1. 外切五边形 给定一条切线, 可以作出该切线的切点. 记这条切线为 `1 = 2`, 另取四条切线 `3, 4, 5, 6`, 记 `m = (23, 56)`, `n = (34, 61)`, `l = (m n, 45)`, 则 `l` 与原切线 `1 = 2` 的交点即为所求的切点.
2. 外切四边形 圆锥曲线外切四边形的两条对角线、两组相对切点连线, 四线交于一点.
3. 外切三角形 圆锥曲线外切三角形的三个切点与对顶点的连线三线共点.
4. 退化切线族 设 `a, b, c` 三线共点 (记为 `S`), `a', b', c'` 三线共点 (记为 `S'`), 则线束 `S, S'` 形成退化的切线族. 我们有: `(a b', a' b)`, `(b c', b' c)`, `(c a', c' a)` 三直线共点.

极点与极线

极点与极线 过平面上一点 `O` 作两直线 `KM, LN` 交圆锥曲线 `c` 于 `KLMN` 四点. 考查完全四边形 `KLMN`, 设对边 `KL nn MN = A`, `LM nn NK = C`. 则直线 `l = AC` 由点 `O` 和圆锥曲线 `c` 完全决定, 和直线 `LM, LN` 的取法无关. 我们称 `l` 是 `O` 关于圆锥曲线 `c` 的极线 (polar), `O` 是 `l` 关于 `c` 的极点 (pole).

1. 在 `K, M` 作 `c` 的两条切线, 交于点 `P`; 在 `L, N` 作 `c` 的两条切线, 交于点 `Q`. 由 Pascal 定理的退化情形 (内接四边形) 知道, `A, C, P, Q` 四点共线.
2. 记 `KM nn l = B`, `LN nn l = D`. 以 `N` 为透视中心, 建立直线 `KM` 与 `l` 的透视对应, 则 `A, C, B, D` 分别对应 `M, K, B, O` 于是 `BO` 调和分割 `MK`, 点 `B` 的位置只与 `KM` 有关, 而与 `LN` 无关. 但 `P` 点也只与 `KM` 有关, 而与 `LN` 无关. 从而得到: `l = BP` 的位置与 `LN` 无关. 类似可证 `l` 的位置与 `KM` 也无关, 于是 `l` 仅取决于 `O` 点和曲线 `c`.

极线的其它作法
1. 过 `O` 作弦 `KM, LN`, 分别作弦端点 `K, M` 处的切线交点 `P` 和 `L, N` 处的切线交点 `Q`, 然后连接 `PQ`.
2. 如果点 `O` 在圆锥曲线外, 可以过点 `O` 作两条切线, 然后连接切点. 这其实是 1. 的退化情形, 弦端点 `K, M` 以及两切线的交点 `P` 都重合到一点.

极点、极线的调和性质
1. 极点与极线将圆锥曲线调和分割: 过极点 `O` 作任意直线 `KM` 与 `c` 交于 `K, M`, 与极线交于 `B`, 则 `BO` 调和分割 `MK`.
2. 根据调和共轭的对称性, 若 `B` 在 `O` 的极线上, 则 `O` 也在 `B` 的极线上. 我们称 `B, O` 是圆锥曲线 `c` 的一对共轭点, 它们的极线是一对共轭直线.

自配极三角形 参考极点与极线的插图, 三角形 `AOC` 的每个顶点都以对边为极线, 称它为自配极三角形.

`AC` 已经是 `O` 的极线, 需要证明另外两对极点极线. 例如要证 `CO` 是 `A` 的极线, 以 `C` 为透视中心, 将四调和点 `B, O, M, K` 映为 `A, S, M, N`, 于是 `S` 在 `A` 的极线上. 同理四调和点 `B, O, M, K` 还可以映为 `A, T, L, K`, 于是 `T` 也在 `A` 的极线上, `CO = ST` 就是 `A` 的极线.

当极点 `A` 沿直线 `l` 移动时, 极线 `OC` 绕固定点 `O` 旋转, 且线束 `O` 与直线 `l` 射影对应.

事实上固定 `L, N`, 则 `A harr AL harr K` `harr NK harr C harr OC` 给出直线 `l` 与线束 `O` 的射影对应. ??

圆锥曲线的度量性质

设二次曲线 `c` 外有一定点 `P`. 过 `P` 作直线 `l` 与 `c` 交于 `M, N` 两点. 在直线 `l` 上存在唯一的点 `Q` 使 `PQ, MN` 调和共轭,
1. 称 `P, Q` 关于曲线 `c` 调和共轭, 注意到 `P, Q` 地位是对称的.
2. 令 `l` 绕 `P` 转动, `Q` 点的轨迹为一直线, 称为极线; `P` 点则称为极点. 极点与极线是一一对应的.
当 `P` 在曲线 `c` 上时, 规定它的极线为 `P` 处的切线.

[百度百科] 用齐次坐标证明 `Q` 的轨迹为直线. 设 `P = (p_1, p_2, p_3)^(sf T)`, `Q = (q_1, q_2, q_3)^(sf T)`, 则 `l_(P Q)` 上任意一点坐标为 `Q + k P` (`k = oo` 时, `Q + k P = P`). 将 `Q + k P` 代入 `c` 的方程 `x^(sf T) A x = 0` (`x in RR^3`, `A` 是三阶实对称矩阵) 得 `(Q + k P)^(sf T) A (Q + k P) = 0`,
`k^2 P^(sf T) A P + 2 k (P^(sf T) A Q) + Q^(sf T) A Q = 0`. 设 `M = Q + m P`, `N = Q + n P`. 则 `m, n` 是上面关于 `k` 的二次方程的两根. 由于 `PQ, MN` 调和共轭, 有 `-1 = (PQ, MN) = (PM//MQ)/(PN//NQ)` `= ((m-oo)//(0-m))/((n-oo)//(0-n))` `= n / m`. 于是 `m + n = 0`, 由韦达定理有 `P^(sf T) A Q = 0`, 即 `Q` 的轨迹是直线.

