[来自 GTM 222、Naive Lie Theory]

粗略地说, 李群是指 "连续的" 群, 即由若干实数参数描述的群. 比如线性变换构成的群 (线性群) 就是一类重要的李群.

矩阵李群 (matrix lie group) 是指一些 `n` 阶可逆实矩阵组成的群 `G`, 且对可逆矩阵的极限运算封闭: 即, 对任意一列矩阵 `{A_n} sube G`, 若极限 `A = lim_(n to oo) A_n` 存在且可逆, 那么 `A in G`.

1. 关于这里的矩阵极限, 只须把矩阵看作 `RR^(n^2)` 中的向量即可.
2. 由于复数和四元数可以用实矩阵表示 (见下), 所以矩阵李群的元素也可以是 `CC` 上或 `bbb H` 上的矩阵.

熟悉拓扑空间的读者, 也可以直接使用下面的正式定义:

用 `GL_n(CC)` 表示全体 `n` 阶可逆复矩阵, 则矩阵李群是指 `GL_n(CC)` 的闭子群.

这里的闭是相对于 `GL_n(CC)` 的, 而不是相对于 `CC^(n xx n)` 的. 这样选取的原因是 `GL_n(CC)` 作为 `CC^(n xx n)` 的子空间不是闭的, 比如矩阵序列 `bb 1 // n` 就以 `bb 0` 为极限, 后者不是可逆矩阵.

`RR^(n xx n)`, `CC^(n xx n)` 和 `bbb H^(n xx n)` 上的拓扑
1. 度量: 把 `n` 阶实 (复, 四元数) 矩阵分别看作 `RR^(n^2)`, `RR^(2n^2)` 和 `RR^(4n^2)` 中的向量, 使用欧氏距离 `d(A, B) = |A - B|` 作为该空间的度量.
2. 开集: 是指若干开球 `N_delta(A) = {B: |A-B| lt delta}` 的并集. 换言之, `O` 是开集当且仅当对任意 `X in O` 存在 `delta_X` 使得 `N_(delta_X)(X) sube O`.
3. 闭集: `F` 是闭集当且仅当其补集 `F^c` 是开集.
4. `GL_n(CC)` 上的拓扑: 即子空间拓扑 `{O nn GL_n(CC): O 是 CC^(n xx n) 的开集}`.
5. 由于四元数可以用 `2 xx 2` 的复矩阵表示 (见下), 所以把矩阵李群定义为 `GL_n(CC)` 的闭子群已经足够.

复数与四元数

复数与四元数的矩阵表示
1. 复数可以用实矩阵写为 `zeta = x bb 1 + y bm I`, 其中 `bb 1 = [1, ; , 1]`, `quad bm I = [, -1; 1, ]`. 可以验证这是一个同构; 特别地,
   1. `bm I^2 = -bb 1`;
   2. `det zeta = x^2 + y^2 = |zeta|^2`, 因此 `|zeta_1 zeta_2| = |zeta_1| |zeta_2|`;
   3. `zeta^-1 = (x bb 1 - y bm I) // det zeta = bar zeta // |zeta|^2`, 换言之 `zeta bar zeta = |zeta|^2`;
   4. `bar(zeta_1 zeta_2) = bar zeta_1 bar zeta_2`.
2. 四元数可以用复矩阵写为 `q = w bb 1 + x bm I + y bm J + z bm K`, 其中 `bm J = [, "i"; "i", ]`, `quad bm K = [-"i", ; , "i"]`. 可以验证,
   1. `bm I^2 = bm J^2 = bm K^2 = bm (I J K) = -bb 1`;
   2. `det q = w^2+x^2+y^2+z^2 = |q|^2`, 因此 `|q_1 q_2| = |q_1| |q_2|`;
   3. `q^-1 = (w bb 1 - x bm I - y bm J - z bm K) // det q = bar q // |q|^2`, 换言之 `q bar q = |q|^2`;
   4. 四元数的共轭 `bar q` 相当于在矩阵 `q` 的转置 `q^T` 中取复共轭, 因此由 `(q_1 q_2)^T = q_2^T q_1^T` 知道 `bar(q_1 q_2) = bar q_2 bar q_1`, 注意取共轭后 `q_1 q_2` 发生了交换.

纯虚四元数的乘法 若 `u = u_1 "i" + u_2 "j" + u_3 "k"`, `v = v_1 "i" + v_2 "j" + v_3 "k"`, 则 `u v` `= -(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) "i" + (u_3 v_1 - u_1 v_3) "j" + (u_1 v_2 - u_2 v_1) "k"` `= - u * v + u xx v`.

