基本概念

平面上到定直线和到定点距离相等的动点轨迹称为抛物线 (parabola). 这条定直线称为准线 (directrix), 这个定点称为焦点 (focal point).

下文中如果没有用 "在空间中" 等字样加以说明, 我们的问题总是限于一个平面内的.

    已知焦点 `S` 与准线 `l`.
  1. 给定准线的任一垂线, 作出抛物线与它的交点;
  2. 给定准线的任一平行线, 作出抛物线与它的交点.
  1. () 若直线 `PM` 垂直准线于 `M`, 作 `SM` 的垂直平分线, 与 `PM` 交于 `P`. 由于 `SM` 的垂直平分线是平面上满足 `PM = PS` 的点的轨迹, `P` 是它与 `PM` 的唯一交点, 所以 `P` 是抛物线与 `PM` 的唯一交点.
  2. () 若直线 `PP'` 与准线平行, 平行线间的距离为 `d`, 取 `S` 到准线距离的中点 `A`, 由定义, `A` 在抛物线上. 若 `A` 落在两平行线之间, 则以 `S` 为心, `d` 为半径作圆, 与 `PP'` 相交于 `P` 和 `P'`. 由于圆 `S` 是平面上满足 `PS = d` 的点 `P` 的轨迹, 所以抛物线与 `PP` 的交点只有 `P,P'`.
    若 `A` 在两平行线同侧, 则直线 `PP'` 到 `S` 的距离大于 `d`, 圆 `S` 与直线 `PP'` 无交点. 这表示抛物线完全落在 `A` 远离准线的一侧.

曲线上两点的连线称为弦 (chord). 称一条曲线关于一直线对称, 如果对曲线上的任一点, 存在这曲线上的一点, 使这两点位于直线异侧, 且连结它们的弦被这直线垂直平分. 这条直线称为曲线的对称轴或轴, 曲线与轴的交点叫做顶点.

过焦点且垂直于准线的直线是抛物线的对称轴. 焦点到准线距离的中点是抛物线的顶点.

() 作直线 `SX` 垂直准线于 `X`. `XS` 垂直于圆 `S` 的弦 `PP'`, 故 `PP'` 被直线 `XS` 垂直平分, 即 `P` 与 `P'` 关于直线 `XS` 对称. 再由的2, `A` 是抛物线的顶点.

抛物线上, 一点到焦点的连线叫做焦半径, 通过焦点的弦叫做焦点弦.

抛物线上一点到轴的垂线段叫做这个点的纵标线, 这一点与它的对称点的连线叫双纵标线; 特别, 通过焦点的双纵标线称为正焦弦. 轴在顶点和纵标线之间的部分叫做横标线.

若 `S` 是抛物线的焦点, `A` 是抛物线的顶点, 纵标线 `PN` 与抛物线交于 `N`, 则 `PN^2 = 4 AS * AN`; 特别 `N = S` 时, 得到正焦弦的一半 `PN = 2 AS`.

设抛物线的轴与准线的交点为 `X`. 连接 `PS`, 则 `PS = NX = AX + AN = AS + AN`, 且不论 `N` 在线段 `AS` 上, 还是在 `AS` 延长线上, 都有 `NS^2 = (AS - AN)^2`. 所以 ` PN^2 = PS^2 - NS^2 = (AS + AN)^2 - (AS - AN)^2` `= 4 AS * AN`.

抛物线的切线

切线基本性质和作法

设 `PP'` 是曲线上的弦. 若存在过 `P` 的直线 `l`, 使得 `P'` 沿曲线趋于 `P` 时, 直线 `PP'` 与 `l` 的夹角趋于 0, 则称 `l` 为曲线在 `P` 点处的切线.

曲线上一点的切线若存在, 则必唯一.

() 若 `S` 是抛物线的焦点, `PP'` 是焦点弦, `Q` 是抛物线上异于 `P, P'` 的一点, 弦 `PQ` 延长后交准线于 `K`. 则 `SK` 平分 `triangle PQS` 的外角 `angle P'SQ`.