椭圆外一点的极线恰好是过该点的两切线确定的切点弦. 用解析的语言, 椭圆 `x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1` 外一点 `P(x_0, y_0)` 的极线方程是椭圆方程的半代入: `(x_0 x)/a^2 + (y_0 y)/b^2 = 1`.

直径与中心
1. 按与无穷远直线有 0、1、2 个交点, 圆锥曲线被分类为椭圆、抛物线、双曲线. 其中抛物线与无穷远直线相切.
2. 无穷远直线的极点称为圆锥曲线的中心. 圆锥曲线都有且仅有一个中心: 抛物线因与无穷远直线相切, 其切点就是它的中心, 这是一个无穷远点; 椭圆与双曲线的中心则是有限远点. 我们也称椭圆、双曲线为有心曲线.
3. 无穷远点的极线称为圆锥曲线的直径. 由于无穷远点在无穷远直线上, 即在中心的极线上, 根据极点和极线的性质, 中心都在无穷远点的极线上, 即所有直径都过中心. 反之通过中心的直线都是直径, 因为它的极点在中心的极线上, 是一个无穷远点. 特别, 抛物线的所有直径都过一个无穷远点, 故它的所有直径都平行 (包括那条无穷远直线).

共轭直径 称两条直径相互共轭, 如果其中一条通过另一条的极点 (一个无穷远点).
1. 圆锥曲线的弦与直径平行, 当且仅当它被共轭直径平分.
2. 直径两端的切线与共轭直径平行.

1. 直径 `p` 和平行于 `p` 的弦都过共轭直径 `q` 的极点 `Q`. 这条弦被 `q` 和无穷远点 `Q` 调和分割, 因此 `q` 经过弦的中点. 反之也对, 若弦被 `q` 平分, 则必与 `p` 平行.
2. 切线视为长度为零的弦, 它确实被直径 `p` 平分, 因此与共轭直径 `q` 平行.

对合

射影性质

在四调和点一节, 我们曾经研究完全四边形与直线有四个交点的特殊情形. 本节我们要研究六个交点的一般情形.

对合 设平面上完全四边形 `KLMN` 的三组对边 `KL, MN, KN, LM, LN, KM` 与一直线 `l` 分别交于 `A, A', B, B', C, C'` 六点 如果固定 `A, A', B, B'` 四点, 则 `C'` 的位置完全由 `C` 点决定, 而与完全四边形的形状无关. 从图形容易看出 `C, C'` 的地位是对称的, 称它们是由 `A, A', B, B'` 定义的一对对合点.

假设另有一个完全四边形 `K'L'M'N'` (未画出) 的对应边也经过 `A, A', B, B', C` 五点, 下证 `K'M'` 经过 `C'`. 对三角形 `KLN` 和 `K'L'N` 应用 Desargues 定理, 它们的三边交点 `A, B, C` 共线, 所以对应点连线 `K K', L L', N N'` 共点. 再对三角形 `LMN` 和 `L'M'N'` 作同样讨论, 得到 `L L', M M', N N'` 共点. 因此, `K K', L L', M M'` 三线共点. 对三角形 `KLM` 与 `K'L'M'` 应用 Desargues 逆定理, 得到它们三边的交点 `A, B', KM nn K'M'` 共线. 因此 `K'M'` 也经过 `C'`.

对合的名字来源于映射. 我们称映射 `f` 是对合的, 如果 `f @ f = "id"`.

直线到自身的对合 已知直线 `l` 上 `A, A', B, B', C` 五点, 可以这样得到第六点 `C'`: 从前四点中任取三点, 例如取 `A, B, B'`, 分别过它们作三直线 `a, b, b'`, 得到两交点 `L = a nn b'`, `M = a' nn b'`. 固定 `A, A', B, B'` 四点和 `L, M` 两点, 让 `C` 点沿直线 `l` 运动. 作 `N = CL nn A'M`, `K = BN nn AL`, `C' = KM nn l`. 于是我们建立了直线 `l` 到自身的如下射影对应: `C harr LC harr N harr BN harr K harr MK harr C'`. 这个对应 `f` 满足 `f @ f = "id"`, 称为 (由 `A, A', B, B' 决定的) 直线到自身的对合. 除了 `C harr C'` 外, 容易看出还有 `A harr A'`, `B harr B'`. 这很自然: 因为完全四边形的三组对边地位对称.

如果直线到自身的对合映射有两个不动点, 则它们调和分割任一对对合点.

图形同上, 将固定两点 `L, M` 视为线束中心, 记 `LC nn MC' = P`, 则 `P` 的轨迹是圆锥曲线. 并且当 `C, C'` 重合时, `P` 点也与它们重合. 这说明圆锥曲线与 `l` 的交点 `S, S'` (未标出) 就是对合的不动点.
另一方面, 考虑线束中心连线 `LM`, 它对应着 `L, M` 两点处的切线, 于是 `LB'` 的对应直线 `MB` 是 `M` 处的切线, `MB'` 的对应直线 `LB` 是 `L` 处的切线. 这推出 `LM` 是 `B` 的极线. 根据极点极线将圆锥曲线调和分割, 我们有: `B, B' 调和分割 `S, S'`. 类似可证 `S, S'` 调和分割任一对对合点.

(Desargues) 通过平面上四点的圆锥曲线族, 与平面上任一直线相交形成对合点列.

度量性质