单位复数/四元数与旋转变换
1. 满足 `|zeta| = 1` 的单位复数构成了单位圆 `S^1`, 这是一个矩阵李群, 它描述了平面上的旋转变换. 事实上, 设 `u` 是一个单位复数, 对任意复数 `v, w` 有 `|u v - u w|` `= |u(v - w)|` `= |u| |v - w|` `= |v - w|`. 这指出 `v, w` 的距离在 `u` 的变换下保持不变, 因此 `u` 是一个保距变换 (isometry). 又 `u 0 = 0`, 因此 `u` 保持原点不变. 最后, `u = cos theta + "i" sin theta` 的行列式等于 `cos^2 theta + sin^2 theta = 1 gt 0`, 即 `u` 的定向为正. 至此我们说 `u` 是一个旋转变换. 一般地, 一个线性变换如果满足保距、保持原点不动、定向为正, 我们就称它是一个旋转变换 (rotation). 平面上的所有绕原点的旋转变换构成一个群, 记为 `SO(2)`.
2. 满足 `|q| = 1` 的单位四元数构成了单位球面 `S^3`, 这也是一个矩阵李群, 它描述了三维空间的旋转变换. 虽然, 这个旋转变换不是通过直接乘 `q`, 而是通过映射 `f(v) = q v q^-1` 实现的. 为此, 首先注意到四元数空间的直和分解 `bbb H = RR + RR"i" + RR"j" + RR"k"`, 它把单位四元数 `q in bbb H` 分解为实部与虚部之和: `q = cos theta + u sin theta`, `quad u in RR"i" + RR"j" + RR"k", |u| = 1`. 我们把目光放在 `bbb H` 的三维子空间 `RR"i" + RR"j" + RR"k"` 上面. 当 `v in RR` 时, 显然 `f(v) = q v q^-1 = v q q^-1 = v`, 这说明 `RR` 是 `f` 的不变子空间; 但 `f` 显然可逆, 因此 `RR"i" + RR"j" + RR"k"` 作为 `RR` 的正交补也是 `f` 的不变子空间: 总之, `f(v) = q v q^-1` 给出了 `RR "i" + RR"j" + RR"k"` 上的变换, 下面说明这个变换恰好是绕单位向量 `u` 转动 `2 theta` 角的旋转.

证明变换 `f(v) = q v q^-1` 是绕 `u` 转动 `2 theta` 角的旋转, 我们分为三步:
1. `u^2 = -1`. 这是因为 `u` 是一个纯虚四元数, 因而 `bar u = -u`; 所以 `-u^2 = u bar u = |u|^2 = 1`.
2. 轴 `RR u` 在变换 `f` 下不变. 事实上, 利用 `u^2 = -1` 有 `f(u) = q u q^-1` `= (cos theta + u sin theta) u (cos theta - u sin theta)` `= u cos^2 theta - u^3 sin^2 theta` `= u`.
3. 由 `f` 是一个保距变换知道, 将 `f` 限制在 `RR"i" + RR"j" + RR"k"` 中与轴 `RR u` 垂直的平面 `S_u` 上, 依然是一个保距变换. 于是, 只需证 `f` 在 `S_u` 上是一个旋转 `2 theta` 角的变换即可. 任取 `v in RR"i" + RR"j" + RR"k"`, 满足 `u * v = 0`, 因此 `u v = u xx v`, `quad v u = v xx u = - u v`, `quad u v u = - u u v = v`. 进而 `f(v)` `= (cos theta + u sin theta) v (cos theta - u sin theta)`
   `= v cos^2 theta + (u v - v u) cos theta sin theta - u v u sin^2 theta`
   `= v cos 2 theta + u xx v sin 2theta`. `v` 和 `u xx v` 是平面 `S_u` 的一组正交基, 上式表明 `f(v)` 正好是平面 `S_u` 中绕原点转动 `2 theta` 的变换.

两个三维旋转的合成仍是一个三维旋转, 这是因为 `q_2 (q_1 v q_1^-1) q_2^-1` `= (q_2 q_1) v (q_2 q_1)^-1`. 因此 `RR^3` 中绕原点的全体旋转构成一个群, 记为 `SO(3)`.

典型群——旋转群的推广

典型群的名字出自 Weyl《The Classical Groups. Their Invariants and Representations》.