分别作 `P, Q` 到准线的垂线, 垂足为 `M, N`. 由三角形相似与抛物线定义得 `(KQ)/(KP) = (QN)/(PM) = (SQ)/(SP)`. 过 `P` 作直线 `SK` 的平行线, 与直线 `SQ` 交于 `R`, 则 `triangle PQR ~ triangle KQS`, 有 `(KQ)/(KP) = (SQ)/(SR)`. 所以 `SP = SR`. 从而 ` angle P'SK = angle SPR = angle SRP = angle QSK`.

    () 设 `S` 是抛物线的焦点; `P` 是抛物线上异于顶点的一点, `PM` 垂直准线于 `M`; `K` 是准线上异于 `M` 的一点, 则下面各款等价:
  1. `PK` 是抛物线的切线;
  2. `angle PSK` 是直角;
  3. `triangle SPK S= triangle MPK`;
  4. `PK` 平分 `angle SPM`.
    5. 由这条定理知道, `P` 点的法线 (切线的垂线) 平分 `angle SPM` 的补角, 这条性质的一个应用是, 从抛物线的焦点出发的光线, 经过抛物线的反射, 变成平行于轴的光线; 反之, 平行于轴的光线经抛物线反射汇聚于焦点.

在中令 `Q` 沿曲线趋于 `P`, 则 `angle PSQ` 趋于 0, `angle P'SQ` 趋于平角, `angle PSK` 就趋于直角. 由此 1, 2 等价.
由三角形全等的定理 (斜边, 直角边) 与 (两边一夹角) 容易证明余下的部分.

(由的 4) 抛物线顶点处的切线与准线平行.

() 抛物线的切线与抛物线有唯一的公共点. 否则可推出矛盾 `angle SPK lt angle SQK = angle NQK = angle MPK`.

称一点在抛物线内侧, 如果它到准线的距离大于到焦点的距离; 称一点在抛物线外侧, 如果它到准线的距离小于到焦点的距离.

() 设 `S` 是抛物线的焦点; `P` 是抛物线上的一点, `M` 是 `P` 在准线上的垂足; `O` 是抛物线外侧一点. 则 `OP` 是抛物线的切线当且仅当 `triangle OMP S= triangle OSP`, 从而当且仅当 `OM = OS`.

`rArr`: 由, `angle OPM = angle OPS`, 从而由两边一夹角, `triangle OMP S= triangle OSP`, 所以 `OM = OS`.
`lArr`: 利用三边相等, `triangle OMP S= triangle OSP`, 从而 `PO` 平分 `angle SPM`. 由, `PO` 是 `P` 点处的切线.
最后, 若 `O` 在抛物线内侧, 则 `OM` 大于等于 `O` 到准线的距离, 从而大于 `OS`, 所以 `OP` 不可能是切线.

    已知焦点 `S` 和准线 `l`, 作抛物线的切线.
  1. 要求切线过抛物线上一点 `P`;
  2. 要求切线平行于指定方向 (不与准线垂直);
  3. 要求切线过抛物线外一点 `O`.
  1. () 作 `SK` 垂直 `PS`, 交准线于 `K`. 由, `KP` 是 `P` 点的切线.
  2. () 作 `SM` 垂直于指定方向, 交准线于 `M`, 作 `MP` 垂直于准线, 交 `SM` 的垂直平分线 `OP` 于 `P`. 易证 `angle OPM = angle OPS`, 由, `OP` 是 `P` 点的切线.
  3. () 以 `O` 为心, `OS` 为半径作圆, 由于 `O` 在抛物线外侧, 此圆将交准线于 `M, N` 两点. 过 `M, N` 作准线的垂线, 分别与抛物线交于 `P, Q` (). 由, `OP`, `OQ` 是抛物线的切线.

Adams 性质 设 `S` 是抛物线的焦点, `P` 是抛物线上一点, `O` 在过 `P` 点的切线上. 作 `OI` 垂直准线于 `I`, `OU` 垂直焦半径 `SP` 于 `U`, 则 `OI = SU`.