常见的典型群
1. 一般线性群: 由全体可逆的 `n` 阶矩阵构成: `GL_n(RR) = { A in RR^(n xx n) | det A != 0 }`;
2. 特殊线性群: 由全体行列式为 1 的 `n` 阶矩阵构成: `SL_n(RR) = { A in RR^(n xx n) | det A = 1 }`;
3. 正交群 (orthogonal group): 由全体 `n` 阶正交矩阵构成: `O(n) = { A in RR^(n xx n) | A A^T = I }`; 正交群中的变换保持内积 `x * y = sum x_i y_i` 不变.
4. 特殊正交群: 由全体行列式为 1 的 `n` 阶正交矩阵构成: `SO(n) = { A in O(n) | det A = 1 }`;
5. 酉群 (unitary group): 由全体 `n` 阶酉矩阵构成: `U(n) = { A in CC^(n xx n) | A A^H = I }`, `A^H := bar A^T` 表示 `A` 的共轭转置; 酉群中的变换保持内积 `x * y = sum x_i bar y_i` 不变.
6. 特殊酉群: 由全体行列式为 1 的 `n` 阶酉矩阵构成: `SU(n) = { A in U(n) | det A = 1 }`;
7. 辛群 (symplectic group): 由 `bbb H^(n xx n)` 中全体 `n` 阶辛矩阵构成: `Sp(n) = { A in bbb H^(n xx n) | A A^H = I }`, 这里的共轭转置 `A^H` 是四元数意义上的; 辛群中的变换保持内积 `x * y = sum x_i bar y_i` 不变, 这里的 `bar y_i` 也是四元数意义的. 需要注意的是, 由于四元数乘法不可交换, `bbb H^n` 并不是 `bbb H` 上的线性空间.

我们知道 `SO(n)` 表示 `n` 维空间中的旋转. 而 `O(n)`, `U(n)`, `SU(n)`, `Sp(n)` 均为旋转群的推广, 因为它们各自保持某种内积不变.

全体单位四元数构成的群 `Sp(1)`, 其成员可以写为 `q = [ a - "i"d, -b + "i"c; b + "i"c, a + "i"d ]` `= [alpha, -beta; bar beta, bar alpha]`, `quad alpha, beta in CC`, `|alpha|^2 + |beta|^2 = 1`. 这恰好就是 `SU(2)`. 因此 `Sp(1) ~= SU(2)`.

由四元数的复数表示 `q = [ a - "i"d, -b + "i"c; b + "i"c, a + "i"d ]` `= [alpha, -beta; bar beta, bar alpha]`, `quad alpha, beta in CC`, 知道, `bar q` 的复数表示 `bar q` `= [ a + "i"d, b - "i"c; -b - "i"c, a - "i"d ]` `= [bar alpha, beta; -bar beta, alpha]`, 就是 `q` 的复数表示的 (复) 共轭转置. 于是一个以四元数的矩阵 `A in bbb H^(n xx n)` 可以分块地写成其复数表示 `C(A) in CC^(2n xx 2n)`, 而且 `A A^H = bb 1 rArr C(A) C(A)^H = bb 1`, 即 `A in Sp(n) rArr C(A) in U(2n)`. 由此可以给出 `Sp(n)` 的另一定义: `U(2n)` 中形如 `C(A)` 的矩阵构成的子群. 这一定义的好处是避免了 `bbb H^n`, 它不是一个线性空间.

典型群的性质

最大环面与中心

李群 `G` 的最大环面 (maximal torus)是指能够嵌入到 `G` 中最大的 `T^n = overbrace(S^1 xx S^1 xx cdots xx S^1)^n`. 例如 `SO(2) = S^1` 的最大环面就是它自身.

证明 `T` 是群 `G` 的最大环面的常用技巧是, 假设存在另一个环面 `T'` 满足 `T sube T' sube G`, 任取 `A in T`, `B in T'`, 由于所有的环面都是 Abel 群, 我们有 `A B = B A`. 现在写出 `A` 的具体形式, 如果能够推出 `B` 也具有相同的形式, 即 `B in T`, 就说明 `T` 是 `G` 中的最大环面.

`SO(3)` 的最大环面是 `T^1`.

取定 `RR^3` 的标准正交基 `bm e_1, bm e_2, bm e_3`, 则全体绕 `bm e_3` 的旋转 `R_theta = [cos theta, - sin theta, ; sin theta, cos theta, ; , , 1]` 构成 `SO(3)` 中的一个环面 `T^1 = S^1`. 下证 `T^1` 是 `SO(3)` 的最大环面.
事实上, 若 `T` 是 `G` 中的环面, 且 `T^1 sube T`, 任取 `A in T`, 由于环面都是可交换的, 我们有 `A R_theta = R_theta A`, `quad R_theta in T^1`. 下证 `A in T^1`, 即证 `A` 是一个绕 `bm e_3` 的旋转. 这只需证 `A(bm e_1), A(bm e_2) in "span"{bm e_1, bm e_2}`. 因为满足上式的变换只有平面 `(bm e_1, bm e_2)` 上的旋转, 或者是一个保持该平面不动的反射变换. 我们可以排除反射, 因为它无法与 `T_1` 中的所有元素交换. 现在证明式 . 我们设 `A(bm e_1) = a_1 bm e_1 + a_2 bm e_2 + a_3 bm e_3`. `A` 与 `T^1` 中的任一旋转可交换, 特别地 `A R_pi(bm e_1) = R_pi A(bm e_1)`, 注意 `A R_pi(bm e_1) = A(-bm e_1) = -A(bm e_1)`, 所以 `- a_1 bm e_1 - a_2 bm e_2 - a_3 bm e_3` `= -a_1 bm e_1 - a_2 bm e_2 + a_3 bm e_3`. 可见 `a_3 = 0`, 即 `A(bm e_1) in "span"{bm e_1, bm e_2}`. 同理 `A(bm e_2) in "span"{bm e_1, bm e_2}`, 所以 `T_1` 是 `SO(3)` 的最大环面.

`Z(SO(3)) = {1}`.

任取 `A in Z(SO(3))`, 则 `A` 与 `SO(3)` 中的任意元素可交换, 特别地与最大环面 `T^1` 中的元素可交换. 从 `SO(3)` 的最大环面的证明看出, `A` 是一个绕 `bm e_3` 的旋转, 保持 `bm e_3` 不动. 由坐标轴的对称性, `A` 也保持 `bm e_1, bm e_2` 不动, 因此 `bm A = 1`.

在 `G = RR^(n xx n)`, `CC^(n xx n)`, `bbb H^(n xx n)` 中, 环面 `T^k` 的元素的一般形式分别为: `R(theta_1, cdots, theta_k) = "diag"([cos theta_1, -sin theta_1; sin theta_1, cos theta_1], cdots, [cos theta_k, -sin theta_k; sin theta_k, cos theta_k]) in RR^(2k xx 2k)`,
`Z(theta_1, cdots, theta_k) = "diag"("e"^("i"theta_1), cdots, "e"^("i"theta_k)) in CC^(k xx k)`,
`Q(theta_1, cdots, theta_k) = "diag"("e"^(bb i theta_1), cdots, "e"^(bb i theta_k)) in bbb H^(k xx k)` 矩阵阶数不足 `n` 的, 在右下角补 `1`, 比如 `RR^(3 xx 3)` 中, `T^1` 的元素形如 `R_theta = [cos theta, - sin theta, ; sin theta, cos theta, ; , , 1]`.

连通性

单群

附表

1. `SL_n(CC) normal GL_n(CC)`, `SO(n) normal O(n)`, `SU(n) normal U(n)`.
2. 李群与球面的关系: `S^1 = SO(2) = SU(1)`, `S^3 = SU(2) = Sp(1)`.
3. `Sp(1) ~= {+-bb 1} ⋊ SO(3)`.
4. `Sp(1) xx Sp(1) ~= {+-bb 1} ⋊ SO(4)`.
5. `SO(4)` 不是单群, 事实上, `(v, 1) in Sp(1) xx Sp(1)` 是它的一个非平凡正规子群, 它是同态 `(v, w) mapsto (1, w)` 的核.
6. 对于 `G = SO(2m) (m ge 3), SU(n), Sp(n)`, 我们有: `G//Z(G)` 是单群. 这些群 `G` 的中心都很小, 它们几乎是单的.

1. `O(n)` 不是道路连通的, 它分为 `"det" = +-1` 两个分量. `SO(n)` 就是 `"det" = 1` 的那个分量, 它是道路连通的.
2. 圆周 `S^1 = SO(2)` 不是单连通的, 但 `n ge 2` 时, `S^n` 是单连通的. 特别, `S^3 = Sp(1) = SU(2)` 是单连通的.
3. 将 `S^n` 的对径点 `+-q` 粘合起来得到的拓扑空间称为射影空间 `RR P^n`. 后者不是单连通的:考虑 `S^n` 中绕赤道半圈的路径, 它对应于 `RR P^n` 中的闭路径, 但无法收缩到一点.
4. 将 `S^3 = Sp(1)` 的对径点粘合起来就得到 `SO(3)`, 因此 `SO(3)` 拓扑同胚于 `RR P^3`. 从而 `SO(3)` 也不是单连通的 (plate trick).

1. `G normal H rArr fr g normal fr h`, 因此 `fr(sl)_n(CC) normal fr(gl)_n(CC)`, `fr(so)(n) normal fr(o)(n)`, `fr(su)(n) normal fr u(n)`; 事实上 `fr(so)(n) = fr o(n)`, 因为 `SO(n)` 是 `O(n)` 的包含 `bb 1` 的连通分量, 它们在 `bb 1` 处的切空间相同.
2. `fr(so)(3) = fr(su)(2) = fr(sp)(1)`. (叉乘李代数)
3. `fr(gl)_n(CC) = fr u(n) + "i" fr u(n)`, `fr(sl)_n(CC) = fr(su)(n) + "i" fr(su)(n)`.
4. `fr(so)(3)` 是单的, 因此 `fr(so)(4) = fr(so)(3) xx fr(so)(3)` 是半单的.
5. 这里的维数是指李代数作为 `RR` 上线性空间的维数.