作 `PM` 垂直准线于 `M`; 设 `PO` 交准线于 `K`, 连接 `SK`. 由, `OU` 平行于 `KS`. 由相似关系易得 `(OI)/(PM) = (OK)/(PK) = (SU)/(SP)`. 但 `PM = SP`, 于是 `OI = SU`.

抛物线焦点弦两端的切线相互垂直, 且交点在准线上.

设 `S` 是抛物线的焦点, `PQ` 是焦点弦; 直线 `PK` 切抛物线于点 `P`, 交准线于 `K`.
由, `PQ _|_ SK`. 再由, `QK` 是抛物线的切线. 这说明两切线的交点在准线上. 下证它们相互垂直. 分别作 `PM, QN` 垂直准线于 `M,N`, 由, `triangle SPK S= triangle MPK`, 于是 `angle PKS = 1/2 angle MKS`. 同理 `angle QKS = 1/2 angle NKS`, 相加得 `angle PKQ = 1/2 angle MKN = pi/2`.

切线与法线

设过曲线上一点的切线存在, 过这一点, 且与切线垂直的直线称为曲线在该点的法线. 法线如果存在, 也必定唯一.

抛物线上一点的切线与纵标线在轴上所截的线段称为抛物线的次切线, 抛物线上一点的法线与纵标线在轴上所截的线段称为抛物线的次法线.

    () 设 `S` 是抛物线的焦点, `P` 是抛物线上异于顶点的一点. `P` 点的切线与轴交于 `T`, 法线与轴交于 `G`, 则
  1. 切线 `PT` 与轴的夹角等于与焦半径 `SP` 的夹角;
  2. `ST = SP = SG`.

作 `PM` 垂直准线于 `M`, 则由, `angle STP = angle MPT = angle SPT`. 所以 `ST = SP`; 再由 `PT _|_ PG` 容易证明 `angle SPG = angle SGP`, 所以 `SP = SG`.

    ()
  1. 抛物线的次切线被顶点平分, 换言之, 次切线是横标线的两倍;
  2. 抛物线的次法线等于焦点到准线的距离.
    设 `S` 是抛物线的焦点, `A` 是抛物线的顶点; `PT` 切抛物线于 `P`, 交轴于 `T`.
  1. 由, `ST = SP = XN`. 而 `AS = AX`, 两边相减得 `AT = AN`.
  2. 由, `SG = SP = XN`. 两边同减 `SN` 得 `NG = XS`.

设 `S` 是抛物线的焦点, `P, Q` 是抛物线上两点, 过 `P, Q` 的切线交于点 `O`. 则 `triangle SPO ~ triangle SOQ`. 换言之, `SO^2 = SP * SQ`.

  1. () 先对顶点 `A` 和任意一点 `P` 证明定理成立. 设 `P` 处的切线与轴交于 `T`, 与顶点 `A` 处的切线交于 `Y`. 作 `P` 的纵标线 `PN`, 由, `A` 平分 `TN`. 而 `YA` 平行于 `PN`, 故 `Y` 平分 `PT`. 由, `STP` 是等腰三角形, 故 `SY` 垂直 `PT`, `SY` 平分 `angle TSP`. 易知 `triangle SAY ~ triangle SYP`.
  2. () 现在证明一般情形. 设顶点 `A` 处的切线与 `OP`, `OQ` 分别交于 `Y, Z`. 由 1 的证明知 `SY _|_ OP`, `SZ _|_ OQ`, 所以 `O, S, Y, Z` 四点共圆. 利用同弧上的圆周角相等和 1 的证明, 有 ` angle SOQ = angle SYZ = angle SPO`. 同理 `angle SOP = angle SQO`, 所以 `triangle SPO ~ triangle SOQ`.

抛物线的直径

    设抛物线的弦 `PQ` 两端的切线交于点 `O`, 过 `O` 作准线的垂线, 交抛物线于 `A`, 交 `PQ` 于 `V`. 则
  1. `V` 平分 `PQ`;
  2. `A` 点的切线是 `triangle OPQ` 的中位线, 故 `A` 点平分 `OV`;
  3. 直线 `OV` 平分任意一条平行于 `PQ` 的弦.
  1. 分别作 `PM, QN` 垂直准线于 `M,N`. 由, `S, M, N` 落在以 `O` 为心的一个圆上, 因此 `OV` 平分 `MN`. 因为 `OV` 与 `PM, PN` 都平行, 所以 `OV` 也平分 `PQ`.
  2. 过 `A` 作抛物线的切线 `YZ`, 分别交 `OP`, `OQ` 于 `Y,Z`; 过 `Y` 作 `YW` 平行于 `OV`. 由 1 知 `W` 平分 `AP`, 所以 `Y` 平分 `OP`. 同理 `Z` 平分 `OQ`, 所以 `YZ` 是 `triangle OPQ` 的中位线.
  3. 设这条弦是 `P'Q'`. `OV` 交 `P'Q'` 于 `V'`, 与过 `P'` 的切线交于 `O'`. 由 1, 直线 `YZ` 经过 `O'P'` 的中点, 且与 `P'Q'` 平行, 因此 `A` 平分 `O'V'`; 又设 `Q'` 处的切线与 `OV` 交于 `O''`, 同理有 `A` 平分 `O''V'`. 因此 `O'` 与 `O''` 重合. 现在由 1 知 `V'` 平分 `P'Q'`.

() 已知焦点和准线, 求抛物线与给定直线的公共点.

若给定直线 `m` 与准线平行或垂直, 则按 的作法即可. 否则, 作平行于 `m` 的切线 (), 设切点为 `A`; 过 `A` 作 `AV` 垂直于准线, 交 `m` 于 `V`; 在直线 `AV` 上取 `O` 使得 `A` 是 `OV` 的中点. 过 `O` 作抛物线的两条切线 (), 切点就是 `m` 与抛物线的公共点.
事实上, 设切点是 `P,Q`, 由, `A` 点的切线是 `triangle OPQ` 的中位线, 所以 `PQ` 平行于 `m`, 又 `A` 是 `OV` 中点, 所以 `PQ` 与 `m` 重合.

过抛物线上 (内) 的一点, 作弦平行于给定直线 (不与准线垂直).

先过给定点作给定直线的平行线, 再确定该直线与抛物线的公共点.

曲线的一组平行弦的中点轨迹叫做直径, 这组平行弦的方向称为该直径的共轭方向.

() 抛物线的直径是一射线, 它与轴平行, 端点 `A` 在抛物线上, 且过 `A` 的切线平行于共轭方向.

    任取一个共轭方向, 设 `PQ` 是平行于该方向的任意一条弦, 按作出 `O, A, V` 三点, 则 `A` 点的切线平行于共轭方向. 下证射线 `AV` 是抛物线的直径. 证明分两步.
  1. 先证任意平行于 `PQ` 的弦的中点在射线 `AV` 上. 设这条弦是 `BC`, `AV` 与 `BC` 交于 `D`. 由的 3, `D` 平分 `BC`.
  2. 再证射线 `AV` 上的每一点都是某条平行于 `PQ` 的弦的中点. 设 `D` 是射线 `AV` 上任一点, 过 `D` 作平行于 `PQ` 的弦 `BC`. 同样有 `D` 平分 `BC`.

由于抛物线平行于给定方向的切线是唯一的, 所以直径唯一决定了共轭方向. 从而直径与共轭方向是相互决定的.

    设 `S` 是抛物线的焦点, `PV` 是直径 `AV` 的纵标线, `P` 处的切线交直线 `AV` 于 `O`, 交 `A` 处的切线于 `Y`, 则
  1. `triangle SAY ~ triangle YAO`;
  2. `PV^2 = 4 AS * AV`.
  1. 由, `triangle SAY ~ triangle SYP`, 于是由 ` angle SYA = angle SPY = angle YOA`. 另一方面, 由, ` angle YAO = angle SAY`, 所以 `triangle YAO ~ triangle SAY`.
  2. 由 1, ` YA^2 = AS * AO = AS * AV`, 两边同乘以 4 即得结论.